Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Dik koordinat düzleminde,

d1:(a−1)x+4y=12d_1: (a-1)x + 4y = 12
d2:3x+(b−5)y=3d_2: 3x + (b-5)y = 3

doğruları verilmektedir. Bu doğrular x=2x = 2 apsisli noktada dik kesiştiklerine göre, aa ve bb birer rakam olmak üzere yazılabilecek iki basamaklı abab doğal sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    25
  3. 52Cevap
  4. D
    34
  5. E
    58

Cevap

İki basamaklı abab doğal sayısı 52'dir.
Doğruların kesim noktası olan A(2, k) noktası her iki denklemi de sağlar. Bu noktadan hareketle a = 7 - 2k ve b - 5 = -3/k ilişkileri bulunur. Doğruların dik kesişmesi sebebiyle eğimleri çarpımı -1'e eşitlenir. Buradan elde edilen k^2 - 3k + 2 = 0 denkleminin kökleri k = 1 ve k = 2'dir. k = 2 değeri b'nin tam sayı (rakam) olmasını engellediğinden elenir. k = 1 değeri için a = 5 ve b = 2 rakamları elde edilir. Bu rakamlarla yazılabilecek iki basamaklı ab sayısı 52'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktasının ordinatını (y=ky = k) bulmak için x=2x = 2 değerini ikinci denklemde yerine yazalım.
3(2)+(b−5)k=3  ⟹  6+(b−5)k=3  ⟹  (b−5)k=−3  ⟹  b−5=−3k3(2) + (b-5)k = 3 \implies 6 + (b-5)k = 3 \implies (b-5)k = -3 \implies b-5 = -\frac{3}{k} elde edilir.
Kesişim noktası her iki doğrunun üzerinde olduğundan denklemleri sağlar. bb bir rakam (tam sayı) olduğuna göre, b−5b-5 de bir tam sayı olmalı ve bu yüzden kk değeri −3-3 sayısının bir tam sayı böleni olmalıdır.
2
Kesişim noktasını birinci denklemde yerine koyarak aa parametresini kk cinsinden ifade edelim.
(a−1)(2)+4k=12  ⟹  2a−2+4k=12  ⟹  2a=14−4k  ⟹  a=7−2k(a-1)(2) + 4k = 12 \implies 2a - 2 + 4k = 12 \implies 2a = 14 - 4k \implies a = 7 - 2k elde edilir.
aa parametresinin alabileceği değerleri kk değişkenine bağlı olarak bulmak için bu bağıntıyı kullanacağız.
3
Doğruların birbirine dik olması şartını (eğimleri çarpımı −1-1) kullanalım.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−14m_1 = -\frac{a-1}{4} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−3b−5m_2 = -\frac{3}{b-5}'dir. m1⋅m2=−1  ⟹  3(a−1)4(b−5)=−1m_1 \cdot m_2 = -1 \implies \frac{3(a-1)}{4(b-5)} = -1 olur.
Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı −1-1'dir. Bu kuralı kullanarak aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi kurarız.
4
a−1=6−2ka-1 = 6-2k ve b−5=−3kb-5 = -\frac{3}{k} ifadelerini eğimler çarpımı denkleminde yerine yazıp kk değerini çözelim.
3(6−2k)4(−3k)=−1  ⟹  18−6k=12k  ⟹  6k2−18k+12=0  ⟹  k2−3k+2=0  ⟹  (k−1)(k−2)=0\frac{3(6-2k)}{4\left(-\frac{3}{k}\right)} = -1 \implies 18 - 6k = \frac{12}{k} \implies 6k^2 - 18k + 12 = 0 \implies k^2 - 3k + 2 = 0 \implies (k-1)(k-2) = 0 denkleminden k=1k = 1 veya k=2k = 2 bulunur.
Elde edilen bağıntıları birleştirerek tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem elde etmek ve kesişim noktasının ordinatını belirlemek için.
5
aa ve bb değerlerinin rakam olma koşulunu kontrol ederek uygun kk değerini seçelim.
k=2k = 2 için b−5=−1.5  ⟹  b=3.5b-5 = -1.5 \implies b = 3.5 olur ki bu bir rakam değildir. k=1k = 1 için b−5=−3  ⟹  b=2b-5 = -3 \implies b = 2 ve a=7−2(1)=5a = 7 - 2(1) = 5 bulunur. Hem a=5a=5 hem de b=2b=2 birer rakamdır.
Soruda verilen aa ve bb'nin birer rakam olması koşuluna uygun olan tek çözümü belirlemek için.
6
Bulunan rakamlar ile iki basamaklı abab sayısını oluşturalım.
a=5a = 5 (onlar basamağı) ve b=2b = 2 (birler basamağı) olduğundan ab=52ab = 52 olur.
Bulunan basamak değerlerini doğru yerleştirerek istenen iki basamaklı doğal sayıyı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin grafiksel yorumu (doğruların kesim noktası) ve dik kesişme şartı

Alternatif Yöntem

Kesim noktasını bulduktan sonra elde edilen d1 ve d2 denklemleri sadeleştirilerek d1: x + y = 3 ve d2: x - y = 1 doğruları olduğu görülür. Bu iki doğrunun eğimlerinin sırasıyla -1 ve 1 olduğu, çarpımlarının da -1 olduğu ve x = 2 apsisli A(2, 1) noktasında kesiştikleri doğrudan kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

Bu konudan daha fazla soru