Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,

a⋅b+b⋅ca \cdot b + b \cdot c

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. ab+ca^b + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir tek sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerinin yer aldığı seçenek doğrudur. Çünkü b·(a+c) ifadesi tek sayı olduğundan hem b hem de a+c tektir. Buradan a+c her zaman tektir (birinci öncül doğru). a ve c'den biri tek diğeri çift olmalıdır. b tek olduğundan, a·b + c ifadesi her iki durumda da (a tek iken a·b+c = tek·tek + çift = tek; a çift iken a·b+c = çift·tek + tek = tek) tek sayı olur (ikinci öncül doğru). Ancak b sayısı negatif bir tek sayı (örneğin -1) olabileceğinden a^b tam sayı olmayabilir ve bu durumda teklik-çiftlikten bahsedilemez (üçüncü öncül her zaman doğru değildir).

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin çarpanlarına ayrılması ve teklik-çiftlik durumunun belirlenmesi
a⋅b+b⋅c=b(a+c)a \cdot b + b \cdot c = b(a+c) ifadesi tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan bb tek sayı ve a+ca+c tek sayı olarak bulunur.
Çarpımın sonucunun tek sayı olabilmesi için gerekli koşulu uygulamak.
2
Birinci öncülün (a+ca+c) incelenmesi
Birinci adımda a+ca+c ifadesinin tek sayı olduğu doğrudan bulunmuştur. Dolayısıyla I. öncül her zaman tek sayıdır.
Bulunan temel sonuç ile birinci öncülü karşılaştırmak.
3
İkinci öncülün (a⋅b+ca \cdot b + c) incelenmesi
a+ca+c tek sayı olduğundan aa ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
- Durum 1: aa tek, cc çift ve bb tek ise; a⋅b+c=tek⋅tek+c¸ift=tek+c¸ift=teka \cdot b + c = \text{tek} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur.
- Durum 2: aa çift, cc tek ve bb tek ise; a⋅b+c=c¸ift⋅tek+tek=c¸ift+tek=teka \cdot b + c = \text{çift} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} olur. Her iki durumda da a⋅b+ca \cdot b + c ifadesi tek sayıdır.
aa ve cc değişkenlerinin olası teklik-çiftlik durumlarını yerine koyarak ifadenin sonucunu analiz etmek.
4
Üçüncü öncülün (ab+ca^b + c) incelenmesi ve negatif üs durumunun sorgulanması
a,ba, b ve cc tam sayılar olarak tanımlandığı için bb negatif bir tek sayı olabilir (örneğin b=−1b = -1). Bu durumda ab=a−1=1aa^b = a^{-1} = \frac{1}{a} ifadesi a≠1a \neq 1 ve a≠−1a \neq -1 için bir tam sayı belirtmez. Dolayısıyla ab+ca^b + c ifadesi her zaman tek sayı veya çift sayı olarak sınıflandırılamaz.
Tam sayılar kümesinde negatif üslerin rasyonel sayılara yol açabileceğini göz önünde bulundurmak.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler ve Kuvvet Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru