Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKartezyen Çarpım
AA ve BB tam sayı kümeleri olmak üzere,
A={x∈Z:−3≤x<2}A = \{x \in \mathbb{Z} : -3 \leq x < 2\}
B={y∈Z:y2−y−6≤0}B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 - y - 6 \leq 0\}
kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre, C=A∩BC = A \cap B ve D=A∪BD = A \cup B olmak üzere, (A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. A
    2
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı 6'dır.
Bir (x,y)(x, y) sıralı ikilisinin (A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) kümesinde bulunması için (x,y)∈(A×B)(x, y) \in (A \times B) ve (x,y)∉(C×D)(x, y) \notin (C \times D) olmalıdır. y∈By \in B olduğu sürece D=A∪BD = A \cup B tanımı gereği y∈Dy \in D ifadesi her zaman doğrudur. Bu durumda, elemanın C×DC \times D kümesinde yer almaması ancak x∉Cx \notin C olmasıyla mümkündür. x∈Ax \in A ve x∉Cx \notin C koşulu x∈A∖Cx \in A \setminus C anlamına gelir. A∖C=A∖(A∩B)=A∖B={−3}A \setminus C = A \setminus (A \cap B) = A \setminus B = \{-3\}'tür. x=−3x = -3 için yy elemanı BB kümesinin tüm elemanları (6 adet) olabileceğinden, kümenin eleman sayısı 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
AA k��mesinin elemanlarını belirleme
A={−3,−2,−1,0,1}A = \{-3, -2, -1, 0, 1\} ve s(A)=5s(A) = 5
−3≤x<2-3 \leq x < 2 aralığındaki tam sayılar listelenir.
2
BB kümesinin elemanlarını belirleme
y2−y−6≤0  ⟹  (y−3)(y+2)≤0  ⟹  −2≤y≤3y^2 - y - 6 \leq 0 \implies (y - 3)(y + 2) \leq 0 \implies -2 \leq y \leq 3 olduğundan B={−2,−1,0,1,2,3}B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} ve s(B)=6s(B) = 6
İkinci dereceden eşitsizliğin kökleri bulunarak çözüm aralığındaki tam sayılar belirlenir.
3
C=A∩BC = A \cap B ve D=A∪BD = A \cup B kümelerini oluşturma
C={−2,−1,0,1}C = \{-2, -1, 0, 1\} ve D={−3,−2,−1,0,1,2,3}D = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}
AA ve BB kümelerinin kesişim ve birleşim işlemleri uygulanır.
4
(A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) kümesinin eleman sayısını hesaplama
(x,y)∈A×B(x, y) \in A \times B elemanlarından y∈B⊆Dy \in B \subseteq D olduğu için, bu elemanların C×DC \times D kümesinde yer almaması için tek koşul x∉Cx \notin C olmasıdır. x∈A∖C  ⟹  x∈{−3}x \in A \setminus C \implies x \in \{-3\} olur. Dolayısıyla x=−3x = -3 için yy değeri BB kümesinin herhangi bir elemanı olabilir. Bu durumda 1×s(B)=1×6=61 \times s(B) = 1 \times 6 = 6 eleman bulunur.
Kartezyen çarpımın fark kümesi tanımı ve eleman özellikleri uygulanır.

Anahtar Kavram

Kartezyen Çarpım ve Küme İşlemleri

Alternatif Yöntem

(A×B)∖(C×D)(A \times B) \setminus (C \times D) ifadesinde C=A∩BC = A \cap B ve D=A∪BD = A \cup B tanımları yerine yazıldığında, fark kümesinin elemanlarının birinci bileşeni A∖C=A∖(A∩B)=A∖B={−3}A \setminus C = A \setminus (A \cap B) = A \setminus B = \{-3\} kümesinden, ikinci bileşeni ise BB kümesinden seçilmelidir. Bu durum doğrudan {−3}×B\{-3\} \times B kartezyen çarpım kümesine karşılık gelir. Buradan eleman sayısı s({−3})×s(B)=1×6=6s(\{-3\}) \times s(B) = 1 \times 6 = 6 olarak kolayca bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kartezyen Çarpım

Bu konudan daha fazla soru