Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a⋅b+ca \cdot b + c
ve
a+b⋅ca + b \cdot c
sayılarından birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a⋅c+ba \cdot c + b
II. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
III. ba+cb^a + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Verilen bilgilere göre bb sayısının çift sayı olduğu ve aa ile cc sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğu sonucuna ulaşılır. Buradan hareketle a⋅ca \cdot c çarpımı çift olur ve a⋅c+ba \cdot c + b toplamı da çift sayı olur. Benzer şekilde, bb çift sayı olduğundan b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çarpımı da her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla I ve II ifadeleri her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
bb sayısının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
bb sayısı kesinlikle çift sayıdır.
Eğer bb tek sayı olsaydı, hem a⋅b+ca \cdot b + c hem de a+b⋅ca + b \cdot c ifadesi a+ca + c toplamına eşit olurdu. Bu durumda iki ifadenin de teklik-çiftlik karakteri aynı olurdu (ikisi de aynı anda tek veya çift olurdu). Ancak soruda birinin tek, diğerinin çift olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla bb tek sayı olamaz, çift sayı olmak zorundadır.
2
aa ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirlemek.
aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
bb çift sayı olduğuna göre, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin teklik-çiftlik durumu cc sayısının durumuna; a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinin durumu ise aa sayısının durumuna bağlıdır. İki ifadenin teklik-çiftlik durumu farklı olduğuna göre, aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır. Bu durumda a⋅ca \cdot c çarpımı her zaman çift sayı olur.
3
Öncülleri tek tek değerlendirmek.
I. öncül (a⋅c+ba \cdot c + b) çift sayıdır; II. öncül (b⋅(a+c)b \cdot (a + c)) çift sayıdır; III. öncül (ba+cb^a + c) her zaman çift sayı değildir.
I. öncülde a⋅ca \cdot c çift, bb de çift olduğundan toplamları çift sayıdır. II. öncülde bb çift sayı olduğundan, bir çift sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir. III. öncülde aa negatif bir tek sayı (örneğin −1-1) ve b=2b = 2, c=4c = 4 seçilirse ba+c=2−1+4=4.5b^a + c = 2^{-1} + 4 = 4.5 olur ki bu bir tam sayı bile değildir. Dolayısıyla her zaman çift sayı olamaz.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri, üslü ifadelerde taban ve üssün tam sayı olma koşulu.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru