Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek ve Çift Sayılar

Aslı, Banu ve Cemal'in ellerindeki kart sayıları sırasıyla aa, bb ve cc pozitif tam sayılarıdır.

* Aslı kartlarının yarısını Banu'ya verirse, Banu'nun kart sayısı tek sayı oluyor.
* Banu kartlarının üçte birini Cemal'e verirse, Cemal'in kart sayısı çift sayı oluyor.

Buna göre,

I. b+cb + c
II. a+b+ca + b + c
III. a⋅b+ca \cdot b + c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Birinci ve ikinci ifadeler her zaman çift sayıdır. bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlendiğinde, toplamları olan b+cb + c ifadesinin daima çift olduğu ortaya çıkar. aa sayısının da çift olduğu bilindiğinden, a+b+ca + b + c toplamı da iki çift sayının toplamı olarak daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bölme işlemlerinden değişkenlerin temel özelliklerini belirleme
aa sayısı çift sayıdır ve bb sayısı 3'ün katı olan bir pozitif tam sayıdır.
Aslı kartlarının yarısını (a/2a/2), Banu ise kartlarının üçte birini (b/3b/3) verebildiğine göre kart sayıları tam sayı olmalıdır.
2
Birinci ifadeden elde edilen parite ilişkisini kurma
b+a2b + \frac{a}{2} toplamı tek sayıdır.
Aslı kartlarının yarısını Banu'ya verdiğinde Banu'nun yeni kart sayısı tek sayı olmaktadır.
3
İkinci ifadeden elde edilen parite ilişkisini kurma
c+b3c + \frac{b}{3} toplamı çift sayıdır.
Banu kartlarının üçte birini Cemal'e verdiğinde Cemal'in yeni kart sayısı çift sayı olmaktadır.
4
bb ve cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını ilişkilendirme
bb ve cc sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır. Yani ikisi de aynı anda tek veya ikisi de aynı anda çifttir.
b=3mb = 3m (mm tam sayı) olsun. Bu durumda bb ile mm aynı paritededir. İkinci adımdan, c+mc + m çift olduğuna göre cc ile mm aynı paritededir. Dolayısıyla bb ile cc aynı paritededir.
5
Önermeleri tek tek analiz etme
I. b+cb+c toplamı daima çifttir. II. a+b+ca+b+c toplamı daima çifttir. III. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi ise her zaman çift değildir.
bb ve cc aynı paritede olduğundan toplamları b+cb+c daima çifttir. aa çift olduğundan a+(b+c)a+(b+c) da daima çifttir. Ancak a/2a/2 çift ise bb ve cc tek olur, bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c tek olur. a/2a/2 tek ise bb ve cc çift olur, bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c çift olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayılarda toplama, çarpma işlemleri ve bölme içeren tam sayı koşullarının analiz edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru