Bir kırtasiyeci; elindeki a adet kalemi, her bir kutuda b adet kalem olacak şekilde paketl… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir kırtasiyeci; elindeki $a$ adet kalemi, her bir kutuda $b$ adet kalem olacak şekilde paketlediğinde geriye $c$ adet kalem kalmaktadır. Bu kırtasiyeci daha sonra paketlediği kutulardan $c$ tanesini açıp bu kutulardaki tüm kalemleri paketlenmeyen $c$ adet kalemle birleştirdiğinde elde ettiği toplam kalem sayısının tek sayı olduğunu görüyor.

$a$ , $b$ ve $c$ sayıları pozitif tam sayılar olduğuna göre,
I. $a + c$
II. $c^b$
III. $a \cdot b + c$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız ICevap
B
Yalnız II
C
I ve II
D
I ve III
E
I, II ve III

Cevap

Yalnız I

Yalnız I öncülü her zaman çift sayıdır. Çünkü

a

c

sayılarının her ikisi de tek sayıdır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olduğundan

a + c

ifadesi her zaman çifttir.

Adım Adım Çözüm

Kutulardan çıkarılan kalemler ile kalan kalemlerin birleştirilmesiyle elde edilen toplam kalem sayısını cebirsel olarak ifade etme.

Açılan

c

adet kutunun her birinde

b

adet kalem olduğu için bu kutulardan toplam

c \cdot b

adet kalem gelir. Kalan

c

adet kalemle birleştirildiğinde toplam kalem sayısı

c \cdot b + c = c(b + 1)

olur.

Soruda verilen birleştirme işleminin sonucunu teklik-çiftlik yönünden inceleyebilmek i��in toplam kalem miktarını belirlemeliyiz.

c(b + 1)

ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak

b

c

değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirleme.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan

c

tek sayı ve

b + 1

tek sayı olarak bulunur.

b + 1

tek ise

b

çift sayıdır.

Çarpma işleminin teklik-çiftlik kurallarına göre, sonucun tek olması yalnızca tüm çarpanların tek olması durumunda mümkündür.

a = k \cdot b + c

eşitliğini kullanarak

a

sayısının teklik-çiftlik durumunu belirleme.

b

çift sayı olduğundan, kutu sayısı olan

k

pozitif tam sayısı ile çarpımı

k \cdot b

her zaman çift sayıdır.

c

tek sayı olduğundan,

a = k \cdot b + c = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek}

sayı bulunur.

Başlangıçtaki toplam kalem sayısı

a

'nın teklik-çiftlik durumunu bulmak için kutulardaki toplam kalem sayısı ile kalan kalem sayısının toplamını analiz etmeliyiz.

Öncülleri elde edilen

a

(tek),

b

(çift) ve

c

(tek) değerlerine göre değerlendirme.

a + c = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

sayıdır (Her zaman çift).
II.

c^b = \text{tek}^{\text{çift}} = \text{tek}

sayıdır (

c

tek ve

b

pozitif tam sayı olduğundan).
III.

a \cdot b + c = \text{tek} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek}

sayıdır.

Öncüllerin hangilerinin her zaman çift sayı olduğunu belirlemek için bulduğumuz teklik-çiftlik özelliklerini ifadelerde yerlerine koyarız.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çarpma ve üs alma işlemlerinde teklik ve çiftlik durumlarının belirlenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru