Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBileşke Fonksiyon

Pozitif bir aa gerçel sayısı için gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=2x+af(x) = 2x + a
g(x)=ax−3g(x) = ax - 3

fonksiyonları veriliyor.

(f∘g)(2)=9(f \circ g)(2) = 9

olduğuna göre, (g∘f)(1)(g \circ f)(1) değeri kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

İstenen bileşke fonksiyonun değeri 12'dir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(2)=f(g(2))=9(f \circ g)(2) = f(g(2)) = 9 eşitliği kurulur. g(2)=2a−3g(2) = 2a - 3 değeri ff fonksiyonuna yazıldığında 2(2a−3)+a=92(2a - 3) + a = 9 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü 5a−6=9  ⟹  a=35a - 6 = 9 \implies a = 3 olarak bulunur. a=3a = 3 için fonksiyonlar f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 ve g(x)=3x−3g(x) = 3x - 3 haline gelir. Soruda istenen (g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesi için f(1)=5f(1) = 5 değeri bulunup g(5)g(5) hesaplanırsa 3⋅5−3=123 \cdot 5 - 3 = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesini f(g(2))f(g(2)) biçiminde yazmak ve g(2)g(2) değerini hesaplamak.
g(2)=a⋅2−3=2a−3g(2) = a \cdot 2 - 3 = 2a - 3 bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen g(2)g(2) ifadesini ff fonksiyonunda xx yerine yazarak denklemi kurmak ve aa değerini bulmak.
f(2a−3)=2(2a−3)+a=5a−6f(2a - 3) = 2(2a - 3) + a = 5a - 6 olur. 5a−6=9  ⟹  5a=15  ⟹  a=35a - 6 = 9 \implies 5a = 15 \implies a = 3 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun sonucunun 9 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen aa parametresi bulunur.
3
Bulunan a=3a = 3 değerini fonksiyonlarda yerine yazarak fonksiyon kurallarını netleştirmek.
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 ve g(x)=3x−3g(x) = 3x - 3 olur.
Sonraki bileşke işlemini gerçekleştirebilmek için fonksiyon kurallarını tamamen bilmemiz gerekir.
4
(g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesini hesaplamak amacıyla ilk olarak f(1)f(1) değerini bulmak.
f(1)=2⋅1+3=5f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 bulunur.
Bileşke fonksiyon değerleri hesaplanırken işlem her zaman en içteki fonksiyondan başlar.
5
f(1)=5f(1) = 5 değerini gg fonksiyonunda yerine yazarak nihai sonucu elde etmek.
g(5)=3⋅5−3=12g(5) = 3 \cdot 5 - 3 = 12 olarak hesaplanır.
Bileşke zincirindeki son adım gg fonksiyonunun çıktısını hesaplamaktır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyon

Bu konudan daha fazla soru