Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

* a+2ba + 2b ve b+3cb + 3c sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu,
* a⋅ca \cdot c sayısının bir çift sayı olduğu

bilinmektedir.

Buna göre;

I. a+b+ca + b + c
II. a⋅b+a⋅c+b⋅ca \cdot b + a \cdot c + b \cdot c
III. (a+b)⋅(a+c)⋅(b+c)(a+b) \cdot (a+c) \cdot (b+c)

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I ve III

Cevap

II ve III
Verilen koşullar incelendiğinde, a,ba, b ve cc tam sayılarından tam olarak birinin tek, diğer ikisinin ise çift sayı olduğu görülür. Bu durumda, her terimi en az bir çift çarpan barındıran a⋅b+a⋅c+b⋅ca \cdot b + a \cdot c + b \cdot c toplamı her zaman çift sayıdır. Ayrıca, çarpanlarından en az biri iki çift sayının toplamından oluşan (a+b)⋅(a+c)⋅(b+c)(a+b) \cdot (a+c) \cdot (b+c) çarpımı da her zaman çift sayı sonucunu verir. Dolayısıyla doğru yanıt 'II ve III' ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
a+2ba + 2b ve b+3cb + 3c ifadelerinin teklik-çiftlik yapılarını incelemek.
2b2b ifadesi, bb tam sayı olduğu için her zaman çifttir. Dolayısıyla a+2ba + 2b ifadesinin teklik-çiftlik durumu doğrudan aa sayısına bağlıdır. Yani aa tek ise a+2ba+2b tek, aa çift ise a+2ba+2b çift olur.
Bir tam sayıya çift sayı eklemek o sayının teklik-çiftlik durumunu değiştirmez.
2
İlk durumu (a+2ba + 2b tek, b+3cb + 3c çift) analiz etmek.
a+2ba + 2b tek ise aa tek sayıdır. aa tek iken a⋅ca \cdot c çarpımının çift olması için cc çift sayı olmalıdır. cc çift ise 3c3c çift olur. Bu durumda b+3cb + 3c toplamının çift olması i��in bb de çift sayı olmalıdır. Buradan (a,b,c)=(Tek,C\cift,C\cift)(a, b, c) = (Tek, Çift, Çift) durumu elde edilir.
Çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması ve toplamın çift olması için her iki terimin aynı pariteye sahip olması gerekir.
3
İkinci durumu (a+2ba + 2b çift, b+3cb + 3c tek) analiz etmek.
a+2ba + 2b çift ise aa çift sayıdır. aa çift olduğundan a⋅ca \cdot c çarpımı cc'den bağımsız olarak her zaman çifttir. b+3cb + 3c toplamının tek olması için iki olasılık vardır: cc çift ise 3c3c çift ve bb tek olur, yani (a,b,c)=(C\cift,Tek,C\cift)(a, b, c) = (Çift, Tek, Çift). cc tek ise 3c3c tek ve bb çift olur, yani (a,b,c)=(C\cift,C\cift,Tek)(a, b, c) = (Çift, Çift, Tek).
Toplamın tek sayı olması için toplanan terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
4
Tüm durumları birleştirerek öncülleri test etmek.
Belirlenen üç durumun hepsinde de a,b,ca, b, c tam sayılarından tam olarak biri tek, diğer ikisi çift sayıdır. Buna göre: I. öncüldeki a+b+ca + b + c toplamı bir tek ve iki çift sayının toplamı olduğundan tektir. II. öncüldeki a⋅b+a⋅c+b⋅ca \cdot b + a \cdot c + b \cdot c ifadesinde her terim en az bir çift sayı içerdiğinden toplam çifttir. III. öncüldeki (a+b)(a+c)(b+c)(a+b)(a+c)(b+c) çarpımında ise iki çift sayının toplamı olan çarpan çift olacağından çarpım çifttir.
Her zaman çift olan ifadeleri kesin olarak belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama ve çarpma işlemlerindeki özellikleri ile durum analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru