Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
* a2+b⋅ca^2 + b \cdot c ifadesinin bir çift sayı,
* b2+a⋅cb^2 + a \cdot c ifadesinin bir tek sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. a⋅b+ca \cdot b + c
II. ac+ca^c + c
III. (a+b)⋅c(a + b) \cdot c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III
Doğru olan ifadeler I ve III'tür. Verilen denklemlerden yola çıkılarak yapılan analizde a sayısının çift, b sayısının tek ve c sayısının çift olduğu kesin olarak bulunur. Birinci öncülde çift ile tekin çarpımı çift, buna çift eklenirse sonuç çift olur. Üçüncü öncülde c sayısı çift olduğundan, parantez içi ne olursa olsun (tam sayı olmak kaydıyla) sonuç çift olur. İkinci öncülde ise üs negatif olabileceğinden teklik-çiftlik garantisi yoktur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik ve çiftlik durumlarını analiz ederek a, b ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleyin.
a^2 + bc çift ve b^2 + ac tek olarak verilmiştir. Eğer a tek sayı olsaydı, a^2 tek olurdu. Toplamın çift olması için bc tek olmalı, yani hem b hem de c tek olmalıdır. Bu durumda b^2 + ac ifadesi (tek)^2 + tek.tek = tek + tek = çift olurdu, fakat bu ifade tek olarak verilmiştir. Dolayısıyla a çift sayı olmak zorundadır. a çift ise ac çifttir. b^2 + ac tek olduğundan b^2 tek, yani b tek sayı olmalıdır. a^2 + bc çift ve a^2 çift olduğundan bc çift olmalıdır; b tek olduğundan c çift sayı olmalıdır. Sonuç olarak: a çift, b tek, c çift olmalıdır.
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek, öncülleri doğru değerlendirmek için ilk ve en kritik adımdır.
2
Birinci öncülü (a.b + c) kontrol edin.
a çift, b tek ve c çift olduğundan, a.b + c = (çift . tek) + çift = çift + çift = çift olur. a, b ve c tam sayı olduğundan bu sonuç her zaman bir çift tam sayıdır.
Birinci öncülün doğruluğunu test etmek.
3
İkinci öncülü (a^c + c) kontrol edin.
a çift ve c çift tam sayılardır. Ancak c negatif bir çift tam sayı olabilir (örneğin c = -2, a = 2). Bu durumda 2^(-2) + (-2) = 1/4 - 2 = -7/4 ifadesi bir tam sayı olmadığından teklik veya çiftliğinden söz edilemez.
İkinci öncüldeki kuvvetin negatif olma durumunu (tam sayı tanımını) test etmek.
4
Üçüncü öncülü ((a + b).c) kontrol edin.
a çift, b tek olduğundan a+b tek tam sayıdır. c çift tam sayı olduğundan, (a+b).c ifadesi (tek . çift) = çift olur. Sonuç her zaman bir çift tam sayıdır.
Üçüncü öncülün doğruluğunu test etmek.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özelliklerinde tam sayı tanımı ve negatif üs durumunun incelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru