Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar

aa ve bb sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere,

ab+a⋅ba^b + a \cdot b

ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. a⋅ba \cdot b
II. bab^a
III. ab⋅ba^b \cdot b

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıya eşittir?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve III
Verilen toplamın tek sayı olması, her iki durumda da bb değişkeninin çift tam sayı, aa değişkeninin ise tek tam sayı olmasını gerektirir. Bu durumda, birinci öncüldeki çarpım ve üçüncü öncüldeki ifade daima çift tam sayıdır. İkinci öncüldeki ifade ise aa değişkeninin negatif olması durumunda rasyonel sayı belirtebileceğinden her zaman çift sayı değildir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin tam sayı olma koşulunun incelenmesi
aba^b ifadesi bir tam sayı olmak zorundadır.
aa ve bb sıfırdan farklı tam sayılar olduğundan, a⋅ba \cdot b ifadesi daima bir tam sayıd��r. İki tam sayının toplamı veya farkı yine tam sayı olacağından, ab+a⋅ba^b + a \cdot b ifadesinin tek sayı (dolayısıyla tam sayı) olması için aba^b ifadesinin de tam sayı olması gerekir.
2
bb değişkeninin negatif olma durumunun (b<0b < 0) incelenmesi
bb çift tam sayı ve aa tek tam sayı olmalıdır (a∈{−1,1}a \in \{-1, 1\}).
b<0b < 0 iken aba^b ifadesinin tam sayı olabilmesi için taban aa sayısı yalnızca 11 veya −1-1 olabilir. a=1a = 1 ise 1b+b=1+b1^b + b = 1 + b tek sayı olmalıdır, buradan bb çift çıkar. a=−1a = -1 ise (−1)b−b(-1)^b - b tek sayı olmalıdır; bb çift ise (−1)b−b=1−b(-1)^b - b = 1 - b (tek) olur, bb tek ise (−1)b−b=−1−b(-1)^b - b = -1 - b (çift) olur. Dolayısıyla her iki durumda da bb çift sayıdır.
3
bb değişkeninin pozitif olma durumunun (b>0b > 0) incelenmesi
bb çift tam sayı ve aa tek tam sayı olmalıdır.
b>0b > 0 iken aba^b daima tam sayıdır. aa çift olsaydı ab+a⋅ba^b + a \cdot b çift + çift = çift olurdu, bu çelişkidir. Dolayısıyla aa tek olmalıdır. aa tek ise aba^b tektir ve toplamın tek olması için a⋅ba \cdot b çift olmalıdır. aa tek olduğundan bb çift olmalıdır.
4
Öncüllerin teker teker analiz edilmesi
I. öncül her zaman çift, II. öncül her zaman çift değil, III. öncül her zaman çifttir.
I. a⋅ba \cdot b ifadesinde bb çift olduğundan çarpım daima çifttir. II. bab^a ifadesinde aa negatif olabileceğinden (a=−1,b=2a = -1, b = 2 için 2−1=1/22^{-1} = 1/2) ifade tam sayı olmayabilir. III. ab⋅ba^b \cdot b ifadesinde, b>0b > 0 ise aba^b tek ve bb çift olduğundan çarpım çifttir; b<0b < 0 ise a=±1a = \pm 1 ve bb çift olduğundan ab=1a^b = 1 olur ve 1⋅b=b1 \cdot b = b (çift) elde edilir. Dolayısıyla I ve III her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda negatif üs kavramı ve teklik-çiftlik üzerindeki etkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru