Examkin

Soru

Zorluk: ZorPolinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri
Katsayıları gerçel sayılardan oluşan P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının dereceleri sırasıyla pp ve qq'dur. Bu polinomlar arasında
der[P(x⋅Q(x))]=24\text{der}[P(x \cdot Q(x))] = 24
der[P(x2)Q3(x)]=10\text{der}\left[ \frac{P(x^2)}{Q^3(x)} \right] = 10
ilişkileri bulunmaktadır.
Buna göre, P(x)P(x) polinomunun terimlerinde yer alan x36m−3x^{\frac{36}{m - 3}} ve x14−mx^{14 - m} ifadelerindeki mm tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 21Cevap
  4. D
    28
  5. E
    43

Cevap

Ortak m tam sayı değerlerinin toplamı olan 21 sayısıdır.
Derece denklemlerinin çözümünden elde edilen p=8p = 8 derecesi sınırında, her iki terimin üssünün de [0,8][0, 8] aralığında birer doğal sayı olmasını sağlayan ortak mm değerleri 99 ve 1212 olup, bu değerlerin toplamı doğru seçenekteki gibi 2121'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların dereceleri olan pp ve qq değerlerini bulmak için derece denklemleri kurulur.
Birinci denklemden: der[P(x⋅Q(x))]=p⋅(q+1)=24\text{der}[P(x \cdot Q(x))] = p \cdot (q + 1) = 24
İkinci denklemden: der[P(x2)/Q3(x)]=2p−3q=10\text{der}[P(x^2) / Q^3(x)] = 2p - 3q = 10
elde edilir.
Bileşke, çarpım ve bölüm işlemlerinin derece üzerindeki kurallarını uygulamak için.
2
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülür.
2p−3q=10  ⟹  p=3q+1022p - 3q = 10 \implies p = \frac{3q + 10}{2} ifadesi ilk denklemde yerine yazılır:
3q+102(q+1)=24  ⟹  (3q+10)(q+1)=48  ⟹  3q2+13q−38=0\frac{3q + 10}{2} (q + 1) = 24 \implies (3q + 10)(q + 1) = 48 \implies 3q^2 + 13q - 38 = 0
(3q+19)(q−2)=0(3q + 19)(q - 2) = 0 denkleminin pozitif tam sayı kökü q=2q = 2'dir.
Buradan p=3(2)+102=8p = \frac{3(2) + 10}{2} = 8 olarak bulunur.
Polinomların derecelerini tam olarak belirlemek için.
3
Birinci terim olan x36m−3x^{\frac{36}{m - 3}} ifadesinin üssünün polinom tanımına ve derece sınırına uygunluğu incelenir.
Polinom tanımına göre üs bir doğal sayı olmalı ve dereceyi (88) aşmamalıdır.
0≤36m−3≤80 \le \frac{36}{m - 3} \le 8
Buna göre 36m−3\frac{36}{m - 3} ifadesi 3636'nın 88 veya daha küçük pozitif bölenleri olmalıdır. Bu bölenler {1,2,3,4,6}\{1, 2, 3, 4, 6\}'dır.
m−3m - 3 değerleri sırasıyla {36,18,12,9,6}\{36, 18, 12, 9, 6\} olur.
Buradan m∈{39,21,15,12,9}m \in \{39, 21, 15, 12, 9\} elde edilir.
İlk terimin üssünün geçerli bir polinom terimi oluşturma şartlarını uygulamak için.
4
İkinci terim olan x14−mx^{14 - m} ifadesinin üssünün polinom tanımına ve derece sınırına uygunluğu incelenir.
Üs doğal sayı olmalı ve dereceyi (88) aşmamalıdır.
0≤14−m≤8  ⟹  6≤m≤140 \le 14 - m \le 8 \implies 6 \le m \le 14
elde edilir.
İkinci terimin üssünün geçerli bir polinom terimi oluşturma şartlarını uygulamak için.
5
Her iki terim için bulunan mm değerlerinin kesişimi alınarak toplam bulunur.
m∈{39,21,15,12,9}m \in \{39, 21, 15, 12, 9\} ve 6≤m≤146 \le m \le 14 koşullarını birlikte sağlayan mm değerleri {9,12}\{9, 12\}'dir.
Bu değerlerin toplamı 9+12=219 + 12 = 21 olarak hesaplanır.
Polinomun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olmasını sağlayan ortak mm değerlerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Polinom derecesi özellikleri ve polinom olabilme şartı (üslerin doğal sayı olması ve dereceyi aşmaması)
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru