Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

Bir kırtasiyedeki üç farklı rafta bulunan kitap sayıları sırasıyla aa, bb ve cc tam sayılarıdır. Bu kitap sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Üç raftaki toplam kitap sayısı çift bir sayıdır.
* Birinci ve ikinci raftaki kitap sayılarının çarpımı ile üçüncü raftaki kitap sayısının toplamı tek bir sayıdır.

Buna göre,

I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c
II. a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a
III. (a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1)

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIICevap
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü öncüllerdeki ifadeler her zaman çift sayıdır.
Birinci öncüldeki üç sayının çarpımı, tüm durumlarda en az bir çift sayı barındırdığı için daima çifttir. Üçüncü öncülde ise her üç durumda da en az bir sayı tek olduğundan, bu sayının bir fazlası çift olacak ve çarpımın sonucunu çift yapacaktır. Bu nedenle birinci ve üçüncü öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri teklik ve çiftlik kurallarına göre matematiksel ifadelere dönü��türmek.
a+b+c≡0(mod2)a + b + c \equiv 0 \pmod 2 ve a⋅b+c≡1(mod2)a \cdot b + c \equiv 1 \pmod 2 bağıntıları elde edilir.
Sayıların teklik-çiftlik özelliklerini cebirsel olarak analiz edebilmek için denklem sistemini kurmamız gerekir.
2
cc değişkenini yalnız bırakarak diğer denklemde yerine yazmak.
c≡a+b(mod2)c \equiv a + b \pmod 2 olduğundan, bu ifade ikinci denklemde yerine yazıldığında a⋅b+a+b≡1(mod2)a \cdot b + a + b \equiv 1 \pmod 2 elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak aa ve bb tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirlemeyi kolaylaştırmak.
3
a⋅b+a+b≡1(mod2)a \cdot b + a + b \equiv 1 \pmod 2 ifadesini sağlayan aa ve bb değerlerini incelemek.
Bu ifadeyi sağlayan üç durum vardır:
1. Durum: aa çift, bb tek ise cc tek olur.
2. Durum: aa tek, bb çift ise cc tek olur.
3. Durum: aa tek, bb tek ise cc çift olur.
aa, bb ve cc tam sayılarının alabileceği tüm teklik-çiftlik olasılıklarını belirlemek.
4
Elde edilen üç durumu öncüllerdeki ifadelere uygulayarak teklik-çiftlik durumlarını incelemek.
I. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımında her üç durumda da en az bir değişken çift olduğundan sonuç daima çifttir.
II. a⋅b+b⋅c+c⋅aa \cdot b + b \cdot c + c \cdot a ifadesi her üç durumda da tek sayı sonucunu verir.
III. (a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1) çarpımında, her durumda değişkenlerden en az biri tek sayı olduğundan, bu değişkenin 1 fazlası çift sayı olur ve çarpımı çift yapar.
Öncüllerin her zaman çift olup olmadığını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik ve çiftlik özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru