Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar

aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,

a⋅b+b2+ca \cdot b + b^2 + c

toplamının bir tek sayıya,

b⋅c+c2+ab \cdot c + c^2 + a

toplamının ise bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. a+ca + c
II. a⋅c+ba \cdot c + b
III. ab+ca^b + c

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

  1. Yalnız ICevap
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Yalnız I ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen iki denklemin analizi yapıldığında a ve c sayılarının daima aynı paritede (ya her ikisinin de tek ya da her ikisinin de çift) olduğu, b sayısının ise onlardan farklı paritede olduğu sonucuna varılır. Aynı paritedeki iki tam sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından a + c toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri çarpanlarına ayırarak analiz edelim.
Birinci ifade b(a+b)+cb(a + b) + c şeklinde, ikinci ifade ise c(b+c)+ac(b + c) + a şeklinde yazılır.
Ortak çarpan parantezine almak, teklik-çiftlik incelemelerini kolaylaştırır.
2
b tam sayısının tek veya çift olma durumlarına göre a ve c sayılarının teklik-çiftlik durumlarını belirleyelim.
Eğer b çift ise; b(a+b) çift olur ve c tek olmalıdır. Bu durumda ikinci ifadede c(b+c)+a = tek*(çift+tek)+a = tek+a olur. Bunun çift olması için a tek olmalıdır. Yani (a, b, c) = (Tek, Çift, Tek) olur. Eğer b tek ise; b(a+b)+c ifadesinin tek olması için a çift ve c çift olmalıdır. Bu durumda c(b+c)+a = çift*(tek+çift)+çift = çift olur ve ikinci denklemi sağlar. Yani (a, b, c) = (Çift, Tek, Çift) olur.
b tam sayısının tüm parite durumlarını inceleyerek sistemin tüm çözümlerini bulmak gerekir.
3
Ende edilen (a, b, c) parite durumlarını öncüllerde yerine koyarak değerlendirelim.
Her iki durumda da a ve c tam sayılarının teklik-çiftlik durumları aynıdır (ikisi de tek veya ikisi de çift). Bu yüzden I. öncüldeki a + c ifadesi daima çift sayıdır. II. öncüldeki a*c + b ifadesi daima tek sayıdır. III. öncüldeki a^b + c ifadesinde b negatif bir tam sayı (örneğin -2) olabileceğinden a^b tam sayı olmayabilir ve teklik-çiftlikten bahsedilemez.
Bulunan genel özellikleri her bir öncülün doğruluğunu test etmek için uygularız.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri, tam sayı kuvvetlerinde teklik-çiftlik incelemesi ve üssün negatif olma durumu.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru