Tek ve Çift Fonksiyonlar
8 soru
Soru 1Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan bir f çift fonksiyonu, her x gerçel sayısı için
f(x)+x⋅f(−x)=2x3+a⋅x2+b⋅x+3
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x)+x⋅f(−x)=2x3+a⋅x2+b⋅x+3
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, a+b+f(1) toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 10
Cevap
İşlemler sonucunda a + b + f(1) toplamının değeri 10 olarak bulunur.
Verilen f fonksiyonunun çift olma özelliği (f(−x)=f(x)) kullanılarak fonksiyonel denklem düzenlenir. Denklemde kritik noktalar (x=−1, x=1, x=2, x=−2) yerine yazılarak elde edilen denklem sisteminden a=2, b=3 ve f(1)=5 değerleri tek türlü belirlenir. Bu değerlerin toplamı 10 yapmaktadır.
Adım Adım Çözüm
1
Çift fonksiyon özelliğini kullanarak fonksiyonel denklemi düzenlemek
f(x)⋅(1+x)=2x3+a⋅x2+b⋅x+3
f çift fonksiyon olduğundan her x için f(−x)=f(x) eşitliği geçerlidir.
2
x=−1 değerini denklemde yerine yazarak a ve b arasında ilk ilişkiyi bulmak
b−a=1
x=−1 için eşitliğin sol tarafı f(−1)⋅0=0 olur, bu durumda sağ taraf da sıfıra eşit olmalıdır.
3
x=2 ve x=−2 değerlerini yazıp f(2)=f(−2) eşitliğini kullanarak ikinci bir ilişki elde etmek
4a−b=5
x=2 için 3f(2)=4a+2b+19 ve x=−2 için −f(−2)=4a−2b−13 denklemleri taraf tarafa oranlanarak veya yok etme metoduyla çözülür.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek a ve b katsayılarını bulmak
a=2 ve b=3
b=a+1 ifadesi 4a−b=5 denkleminde yerine yazıldığında 3a=6⇒a=2 ve b=3 bulunur.
5
x=1 yazarak f(1) değerini hesaplamak ve istenen toplamı bulmak
f(1)=5 ve a+b+f(1)=10
2f(1)=2+a+b+3 e��itliğinde bulunan değerler yerine yazıldığında f(1)=5 elde edilir.
Anahtar Kavram
Bir fonksiyonun çift fonksiyon olması durumunda f(−x)=f(x) eşitliğinin sağlanması ve polinom eşitliği kuralları.
Soru 2Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu bir çift fonksiyondur.
f(x)=(a−2)x3+4x2+(b+3)x+a⋅b
olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: -2
Cevap
Doğru cevap -2'dir.
Polinom biçiminde tanımlanmış bir fonksiyonun çift fonksiyon olabilmesi için tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Bu nedenle x3 teriminin katsayısı a−2=0⇒a=2 ve x teriminin katsayısı b+3=0⇒b=−3 olmalıdır. Değerler yerine yazıldığında fonksiyon f(x)=4x2−6 olarak bulunur. Burada x=1 yazılırsa f(1)=4(1)2−6=−2 elde edilir.
Adım Adım Çözüm
1
Tek dereceli terimlerin katsayılarını sıfıra eşitlemek
a−2=0⇒a=2 ve b+3=0⇒b=−3
Bir fonksiyonun çift fonksiyon olabilmesi için kuralındaki tek dereceli terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir.
2
a ve b değerlerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyon kuralını düzenlemek
f(x)=4x2−6
Elde edilen katsayılar fonksiyon denkleminde yerine yazılır ve sabit terim a⋅b=2⋅(−3)=−6 olarak hesaplanır.
3
Düzenlenen fonksiyonda x=1 değerini hesaplamak
f(1)=4(1)2−6=−2
Fonksiyonun kuralında x yerine 1 yazılarak istenen değer elde edilir.
Anahtar Kavram
Çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.
Soru 3Soru →
Gerçel say��lar kümesi üzerinde tanımlı f fonksiyonu tek, g fonksiyonu ise çift fonksiyondur.
f(−3)=6
g(−3)=−4
g(−3)=−4
olduğuna göre, f(3)−g(3) ifadesinin değeri kaçtır?
-10
-2
2
10
-6
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: -2
Cevap
-2
Tek fonksiyon tanımına göre f(3)=−f(−3)=−6 ve çift fonksiyon tanımına göre g(3)=g(−3)=−4 olur. Bu değerler yerine yazıldığında f(3)−g(3)=−6−(−4)=−2 değeri elde edilir.
Adım Adım Çözüm
1
f fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini uygularız.
f(3)=−f(−3)=−6 olur.
Tek fonksiyonlarda her x gerçel sayısı için f(−x)=−f(x) eşitliği sağlanır.
2
g fonksiyonunun çift fonksiyon olma özelliğini uygularız.
g(3)=g(−3)=−4 olur.
Çift fonksiyonlarda her x gerçel sayısı için g(−x)=g(x) eşitliği sağlanır.
3
Bulunan f(3) ve g(3) değerlerini f(3)−g(3) ifadesinde yerine yazarız.
f(3)−g(3)=−6−(−4)=−2 bulunur.
İstenen cebirsel ifadenin değerini hesaplamak için.
Anahtar Kavram
Tek ve çift fonksiyonların tanımı ve simetri özellikleri
Soru 4Soru →
R'den R'ye tanımlı f çift ve g tek fonksiyondur.
Her x gerçel sayısı için,
(x+2)⋅f(x)+g(x)=x4+2x3−3x2+5x−6
eşitliği sağlandığına göre, f(2)+g(2) toplamının değeri kaçtır?
(x+2)⋅f(x)+g(x)=x4+2x3−3x2+5x−6
eşitliği sağlandığına göre, f(2)+g(2) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 27
Cevap
27
Verilen denklemde sırasıyla x=−2 ve x=2 değerleri yazılarak elde edilen g(−2)=−28 ve 4f(2)+g(2)=24 eşitlikleri kullanılır. g tek fonksiyon olduğundan g(2)=28 olur. Bu değer yerine yazıldığında f(2)=−1 bulunur. İkisinin toplamı ise 27'dir.
Adım Adım Çözüm
1
Verilen eşitlikte x=−2 yazılır.
g(−2)=−28 elde edilir.
f(−2) teriminin katsayısını sıfırlayarak doğrudan g fonksiyonuna bağlı bir değer elde etmek için x=−2 seçilir.
2
g fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini kullanmak.
g(2)=28 bulunur.
Tek fonksiyonlar için g(−x)=−g(x) kuralı geçerlidir.
3
Verilen eşitlikte x=2 yazılır.
4⋅f(2)+g(2)=24 elde edilir.
f(2) değerine ulaşmak amacıyla denklemde x=2 yazarak yeni bir eşitlik oluşturulur.
4
Bulunan g(2)=28 değeri eşitlikte yerine yazılarak f(2) hesaplanır.
f(2)=−1 bulunur.
İki bilinmeyenli denklemde bilinen değeri yerine koyarak diğer bilinmeyeni elde etmek için.
5
f(2)+g(2) toplamı hesaplanır.
f(2)+g(2)=−1+28=27 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.
Anahtar Kavram
Tek ve çift fonksiyonların tanımı ve simetri özellikleri (f(−x)=f(x) ve g(−x)=−g(x)).
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonlarından f tek, g çift fonksiyondur.
Buna göre,
I. h(x)=(g∘f)(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.
II. k(x)=x⋅f(x)+g(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.
III. r(x)=f(x)⋅g(x)+x3 fonksiyonu tek fonksiyondur.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Yalnız II
Yalnız III
I ve II
II ve III
I, II ve III
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: II ve III
Cevap
II ve III
Doğru olan seçenek, ikinci öncüldeki fonksiyonun çift ve üçüncü öncüldeki fonksiyonun tek olduğunu belirten seçenektir. Çünkü her iki ifade de fonksiyonların teklik ve çiftlik tanımlarını ve değişkenin işaret değişimini tam olarak doğrulamaktadır.
Adım Adım Çözüm
1
Tanımları yazalım.
f tek fonksiyon olduğundan her x gerçel sayısı için f(−x)=−f(x) olur. g çift fonksiyon olduğundan her x gerçel sayısı için g(−x)=g(x) olur.
Fonksiyonların teklik ve çiftlik özelliklerini cebirsel olarak kullanabilmek için.
2
I. öncülü inceleyelim: h(x)=(g∘f)(x)=g(f(x))
h(−x)=g(f(−x))=g(−f(x)) yazılır. g çift fonksiyon olduğundan g(−f(x))=g(f(x))=h(x) elde edilir. Dolayısıyla h(x) çift fonksiyondur. Bu durumda I. öncül yanlıştır.
Bileşke fonksiyonun teklik/çiftlik durumunu test etmek için.
3
II. öncülü inceleyelim: k(x)=x⋅f(x)+g(x)
k(−x)=(−x)⋅f(−x)+g(−x)=(−x)⋅(−f(x))+g(x)=x⋅f(x)+g(x)=k(x) olur. Dolayısıyla k(x) çift fonksiyondur. Bu durumda II. öncül doğrudur.
Çarpım ve toplam biçimindeki fonksiyonların teklik/çiftliğini test etmek için.
4
III. öncülü inceleyelim: r(x)=f(x)⋅g(x)+x3
r(−x)=f(−x)⋅g(−x)+(−x)3=(−f(x))⋅g(x)−x3=−(f(x)⋅g(x)+x3)=−r(x) olur. Dolayısıyla r(x) tek fonksiyondur. Bu durumda III. öncül doğrudur.
Tek ve çift fonksiyonun çarpımı ile bir tek fonksiyonun toplamının teklik durumunu belirlemek için.
Anahtar Kavram
Tek ve çift fonksiyonların cebirsel özellikleri, bileşke, çarpım ve toplam işlemlerindeki simetri kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f çift fonksiyon, g ise tek fonksiyondur. Her x gerçel sayısı için,
f(x)−3⋅g(−x)=2x2−6x+4
eşitliği sağlandığına göre, f(3)+g(3) toplamının değeri kaçtır?
f(x)−3⋅g(−x)=2x2−6x+4
eşitliği sağlandığına göre, f(3)+g(3) toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 16
Cevap
f(3)+g(3) toplamının değeri 16'dır.
Verilen f(x)−3g(−x)=2x2−6x+4 eşitliğinde g(−x)=−g(x) parite özelliği kullanılarak f(x)+3g(x)=2x2−6x+4 denklemi elde edilir. Bu denklemde sırasıyla x=3 ve x=−3 değerleri yazılıp f(−3)=f(3) ile g(−3)=−g(3) özellikleri uygulandığında elde edilen iki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden f(3)=22 ve g(3)=−6 bulunur. Buradan da toplam 16 olarak hesaplanır.
Adım Adım Çözüm
1
Verilen denklemde tek fonksiyon özelliğini uygulayarak denklemi sadeleştirmek.
f(x)+3g(x)=2x2−6x+4 denklemi elde edilir.
g tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x) eşitliği geçerlidir.
2
Elde edilen denklemde x=3 yazarak f(3) ve g(3) terimlerini içeren ilk denklemi bulmak.
f(3)+3g(3)=4 eşitliği elde edilir.
x=3 için 2(3)2−6(3)+4=18−18+4=4 olur.
3
Elde edilen denklemde x=−3 yazarak f(−3) ve g(−3) terimlerini içeren ikinci denklemi bulmak ve çift/tek fonksiyon özellikleri ile düzenlemek.
f(3)−3g(3)=40 eşitliği elde edilir.
x=−3 için 2(−3)2−6(−3)+4=40 olur. Ayrıca f çift olduğundan f(−3)=f(3) ve g tek olduğundan g(−3)=−g(3) eşitlikleri kullanılır.
4
Bulunan f(3)+3g(3)=4 ve f(3)−3g(3)=40 denklem sistemini çözerek f(3) ve g(3) değerlerini hesaplamak.
f(3)=22 ve g(3)=−6 olarak bulunur.
Denklemler taraf tarafa toplandığında 2f(3)=44⇒f(3)=22 elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 22+3g(3)=4⇒3g(3)=−18⇒g(3)=−6 olur.
5
f(3)+g(3) toplamını hesaplamak.
f(3)+g(3)=22+(−6)=16 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerini bulmak için.
Anahtar Kavram
Tek ve çift fonksiyonların parite özellikleri (f(−x)=f(x) ve g(−x)=−g(x)) ve fonksiyonel denklemlerin çözümü.
Soru 7Soru →
Dik koordinat düzleminde tanımlı, gerçel sayılar kümesi üzerinde olan f fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre, g fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.
Her x gerçel sayısı için,
3⋅f(x)+g(−x)=x2−4x+6
eşitliği sağlanmaktadır.
3⋅f(x)+g(−x)=x2−4x+6
eşitliği sağlanmaktadır.
f(2)=3 olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?
-11
-7
5
7
11
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 7
Cevap
Doğru cevap 7 değerini içeren seçenektir.
Doğru seçenekte yer alan 7 değeri, f fonksiyonunun çift ve g fonksiyonunun tek fonksiyon olduğu kurallarının eksiksiz ve doğru uygulanmasıyla elde edilir. x = 2 yazılarak elde edilen 3 * f(2) + g(-2) = 2 denkleminde, f(2) = 3 değeri yerine konulduğunda g(-2) = -7 bulunur. g tek fonksiyon olduğu için g(2) = -g(-2) = 7 sonucuna ulaşılır.
Adım Adım Çözüm
1
Grafiklerin simetri özelliklerinden yararlanarak fonksiyonların teklik ve çiftlik durumlarını belirleme.
f fonksiyonunun grafiği y-eksenine göre simetrik olduğundan f bir çift fonksiyondur. Dolayısıyla her x için f(-x) = f(x) olur. g fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan g bir tek fonksiyondur. Dolayısıyla her x için g(-x) = -g(x) olur.
Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri tanımlarını cebirsel ifadelere dönüştürmek için.
2
Verilen denklemde istenen g(2) değerine ulaşmak amacıyla x = 2 yazarak denklemi düzenleme.
x = 2 için denklem: 3 * f(2) + g(-2) = 2^2 - 4*(2) + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 haline gelir.
g(2) ve g(-2) değerleri arasındaki ilişkiyi kurabileceğimiz bir eşitlik elde etmek için.
3
f(2) = 3 değerini denklemde yerine yazarak g(-2) değerini bulma.
3 * 3 + g(-2) = 2 ise 9 + g(-2) = 2 buradan g(-2) = -7 olarak bulunur.
Tek bilinmeyenli denklem çözümünü tamamlamak için.
4
g fonksiyonunun tek fonksiyon olma özelliğini kullanarak g(2) değerini hesaplama.
g(-2) = -g(2) olduğundan, -7 = -g(2) ise g(2) = 7 elde edilir.
g(-2) değerinden g(2) değerine geçiş yapmak için.
Anahtar Kavram
Tek ve çift fonksiyonların grafiklerinin simetri özellikleri (y-eksenine göre simetri çift fonksiyon, orijine göre simetri tek fonksiyon belirtir) ve bu fonksiyonların cebirsel kuralları.
Soru 8Soru →
Tüm gerçel sayılar için tanımlı f fonksiyonu tek, g fonksiyonu ise çift fonksiyondur.
Her x gerçel sayısı için
f(x)+g(x)=2x3+(a−3)x2+(b+1)x+2a−b
eşitliği sağlanmaktadır.
f(x)+g(x)=2x3+(a−3)x2+(b+1)x+2a−b
eşitliği sağlanmaktadır.
f(1)=5 ve g(2)=10 olduğuna göre, a⋅b çarpımı kaçtır?
6
10
12
16
8
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 8
Cevap
8
Verilen fonksiyon toplamında, tek fonksiyon olan f(x) sadece tek dereceli terimleri (2x3 ve (b+1)x), çift fonksiyon olan g(x) ise sadece çift dereceli terimleri ve sabit terimi ((a−3)x2 ve 2a−b) içermelidir. Bu ayrıştırma yapıldıktan sonra f(1)=5 eşitliğinden b=2 ve g(2)=10 eşitliğinden a=4 elde edilir. Bu değerlerin çarpımı 8 değerini verir.
Adım Adım Çözüm
1
Fonksiyonların teklik ve çiftlik özelliklerini kullanarak polinomun terimlerini ayrıştırın.
f(x)=2x3+(b+1)x ve g(x)=(a−3)x2+2a−b elde edilir.
Tek fonksiyonlar sadece tek dereceli terimleri, çift fonksiyonlar ise sadece çift dereceli terimleri ve sabit terimi barındırır.
2
f(1)=5 eşitliğini kullanarak b değerini hesaplayın.
f(1)=2(1)3+(b+1)(1)=b+3=5⟹b=2 bulunur.
Tek fonksiyon bileşeninde verilen değeri yerine yazarak bilinmeyen b katsayısını belirlemek için.
3
g(2)=10 eşitliğini ve bulunan b=2 değerini kullanarak a değerini hesaplayın.
g(2)=(a−3)(22)+2a−b=6a−14=10⟹6a=24⟹a=4 bulunur.
Çift fonksiyon bileşeninde verilen değeri yerine yazarak bilinmeyen a katsayısını belirlemek için.
4
Bulunan a ve b değerlerinin çarpımını bulun.
a⋅b=4⋅2=8 olarak hesaplanır.
Soruda istenen çarpım değerine ulaşmak için.
Anahtar Kavram
Polinom tipindeki tek ve çift fonksiyonların derecelerine göre terim ayrıştırması