Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Fonksiyonlar
Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir ff çift fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+x⋅f(−x)=2x3+a⋅x2+b⋅x+3f(x) + x \cdot f(-x) = 2x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + 3
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, a+b+f(1)a + b + f(1) toplamı kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

İşlemler sonucunda a + b + f(1) toplamının değeri 10 olarak bulunur.
Verilen ff fonksiyonunun çift olma özelliği (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)) kullanılarak fonksiyonel denklem düzenlenir. Denklemde kritik noktalar (x=−1x = -1, x=1x = 1, x=2x = 2, x=−2x = -2) yerine yazılarak elde edilen denklem sisteminden a=2a = 2, b=3b = 3 ve f(1)=5f(1) = 5 değerleri tek türlü belirlenir. Bu değerlerin toplamı 1010 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Çift fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyonel denklemi düzenlemek
f(x)⋅(1+x)=2x3+a⋅x2+b⋅x+3f(x) \cdot (1+x) = 2x^3 + a \cdot x^2 + b \cdot x + 3
ff çift fonksiyon olduğundan her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliği geçerlidir.
2
x=−1x = -1 değerini denklemde yerine yazarak aa ve bb arasında ilk ilişkiyi bulmak
b−a=1b - a = 1
x=−1x = -1 için eşitliğin sol tarafı f(−1)⋅0=0f(-1) \cdot 0 = 0 olur, bu durumda sağ taraf da sıfıra eşit olmalıdır.
3
x=2x = 2 ve x=−2x = -2 değerlerini yazıp f(2)=f(−2)f(2) = f(-2) eşitliğini kullanarak ikinci bir ilişki elde etmek
4a−b=54a - b = 5
x=2x = 2 için 3f(2)=4a+2b+193f(2) = 4a + 2b + 19 ve x=−2x = -2 için −f(−2)=4a−2b−13-f(-2) = 4a - 2b - 13 denklemleri taraf tarafa oranlanarak veya yok etme metoduyla çözülür.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb katsayılarını bulmak
a=2a = 2 ve b=3b = 3
b=a+1b = a + 1 ifadesi 4a−b=54a - b = 5 denkleminde yerine yazıldığında 3a=6⇒a=23a = 6 \Rightarrow a = 2 ve b=3b = 3 bulunur.
5
x=1x = 1 yazarak f(1)f(1) değerini hesaplamak ve istenen toplamı bulmak
f(1)=5f(1) = 5 ve a+b+f(1)=10a + b + f(1) = 10
2f(1)=2+a+b+32f(1) = 2 + a + b + 3 e��itliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında f(1)=5f(1) = 5 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması durumunda f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) eşitliğinin sağlanması ve polinom eşitliği kuralları.
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru