Examkin

Bileşke Fonksiyon

16 soru

Tüm türler16Çoktan seçmeli10Sayısal6
Soru 1Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları

f(x)={x+3,x<1x2−4x+7,x≥1f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \\ x^2 - 4x + 7, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)=x2−ax+2g(x) = x^2 - ax + 2

biçiminde tanımlanıyor. Burada aa bir gerçel sayıdır.

(f∘g)(x)=3(f \circ g)(x) = 3 denklemini sağlayan birbirinden farklı gerçel köklerin sayısı 33 olduğuna göre, bu köklerin toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 323\sqrt{2}

Cevap

Birbirinden farklı gerçel köklerin toplamı 323\sqrt{2} olabilir.
Denklemin 3 farklı gerçel kökü olması için g(x)=0g(x) = 0 denkleminin iki farklı kökü varken, g(x)=2g(x) = 2 denkleminin diskriminantının sıfır olması ve çakışık tek kök vermesi gerekir. Buradan a=22a = 2\sqrt{2} veya a=−22a = -2\sqrt{2} elde edilir. Farklı köklerin toplamı 3a2\frac{3a}{2} formülünden 323\sqrt{2} veya −32-3\sqrt{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımı uygulanarak dıştaki fonksiyon eşitlenir.
(f∘g)(x)=3  ⟹  f(g(x))=3(f \circ g)(x) = 3 \implies f(g(x)) = 3 elde edilir. Burada g(x)=ug(x) = u dönüşümü yapılırsa f(u)=3f(u) = 3 denklemine ulaşılır.
Bileşke fonksiyon sorularında içten dışa veya dönüşüm yöntemiyle işlem sırasını belirlemek en güvenli yoldur.
2
Parçalı tanımlı olan f(u)=3f(u) = 3 denkleminin kökleri bulunur.
İki durum incelenir:
1. Durum: u<1u < 1 ise u+3=3  ⟹  u=0u + 3 = 3 \implies u = 0 olur. 0<10 < 1 şartını sağladığı için u=0u = 0 geçerli bir çözümdür.
2. Durum: u≥1u \ge 1 ise u2−4u+7=3  ⟹  u2−4u+4=0  ⟹  (u−2)2=0  ⟹  u=2u^2 - 4u + 7 = 3 \implies u^2 - 4u + 4 = 0 \implies (u - 2)^2 = 0 \implies u = 2 olur. 2≥12 \ge 1 şartını sağladığı için u=2u = 2 de geçerli bir çözümdür.
Parçalı fonksiyonlarda bulunan köklerin, tanımlı oldukları aralıklara uygun olup olmadığı kontrol edilmelidir.
3
Dönüşüm geri alınarak g(x)g(x) fonksiyonunun eşitlikleri yazılır.
g(x)=0g(x) = 0 veya g(x)=2g(x) = 2 olmalıdır. g(x)=x2−ax+2g(x) = x^2 - ax + 2 ifadesi yerine yazıldı��ında:
1. Denklem: x2−ax+2=0x^2 - ax + 2 = 0
2. Denklem: x2−ax+2=2  ⟹  x2−ax=0  ⟹  x(x−a)=0x^2 - ax + 2 = 2 \implies x^2 - ax = 0 \implies x(x - a) = 0
elde edilir.
Bileşke fonksiyonun iç kısmındaki fonksiyonun alabileceği değerler üzerinden değişkenin alacağı değerlere geçilir.
4
Elde edilen iki denklemin kök sayısı analizi yapılır.
2. denklemin kökleri x=0x = 0 ve x=ax = a olmak üzere her zaman iki tanedir (a≠0a \ne 0 için). Toplam kök sayısının 3 olması için 1. denklemin diskriminantı sıfır olmalı, yani tek (çakışık) bir kökü bulunmalıdır.
Δ=a2−4(1)(2)=0  ⟹  a2=8  ⟹  a=22\Delta = a^2 - 4(1)(2) = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = 2\sqrt{2} veya a=−22a = -2\sqrt{2} bulunur.
1. denklemin kökü bu durumda x=a2x = \frac{a}{2} olur. a≠0a \ne 0 olduğundan bu kök 2. denklemin kökleri olan 00 ve aa ile çakışmaz. Dolayısıyla toplamda tam olarak 3 farklı gerçel kök elde edilir.
İkinci dereceden denklemlerin kök sayıları diskriminant değerlerine bağlıdır. Toplam farklı kök sayısı iki denklemin ortak kökü olmaması ve birinin çakışık köke sahip olmasıyla 3'e eşitlenir.
5
Köklerin toplamı hesaplanır.
Kökler 00, aa ve a2\frac{a}{2} şeklindedir. Farklı köklerin toplamı 0+a+a2=3a20 + a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2} olur.
- a=22a = 2\sqrt{2} için kökler toplamı: 3(22)2=32\frac{3(2\sqrt{2})}{2} = 3\sqrt{2} bulunur.
- a=−22a = -2\sqrt{2} için kökler toplamı: 3(−22)2=−32\frac{3(-2\sqrt{2})}{2} = -3\sqrt{2} bulunur.
Seçeneklerde 323\sqrt{2} değeri yer almaktadır.
Bulunan parametre değerlerine karşılık gelen tüm kökler toplanarak olası sonuçlar belirlenir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda iç içe işlem yapma, parçalı fonksiyonlarda tanım aralığı kontrolü ve ikinci dereceden denklemlerde diskriminant ile kök sayısı ilişkisi.
Soru 2Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1
g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (f∘g)(4)(f \circ g)(4) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İşlemler sonucunda (f o g)(4) değeri 10 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f o g)(4) ifadesi f(g(4)) şeklinde yazılır. g(4) değeri 3 olarak bulunduktan sonra f(3) değeri hesaplanır ve sonuç 10 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
g(4) değerinin hesaplanması
g(4) = 3
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f o g)(4) = f(g(4)) olduğundan, öncelikle en içteki g(4) değeri hesaplanır.
2
f(3) değerinin hesaplanması
f(3) = 10
g(4) = 3 değeri f fonksiyonunda yerine yazılarak bileşke işleminin sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyonun görüntüsü soldaki fonksiyonun girdisi olur.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tan��mlı ff ve gg fonksiyonlarının değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx1122334455
f(x)f(x)3355112244
g(x)g(x)4411553322

Buna göre, (f∘g)(a)=2(f \circ g)(a) = 2 eşitliğini sağlayan aa değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(a)=f(g(a))=2(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 2 eşitliği sağlanmalıdır. Tabloda ff fonksiyonunun 22 değerini aldığı girdi 44 olduğundan g(a)=4g(a) = 4 olmalıdır. Tabloda gg fonksiyonunun 44 değerini aldığı girdi 11 olduğundan a=1a = 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(a)=2(f \circ g)(a) = 2 eşitliğini bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak f(g(a))=2f(g(a)) = 2 biçiminde yazalım.
f(g(a))=2f(g(a)) = 2
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, her xx elemanı için (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Tabloda f(x)=2f(x) = 2 eşitliğini sağlayan xx değerini bulalım.
g(a)=4g(a) = 4
Tabloda f(x)f(x) satırında 22 değerinin üstündeki sütunda x=4x = 4 yazmaktadır, bu yüzden f(4)=2f(4) = 2 olup g(a)g(a) değeri 44 olmalıdır.
3
Tabloda g(x)=4g(x) = 4 eşitliğini sağlayan xx değerini bulalım.
a=1a = 1
Tabloda g(x)g(x) satırında 44 değerinin üstündeki sütunda x=1x = 1 yazmaktadır, dolayısıyla g(1)=4g(1) = 4 olup a=1a = 1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma ve tablo okuma
Soru 4Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4
g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5
eşitlikleri veriliyor.

(f∘g)(a)=17(f \circ g)(a) = 17 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Bileşke fonksiyon tanımından yola çıkarak elde edilen denklem çözüldüğünde a değeri 1 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(a)=f(g(a))=17(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 17 eşitliği kurulur. f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 olduğundan f(g(a))=3g(a)−4=17  ⟹  g(a)=7f(g(a)) = 3g(a) - 4 = 17 \implies g(a) = 7 olur. Son olarak g(x)=2x+5g(x) = 2x + 5 tanımından 2a+5=7  ⟹  a=12a + 5 = 7 \implies a = 1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
f(g(a))=17f(g(a)) = 17
(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) bileşke tanımı gereğidir.
2
f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(a)g(a) yazarak g(a)g(a) değerini bulmak.
g(a)=7g(a) = 7
f(g(a))=3g(a)−4=17f(g(a)) = 3g(a) - 4 = 17 eşitliğinden 3g(a)=213g(a) = 21 ve böylece g(a)=7g(a) = 7 elde edilir.
3
g(x)g(x) fonksiyonu tanımından aa değerini hesaplamak.
a=1a = 1
g(a)=2a+5=7g(a) = 2a + 5 = 7 eşitliğinden 2a=22a = 2 ve buradan a=1a = 1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda sağdan sola doğru değer bulma ve denklem çözme.
Soru 5Soru →
Her xx gerçel sayısı için
f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1
g(x)=x+2g(x) = x + 2
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Bileşke işleminin sonucu 10'dur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesi g(f(3))g(f(3)) şeklinde çözümlenir. İlk adımda f(3)=3(3)−1=8f(3) = 3(3) - 1 = 8 değeri bulunur. İkinci adımda bu değer gg fonksiyonunun girdisi yapılarak g(8)=8+2=10g(8) = 8 + 2 = 10 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki fonksiyonun değerini hesaplayın.
f(3)=8f(3) = 8
(g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesi g(f(3))g(f(3)) anlamına geldiğinden öncelikle en içteki fonksiyon olan f(3)f(3) değeri bulunur: 3(3)−1=83(3) - 1 = 8.
2
Bulunan değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazın.
g(8)=10g(8) = 10
f(3)=8f(3) = 8 olduğundan, elde edilen 8 değeri dıştaki gg fonksiyonunda xx yerine yazılarak 8+2=108 + 2 = 10 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda içten dışa doğru değer hesaplama sırası
Soru 6Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tan��mlı ff ve gg fonksiyonları için
(f∘g)(x)=3g(x)+4(f \circ g)(x) = 3g(x) + 4
(g∘f)(x)=(f(x))2−2f(x)−5(g \circ f)(x) = (f(x))^2 - 2f(x) - 5

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, (g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

30
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesini çözmek için önce f(1)f(1) değeri bulunur. f(g(x))=3g(x)+4f(g(x)) = 3g(x) + 4 eşitliğinden f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 (uu değeri gg'nin görüntü kümesinde olmak üzere) elde edilir. g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 kuralının görüntü kümesi [−6,∞)[-6, \infty) olduğundan ve 11 bu kümede bulunduğundan f(1)=3(1)+4=7f(1) = 3(1) + 4 = 7 olur. Benzer şekilde, ff'nin görüntü kümesi [−14,∞)[-14, \infty) aralığıdır ve 77 bu aralıkta olduğu için g(7)=72−2(7)−5=30g(7) = 7^2 - 2(7) - 5 = 30 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)=3g(x)+4(f \circ g)(x) = 3g(x) + 4 eşitliğini analiz etmek.
g(x)=ug(x) = u dönüşümüyle, gg fonksiyonunun görüntü kümesindeki her uu için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre dıştaki fonksiyon, içteki fonksiyonun değerleri üzerinde tanımlanır.
2
(g∘f)(x)=(f(x))2−2f(x)−5(g \circ f)(x) = (f(x))^2 - 2f(x) - 5 eşitli��ini analiz etmek.
f(x)=vf(x) = v dönüşümüyle, ff fonksiyonunun görüntü kümesindeki her vv için g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre gg fonksiyonunun kuralını ff'in görüntü kümesi üzerinde belirlemek gerekir.
3
gg fonksiyonunun görüntü kümesini bulmak.
g(v)=(v−1)2−6g(v) = (v-1)^2 - 6 biçiminde yazılabileceğinden, gg'nin en küçük değeri −6-6'dır. Görüntü kümesi [−6,∞)[-6, \infty) olur.
f(1)f(1) değerini hesaplayabilmek için 11 sayısının gg'nin görüntü kümesinde olup olmadığını doğrulamamız gerekir.
4
f(1)f(1) değerini hesaplamak.
1∈[−6,∞)1 \in [-6, \infty) olduğundan f(1)=3(1)+4=7f(1) = 3(1) + 4 = 7 bulunur.
11 değeri gg'nin görüntü kümesinde yer aldığı için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 kuralı geçerlidir.
5
(g∘f)(1)=g(f(1))=g(7)(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(7) değerini hesaplamak.
u≥−6u \ge -6 için f(u)=3u+4f(u) = 3u + 4 kuralı uygulandığında ff'nin görüntü kümesi [−14,∞)[-14, \infty) olur. 7≥−147 \ge -14 olduğundan g(7)=72−2(7)−5=30g(7) = 7^2 - 2(7) - 5 = 30 elde edilir.
77 değeri ff'nin görüntü kümesinde yer aldığı için g(v)=v2−2v−5g(v) = v^2 - 2v - 5 kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda tanım ve görüntü kümelerinin analizi ile zincirleme değer bulma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları

f(x)={2x+4,x<1x2−3,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 4, & x < 1 \\ x^2 - 3, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)={3x−1,x<22x−a,x≥2g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ 2x - a, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

(f∘g)(3)=(g∘f)(0)(f \circ g)(3) = (g \circ f)(0)

eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısının tam sayı değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen eşitlikte (g∘f)(0)(g \circ f)(0) ifadesinin değeri 8−a8-a ve (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri, a>5a > 5 kabulü altında 16−2a16-2a olarak bulunur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde a=8a = 8 tam sayı değeri elde edilir ve bu değer başlangıçtaki aralık koşulunu sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
(g∘f)(0)(g \circ f)(0) ifadesinin değerini bulmak için öncelikle f(0)f(0) değerini hesaplayalım.
f(0)=2(0)+4=4f(0) = 2(0) + 4 = 4
0<10 < 1 olduğundan f(x)f(x) fonksiyonunun üstteki dalı kullanılır.
2
Bulduğumuz f(0)=4f(0) = 4 değerini gg fonksiyonunda yerine yazarak g(4)g(4) değerini elde edelim.
g(4)=2(4)−a=8−ag(4) = 2(4) - a = 8 - a
4≥24 \ge 2 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonunun alttaki dalı kullanılır.
3
(f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değerini bulmak için öncelikle g(3)g(3) değerini hesaplayalım.
g(3)=2(3)−a=6−ag(3) = 2(3) - a = 6 - a
3≥23 \ge 2 olduğundan g(x)g(x) fonksiyonunun alttaki dalı kullanılır.
4
Bulduğumuz g(3)=6−ag(3) = 6 - a değerini ff fonksiyonunda yerine yazarak f(6−a)f(6 - a) değerini elde edelim ve (f∘g)(3)=(g∘f)(0)(f \circ g)(3) = (g \circ f)(0) eşitliğini kuralım.
f(6−a)=8−af(6 - a) = 8 - a
f(g(3))=g(f(0))f(g(3)) = g(f(0)) eşitliği gereği bu iki ifade birbirine eşitlenmelidir.
5
aa sayısının bir tam sayı olduğu bilgisiyle 6−a6 - a ifadesinin değer aralığına göre durum analizi yapalım. İlk olarak 6−a<16 - a < 1 (yani a>5a > 5) durumunu inceleyelim.
2(6−a)+4=8−a  ⟹  16−2a=8−a  ⟹  a=82(6 - a) + 4 = 8 - a \implies 16 - 2a = 8 - a \implies a = 8
6−a<16 - a < 1 koşulu altında f(x)f(x) fonksiyonunun üstteki dalı olan 2x+42x + 4 kuralı uygulanır. Bulunan a=8a = 8 değeri a>5a > 5 koşulunu sağladığından geçerli bir çözümdür.
6
İkinci durum olan 6−a≥16 - a \ge 1 (yani a≤5a \le 5) durumunu inceleyelim.
(6−a)2−3=8−a  ⟹  a2−11a+25=0(6 - a)^2 - 3 = 8 - a \implies a^2 - 11a + 25 = 0
6−a≥16 - a \ge 1 koşulu altında f(x)f(x) fonksiyonunun alttaki dalı olan x2−3x^2 - 3 kuralı uygulanır. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı Δ=121−100=21\Delta = 121 - 100 = 21 olup kökleri rasyonel veya tam sayı değildir. Dolayısıyla bu durumdan tam sayı çözümü gelmez.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon tanımı ve parçalı fonksiyonlarda değer bulma
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →
f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2
g(x)=x2−3x+1g(x) = x^2 - 3x + 1

biçiminde tanımlanan ff ve gg fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, (g∘f)(x)=5(g \circ f)(x) = 5 eşitliğini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 73\frac{7}{3}

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı 73\frac{7}{3}'tür.
Eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamının 73\frac{7}{3} olduğunu gösteren seçenek doğrudur. Bileşke fonksiyon kuralı doğru uygulanıp g(f(x))=5g(f(x)) = 5 denklemi (f(x)−4)(f(x)+1)=0(f(x) - 4)(f(x) + 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında f(x)=4f(x) = 4 veya f(x)=−1f(x) = -1 değerlerine ulaşılır. Bu değerler sırasıyla 3x−2=43x - 2 = 4 ve 3x−2=−13x - 2 = -1 denklemlerine eşitlendiğinde xx değerleri 22 ve 13\frac{1}{3} olarak bulunur. Toplamları ise 73\frac{7}{3} eder.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulayarak (g∘f)(x)=5(g \circ f)(x) = 5 ifadesini açık biçimde yazmak.
g(f(x))=5  ⟹  (f(x))2−3f(x)+1=5g(f(x)) = 5 \implies (f(x))^2 - 3f(x) + 1 = 5 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyon işleminde içteki fonksiyon, dıştaki fonksiyonda değişken yerine yazılır.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenlemek ve çarpanlarına ayırmak.
(f(x))2−3f(x)−4=0  ⟹  (f(x)−4)(f(x)+1)=0(f(x))^2 - 3f(x) - 4 = 0 \implies (f(x) - 4)(f(x) + 1) = 0 elde edilir. Buradan f(x)=4f(x) = 4 veya f(x)=−1f(x) = -1 bulunur.
Denklemi sıfıra eşitleyerek çarpanlarına ayırmak, f(x)f(x) fonksiyonunun alabileceği değerleri belirlememizi sağlar.
3
Bulunan f(x)f(x) değerlerini f(x)=3x−2f(x) = 3x - 2 kuralına eşitleyerek xx değerlerini çözmek.
3x−2=4  ⟹  3x=6  ⟹  x=23x - 2 = 4 \implies 3x = 6 \implies x = 2 ve 3x−2=−1  ⟹  3x=1  ⟹  x=133x - 2 = -1 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} bulunur.
f(x)f(x)'in alabileceği her bir değere karşılık gelen gerçel xx sayılarını bulmak gerekir.
4
Elde edilen farklı xx gerçel sayılarının toplamını hesaplamak.
2+13=732 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} olarak bulunur.
Soruda eşitliği sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı istendiği için bulunan kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon tanımı ve bileşke içeren denklemlerin çözümü.
Soru 9Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=2x+af(x) = 2x + a ve g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1 fonksiyonları için
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=5(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 5
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, (f∘g)(a)(f \circ g)(a) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −23-23

Cevap

Doğru cevap −23-23 değeridir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) ve (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) ifadeleri sırasıyla 6x−2+a6x - 2 + a ve 6x+3a−16x + 3a - 1 olarak elde edilir. Bu iki ifadenin farkı olan −2a−1-2a - 1 değeri 55 sayısına eşitlendiğinde a=−3a = -3 bulunur. İstenen (f∘g)(−3)(f \circ g)(-3) değerini hesaplamak için önce içteki fonksiyon olan g(−3)=−10g(-3) = -10 hesaplanır, ardından bu değer dıştaki fonksiyona yazılarak f(−10)=2(−10)−3=−23f(-10) = 2(-10) - 3 = -23 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonların kurallarını elde etmek için (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ve (g∘f)(x)(g \circ f)(x) ifadelerini yazalım.
(f∘g)(x)=f(g(x))=2(3x−1)+a=6x−2+a(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2(3x - 1) + a = 6x - 2 + a
(g∘f)(x)=g(f(x))=3(2x+a)−1=6x+3a−1(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 3(2x + a) - 1 = 6x + 3a - 1
Verilen fark denkleminde bu kuralları yerine koyarak aa parametresini bulmak gerekir.
2
Bulunan ifadeleri (f∘g)(x)−(g∘f)(x)=5(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 5 eşitliğinde yerine yazarak denklemi çözelim.
(6x−2+a)−(6x+3a−1)=5  ⟹  −2a−1=5  ⟹  −2a=6  ⟹  a=−3(6x - 2 + a) - (6x + 3a - 1) = 5 \implies -2a - 1 = 5 \implies -2a = 6 \implies a = -3
Bileşke fonksiyonların kuralındaki bilinmeyen aa değerini belirlemek için çıkarma işlemi uygulanır.
3
a=−3a = -3 değerini kullanarak ff ve gg fonksiyonlarını yazıp (f∘g)(−3)(f \circ g)(-3) değerini bulalım.
f(x)=2x−3f(x) = 2x - 3, g(x)=3x−1g(x) = 3x - 1
(f∘g)(−3)=f(g(−3))(f \circ g)(-3) = f(g(-3))
g(−3)=3(−3)−1=−10g(-3) = 3(-3) - 1 = -10
f(−10)=2(−10)−3=−23f(-10) = 2(-10) - 3 = -23
Bileşke fonksiyonun değerini bulmak için içten dışa doğru sırayla fonksiyon değerleri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası ve kural oluşturma
Soru 10Soru →

Pozitif bir aa gerçel sayısı için gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=2x+af(x) = 2x + a
g(x)=ax−3g(x) = ax - 3

fonksiyonları veriliyor.

(f∘g)(2)=9(f \circ g)(2) = 9

olduğuna göre, (g∘f)(1)(g \circ f)(1) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İstenen bileşke fonksiyonun değeri 12'dir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(2)=f(g(2))=9(f \circ g)(2) = f(g(2)) = 9 eşitliği kurulur. g(2)=2a−3g(2) = 2a - 3 değeri ff fonksiyonuna yazıldığında 2(2a−3)+a=92(2a - 3) + a = 9 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü 5a−6=9  ⟹  a=35a - 6 = 9 \implies a = 3 olarak bulunur. a=3a = 3 için fonksiyonlar f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 ve g(x)=3x−3g(x) = 3x - 3 haline gelir. Soruda istenen (g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesi için f(1)=5f(1) = 5 değeri bulunup g(5)g(5) hesaplanırsa 3⋅5−3=123 \cdot 5 - 3 = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesini f(g(2))f(g(2)) biçiminde yazmak ve g(2)g(2) değerini hesaplamak.
g(2)=a⋅2−3=2a−3g(2) = a \cdot 2 - 3 = 2a - 3 bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen g(2)g(2) ifadesini ff fonksiyonunda xx yerine yazarak denklemi kurmak ve aa değerini bulmak.
f(2a−3)=2(2a−3)+a=5a−6f(2a - 3) = 2(2a - 3) + a = 5a - 6 olur. 5a−6=9  ⟹  5a=15  ⟹  a=35a - 6 = 9 \implies 5a = 15 \implies a = 3 olarak elde edilir.
Bileşke fonksiyonun sonucunun 9 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen aa parametresi bulunur.
3
Bulunan a=3a = 3 değerini fonksiyonlarda yerine yazarak fonksiyon kurallarını netleştirmek.
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 ve g(x)=3x−3g(x) = 3x - 3 olur.
Sonraki bileşke işlemini gerçekleştirebilmek için fonksiyon kurallarını tamamen bilmemiz gerekir.
4
(g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) ifadesini hesaplamak amacıyla ilk olarak f(1)f(1) değerini bulmak.
f(1)=2⋅1+3=5f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 bulunur.
Bileşke fonksiyon değerleri hesaplanırken işlem her zaman en içteki fonksiyondan başlar.
5
f(1)=5f(1) = 5 değerini gg fonksiyonunda yerine yazarak nihai sonucu elde etmek.
g(5)=3⋅5−3=12g(5) = 3 \cdot 5 - 3 = 12 olarak hesaplanır.
Bileşke zincirindeki son adım gg fonksiyonunun çıktısını hesaplamaktır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(2x+1)=4x−3f(2x + 1) = 4x - 3
g(x−2)=x2−3x+1g(x - 2) = x^2 - 3x + 1
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

İşlemler sırasıyla uygulandığında (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri 17 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) şeklindedir. İlk olarak g(3)g(3) değerini bulmak için g(x−2)g(x-2) kuralında x−2=3  ⟹  x=5x-2=3 \implies x=5 seçilir. Buradan g(3)=52−3(5)+1=11g(3) = 5^2 - 3(5) + 1 = 11 elde edilir. İkinci adımda f(11)f(11) değerini bulmak için f(2x+1)f(2x+1) kuralında 2x+1=11  ⟹  x=52x+1=11 \implies x=5 seçilir. Buradan f(11)=4(5)−3=17f(11) = 4(5) - 3 = 17 bulunur. Bu nedenle doğru cevap 17 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tanımını uygulamak
(f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) olduğunu yazmak
Bileşke i��leminin öncelik sırasını belirlemek
2
g(3)g(3) değerini hesaplamak için uygun xx değerini bulmak
x−2=3  ⟹  x=5x - 2 = 3 \implies x = 5 olarak bulmak
g(x−2)g(x-2) kuralında girdiyi 3 yapmak
3
x=5x = 5 değerini g(x−2)g(x-2) kuralında yerine yazarak g(3)g(3) değerini bulmak
g(3)=52−3(5)+1=11g(3) = 5^2 - 3(5) + 1 = 11 olarak bulmak
gg fonksiyonunun çıktısını elde etmek
4
f(g(3))=f(11)f(g(3)) = f(11) değerini hesaplamak için uygun xx değerini bulmak
2x+1=11  ⟹  x=52x + 1 = 11 \implies x = 5 olarak bulmak
f(2x+1)f(2x+1) kuralında girdiyi 11 yapmak
5
x=5x = 5 değerini f(2x+1)f(2x+1) kuralında yerine yazarak sonucu elde etmek
f(11)=4(5)−3=17f(11) = 4(5) - 3 = 17 olarak bulmak
Bileşke işleminin nihai sonucuna ulaşmak

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi en içteki fonksiyondan başlanarak dışa doğru sırayla yapılır. Fonksiyonun girdisi xx dışında bir ifadeye bağlıysa, istenen girdi değerine ulaşmak için uygun değişken dönüşümü yapılmalıdır.
Soru 12Soru →

Tanımlı olduğu değerler için g(x)=x+1x−1g(x) = \frac{x+1}{x-1} ve (f∘g)(x)=3x2−4x(f \circ g)(x) = \frac{3x^2 - 4}{x} fonksiyonları verilmektedir. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

f(3) değeri 4'tür.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) şeklindedir. Bizden f(3)f(3) istendiği için g(x)=3g(x) = 3 olmalıdır. g(x)=x+1x−1=3g(x) = \frac{x+1}{x-1} = 3 denkleminden x=2x = 2 bulunur. Bulunan bu xx değeri bileşke fonksiyonda yerine yazıldığında f(g(2))=f(3)=3(2)2−42=4f(g(2)) = f(3) = \frac{3(2)^2 - 4}{2} = 4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tanımından yararlanarak f(3)f(3) değerini bulmak için g(x)=3g(x) = 3 eşitliğini sağlayan xx değerini belirlemek üzere denklem kurulur.
g(x)=3g(x) = 3 eşitliği elde edilir.
f(g(x))=(f∘g)(x)f(g(x)) = (f \circ g)(x) ifadesinde g(x)=3g(x) = 3 olduğunda f(3)f(3) değerine ulaşıldığı için bu adım gereklidir.
2
Kurulan g(x)=3g(x) = 3 denklemi çözülür.
x=2x = 2 olarak bulunur.
x+1x−1=3  ⟹  x+1=3x−3  ⟹  2x=4  ⟹  x=2\frac{x+1}{x-1} = 3 \implies x + 1 = 3x - 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2 cebirsel adımları takip edilerek g(x)=3g(x) = 3 yapan girdi değeri saptanır.
3
Bulunan x=2x = 2 değeri, verilen (f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonu ifadesinde yerine yazılarak hesaplama yapılır.
f(g(2))=f(3)=4f(g(2)) = f(3) = 4 elde edilir.
x=2x = 2 için (f∘g)(2)=3(2)2−42=12−42=4(f \circ g)(2) = \frac{3(2)^2 - 4}{2} = \frac{12-4}{2} = 4 olduğundan aranan f(3)f(3) değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonda değer bulma işlemi yapılırken dıştaki fonksiyonun argümanını elde etmek için içteki fonksiyonun değeri eşitlenmelidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları her xx gerçel sayısı için
(f∘g)(x)=4⋅g(x)−3(f \circ g)(x) = 4 \cdot g(x) - 3
(g∘f)(x)=3⋅f(x)+2(g \circ f)(x) = 3 \cdot f(x) + 2
eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre, (f∘g)(2)−(g∘f)(1)(f \circ g)(2) - (g \circ f)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

İfadenin doğru değeri 2424'tür.
Bileşke fonksiyon kurallarından elde edilen f(x)=4x−3f(x) = 4x - 3 ve g(x)=3x+2g(x) = 3x + 2 fonksiyonları kullanılarak (f∘g)(2)=f(g(2))=f(8)=29(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(8) = 29 ve (g∘f)(1)=g(f(1))=g(1)=5(g \circ f)(1) = g(f(1)) = g(1) = 5 değerleri doğru sırayla hesaplanmış ve farkları alındığında 2424 elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımlarını kullanarak f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının kurallarını belirleme.
f(x)=4x−3f(x) = 4x - 3 ve g(x)=3x+2g(x) = 3x + 2
(f∘g)(x)=4⋅g(x)−3(f \circ g)(x) = 4 \cdot g(x) - 3 ifadesinde g(x)g(x) yerine xx yazıldığında f(x)=4x−3f(x) = 4x - 3 elde edilir. Benzer şekilde, (g∘f)(x)=3⋅f(x)+2(g \circ f)(x) = 3 \cdot f(x) + 2 ifadesinde f(x)f(x) yerine xx yazıldığında g(x)=3x+2g(x) = 3x + 2 olur.
2
(f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesinin değerini hesaplama.
(f∘g)(2)=29(f \circ g)(2) = 29
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) olduğundan öncelikle g(2)=3(2)+2=8g(2) = 3(2) + 2 = 8 bulunur. Ardından bu değer ff fonksiyonunda yerine yazılarak f(8)=4(8)−3=29f(8) = 4(8) - 3 = 29 elde edilir.
3
(g∘f)(1)(g \circ f)(1) ifadesinin değerini hesaplama.
(g∘f)(1)=5(g \circ f)(1) = 5
(g∘f)(1)=g(f(1))(g \circ f)(1) = g(f(1)) olduğundan öncelikle f(1)=4(1)−3=1f(1) = 4(1) - 3 = 1 bulunur. Ardından bu değer gg fonksiyonunda yerine yazılarak g(1)=3(1)+2=5g(1) = 3(1) + 2 = 5 elde edilir.
4
Bulunan değerlerin farkını alma.
2424
(f∘g)(2)−(g∘f)(1)=29−5=24(f \circ g)(2) - (g \circ f)(1) = 29 - 5 = 24 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların tanımı ve değer bulma işlemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →

Tanım ve değer kümeleri A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi olan ff ve gg fonksiyonlarının bazı elemanlar için değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx12345
f(x)f(x)35124
g(x)g(x)41532
Buna göre,
(f∘g)(a)=5(f \circ g)(a) = 5
eşitliğini sağlayan aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İstenen a sayısı 5'tir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (fog)(a) = f(g(a)) = 5 eşitliği yazılır. Tablodan f(x) = 5 değerini veren x = 2 girdisi bulunarak g(a) = 2 elde edilir. Ardından g(x) = 2 değerini veren x = 5 girdisi bulunarak a = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
f(g(a)) = 5 denklemi elde edilir.
(fog)(a) ifadesinin tanımı f(g(a)) şeklindedir.
2
Tablodan f(x) = 5 eşitliğini sağlayan x değerini okumak.
g(a) = 2 elde edilir.
Tablodaki f(x) satırında 5 değerini veren sütunun x değeri 2'dir.
3
Tablodan g(a) = 2 eşitliğini sağlayan a değerini okumak.
a = 5 elde edilir.
Tablodaki g(x) satırında 2 değerini veren sütunun x değeri 5'tir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon
Soru 15Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=0(f \circ g)(x) = 0
denkleminin köklerinin çarpımı 88 olduğuna göre, (g∘f)(a)(g \circ f)(a) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Doğru cevap olan 19 değeri, bileşke fonksiyon işlem sırası olan içten dışa doğru değerlendirme kuralına dayanır. İlk olarak, (f∘g)(x)=0(f \circ g)(x) = 0 denklemi 4x2−(4a+4)x+(a2+2a−3)=04x^2 - (4a + 4)x + (a^2 + 2a - 3) = 0 olarak düzenlenir. Bu denklemin kökler çarpımı a2+2a−34\frac{a^2 + 2a - 3}{4} ifadesinin 8'e eşitlenmesiyle pozitif aa değeri 5 olarak elde edilir. Son adımda, (g∘f)(5)(g \circ f)(5) ifadesini bulmak için önce f(5)=12f(5) = 12 hesaplanır, ardından g(12)=24−5=19g(12) = 24 - 5 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonunu elde etmek amacıyla f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(x)g(x) ifadesi yazılır.
(f∘g)(x)=(2x−a)2−2(2x−a)−3=0(f \circ g)(x) = (2x - a)^2 - 2(2x - a) - 3 = 0
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen ifade açılarak ikinci dereceden denklem standart formuna (Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0) getirilir.
4x2−4ax+a2−4x+2a−3=04x^2 - 4ax + a^2 - 4x + 2a - 3 = 0
4x2−(4a+4)x+(a2+2a−3)=04x^2 - (4a + 4)x + (a^2 + 2a - 3) = 0
İkinci dereceden denklemin katsayılarını belirleyerek kök-katsayı ilişkisini uygulayabilmek için ifade düzenlenmelidir.
3
Denklemin kökler çarpımı formülü olan CA\frac{C}{A} ifadesi kullanılır ve soruda verilen 88 değerine eşitlenir.
Ko¨kler C¸arpımı=a2+2a−34=8  ⟹  a2+2a−3=32  ⟹  a2+2a−35=0\text{Kökler Çarpımı} = \frac{a^2 + 2a - 3}{4} = 8 \implies a^2 + 2a - 3 = 32 \implies a^2 + 2a - 35 = 0
İkinci dereceden bir denklemin kökler çarpımı kuralı ile bilinmeyen aa parametresine bağlı yeni bir denklem elde edilir.
4
aa değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
(a+7)(a−5)=0  ⟹  a=5 veya a=−7(a + 7)(a - 5) = 0 \implies a = 5 \text{ veya } a = -7
aa sayısının alabileceği değerleri bulmak için denklem kökleri hesaplanır.
5
aa sayısının pozitif olma koşulu değerlendirilerek uygun değer seçilir.
a=5a = 5 olmalıdır.
Soruda aa sayısının pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtilmiştir.
6
Bizden istenen (g∘f)(a)(g \circ f)(a) yani (g∘f)(5)(g \circ f)(5) değerini bulmak için öncelikle içteki fonksiyon olan f(5)f(5) değeri hesaplanır.
f(5)=52−2(5)−3=25−10−3=12f(5) = 5^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12
Bileşke fonksiyon değerlendirilirken i��ten dışa doğru işlem sırası takip edilir.
7
Bulunan f(5)=12f(5) = 12 değeri dıştaki g(x)g(x) fonksiyonunda xx yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.
g(12)=2(12)−a=24−5=19g(12) = 2(12) - a = 24 - 5 = 19
(g∘f)(5)=g(f(5))(g \circ f)(5) = g(f(5)) tanımı gereği sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon Tanımı ve İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta Formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg doğrusal fonksiyonları
f(x)=3x+kf(x) = 3x + k
g(x)=2x−5g(x) = 2x - 5
biçiminde veriliyor.
Her xx gerçel sayısı için
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=2(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 2
olduğuna göre, kk kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

k değeri -12 olmalıdır.
Doğru cevaba ulaşmak için önce (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ve (g∘f)(x)(g \circ f)(x) fonksiyonlarının kuralları bulunur. f(g(x))=3(2x−5)+k=6x−15+kf(g(x)) = 3(2x - 5) + k = 6x - 15 + k ve g(f(x))=2(3x+k)−5=6x+2k−5g(f(x)) = 2(3x + k) - 5 = 6x + 2k - 5 elde edilir. Bu iki ifadenin farkı (6x−15+k)−(6x+2k−5)=−k−10(6x - 15 + k) - (6x + 2k - 5) = -k - 10 olur. Bu fark 2'ye eşitlendiğinde −k−10=2-k - 10 = 2 denklemi elde edilir ve buradan k=−12k = -12 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonunun kuralını bulmak için f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(x)g(x) yazılır.
(f∘g)(x)=f(g(x))=3(2x−5)+k=6x−15+k(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(2x - 5) + k = 6x - 15 + k
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, dıştaki fonksiyona içteki fonksiyonun kuralı girdi olarak yazılmalıdır.
2
(g∘f)(x)(g \circ f)(x) bileşke fonksiyonunun kuralını bulmak için g(x)g(x) fonksiyonunda xx yerine f(x)f(x) yazılır.
(g∘f)(x)=g(f(x))=2(3x+k)−5=6x+2k−5(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2(3x + k) - 5 = 6x + 2k - 5
Bileşke fonksiyon işlem sırasına göre, dıştaki g fonksiyonuna içteki f fonksiyonunun kuralı girdi olarak yazılmalıdır.
3
Elde edilen iki bileşke fonksiyonun farkı alınarak verilen eşitliğe yazılır ve kk değeri çözülür.
(f∘g)(x)−(g∘f)(x)=(6x−15+k)−(6x+2k−5)=−k−10=2  ⟹  k=−12(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = (6x - 15 + k) - (6x + 2k - 5) = -k - 10 = 2 \implies k = -12
Verilen (f∘g)(x)−(g∘f)(x)=2(f \circ g)(x) - (g \circ f)(x) = 2 eşitliğini sağlamak için cebirsel sadeleştirme ve denklem çözümü yapılması gerekir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların kurallarını bulma ve bileşke işleminde sıranın önemini kavrama.
Bileşke Fonksiyon Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin