Examkin

Soru

Zorluk: ZorKombinasyon

Bir şirketin staj programı kapsamında işe alınan birbirinden farklı 77 stajyer; AA, BB ve CC departmanlarına yerleştirilecektir. Yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her departmana en az bir stajyer yerleştirilecektir.
* AA departmanına yerleştirilen stajyer sayısı, BB departmanına yerleştirilen stajyer sayısından fazla olacaktır.

Buna göre, bu 77 stajyer departmanlara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

  1. A
    357357
  2. B
    462462
  3. 707707Cevap
  4. D
    12601260
  5. E
    18061806

Cevap

Verilen koşullara uyan toplam stajyer yerleştirme sayısı 707707 olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen 707707 değeri, verilen tüm koşulları sağlayan farklı yerleştirme durumlarının kombinasyon hesaplamalarının toplamıdır. Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi ve AA departmanındaki stajyer sayısının BB'dekinden fazla olması koşuluyla stajyerler departmanlara (2,1,4)(2, 1, 4), (3,1,3)(3, 1, 3), (4,1,2)(4, 1, 2), (5,1,1)(5, 1, 1), (3,2,2)(3, 2, 2) ve (4,2,1)(4, 2, 1) şeklinde gruplandırılabilir. Bu grupların seçim sayıları sırasıyla 105105, 140140, 105105, 4242, 210210 ve 105105 olup, toplamları 707707'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Stajyerlerin departmanlara göre dağılım sayılarını belirlemek için a+b+c=7a + b + c = 7 denklemini sağlayan pozitif tam sayı üçl��lerini (a,b,ca, b, c) bulmak.
Burada aa, bb ve cc sırasıyla AA, BB ve CC departmanlarına yerleştirilecek stajyer sayılarını göstermektedir.
Sorudaki departmanlara yerleştirilecek kişi sayılarını gruplandırmak için bu denklem kurulmalıdır.
2
Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi (a,b,c≥1a, b, c \ge 1) ve AA'daki stajyer sayısının BB'dekinden fazla olması (a>ba > b) koşullarına uyan tüm durumları listelemek.
Koşulları sağlayan (a,b,ca, b, c) dağılımları şunlard��r: (2,1,4)(2, 1, 4), (3,1,3)(3, 1, 3), (4,1,2)(4, 1, 2), (5,1,1)(5, 1, 1), (3,2,2)(3, 2, 2) ve (4,2,1)(4, 2, 1).
Farklı durumların kombinasyonlarını ayrı ayrı hesaplayabilmek için geçerli say�� gruplarını belirlememiz gerekir.
3
Belirlenen her durum için stajyerlerin departmanlara seçim (kombinasyon) sayılarını hesaplamak.
Her bir durumun hesaplaması şu şekildedir:
- (2,1,4)(2, 1, 4) için: (72)×(51)×(44)=21×5×1=105\binom{7}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{4} = 21 \times 5 \times 1 = 105
- (3,1,3)(3, 1, 3) için: (73)×(41)×(33)=35×4×1=140\binom{7}{3} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{3} = 35 \times 4 \times 1 = 140
- (4,1,2)(4, 1, 2) için: (74)×(31)×(22)=35×3×1=105\binom{7}{4} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 35 \times 3 \times 1 = 105
- (5,1,1)(5, 1, 1) için: (75)×(21)×(11)=21×2×1=42\binom{7}{5} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 21 \times 2 \times 1 = 42
- (3,2,2)(3, 2, 2) için: (73)×(42)×(22)=35×6×1=210\binom{7}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = 35 \times 6 \times 1 = 210
- (4,2,1)(4, 2, 1) için: (74)×(32)×(11)=35×3×1=105\binom{7}{4} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 35 \times 3 \times 1 = 105
Kişler farklı olduğundan, her bir departmana hangi kişilerin yerleştirileceğini kombinasyon formülü (nr)=n!r!(n−r)!\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} ile seçmeliyiz.
4
Elde edilen tüm durumların kombinasyon değerlerini toplamak.
105+140+105+42+210+105=707105 + 140 + 105 + 42 + 210 + 105 = 707 farklı yerleştirme şekli bulunur.
Durumlar birbirinden bağımsız (ayrık) olduğu için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Grup Oluşturma ve Kısıtlı Dağılım)
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru