Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı Fonksiyonlar

Bir otoparkın ücret tarifesi, aracın otoparkta kaldığı süre olan tt (saat) cinsinden aşağıdaki parçalı fonksiyon ile belirlenmektedir:

U¨(t)={20,0<t≤220+8(t−2),2<t≤652+5(t−6),t>6Ü(t) = \begin{cases} 20, & 0 < t \le 2 \\ 20 + 8(t-2), & 2 < t \le 6 \\ 52 + 5(t-6), & t > 6 \end{cases}

Bu otoparkta farklı sürelerde kalan iki aracın otoparkta kaldıkları süreler saat cinsinden birer pozitif tam sayıdır.

Bu iki aracın otoparka ödediği toplam ücret 102102 TL olduğuna göre, bu iki aracın otoparkta kaldığı sürelerin toplamı en fazla kaç saat olabilir?

Cevap: 14 saat

Cevap

İki aracın otoparkta kaldığı sürelerin toplamı en fazla 14 saattir.
Toplam ücreti 102 TL yapan otopark ücretleri parçalı fonksiyon değerlerinden sadece 20 TL ve 82 TL olduğunda sağlanır. Bu ücretlere karşılık gelen kalış süreleri sırasıyla en fazla 2 saat ve 12 saat olduğundan, otoparkta kalınan sürelerin toplamı en fazla 14 saattir.

Adım Adım Çözüm

1
Pozitif tam sayı olan tt süreleri için otopark ücret fonksiyonunun alabileceği değerleri hesaplamak.
0<t≤20 < t \le 2 için U¨(1)=20Ü(1) = 20 TL ve U¨(2)=20Ü(2) = 20 TL'dir. 2<t≤62 < t \le 6 aralığındaki tam sayılar için ücretler sırasıyla U¨(3)=28Ü(3) = 28 TL, U¨(4)=36Ü(4) = 36 TL, U¨(5)=44Ü(5) = 44 TL ve U¨(6)=52Ü(6) = 52 TL olur. t>6t > 6 ise ücret U¨(t)=52+5(t−6)Ü(t) = 52 + 5(t-6) biçimindedir.
Her bir kalış süresine karşılık gelen ücret seçeneklerini belirlemek için parçalı fonksiyon kurallarını uyguluyoruz.
2
U¨(a)+U¨(b)=102Ü(a) + Ü(b) = 102 denklemini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayı değerlerini bulmak.
Ücret listesindeki değerler incelendiğinde, toplamı 102 TL yapan tek tam sayı ücret ikilisi 20 TL ve 82 TL'dir. U¨(a)=20Ü(a) = 20 TL ise a=1a = 1 veya a=2a = 2 olabilir. Diğer aracın ücreti U¨(b)=82Ü(b) = 82 TL olmalıdır. b>6b > 6 bölgesinde 52+5(b−6)=82  ⟹  5(b−6)=30  ⟹  b−6=6  ⟹  b=1252 + 5(b-6) = 82 \implies 5(b-6) = 30 \implies b-6 = 6 \implies b = 12 bulunur.
Toplam ücretin sağlanması için parçalı fonksiyonun farklı dallarındaki olası değer kombinasyonlarını analiz ediyoruz.
3
Araçların otoparkta kaldığı sürelerin toplamını (a+ba + b) en büyük yapacak seçimi yapmak.
Araçlar farklı sürelerde kaldığı için a≠ba \ne b koşulu sağlanmalıdır. aa için otoparkta kalma süresi 2 saat, bb için 12 saat seçildiğinde araçlar farklı sürelerde kalmış olur. Buradan maksimum toplam süre a+b=2+12=14a + b = 2 + 12 = 14 saat olarak elde edilir.
Kalış süreleri toplamını en büyük yapmak amacıyla aa için olası en büyük tam sayı olan 2 değerini tercih ediyoruz.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer hesaplama, tanım kümelerine göre işlem yapma ve basit optimizasyon problemleri çözme.

Alternatif Yöntem

Toplamı 102 TL yapan ücret ikilisi aranırken, fonksiyonun artış miktarlarından yararlanılabilir. İlk aralıkta sabit olan 20 TL ücreti t=2t=2 sınır değerinde de geçerlidir. Dolayısıyla en düşük ücreti ödeyen aracın süresi doğrudan sınır değer olan 2 alınarak süre maksimize edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru