Examkin

Kombinasyon

17 soru

Tüm türler17Çoktan seçmeli10Sayısal7
Soru 1Soru →

Bir e-ticaret sitesi, üyelerine tanımladığı 99 farklı kupon arasından 44'ünü seçerek bir kampanya paketi oluşturma hakkı vermiştir. Bu kuponların 33'ü kargo bedava kuponu, diğerleri ise alışveriş indirim kuponudur.

Buna göre, içinde en az bir tane kargo bedava kuponu bulunan 44 kuponluk bir kampanya paketi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 111111

Cevap

İçinde en az bir kargo bedava kuponu bulunan 44 kuponluk paket 111111 farklı şekilde oluşturulabilir.
İçinde en az bir kargo bedava kuponu bulunan 44'lü paketlerin sayısını bulmak için tüm olası 44'lü kupon seçimlerinin sayısından, içinde hiç kargo bedava kuponu bulunmayan durumların sayısını çıkarırız. Tüm seçimlerin sayısı (94)=126\binom{9}{4} = 126, sadece indirim kuponlarından yapılan seçimlerin sayısı ise (64)=15\binom{6}{4} = 15 olduğundan, doğru cevap 126−15=111126 - 15 = 111 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kupon gruplarının belirlenmesi
Toplam 99 kupondan 33'ü kargo bedava kuponu ise geri kalan 9−3=69 - 3 = 6 kupon alışveriş indirim kuponudur.
Kısıtlamaya uygun seçim gruplarını netleştirmek için kupon türlerini ayrıştırıyoruz.
2
Tüm olası 44'lü seçimlerin hesaplanması
(94)=9×8×7×64×3×2×1=126\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 farklı seçim yapılabilir.
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma (tümleyen) yöntemini uygulamak amacıyla kısıtlamasız seçim sayısını buluyoruz.
3
İstenmeyen durumların (hiç kargo bedava kuponu bulunmayan durumlar) hesaplanması
(64)=(62)=6×52×1=15\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 farklı seçim yapılabilir.
Seçilen 44 kuponun da sadece indirim kuponlarından (66 kupon arasından) seçildiği durumları belirlemek için.
4
İstenen durum sayısının bulunması
126−15=111126 - 15 = 111 farklı paket oluşturulabilir.
Tüm olası durumların sayısından istenmeyen durumların sayısını çıkararak en az bir kargo bedava kuponu içeren durumları buluruz.

Anahtar Kavram

Kombinasyonda Tümleyen (Ters Durum) Yöntemi ile Seçim

Alternatif Yöntem

Doğrudan gruplama yöntemiyle de çözülebilir:
- 11 kargo bedava ve 33 indirim kuponu: (31)×(63)=3×20=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60
- 22 kargo bedava ve 22 indirim kuponu: (32)×(62)=3×15=45\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 3 \times 15 = 45
- 33 kargo bedava ve 11 indirim kuponu: (33)×(61)=1×6=6\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 1 \times 6 = 6
Toplam: 60+45+6=11160 + 45 + 6 = 111 farklı durum elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

Bir şirketin staj programı kapsamında işe alınan birbirinden farklı 77 stajyer; AA, BB ve CC departmanlarına yerleştirilecektir. Yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her departmana en az bir stajyer yerleştirilecektir.
* AA departmanına yerleştirilen stajyer sayısı, BB departmanına yerleştirilen stajyer sayısından fazla olacaktır.

Buna göre, bu 77 stajyer departmanlara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 707707

Cevap

Verilen koşullara uyan toplam stajyer yerleştirme sayısı 707707 olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen 707707 değeri, verilen tüm koşulları sağlayan farklı yerleştirme durumlarının kombinasyon hesaplamalarının toplamıdır. Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi ve AA departmanındaki stajyer sayısının BB'dekinden fazla olması koşuluyla stajyerler departmanlara (2,1,4)(2, 1, 4), (3,1,3)(3, 1, 3), (4,1,2)(4, 1, 2), (5,1,1)(5, 1, 1), (3,2,2)(3, 2, 2) ve (4,2,1)(4, 2, 1) şeklinde gruplandırılabilir. Bu grupların seçim sayıları sırasıyla 105105, 140140, 105105, 4242, 210210 ve 105105 olup, toplamları 707707'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Stajyerlerin departmanlara göre dağılım sayılarını belirlemek için a+b+c=7a + b + c = 7 denklemini sağlayan pozitif tam sayı üçl��lerini (a,b,ca, b, c) bulmak.
Burada aa, bb ve cc sırasıyla AA, BB ve CC departmanlarına yerleştirilecek stajyer sayılarını göstermektedir.
Sorudaki departmanlara yerleştirilecek kişi sayılarını gruplandırmak için bu denklem kurulmalıdır.
2
Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi (a,b,c≥1a, b, c \ge 1) ve AA'daki stajyer sayısının BB'dekinden fazla olması (a>ba > b) koşullarına uyan tüm durumları listelemek.
Koşulları sağlayan (a,b,ca, b, c) dağılımları şunlard��r: (2,1,4)(2, 1, 4), (3,1,3)(3, 1, 3), (4,1,2)(4, 1, 2), (5,1,1)(5, 1, 1), (3,2,2)(3, 2, 2) ve (4,2,1)(4, 2, 1).
Farklı durumların kombinasyonlarını ayrı ayrı hesaplayabilmek için geçerli say�� gruplarını belirlememiz gerekir.
3
Belirlenen her durum için stajyerlerin departmanlara seçim (kombinasyon) sayılarını hesaplamak.
Her bir durumun hesaplaması şu şekildedir:
- (2,1,4)(2, 1, 4) için: (72)×(51)×(44)=21×5×1=105\binom{7}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{4} = 21 \times 5 \times 1 = 105
- (3,1,3)(3, 1, 3) için: (73)×(41)×(33)=35×4×1=140\binom{7}{3} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{3} = 35 \times 4 \times 1 = 140
- (4,1,2)(4, 1, 2) için: (74)×(31)×(22)=35×3×1=105\binom{7}{4} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 35 \times 3 \times 1 = 105
- (5,1,1)(5, 1, 1) için: (75)×(21)×(11)=21×2×1=42\binom{7}{5} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 21 \times 2 \times 1 = 42
- (3,2,2)(3, 2, 2) için: (73)×(42)×(22)=35×6×1=210\binom{7}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = 35 \times 6 \times 1 = 210
- (4,2,1)(4, 2, 1) için: (74)×(32)×(11)=35×3×1=105\binom{7}{4} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 35 \times 3 \times 1 = 105
Kişler farklı olduğundan, her bir departmana hangi kişilerin yerleştirileceğini kombinasyon formülü (nr)=n!r!(n−r)!\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} ile seçmeliyiz.
4
Elde edilen tüm durumların kombinasyon değerlerini toplamak.
105+140+105+42+210+105=707105 + 140 + 105 + 42 + 210 + 105 = 707 farklı yerleştirme şekli bulunur.
Durumlar birbirinden bağımsız (ayrık) olduğu için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Grup Oluşturma ve Kısıtlı Dağılım)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →

Bir düzlemde bulunan bir çember üzerinde 55 farklı nokta, bu çemberin dışındaki bir dd doğrusu üzerinde ise 44 farklı nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu 99 noktadan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8080

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen 80 farklı ü��gen çizilebilir.
Toplam 9 noktadan herhangi 3'ünün seçimiyle elde edilen 84 durumdan, aynı d doğrusu üzerinde bulunan 4 noktadan seçilen ve üçgen belirtmeyen 4 durum çıkarıldığında 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı ile doğrusal nokta sayısını belirleme.
Çember üzerinde 5 nokta, dd doğrusu üzerinde ise 4 doğrusal nokta olmak üzere toplam 9 nokta vardır.
Herhangi üçü doğrusal olmayan noktalardan üçgen oluşturabilmek için toplam ve doğrusal nokta sınırlarını netleştirmek gerekir.
2
Sınırlama olmaksızın 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını kombinasyon ile hesaplama.
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 farklı seçim.
Oluşabilecek maksimum 3'lü nokta gruplarının sayısını bulmak için tüm noktaların kombinasyonu alınır.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan doğrusal noktaların 3'lü seçimlerini hesaplayıp tüm durumlardan çıkarma.
Doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen 3 nokta doğrusal olduğundan üçgen oluşturmaz. Bu durumun sayısı (43)=4\binom{4}{3} = 4 adettir. Buradan çizilebilecek üçgen sayısı: 84−4=8084 - 4 = 80 olarak bulunur.
Doğrusal noktalar üçgen oluşturamayacağından, bu geçersiz durumların toplam durum sayısından çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Geometrik Şekil Oluşturma
Soru 4Soru →

Bir kitaplıkta bulunan 55 farklı roman ve 33 farklı şiir kitabı arasından; 22 roman ve 11 şiir kitabı seçilecektir. Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kitaplıktan 22 roman ve 11 şiir kitabı 3030 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim işlemi sırasız gruplandırma içerdiğinden kombinasyon kullanılır. 55 romandan 22'si (52)=10\binom{5}{2} = 10 yolla, 33 şiir kitabından 11'i ise (31)=3\binom{3}{1} = 3 yolla seçilir. Bu seçimler eş zamanlı yapıldığından çarpım kuralı uygulanarak 10×3=3010 \times 3 = 30 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
55 farklı roman arasından 22 roman seçimi yapılır.
(52)=5!2!⋅3!=10\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 farklı seçim.
Gruptan sırasız eleman seçmek için kombinasyon kullanılır.
2
33 farklı şiir kitabı arasından 11 şiir kitabı seçimi yapılır.
(31)=3\binom{3}{1} = 3 farklı seçim.
33 elemanlı bir kümeden 11 eleman seçmek için kombinasyon kullanılır.
3
Elde edilen seçimlerin sayıları çarpılır.
10×3=3010 \times 3 = 30 farklı seçim.
Roman ve şiir kitaplarının seçimi eş zamanlı ve birbirine bağlı işlemler olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçme) ve çarpma yoluyla sayma kuralı.
Soru 5Soru →

Bir hastanede çalışan 55 doktor ve 55 hemşire arasından 55 kişilik bir acil müdahale ekibi oluşturulacaktır. Ekip oluşturulurken aşağıdaki koşullara uyulması gerekmektedir:

* Ekipte en az 22 doktor ve en az 22 hemşire yer almalıdır.
* Doktor Ahmet ile Hemşire Ayşe arasında mesleki bir anlaşmazlık olduğundan, bu iki çalışan aynı ekipte birlikte yer almayacaktır.
* Doktor Burak ile Doktor Cem yakın arkadaş oldukları için, bu iki doktordan biri ekibe seçilecekse diğeri de mutlaka seçilmelidir.

Buna göre, bu acil müdahale ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60
Doğru cevap 60 olmalıdır. Ekipte en az 22 doktor ve en az 22 hemşire bulunması gerektiğinden, ekipler (22 doktor, 33 hemşire) veya (33 doktor, 22 hemşire) şeklinde oluşturulabilir. Burak ile Cem'in birlikte seçilmesi ya da ikisinin de seçilmemesi durumları ayrı ayrı incelenip Ahmet ile Ayşe'nin aynı anda seçilmeme kısıtı uygulandığında sırasıyla 2828 ve 3232 farklı geçerli ekip kurulabileceği görülür. Bu iki durumun toplamı 6060 farklı seçim seçeneği sunar.

Adım Adım Çözüm

1
Ekip yapısının belirlenmesi
Ekip ya 22 doktor ve 33 hemşireden ya da 33 doktor ve 22 hemşireden oluşmalıdır.
55 kişilik ekipte en az 22 doktor ve en az 22 hemşire bulunması gerektiğinden başka bir dağılım olamaz.
2
22 doktor ve 33 hemşireden oluşan ekiplerin sayısının hesaplanması
Burak ve Cem'in seçildiği durumdan 1010 yol, ikisinin de seçilmediği durumdan ise 1818 yol gelerek toplam 2828 farklı seçim bulunur.
Burak ve Cem'in seçilip seçilmeme durumlarına göre Ahmet-Ayşe kısıtlaması dikkate alınarak alt durumlar toplanır.
3
33 doktor ve 22 hemşireden oluşan ekiplerin sayısının hesaplanması
Burak ve Cem'in seçildiği durumdan 2626 yol, ikisinin de seçilmediği durumdan ise 66 yol gelerek toplam 3232 farklı seçim bulunur.
Burak ve Cem'in birlikte seçildiği ve seçilmediği durumlar ayrı ayrı incelenip Ahmet-Ayşe kısıtlaması uygulanır.
4
Toplam ekip sayısının bulunması
Toplam ekip sayısı 28+32=6028 + 32 = 60 olarak bulunur.
İki farklı ekip yapısının kombinasyonları toplama yoluyla sayma kuralı gereğince toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında koşullu grup seçimi ve durum analizi
Soru 6Soru →

Bir sınıftaki öğrenciler arasından oluşturulabilecek 22 kişilik tüm farklı temsilci gruplarının sayısı 4545 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu sınıftaki öğrenciler arasından seçilebilecek 33 kişilik bir temsilci grubu kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Seçilebilecek 3 kişilik temsilci grubu 120 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap olan 120 değeri, nn kişilik bir gruptan 2 kişinin seçilme sayısı olan (n2)=45\binom{n}{2} = 45 eşitliğinden öncelikle sınıf mevcudu n=10n = 10 olarak belirlenip, ardından bu 1010 kişiden 33 kişilik komisyonun (103)=120\binom{10}{3} = 120 şeklinde seçilmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sınıf mevcudu olan nn değerini bulmak için 2 kişilik grup sayısını veren kombinasyon formülünü kurun ve nn sayısını çekin.
(n2)=45  ⟹  n×(n−1)2=45  ⟹  n×(n−1)=90  ⟹  n=10\binom{n}{2} = 45 \implies \frac{n \times (n-1)}{2} = 45 \implies n \times (n-1) = 90 \implies n = 10
Grup seçiminde sıra önemli olmadığından kombinasyon kullanılır. İki ardışık sayının çarpımı 90 olduğundan büyük olan sayı yani sınıf mevcudu n=10n = 10 olur.
2
Bulunan 1010 kişilik sınıf mevcudunu kullanarak 33 kişilik temsilci grubunun kaç farklı şekilde seçilebileceğini hesaplayın.
(103)=10×9×83×2×1=120\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
1010 elemanlı bir kümeden sırası önemsiz 33 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçim) hesabı ve eleman sayısının belirlenmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 7Soru →

Bir çember üzerinde işaretlenmiş birbirinden farklı 66 nokta kullanılarak köşeleri bu noktalardan herhangi üçü olan en çok kaç farkl�� üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Köşeleri çember üzerindeki 66 noktadan seçilen en ��ok 2020 farklı üçgen çizilebilir.
Çember üzerindeki 66 noktadan herhangi üçü doğrusal olmadığından, bu noktalardan seçilen her 33 nokta grubu bir üçgen tanımlar. 66 noktadan 33 nokta (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde seçilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgen oluşturma koşulunu belirleme
Doğrusal olmayan 33 nokta seçilmelidir.
Çember üzerindeki tüm noktalar doğrusal olmayan konumdadır.
2
Seçimlerin sayısını hesaplama
(63)=20\binom{6}{3} = 20
66 elemanlı bir kümeden 33 elemanlı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 8Soru →

Bir üniversitenin araştırma merkezinde çalışan 77 yazılımcı arasından, bir yapay zekâ projesinde görevlendirilmek üzere 33 kişilik bir çalışma ekibi oluşturulacaktır.

Buna göre, bu çalışma ekibi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 35

Cevap

Seçim sırasız bir grup oluşturma işlemi olduğundan kombinasyon kullanılır ve 7 yazılımcı arasından 3 kişilik bir ekip 35 farklı şekilde seçilebilir.
Seçilecek ekibin üyeleri arasında herhangi bir görev veya sıra ayrımı yapılmadığı için bu bir kombinasyon problemidir. 7 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir alt küme seçimi (73)=7×6×53×2×1=35\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 farklı şekilde yapılır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin bir kombinasyon (seçim) problemi olduğunu belirlemek.
Grup oluşturulurken kişilerin seçilme sırası önemli değildir. Bu nedenle permütasyon değil, kombinasyon formülü kullanılmalıdır.
Belirli bir sayıda eleman arasından alt küme (grup) seçimi yaparken elemanların sırası önemsizdir.
2
Kombinasyon formülünü uygulamak ve sadeleştirmeleri yapmak.
(73)=7!3!×(7−3)!=7×6×53×2×1\binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \times (7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} olarak yazılır. Paydadaki 3×2×1=63 \times 2 \times 1 = 6 ifadesi pay kısmındaki 6 ile sadeleşir.
Faktöriyel sadeleştirmesi yapılarak işlem kolaylaştırılır.
3
Kalan sayıları çarparak sonucu bulmak.
7×5=357 \times 5 = 35 elde edilir.
Sadeleştirme sonrasında kalan sayıların çarpılmasıyla nihai kombinasyon sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim)

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} özelliğinden yararlanarak 3 kişilik seçimlerin sayısı (73)=(74)\binom{7}{3} = \binom{7}{4} şeklinde de düşünülebilir. Ancak (73)\binom{7}{3} ifadesini hesaplamak daha az çarpan içerdiği için daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 9Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 77 yazılım geliştirici ve 55 veri analisti arasından; en az 22 yazılım geliştirici ve en az 11 veri analistinin bulunduğu 44 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır. Ancak yazılım geliştiricilerden Ahmet ile veri analistlerinden Burcu daha önce birlikte çalışırken sorun yaşadıkları için aynı ekipte yer almak istememektedirler.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 346

Cevap

Proje ekibi 346 farklı şekilde oluşturulabilir.
En az 2 yazılım geliştirici ve en az 1 veri analisti koşuluna uyan tüm olası seçimlerin sayısı 385'tir. Bu seçimlerden Ahmet ve Burcu'nun birlikte yer aldığı ve mesleki dağılım koşullarını da sağlayan 39 durum çıkarıldığında, koşullara uygun 346 farklı ekip oluşturulabildiği görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Mesleki dağılım koşullarına göre oluşturulabilecek tüm olası durumların sayısını (Ahmet ve Burcu kısıtlamasını hesaba katmadan) belirlemek.
4 kişilik ekibin dağılımı (3 Yazılım Geliştirici, 1 Veri Analisti) veya (2 Yazılım Geliştirici, 2 Veri Analisti) şeklinde olabilir. Bu durumların toplamı: (73)⋅(51)+(72)⋅(52)=35⋅5+21⋅10=175+210=385\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{1} + \binom{7}{2} \cdot \binom{5}{2} = 35 \cdot 5 + 21 \cdot 10 = 175 + 210 = 385 olarak bulunur.
En az 2 yazılım geliştirici ve en az 1 veri analisti koşulunu sağlayan kısıtlamasız tüm durumları bulmak için.
2
Ahmet ve Burcu'nun aynı ekipte yer aldığı ve mesleki dağılım koşullarına uyan geçersiz durumların sayısını belirlemek.
Ahmet (Yazılımcı) ve Burcu (Analist) ekipte olduğunda, ekibe 2 kişi daha seçilmelidir. Grupta en az 2 yazılım geliştirici bulunması gerektiğinden, kalan 6 yazılım geliştirici ve 4 veri analisti arasından en az 1 yazılım geliştirici daha seçilmelidir. Bu seçimler (2 Yazılımcı, 0 Analist) veya (1 Yazılımcı, 1 Analist) şeklinde olabilir: (62)⋅(40)+(61)⋅(41)=15⋅1+6⋅4=15+24=39\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{0} + \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{1} = 15 \cdot 1 + 6 \cdot 4 = 15 + 24 = 39 durum bulunur.
Ahmet ve Burcu'nun birlikte bulunduğu istenmeyen durumları tüm durumlardan çıkarmak amacıyla bu durum sayısını hesaplamak gerekir.
3
Tüm durumların sayısından geçersiz durumların sayısını çıkarmak.
385−39=346385 - 39 = 346 farklı şekilde proje ekibi oluşturulabilir.
İstenen tüm kısıtlamaları sağlayan geçerli durumların sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon formülü yardımıyla kısıtlı alt küme seçimi yapma ve tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma yöntemi.
Soru 10Soru →

Bir restoranda 4 farklı çorba, 5 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı alternatifi bulunmaktadır. Bir müşteri, bu alternatifler arasından her birinden en fazla bir adet seçmek koşuluyla bir sipariş menüsü oluşturacaktır.

Müşterinin oluşturacağı bu sipariş menüsüyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Menüde en az bir çorba, en az bir ana yemek ve en az bir tatlı bulunmalıdır.
- Menüdeki toplam çorba ve tatlı sayısı en fazla 3 olmalıdır.

Buna göre, bu müşteri sipariş menüsünü kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1302

Cevap

Müşteri sipariş menüsünü 1302 farklı şekilde oluşturabilir.
Çorba ve tatlı seçimi için c+t≤3c+t \le 3 kısıtlaması altında olası (c,t)(c,t) ikilileri (1,1)(1,1), (2,1)(2,1) ve (1,2)(1,2) olup bu durumların kombinasyon toplamı 42'dir. En az bir ana yemek seçimi için boş küme hariç alt küme sayısı olan 31 seçeneği bulunur. Bağımsız seçimlerin çarpımı ile doğru sonuç 1302 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çorba ve tatlı sayıları için olası durumları belirleme.
En az birer adet çorba (c≥1c \ge 1) ve tatlı (t≥1t \ge 1) seçilmesi ve toplamlarının en fazla 3 olması (c+t≤3c+t \le 3) gerektiğinden, olası porsiyon sayıları (c,t)∈{(1,1),(2,1),(1,2)}(c,t) \in \{(1,1), (2,1), (1,2)\} olabilir.
Soruda verilen kısıtlamalara uygun çorba ve tatlı sayılarını belirlemek için.
2
Her durum için çorba ve tatlı kombinasyonlarını hesaplayıp toplama.
(41)×(31)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{1} = 12, (42)×(31)=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 18 ve (41)×(32)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 durumlarının toplamı 12+18+12=4212 + 18 + 12 = 42 olur.
Çorba ve tatlı çeşitlerinin kendi aralarında kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için.
3
Ana yemek seçimi için en az bir ana yemek kısıtlamasına uyan kombinasyon sayısını bulma.
5 farklı ana yemek arasından en az bir tanesinin seçildiği durum sayısı, tüm alt kümelerden boş kümenin çıkarılmasıyla bulunur: 25−1=312^5 - 1 = 31.
Ana yemek seçimlerinin sınırlandırılmasını hesaplamak için.
4
Çarpma yoluyla sayma kuralını uygulayarak toplam kombinasyon sayısını hesaplama.
42×31=130242 \times 31 = 1302 farklı menü oluşturulabilir.
Çorba-tatlı seçimi ile ana yemek seçimi birbirlerinden bağımsız işlemler olduğu için sonuçları çarparak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçim) kuralları ve alt küme sayısının sayma problemlerine uygulanması

Alternatif Yöntem

Toplam çorba ve tatlı seçimleri tüm durumlar üzerinden de modellenebilir. Ancak çorba ve tatlı sayılarının sınırları küçük olduğundan durumları tek tek analiz etmek işlem hatası riskini en aza indirir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
A={−3,−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

kümesinin elemanlarından çarpımları negatif olan 3 farklı sayı seçilecektir.

Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Seçimin 19 farklı şekilde yapılabileceğini belirten seçenek doğrudur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, çarpımları negatif olan üç sayının seçim yollarının doğru analiz edilip toplanmasıyla elde edilen 19'dur. Üçü de negatif olan 1 durum ile biri negatif ikisi pozitif olan 18 durumun toplamı 19 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
K��medeki sayıların işaretlerine göre gruplandırılması
Negatif sayılar: {−3,−2,−1}\{-3, -2, -1\} (3 adet), Pozitif sayılar: {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} (4 adet) ve Nötr sayı: {0}\{0\} (1 adet).
Hangi sayıların çarpımının negatif sonuç vereceğini belirlemek için sayıların işaret gruplarını bilmemiz gerekir.
2
Çarpımın negatif olabilmesi için gerekli durumların belirlenmesi
Durum 1: 3 sayının da negatif olması. Durum 2: 1 negatif ve 2 pozitif sayının seçilmesi.
Üç sayının çarpımının negatif olması yalnızca bu iki durumda mümkündür. Sıfır sayısı çarpımı sıfır yapacağından dahil edilemez.
3
Durum 1 ve Durum 2 için kombinasyon hesaplarının yapılması ve toplanması
Durum 1: (33)=1\binom{3}{3} = 1 yol. Durum 2: (31)×(42)=3×6=18\binom{3}{1} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18 yol. Toplam: 1+18=191 + 18 = 19 yol.
Farklı bağımsız durumların oluşturduğu seçenek sayıları toplanarak toplam seçim sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Koşullu kombinasyon hesaplamalarında elemanların niteliklerine göre gruplandırılması ve durum analizi yapılması.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 12Soru →

Bir laboratuvarda çalışan 88 bilim insanından 33'ü biyolog, 33'ü kimyager ve 22'si fizikçidir. Bu bilim insanları arasından 44 kişilik bir araştırma ekibi kurulacaktır. Kurulacak ekipte her üç meslek grubundan da en az birer bilim insanı bulunması zorunlu olduğuna göre, bu araştırma ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 45

Cevap

Kurulabilecek araştırma ekibi 45 farklı şekilde oluşturulabilir.
Araştırma ekibinde her meslek grubundan en az bir kişi bulunması gerektiğinden, 4 kişilik ekip (2 biyolog, 1 kimyager, 1 fizikçi), (1 biyolog, 2 kimyager, 1 fizikçi) veya (1 biyolog, 1 kimyager, 2 fizikçi) şeklinde oluşturulabilir. Bu durumların kombinasyonları hesaplanıp toplandığında doğru sonuç olan 45 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Her meslek grubundan en az bir kişi içeren 4 kişilik ekibin olası dağılımlarını belirleme.
Grup dağılımları (2 Biyolog, 1 Kimyager, 1 Fizikçi), (1 Biyolog, 2 Kimyager, 1 Fizikçi) ve (1 Biyolog, 1 Kimyager, 2 Fizikçi) olarak belirlenir.
Toplamda 4 kişi seçileceğinden ve 3 gruptan en az birer kişi bulunması gerektiğinden, geriye kalan 1 kişinin bu gruplardan birine ait olması gerekir.
2
Her bir dağılım durumunun kombinasyon sayılarını hesaplama.
Birinci durum için 18, ikinci durum için 18 ve üçüncü durum için 9 farklı seçim elde edilir.
Belirlenen gruplardaki kişi sayılarına göre biyologlar arasından seçim için (3a)\binom{3}{a}, kimyagerler arasından seçim için (3b)\binom{3}{b} ve fizikçiler arasından seçim için (2c)\binom{2}{c} kombinasyonları çarpılır.
3
Elde edilen tüm durumların kombinasyon sayılarını toplama.
Toplam seçim sayısı 45 olarak bulunur.
Farklı durumlar ayrık olaylar olduğundan, toplam seçim sayısına ulaşmak için bu durumların yolları toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim)
Soru 13Soru →

Bir sanat galerisinde sergilenecek 99 farklı tablodan 44'ü A ressamına, 55'i B ressamına aittir. Bu galeride yan yana bulunan 33 sergi standına, her iki ressamın da en az birer tablosu yer alacak şekilde 33 tablo seçilerek yerleştirilecektir.

Tabloların stantlardaki dizilim sırası önemsiz olduğuna göre, bu sergileme için tablolar kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7070

Cevap

Her iki ressamın da en az birer tablosunun bulunması koşuluyla 7070 farklı seçim yapılabilir.
Seçilecek 33 tablonun her iki ressamdan da en az birer adet içermesi koşulu, (1 A, 2 B) veya (2 A, 1 B) tablolarının seçilmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon hesabı sırasıyla (41)×(52)=40\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} = 40 ve (42)×(51)=30\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 30 olup, toplamları 7070 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Koşulları sağlayan durumları belirleme
Toplam 33 tablo seçilecektir ve her iki ressamın da en az birer tablosu bulunmalıdır. Bu durum iki farklı şekilde gerçekleşebilir: 1) A ressamından 11 ve B ressamından 22 tablo seçilmesi, 2) A ressamından 22 ve B ressamından 11 tablo seçilmesi.
Soruda belirtilen 'her iki ressamın da en az birer tablosunun bulunması' kısıtlamasını analiz etmek için.
2
Birinci durum için kombinasyon sayısını hesaplama
A ressamından 11 tablo (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde, B ressamından 22 tablo ise (52)=5×42×1=10\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu durum: 4×10=404 \times 10 = 40 farklı şekilde gerçekleşir.
Birinci senaryonun tüm olası seçim sayılarını bulmak için.
3
İkinci durum için kombinasyon sayısını hesaplama
A ressamından 22 tablo (42)=4×32×1=6\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 farklı şekilde, B ressamından 11 tablo ise (51)=5\binom{5}{1} = 5 farklı şekilde seçilir. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu durum: 6×5=306 \times 5 = 30 farklı şekilde gerçekleşir.
İkinci senaryonun tüm olası seçim sayılarını bulmak için.
4
Durumları toplama
Bu iki durum ayrık olaylar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır: 40+30=7040 + 30 = 70 farklı seçim yapılabilir.
Oluşturulabilecek tüm geçerli sergileme gruplarının toplam sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) ve Toplama-Çarpma Yoluyla Sayma Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Bir yapay zekâ yaz kampına katılan 5 bilgisayar m��hendisliği ve 5 endüstri mühendisliği öğrencisi arasından 4 kişilik bir proje takımı kurulacaktır. Proje takımında her iki bölümden de en az birer öğrenci bulunması ve takım üyelerinden birinin takım lideri olması kararlaştırılmıştır. Buna göre, bu proje takımı ve takım lideri kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

800 farklı şekilde seçilebilir.
Koşullara uygun olarak oluşturulabilecek 4 kişilik takımların sayısı 200'dür. Bu takımların her biri için lider 4 farklı şekilde belirlenebildiğinden, toplam seçim sayısı 800'dür.

Adım Adım Çözüm

1
Proje takımındaki öğrencilerin bölümlerine göre dağılım senaryolarını belirlemek.
Takımda en az bir bilgisayar ve en az bir endüstri mühendisliği öğrencisi bulunması gerektiğinden, 4 kişilik takım 3 farklı dağılımla oluşturulabilir: (1 Bilgisayar, 3 Endüstri), (2 Bilgisayar, 2 Endüstri) veya (3 Bilgisayar, 1 Endüstri).
En az birer öğrenci bulunması koşulunu tüm olası ayrık durumlara bölerek incelemek kolaylık sağlar.
2
Belirlenen senaryolar için kombinasyon hesaplarını yaparak toplanabilecek tüm durumları toplamak.
1. Durum için C(5,1) * C(5,3) = 5 * 10 = 50; 2. Durum için C(5,2) * C(5,2) = 10 * 10 = 100; 3. Durum için C(5,3) * C(5,1) = 10 * 5 = 50. Toplam takım sayısı 50 + 100 + 50 = 200 olur.
Farklı bölümlerden yapılacak bağımsız seçim sayılarını çarparız, ardından bu alternatif ayrık durumları toplarız.
3
Seçilen 4 kişilik takım üyelerinden 1 lider belirlemek.
Seçilen her 4 kişilik grup için lider 4 farklı şekilde seçilebilir. Toplam durum sayısı 200 * 4 = 800 olur.
Takımın seçilmesi ile liderin belirlenmesi ardışık işlemler olduğu için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon ve Çarpma/Toplama Yoluyla Sayma Kuralları
Soru 15Soru →

Bir üniversite öğrencisi, dönemlik ders programını oluştururken A ve B seçmeli ders gruplarından toplam 44 ders seçecektir. A grubunda 55 farklı ders, B grubunda ise 44 farklı ders bulunmaktadır. Bu öğrenci her iki gruptan da en az birer ders seçmek zorunda olduğuna göre, ders seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Ders seçimi 120 farklı şekilde yapılabilir.
Soruda her iki gruptan en az birer ders seçilmesi koşulu bulunduğundan, olası tüm seçim durumları (1 A dersi ve 3 B dersi), (2 A dersi ve 2 B dersi) ile (3 A dersi ve 1 B dersi) şeklinde üç ayrık gruba ayrılır. Her bir durum için bağımsız seçimler kombinasyon yöntemiyle hesaplanıp çarpılır: sırasıyla 20, 60 ve 40 farklı seçim elde edilir. Bu durumların toplamı olan 120 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun ders dağılım senaryolarını belirleme.
Toplam 4 ders seçilecektir. A grubundan xx ve B grubundan yy ders seçilmek üzere x+y=4x+y=4 olmalıdır. Her iki gruptan da en az bir ders seçileceğinden olası (x,y)(x, y) ikilileri: (1,3)(1, 3), (2,2)(2, 2) ve (3,1)(3, 1) şeklindedir.
Her iki gruptan en az bir ders seçilmesi koşulunu sağlayan tüm ayrık durumları tespit etmek için.
2
Her bir olası senaryo için kombinasyon değerlerini hesaplama.
1. senaryo (1 ders A'dan, 3 ders B'den): (51)×(43)=5×4=20\binom{5}{1} \times \binom{4}{3} = 5 \times 4 = 20 farklı seçim.
2. senaryo (2 ders A'dan, 2 ders B'den): (52)×(42)=10×6=60\binom{5}{2} \times \binom{4}{2} = 10 \times 6 = 60 farklı seçim.
3. senaryo (3 ders A'dan, 1 ders B'den): (53)×(41)=10×4=40\binom{5}{3} \times \binom{4}{1} = 10 \times 4 = 40 farklı seçim.
Belirlenen bağımsız senaryoların her biri için kaç farklı grup oluşturulabileceğini bulmak için.
3
Elde edilen ayrık durumların sonuçlarını toplama.
20+60+40=12020 + 60 + 40 = 120.
Birbirinden bağımsız ayrık durumların toplam seçim sayısını elde etmek amacıyla toplama prensibini uygulamak için.

Anahtar Kavram

Gruplardan en az bir eleman seçme koşulu içeren kombinasyon problemleri
Soru 16Soru →

Bir teknoloji firması, geliştireceği yeni bir proje için 88 farklı fikir arasından 33 tanesini seçerek bir ön çalışma grubu oluşturacaktır. Bu fikirlerden 33 tanesi yapay zekâ (YZ), 55 tanesi ise siber güvenlik alanındadır. Seçilen fikirlerin en az birinin yapay zekâ alanında olması hedeflenmektedir. Buna göre, bu ön çalışma grubundaki proje fikirleri kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 46

Cevap

Ön çalışma grubundaki proje fikirleri 46 farklı şekilde seçilebilir.
Doğru yanıt olan 46 değerine ulaşmak için, 8 fikir arasından yapılacak tüm 3'lü seçimlerin sayısından (56), en az bir yapay zekâ fikri bulunması koşulunu ihlal eden ve sadece siber güvenlik fikirlerinden oluşan 3'lü seçimlerin sayısı (10) çıkarılır. Böylece en az bir yapay zekâ fikri barındıran durum sayısı 46 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm olası seçimlerin (koşulsuz) sayısını hesaplamak
(83)=56\binom{8}{3} = 56
88 farklı fikir arasından herhangi bir koşul olmaksızın 33 fikrin kaç farklı şekilde seçilebileceğini bulmak için kombinasyon formülü uygulanır.
2
İstenmeyen durumların (hiç yapay zekâ fikri içermeyen) sayısını hesaplamak
(53)=10\binom{5}{3} = 10
En az bir yapay zekâ fikri bulunması istendiğinden, hiç yapay zekâ fikrinin bulunmadığı (yani sadece siber güvenlik fikirlerinin seçildiği) durumlar istenmeyen durumlardır.
3
İstenen durum sayısını elde etmek için tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak
56−10=4656 - 10 = 46
Tüm olası seçimlerden sadece siber güvenlik fikirlerinin seçildiği durumlar çıkarıldığında, geriye en az bir yapay zekâ fikri barındıran durumlar kalır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Tüm Durumlar Yöntemi
Soru 17Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan 8 yazıl��mcı arasından, 4'er kişilik A ve B olarak adlandırılan iki farklı proje ekibi oluşturulacaktır. Bu yazılımcılardan Can ve Mert, aralarındaki anlaşmazlık nedeniyle aynı ekipte birlikte çalışmak istememektedirler.

Buna göre, bu iki proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Can ve Mert'in aynı ekipte bulunmadığı A ve B proje ekipleri 40 farklı şekilde oluşturulabilir.
Can ve Mert farklı ekiplerde yer alacağından, Can A ekibinde iken Mert B ekibindedir veya tam tersi durum geçerlidir. Can A'da, Mert B'de olduğunda, kalan 6 yazılımcı arasından A ekibine 3 kişi seçilir: C(6, 3) = 20. Benzer şekilde, Can B'de, Mert A'da olduğunda da C(6, 3) = 20 farklı seçim yapılabilir. Bu iki durum toplandığında toplam 40 farklı ekip oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Can ve Mert'in farklı ekiplerde yer alması gerektiği durumları analiz etmek.
Can A ekibinde ise Mert B ekibindedir; veya Can B ekibinde ise Mert A ekibindedir.
Can ve Mert aynı ekipte olmak istemediğinden, her biri farklı bir ekipte yer almalıdır.
2
Can'ın A ekibinde, Mert'in B ekibinde olduğu durum sayısını hesaplamak.
C(6, 3) = 20
Geriye kalan 6 yazılımcı arasından A ekibini tamamlamak için 3 kişi seçilmelidir. Kalan 3 kişi otomatik olarak B ekibine gider.
3
Mert'in A ekibinde, Can'ın B ekibinde olduğu durum sayısını hesaplamak.
C(6, 3) = 20
Geriye kalan 6 yazılımcı arasından A ekibini tamamlamak için 3 kişi seçilmelidir. Kalan 3 kişi otomatik olarak B ekibine gider.
4
Elde edilen durum sayılarını toplayarak toplam sonucu bulmak.
20 + 20 = 40
Bu iki durum ayrık olaylar olduğundan, toplam durum sayısı ayrı ayrı hesaplanan durumların toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçim) kullanarak gruplandırma yapma ve kısıtlı durumları çıkarma veya ayrı ayrı inceleme.