Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
- a⋅b−ca \cdot b - c ve a⋅c−ba \cdot c - b sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.
- a+b+ca + b + c toplamı tek sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. ab+ca^b + c
II. a⋅b+ca \cdot b + c
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c)
ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız II
  2. Yalnız IIICevap
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

Yalnız III ifadesi her zaman çift sayıdır.
Üçüncü ifadede b çift tam sayı olduğunda çarpım çift sayıdır. b tek tam sayı olduğunda ise c çift olmak zorundadır. a çift sayı olduğundan a + c toplamı da çift olur ve tek sayı ile çift sayının çarpımı yine çift sayı sonucunu verir. Bu durum her zaman geçerlidir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifadenin toplamının paritesini inceleyelim.
(a⋅b−c)+(a⋅c−b)=a(b+c)−(b+c)=(a−1)(b+c)(a \cdot b - c) + (a \cdot c - b) = a(b + c) - (b + c) = (a - 1)(b + c) elde edilir. Biri tek diğeri çift olan iki sayının toplamı her zaman tektir. Buradan (a−1)(b+c)(a - 1)(b + c) çarpımının tek sayı olduğu anlaşılır.
Toplama işleminin sonucundan yararlanarak ortak paranteze alma ve teklik-çiftlik kurallarını uygulamak için bu adım yapılır.
2
Çarpımın sonucunun tek sayı olmasından çarpanların durumlarını belirleyelim.
Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan a−1a - 1 tektir, yani aa çift sayıdır. Ayrıca b+cb + c tektir, yani bb ve cc sayılarından biri tek iken diğeri çift sayıdır.
Çarpma işleminde sonucun tek sayı olmasının tek yolu çarpanların her ikisinin de tek sayı olmasıdır.
3
Verilen ikinci koşul ile durumları uyumluluğunu kontrol edelim.
a+b+ca + b + c toplamında aa çift, bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan toplam c¸ift+tek+c¸ift=tek\text{çift} + \text{tek} + \text{çift} = \text{tek} olur. Bu durum, verilen ikinci koşul olan toplamın tek sayı olması şartını doğrular.
Bulunan teklik-çiftlik durumlarının soruda verilen diğer bilgilerle çelişip çelişmediğini kontrol etmek amacıyla uygulanır.
4
Öncülleri tek tek değerlendirelim.
I. ab+ca^b + c ifadesinde bb değişkeni negatif bir tam sayı (örneğin b=−2b = -2) seçilirse ab=a−2a^b = a^{-2} ifadesi rasyonel sayı olur ve tam sayılar kümesinde teklik-çiftlik aranmaz.
II. a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinde bb çift ve cc tek seçildiğinde sonuç c¸ift⋅c¸ift+tek=tek\text{çift} \cdot \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} çıkar.
III. b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinde bb çift ise sonuç çifttir. bb tek ise cc çift olur, aa zaten çift olduğundan a+ca+c toplamı çift olur ve tek ile çiftin çarpımından sonuç yine çift bulunur. Dolayısıyla sadece üçüncü ifade her zaman çift sayıdır.
Her bir öncülün tüm tam sayı olasılıkları altındaki davranışı incelenerek kesin sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile rasyonel sayı üreten negatif üs durumunun analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru