Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Olayların Olasılığı

Bir metro istasyonunda yan yana bulunan ve 1'den 8'e kadar numaralandırılmış 8 adet geçiş turnikesinin bazılarında temassız kart okuyucu bulunmakta, bazılarında ise bulunmamaktadır.

Ardışık numaralı herhangi iki turnikenin en az birinde temassız kart okuyucu bulunduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu istasyondaki kart okuyucusu olan turnikeler arasından rastgele seçilen bir turnikenin numarasının asal sayı olma olasılığı en az kaçtır?

  1. 15\frac{1}{5}Cevap
  2. B
    14\frac{1}{4}
  3. C
    25\frac{2}{5}
  4. D
    38\frac{3}{8}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

Kart okuyucusu olan turnikeler arasından rastgele seçilen bir turnikenin numarasının asal sayı olma olasılığı en az beş birdir (1/5).
Okuyucusu olan turnikeler kümesinde en az bir asal sayı (ardışık olan 2 ve 3 sayılarının ikisinin birden dışlanamaması nedeniyle) bulunmak zorundadır. Olasılığı en küçük yapmak için asal sayı adedini 1 seçip, asal olmayan 4 sayının tamamını kümeye ekleriz. Böylece 5 elemanlı kümede 1 asal sayı bulunarak en küçük olasılık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Turnike numaralarını asal olanlar ve olmayanlar olarak sınıflandırın.
Asal sayılar: {2,3,5,7}\{2, 3, 5, 7\} (4 adet), Asal olmayan sayılar: {1,4,6,8}\{1, 4, 6, 8\} (4 adet).
Olasılık hesabında pay ve payda değerlerini oluşturacak elemanları doğru gruplamak gerekir.
2
Ardışık iki turnikede birden okuyucu olmaması durumunu analiz ederek en az kaç asal sayı seçilmesi gerektiğini belirleyin.
Asal sayılardan 22 ve 33 ardışık olduğundan, okuyucusu olmayan turnikeler kümesinde bu iki sayı aynı anda yer alamaz. Dolayısıyla okuyuculu turnikeler kümesinde en az bir adet asal sayı bulunmalıdır.
Ardışık iki turnikeden en az birinde kart okuyucu bulunması kuralına uymak zorunludur.
3
Asal sayının seçilme olasılığını en aza indirmek için uygun kümeyi oluşturun.
Payı en az yapmak için 11 asal sayı (33) ve paydayı en çok yapmak için asal olmayan tüm sayıları ({1,4,6,8}\{1, 4, 6, 8\}) seçerek S={1,3,4,6,8}S = \{1, 3, 4, 6, 8\} kümesini elde ederiz. Bu durumda okuyucusuz turnikeler {2,5,7}\{2, 5, 7\} olur ve ardışık değildir.
Olasılığı minimize etmek için payı (asal sayılar) en küçük, paydayı (tüm okuyuculu turnikeler) en büyük seçmeliyiz.
4
Olasılığı hesaplayın.
Toplam 55 turnikeden 11 tanesi asal olduğundan olasılık 15\frac{1}{5} olur.
İstenen olayın eleman sayısının örnek uzayın eleman sayısına bölünmesiyle basit olayların olasılığı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı ve Örnek Uzay Belirleme

Alternatif Yöntem

Kart okuyucusu bulunmayan turnikelerin oluşturduğu kümenin eleman sayısını en fazla tutmaya çalışırız. Ardışık olamayacakları için en fazla 4 eleman ({1, 3, 5, 7} veya {2, 4, 6, 8}) seçebiliriz. Ancak bu durumda geriye kalan okuyuculu turnikelerde asal sayı oranı daha yüksek çıkmaktadır. Asal sayıları olabildiğince dışarıda bırakmak için okuyucusuz kümesini {2, 5, 7} olarak seçersek geriye kalan okuyuculu küme {1, 3, 4, 6, 8} olur. Burada sadece 3 asaldır. Olasılık 1/5'tir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru