Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBileşke Fonksiyon
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3
g(x)=2x−ag(x) = 2x - a
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=0(f \circ g)(x) = 0
denkleminin köklerinin çarpımı 88 olduğuna göre, (g∘f)(a)(g \circ f)(a) değeri kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    15
  3. 19Cevap
  4. D
    32
  5. E
    57

Cevap

19
Doğru cevap olan 19 değeri, bileşke fonksiyon işlem sırası olan içten dışa doğru değerlendirme kuralına dayanır. İlk olarak, (f∘g)(x)=0(f \circ g)(x) = 0 denklemi 4x2−(4a+4)x+(a2+2a−3)=04x^2 - (4a + 4)x + (a^2 + 2a - 3) = 0 olarak düzenlenir. Bu denklemin kökler çarpımı a2+2a−34\frac{a^2 + 2a - 3}{4} ifadesinin 8'e eşitlenmesiyle pozitif aa değeri 5 olarak elde edilir. Son adımda, (g∘f)(5)(g \circ f)(5) ifadesini bulmak için önce f(5)=12f(5) = 12 hesaplanır, ardından g(12)=24−5=19g(12) = 24 - 5 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(f∘g)(x)(f \circ g)(x) bileşke fonksiyonunu elde etmek amacıyla f(x)f(x) fonksiyonunda xx yerine g(x)g(x) ifadesi yazılır.
(f∘g)(x)=(2x−a)2−2(2x−a)−3=0(f \circ g)(x) = (2x - a)^2 - 2(2x - a) - 3 = 0
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen ifade açılarak ikinci dereceden denklem standart formuna (Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0) getirilir.
4x2−4ax+a2−4x+2a−3=04x^2 - 4ax + a^2 - 4x + 2a - 3 = 0
4x2−(4a+4)x+(a2+2a−3)=04x^2 - (4a + 4)x + (a^2 + 2a - 3) = 0
İkinci dereceden denklemin katsayılarını belirleyerek kök-katsayı ilişkisini uygulayabilmek için ifade düzenlenmelidir.
3
Denklemin kökler çarpımı formülü olan CA\frac{C}{A} ifadesi kullanılır ve soruda verilen 88 değerine eşitlenir.
Ko¨kler C¸arpımı=a2+2a−34=8  ⟹  a2+2a−3=32  ⟹  a2+2a−35=0\text{Kökler Çarpımı} = \frac{a^2 + 2a - 3}{4} = 8 \implies a^2 + 2a - 3 = 32 \implies a^2 + 2a - 35 = 0
İkinci dereceden bir denklemin kökler çarpımı kuralı ile bilinmeyen aa parametresine bağlı yeni bir denklem elde edilir.
4
aa değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
(a+7)(a−5)=0  ⟹  a=5 veya a=−7(a + 7)(a - 5) = 0 \implies a = 5 \text{ veya } a = -7
aa sayısının alabileceği değerleri bulmak için denklem kökleri hesaplanır.
5
aa sayısının pozitif olma koşulu değerlendirilerek uygun değer seçilir.
a=5a = 5 olmalıdır.
Soruda aa sayısının pozitif bir gerçel sayı olduğu belirtilmiştir.
6
Bizden istenen (g∘f)(a)(g \circ f)(a) yani (g∘f)(5)(g \circ f)(5) değerini bulmak için öncelikle içteki fonksiyon olan f(5)f(5) değeri hesaplanır.
f(5)=52−2(5)−3=25−10−3=12f(5) = 5^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12
Bileşke fonksiyon değerlendirilirken i��ten dışa doğru işlem sırası takip edilir.
7
Bulunan f(5)=12f(5) = 12 değeri dıştaki g(x)g(x) fonksiyonunda xx yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.
g(12)=2(12)−a=24−5=19g(12) = 2(12) - a = 24 - 5 = 19
(g∘f)(5)=g(f(5))(g \circ f)(5) = g(f(5)) tanımı gereği sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon Tanımı ve İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta Formülleri)
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyon

Bu konudan daha fazla soru