Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc tam sayıları için
a⋅b−ca \cdot b - c
ifadesinin bir çift sayı,
b+cb + c
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. a+ba + b
II. b⋅cb \cdot c
III. a−ca - c

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
Verilen ifadeler analiz edildiğinde, bb ve cc sayılarının zıt pariteye sahip olması gerektiği bulunur. a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin çift olması koşulundan yola çıkılarak bb çift ve cc tek olduğunda çelişki oluştuğu görülür. Bu nedenle bb tek, cc çift ve aa çift olmalıdır. Bu değerler yerine konulduğunda II. ve III. ifadelerin her zaman çift sayı olduğu anlaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
b+cb + c toplamının tek sayı olma durumlarını belirlemek.
bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çift olmalıdır. Buradan iki durum elde edilir:
1. Durum: bb tek ve cc çift
2. Durum: bb çift ve cc tek
İki tam sayının toplamının tek sayı olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
2
a⋅b−ca \cdot b - c ifadesinin çift sayı olma koşulunu kullanarak durumları analiz etmek.
2. Durum incelenirse (bb çift, cc tek); a⋅b−ca \cdot b - c ifadesi, a⋅c¸ift−tek=c¸ift−tek=teka \cdot \text{çift} - \text{tek} = \text{çift} - \text{tek} = \text{tek} olur. Bu durum, ifadenin çift olması koşuluyla çelişir. Dolayısıyla 2. Durum elenir.

1. Durum geçerlidir (bb tek, cc çift); bu durumda a⋅b−ca \cdot b - c ifadesi, a⋅tek−c¸ift=c¸ifta \cdot \text{tek} - \text{çift} = \text{çift} olmalıdır. Buradan a⋅tek=c¸ifta \cdot \text{tek} = \text{çift} elde edilir. Bir çarpımın çift olabilmesi için çarpanlardan en az birinin çift olması gerektiğinden, aa sayısı çift olmalıdır.
Her iki koşulu da sağlayan tek bir durum olduğunu göstermek ve aa, bb, cc değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını kesinleştirmek.
3
Elde edilen aa çift, bb tek ve cc çift sonuçlarına göre öncülleri değerlendirmek.
I. a+b=c¸ift+tek=teka + b = \text{çift} + \text{tek} = \text{tek} (Her zaman tektir).
II. b⋅c=tek⋅c¸ift=c¸iftb \cdot c = \text{tek} \cdot \text{çift} = \text{çift} (Her zaman çifttir).
III. a−c=c¸ift−c¸ift=c¸ifta - c = \text{çift} - \text{çift} = \text{çift} (Her zaman çifttir).
Öncüllerin teklik-çiftlik durumlarını kesin olarak belirleyip doğru seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin teklik ve çiftlik özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru