Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

Bir tiyatro salonunda aa tane sıranın her birinde bb adet koltuk olmak üzere toplam a⋅ba \cdot b adet koltuk vardır. Bu koltukların tamamı doludur ve koltuklarda oturan seyircilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Salondaki kadın seyirci sayısı cc adettir.
* Salondaki erkek seyirci sayısı, kadın seyirci sayısının 3 katından 5 fazladır.

Buna göre;

I. ab+baa^b + b^a
II. ac+ba^c + b
III. ca+bc^a + b

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
Toplam koltuk sayısı olan a⋅ba \cdot b, kadın ve erkek seyircilerin toplamı olan 4c+54c + 5 ifadesine eşittir. 4c+54c + 5 ifadesi her zaman tek sayı olduğundan a⋅ba \cdot b çarpımı tektir. Bu durum aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olmasını gerektirir. Birinci öncülde tabanlar tek, üsler pozitif tam sayı olduğundan üslü ifadeler tek sayılardır; toplamları çift olur. İkinci öncülde aa tek olduğundan cc doğal sayısı için aca^c her zaman tektir; tek olan bb ile toplamı çift olur. Dolayısıyla birinci ve ikinci öncüller her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Salondaki toplam seyirci sayısını veren cebirsel ifadeyi kuralım.
Kadın seyirci sayısı cc ise erkek seyirci sayısı 3c+53c + 5 olur. Toplam seyirci sayısı c+(3c+5)=4c+5c + (3c + 5) = 4c + 5 olarak bulunur.
Toplam koltuk sayısının seyirci sayısına eşitliğini kullanarak değişkenler arasında bir bağıntı elde etmek için.
2
Elde edilen bağıntı yardımıyla a ve b sayılarının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde, cc bir doğal sayı olduğundan 4c4c çift sayıdır. Çift bir sayı ile tek sayı olan 5'in toplamı tek olacağından a⋅ba \cdot b çarpımı tek sayıdır. İki tam sayının çarpımının tek olması için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. Buradan aa ve bb sayılarının her ikisinin de tek sayı olduğu sonucu çıkar.
Üslü ifadeleri değerlendirebilmek amacıyla tabanların teklik veya çiftlik durumlarını saptamak için.
3
c sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.
a⋅b=4c+5a \cdot b = 4c + 5 eşitliğinde cc değeri tek de olabilir çift de olabilir. Örneğin, a=3,b=3a=3, b=3 için 9=4c+5  ⟹  c=19 = 4c+5 \implies c=1 (tek) iken a=3,b=7a=3, b=7 için 21=4c+5  ⟹  c=421 = 4c+5 \implies c=4 (çift) olur. Dolayısıyla cc sayısı hakkında kesin bir şey söylenemez.
Tabanı veya üssü c olan öncüllerin genel geçerliliğini test etmek için.
4
Verilen öncülleri teker teker analiz edelim.
I. ab+baa^b + b^a ifadesinde aa ve bb pozitif tam sayılardır (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1). Tek sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri tek olacağından aba^b ve bab^a tek sayılardır. İki tek sayının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. II. ac+ba^c + b ifadesinde aa tek sayıdır. cc doğal sayı olduğundan c=0c=0 için a0=1a^0 = 1 (tek) ve c≥1c \ge 1 için aca^c tektir. Dolayısıyla aca^c her koşulda tektir. Tek olan aca^c ile tek olan bb sayısının toplamı (Tek+TekTek + Tek) her zaman çift sayıdır. III. ca+bc^a + b ifadesinde cc çift sayı ise cac^a çift sayı (çünkü a≥1a \ge 1), toplam C\cift+Tek=TekÇift + Tek = Tek olur. Bu durumda her zaman çift sayı olmaz.
Her bir öncülün teklik-çiftlik durumunun kesinliğini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel ifadelerde ve üslü sayılarda teklik-çiftlik kuralları, taban ve üs ilişkileri.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru