Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) birer polinomdur.
der[P(Q(x))]=12\text{der}[P(Q(x))] = 12
der[P(x2)Q(x)]=5\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 5
olduğuna göre, der[x2⋅P(x3)+Q(x4)]\text{der}[x^2 \cdot P(x^3) + Q(x^4)] ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    12
  2. 14Cevap
  3. C
    16
  4. D
    24
  5. E
    26

Cevap

İfadenin derecesi 14'tür.
Doğru cevap olan 14 değeri, derece kuralları doğru uygulanarak P(x)P(x) derecesinin 4 ve Q(x)Q(x) derecesinin 3 olarak bulunmasının ardından en yüksek dereceli terimin belirlenmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini değişkenlerle tanımlama ve derece kurallarını uygulama
P(x)P(x) derecesi pp, Q(x)Q(x) derecesi qq olsun. Bu durumda der[P(Q(x))]=p⋅q=12\text{der}[P(Q(x))] = p \cdot q = 12 ve der[P(x2)Q(x)]=2p−q=5\text{der}\left[\frac{P(x^2)}{Q(x)}\right] = 2p - q = 5 olur.
Bileşke polinomunun derecesi derecelerin çarpımına, bölüm polinomunun derecesi ise derecelerin farkına eşittir.
2
Elde edilen denklem sistemini çözme
q=2p−5q = 2p - 5 ifadesi ilk denklemde yerine yazıldığında p(2p−5)=12  ⟹  2p2−5p−12=0p(2p-5) = 12 \implies 2p^2 - 5p - 12 = 0 olur. Çarpanlara ayırma ile (2p+3)(p−4)=0(2p+3)(p-4) = 0 bulunur. Derece doğal sayı olduğundan p=4p = 4 ve buradan q=3q = 3 elde edilir.
Polinom derecesi negatif ya da rasyonel olamaz, bu nedenle doğal sayı olan kök seçilir.
3
İstenen toplam polinomunun derecesini belirleme
der[x2⋅P(x3)]=2+3p=2+12=14\text{der}[x^2 \cdot P(x^3)] = 2 + 3p = 2 + 12 = 14 ve der[Q(x4)]=4q=12\text{der}[Q(x^4)] = 4q = 12 olur. Toplamın derecesi max⁡(14,12)=14\max(14, 12) = 14 olarak bulunur.
Toplama durumundaki iki ifadenin derecesi, derecesi büyük olan terimin derecesine eşittir.

Anahtar Kavram

Polinomlarda derece işlemleri (çarpım, bölüm, bileşke ve kuvvet alma işlemleri altındaki derece kuralları)
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomların Eşitliği ve Derece İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru