All practice questions

İç içe geçmiş iki dairesel diskten oluşan bir şifreleme mekanizmasında:

* Dış disk $8$ eşit bölmeye ayrılmış olup üzerindeki bölgeler saat yönünde sırasıyla $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ sayıları ile numaralandırılmıştır.
* İç disk $6$ eşit bölmeye ayrılmış olup üzerindeki bölgeler saat yönünde sırasıyla $A, B, C, D, E, F$ harfleriyle işaretlenmiştir.
* Mekanizmanın en üst noktasında sabit bir gösterge bulunmaktadır. Başlangıçta gösterge dış diskte $1$ sayısını, iç diskte ise $A$ harfini göstermektedir.

Her bir tıkta dış disk saat yönünde $1$ bölme, iç disk ise saat yönünün tersine $1$ bölme dönmektedir.

Buna göre, mekanizma çalıştırıldıktan en az kaç tık sonra gösterge aynı anda dış diskte $3$ sayısını, iç diskte ise $E$ harfini gösterir?

14

18

22

10

26

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

22

Göstergede aynı anda 3 sayısı ve E harfinin görülebilmesi için geçen tık sayısı n olsun. Dış disk saat yönünde döndüğünden göstergeye sırasıyla 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 değerleri gelir ve 3 sayısı 6. tıkta ve sonrasında her 8 tıkta bir görünür (n = 6, 14, 22, ...). İç disk saat yönünün tersine döndüğünden göstergeye sırasıyla A, B, C, D, E, F değerleri gelir ve E harfi 4. tıkta ve sonrasında her 6 tıkta bir görünür (n = 4, 10, 16, 22, ...). İki dizilimde ortak olan en küçük tık sayısı 22 olduğundan doğru cevap 22 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Dış diskin dönüşünü analiz ederek göstergedeki sayıların değişim kuralını belirlemek.

n

tık sayısı olmak üzere, göstergeye

3

sayısının gelmesi için

n \equiv 6 \pmod 8

olmalıdır.

Dış disk saat yönünde döndüğü için, üzerindeki sayılar gösterge hizasından saat yönünün tersi yönde (yani geriye doğru: 8, 7, 6...) geçecektir. Dolayısıyla

1

'den sonra sırasıyla

8, 7, 6, 5, 4, 3

değerleri gelir ve ilk olarak

6

. tıkta göstergeye

3

ulaşır. Bu durum her

8

tıkta bir tekrarlanır.

2

İç diskin dönüşünü analiz ederek göstergedeki harflerin değişim kuralını belirlemek.

n

tık sayısı olmak üzere, göstergeye

E

harfinin gelmesi için

n \equiv 4 \pmod 6

olmalıdır.

İç disk saat yönünün tersine döndüğü için, üzerindeki harfler gösterge hizasından saat yönünde (yani ileriye doğru: B, C, D, E...) geçecektir. Dolayısıyla

A

'dan sonra sırasıyla

B, C, D, E

harfleri gelir ve ilk olarak

4

. tıkta göstergeye

E

ulaşır. Bu durum her

6

tıkta bir tekrarlanır.

3

Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif

n

tam sayısını bulmak.

n = 22

n \equiv 6 \pmod 8

koşulunu sağlayan

n

değerleri

6, 14, 22, 30...

şeklindedir. Bu değerlerden

6 \pmod 6

özelliğine bakıldığında,

22 \equiv 4 \pmod 6

koşulunu sağlayan en küçük değerin

22

olduğu görülür.

Key Concept

Dairesel düzeneklerde bağıl dönme yönleri ve periyodik durumların modüler aritmetik ile çözülmesi.

Question 2522Question →

Bir spor kulübündeki sporcuların tamamı yüzme veya tenis branşlarından en az biriyle ilgilenmektedir. Bu kulüpten rastgele seçilen bir sporcunun yüzme branşıyla ilgilenme olasılığı $\frac{2}{3}$ , tenis branşıyla ilgilenme olasılığı ise $\frac{3}{5}$ 'tir. Buna göre, bu kulüpten rastgele seçilen bir sporcunun hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığı kaçtır?

\frac{11}{15}

\frac{2}{5}

\frac{4}{15}

\frac{7}{15}

\frac{8}{15}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{15}$

Answer

Hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığı

\frac{4}{15}

'tir.

Yüzme ve tenis branşlarının her ikisiyle de ilgilenme olasılığı olan

\frac{4}{15}

doğru cevaptır. Sporcuların tamamı en az bir branşla ilgilendiği için birleşim olasılığı 1'dir. Toplamsallık kuralına göre

P(Y \cup T) = P(Y) + P(T) - P(Y \cap T)

formülünden kesişim olasılığı

\frac{4}{15}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Yüzme branşıyla ilgilenme olayını

Y

, tenis branşıyla ilgilenme olayını

T

ile tanımlayal��m.

P(Y) = \frac{2}{3}

,

P(T) = \frac{3}{5}

ve sporcuların tamamı en az bir branşla ilgilendiği için

P(Y \cup T) = 1

olur.

Verilen sözel ifadeleri matematiksel sembollerle göstermek ve örnek uzayın sınırlarını belirlemek için.

2

İki olayın birleşim olasılığı formülünü yazalım.

P(Y \cup T) = P(Y) + P(T) - P(Y \cap T)

Hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığını yani kesişim kümesinin olasılığını bulmak amacıyla bu temel kuralı uygularız.

3

Bilinen olasılık değerlerini formülde yerine yazalım ve kesişim olasılığını yalnız bırakalım.

1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - P(Y \cap T) \Rightarrow P(Y \cap T) = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - 1

Aranan kesişim olasılığı değerini hesaplamak için gerekli cebirsel düzenlemeyi yapmak amacıyla.

4

Rasyonel sayılarda ortak paydayı 15 yaparak çıkarma işlemini tamamlayalım.

P(Y \cap T) = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} - \frac{15}{15} = \frac{4}{15}

Paydaları eşitleyip işlemi gerçekleştirerek nihai olasılık değerine ulaşmak için.

Key Concept

Olasılık Birleşim Özelliği ve Kesişim Olasılığı

Alternative Method

Venn şeması çizilerek de çözülebilir. Yüzme ve tenis branşları için kesişen iki küme çizilir, birleşimin olasılığı 1'e eşitlenerek kesişim bölgesi bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2523Question →

Bir $ABCD$ paralelkenarında $[AC]$ köşegeni çizilmiştir. $D$ köşesinden $[AC]$ köşegenine indirilen dikmenin ayağı $E$ , $B$ köşesinden $[AC]$ köşegenine indirilen dikmenin ayağı ise $F$ noktasıdır.

$|AE| = 3\text{ cm}$ , $|EF| = 8\text{ cm}$ ve $|DE| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $ABCD$ paralelkenarının alanı kaç $\text{cm}^2$ 'dir?

28

32

44

56

76

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Paralelkenarın alanı 56 santimetrekaredir.

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel ve eşit uzunlukta olduğundan,

D

ve

B

köşelerinden köşegene indirilen dikmeler eş üçgenler oluşturur. Buradan

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

elde edilir. Köşegenin toplam uzunluğu

|AC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm}

olur. Paralelkenarın alanı ise

|AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının paralelliğini ve uzunluklarının eşitliğini kullanarak üçgenler arasındaki eşliği belirleme.

AD \parallel BC

olduğu için iç ters aç��lardan

m(\widehat{DAE}) = m(\widehat{BCF})

olur.

[DE] \perp [AC]

ve

[BF] \perp [AC]

olduğundan

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

dik üçgenlerdir. Hipotenüsleri eşit (

|AD| = |BC|

) ve birer dar açıları eşit olduğu için

\triangle ADE \cong \triangle CBF

(Eş üçgenler) olur.

Köşegen üzerinde ayrılan parçaların uzunluklarını belirlemek için eşlik kuralı uygulanmalıdır.

2

Eşlikten faydalanarak bilinmeyen parça uzunluklarını bulma.

Üçgenlerin eşliğinden dolayı,

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

ve

|BF| = |DE| = 4\text{ cm}

elde edilir.

Köşegenin toplam uzunluğunu bulmak için tüm parçaların bilinmesi gerekir.

3

[AC]

köşegeninin toplam uzunluğunu hesaplama.

|AC| = |AE| + |EF| + |FC| = 3 + 8 + 3 = 14\text{ cm}

bulunur.

Paralelkenarı oluşturan üçgenlerin ortak taban uzunluğunu elde etmek için.

4

Paralelkenarın toplam alanını hesaplama.

ABCD

paralelkenarının alanı,

[AC]

köşegeninin ayırdığı iki eş üçgenin alanları toplamına eşittir.

\text{Alan}(ABCD) = 2 \times \text{Alan}(\triangle ADC) = 2 \times \frac{|AC| \times |DE|}{2} = |AC| \times |DE| = 14 \times 4 = 56\text{ cm}^2

bulunur.

Taban ve bu tabana ait yükseklik bilindiğinden alan formülüyle sonuca ulaşılır.

Key Concept

Paralelkenarda köşegenin özelliklerini ve karşılıklı köşelerden köşegene indirilen dikmelerin eşliğini kullanarak alan hesaplama.

Hints

1

Paralelkenarın karşılıklı kenarları paralel olduğundan iç ters açıları belirleyerek benzer veya eş üçgenler aramayı deneyin.

2

AD \parallel BC

bilgisini kullanarak

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

dik üçgenlerinin eş olduğunu gösterin. Buradan

|CF|

uzunluğunu bulun.

3

|CF| = |AE| = 3\text{ cm}

olduğunu bulduktan sonra köşegenin toplam uzunluğunu hesaplayıp alanın

|AC| \times |DE|

formülüyle bulunacağını hatırlayın.

Practice More

Karşılıklı iki köşeden köşegene dikme indirildiğinde oluşan eş dik üçgenlerin özelliklerini pekiştirmek için benzer bir soruyu dikdörtgen üzerinde çözebilirsiniz.

Alternative Method

Paralelkenarın alanını, iki ayrı dik üçgen (

\triangle ADE

ve

\triangle CBF

) ile ortadaki iki üçgenin veya dikdörtgensel bölgenin alanlarının toplamı şeklinde parçalayarak da bulabilirsiniz.

\text{Alan}(\triangle ADE) = \text{Alan}(\triangle CBF) = \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2

ve ortadaki

[DE]

ile

[BF]

yüksekliklerinin sınırladığı bölgelerin alanları toplamını taban parçalarıyla çarparak hesaplayabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 2524Question →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ olayının gerçekleşip $B$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(A \cap B') = \frac{1}{3}$ , $B$ olayının gerçekleşip $A$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(B \cap A') = \frac{1}{4}$ ve bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ olarak verilmektedir.

Buna göre, hem $A$ hem de $B$ olayının birlikte gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cap B)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{12}

\frac{2}{5}

\frac{1}{60}

\frac{4}{15}

\frac{11}{35}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{60}$

Answer

Hem

A

hem de

B

olayının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{60}

'tır.

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların kesişimi ile sadece birinin gerçekleşip diğerinin gerçekleşmediği fark olaylarının olasılıklarının toplamıdır.

P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)

formülünde verilen değerleri yerine yazdığımızda

\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)

denklemi elde edilir. Buradan

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

toplamı bulunup birleşim olasılığı olan

\frac{3}{5}

'ten çıkarıldığında

P(A \cap B) = \frac{1}{60}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Birleşim formülünü fark ve kesişim kümeleri cinsinden ifade etme

P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)

İki olayın birleşimi; sadece ilk olayın gerçekleştiği, sadece ikinci olayın gerçekleştiği ve her ikisinin de gerçekleştiği ayrık bölgelerin toplamına eşittir.

2

Verilen olasılık değerlerini formülde yerine koyma

\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)

Soruda verilen

P(A \cap B') = \frac{1}{3}

,

P(B \cap A') = \frac{1}{4}

ve

P(A \cup B) = \frac{3}{5}

değerlerini formüle yerleştirmek için.

3

Rasyonel sayıları toplama ve payda eşitleme

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

ve denklem

\frac{3}{5} = \frac{7}{12} + P(A \cap B)

halini alır.

Bilinmeyen kesişim olasılığını yalnız bırakmak amacıyla bilinen değerleri toplamak için.

4

P(A \cap B)

değerini bulmak için çıkarma işlemi yapma

P(A \cap B) = \frac{3}{5} - \frac{7}{12} = \frac{36}{60} - \frac{35}{60} = \frac{1}{60}

Denklemin her iki tarafından

\frac{7}{12}

çıkarıp paydaları 60'ta eşitleyerek kesi��im olasılığını hesaplamak için.

Key Concept

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların ayrık alt bölgelerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

Hints

1

Birleşim kümesinin, kesişim kümesi ve fark kümelerinin birleşiminden oluştuğunu hatırlayın.

2

Venn şeması çizerek A fark B, B fark A ve A kesişim B bölgelerini yerleştirin. Bu üç bölgenin toplam olasılığı A birleşim B olasılığına eşit olacaktır.

3

3/5 = 1/3 + 1/4 + P(A kesişim B) denklemini kurun ve rasyonel sayılarda paydaları eşitleyerek bilinmeyeni çözün.

Practice More

Benzer bir soruda bağımsız olaylar verildiğinde kesişim olasılığının nasıl hesaplanacağını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması üzerinde tüm olasılıkları ortak bir payda olan 60'a genişleterek düşünebilirsiniz: P(A fark B) = 20/60, P(B fark A) = 15/60 ve P(A birleşim B) = 36/60 olur. Birleşim bölgesi bu üç parçanın toplamı olduğundan, kesişim bölgesi 36/60 - (20/60 + 15/60) = 1/60 olarak kolayca bulunabilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2525Question →

Mert ve Nilgün isimli iki kardeşin bugünkü yaşları sırasıyla $x$ ve $y$ ’dir. Mert, Nilgün’ün bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı $34$ olacaktır. Nilgün, Mert’in bugünkü yaşındayken ikisinin yaşları toplamı $18$ olduğuna göre, Mert’in bugünkü yaşı kaçtır?

9

11

13

15

17

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Mert'in bugünkü yaşı 11'dir.

Mert'in bugünkü yaşı 11 ve Nilgün'ün bugünkü yaşı 15'tir. Aralarındaki yaş farkı 4'tür. Mert, Nilgün'ün yaşına geldiğinde (4 yıl sonra) yaşları sırasıyla 15 ve 19 olur, toplamları 34 yapar. Nilgün, Mert'in bugünkü yaşındayken (4 yıl önce) yaşları 7 ve 11 olur, toplamları 18 yapar. Bu değerler tüm koşulları sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Mert ve Nilgün'ün bugünkü yaşları sırasıyla

x

ve

y

olarak tanımlanır. Mert, Nilgün'ün yaşına geleceğine göre Nilgün, Mert'ten büyüktür (

y > x

). İki kardeş arasındaki yaş farkı

d = y - x

olsun.

Yaş farkı

d = y - x

olarak belirlenir.

Geçen süreyi ve yaş değişimlerini ifade edebilmek için yaş farkı tanımlanmalıdır.

2

Mert'in Nilgün'ün yaşına gelmesi için

d

yıl geçmesi gerekir. Bu durumda Mert

y

yaşına, Nilgün ise

y + d

yaşına gelir. Yaşları toplamı

34

olacağına göre denklem kurulur:

y + (y + d) = 34 \Rightarrow 2y + d = 34

.

Birinci denklem:

2y + d = 34

elde edilir.

Gelecekteki yaş durumu denklem haline getirilir.

3

Nilgün'in Mert'in bugünkü yaşındayken, yani

d

yıl önce, Mert

x - d

yaşında, Nilgün ise

x

yaşındaydı. Yaşları toplamı

18

olduğuna göre denklem kurulur:

(x - d) + x = 18 \Rightarrow 2x - d = 18

.

İkinci denklem:

2x - d = 18

elde edilir.

Geçmişteki yaş durumu denklem haline getirilir.

4

Elde edilen

2y + d = 34

ve

2x - d = 18

denklemleri taraf tarafa toplanır:

(2y + d) + (2x - d) = 34 + 18 \Rightarrow 2(x + y) = 52 \Rightarrow x + y = 26

bulunur.

İki kardeşin bugünkü yaşları toplamı

x + y = 26

olarak bulunur.

d

değişkenini yok ederek bugünkü yaşlar toplamına ulaşmak hedeflenir.

5

Birinci denklemden ikinci denklem çıkarıl��r:

(2y + d) - (2x - d) = 34 - 18 \Rightarrow 2(y - x) + 2d = 16

. Yaş farkı tanımından

y - x = d

yerine yazılırsa:

2d + 2d = 16 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4

elde edilir.

Yaş farkı

d = 4

olarak hesaplanır.

Kardeşlerin yaş farkını bularak bireysel yaşları bulmak kolaylaştırılır.

6

Bugünkü yaşlar toplamı

x + y = 26

ve yaş farkı

y - x = 4

ortak çözülür. İki denklem taraf tarafa toplanırsa

2y = 30 \Rightarrow y = 15

ve buradan Mert'in yaşı

x = 11

bulunur.

Mert'in bugünkü yaşı

x = 11

olarak hesaplanır.

Denklem sisteminin çözümünden istenen değişkenin değeri bulunur.

Key Concept

İki kişinin yaşları farkının zamanla değişmemesi ve yaşları toplamının geçen sürenin iki katı kadar artması.

Hints

1

İki kardeş arasındaki yaş farkını

d

olarak belirleyip geçmiş ve gelecekteki yaşları

d

cinsinden yazarak iki bilinmeyenli denklem sistemi kurmayı deneyin.

Practice More

Benzer şekilde üç kişinin yaşları toplamının zamana göre değişimini içeren sorular çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

İki kardeşin yaşları toplamının zamana göre değişimini inceleyebiliriz.

d

yıl sonra ikisinin yaşları toplamı

2d

artar,

d

yıl önce ise

2d

azdır. Bu iki durum arasındaki yaş toplamları farkından

2d + 2d = 4d

olduğunu görürüz. Buradan

34 - 18 = 16 \Rightarrow 4d = 16 \Rightarrow d = 4

bulunur. Kardeşlerin yaşları toplamı bugün

34 - 2(4) = 26

olur. Toplamları 26, farkları 4 olan iki sayıdan küçük olanı (Mert'in yaşı)

(26 - 4) / 2 = 11

olarak hesaplanır.

Estimated Time:1m 30s

Question 2526Question →

\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{2}{3}} \div \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)

işleminin sonucu kaçtır?

15

-9

9

19

\frac{15}{2}

Show answer & explanation

Answer: $9$

Answer

İşlemin doğru sonucu 9 olan seçenektir.

İşlem adımları sırasıyla uygulandığında, ilk kesrin payı

\frac{5}{2}

ve paydası

\frac{5}{3}

olarak bulunur. Bu iki ifadenin birbirine oranı

\frac{3}{2}

değerini verir. Parantez içindeki çıkarma işleminin sonucu ise

\frac{1}{6}

'dır. Son adımda

\frac{3}{2}

sayısı

\frac{1}{6}

sayısına bölündüğünde doğru sonuç olan

9

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İlk kesrin payında yer alan çıkarma işlemini yapalım.

3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için tam sayının paydası genişletilerek eşitlenir.

2

İlk kesrin paydasında yer alan toplama işlemini yapalım.

1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

Rasyonel sayılarda toplama işlemi yapabilmek için paydalar ortak kat olan 3'te eşitlenir.

3

Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak birinci kesrin sonucunu bulalım.

\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{2}

İki rasyonel sayının bölme işleminde, birinci kesir aynen yazılırken ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

4

Parantez içerisindeki rasyonel çıkarma işlemini tamamlayalım.

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}

Paydaları en küçük ortak katları olan 6 sayısında eşitleyerek çıkarma işlemini gerçekleştiririz.

5

Bulduğumuz birinci kesir değerini, parantez içindeki işlemin sonucuna bölelim.

\frac{3}{2} \div \frac{1}{6} = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9

Bölme kuralı gereği ikinci kesri ters çevirip birinci kesirle çarparak sonucu elde ederiz.

Key Concept

Rasyonel Sayılarda Dört İşlem

Question 2527Question →

Bir şifreli kilit mekanizmasında, ortak merkezli sırasıyla $8$ ve $12$ eşit bölmeye ayrılmış iki dairesel disk bulunmaktadır. Bölmeler, her iki diskte de saat yönünde sırasıyla $1$ 'den başlayarak ardışık sayılarla numaralandırılmıştır. Mekanizmanın en üst noktasında sabit bir gösterge çizgisi yer almaktadır. Başlangıçta her iki diskin de $1$ numaralı bölmesi bu gösterge çizgisiyle hizalanmıştır.

Mekanizma çalıştırıldığında her bir adımda:
* İçteki disk saat yönünün tersine dönmekte, böylece gösterge çizgisinin işaret ettiği sayı her adımda $1$ artmaktadır ( $8$ 'den sonra tekrar $1$ gelmektedir).
* Dıştaki disk saat yönünde dönmekte, böylece gösterge çizgisinin işaret ettiği sayı her adımda $1$ azalmaktadır ( $1$ 'den sonra tekrar $12$ gelmektedir).

Buna göre, kilit mekanizması çalıştırıldıktan en az kaç adım sonra gösterge çizgisinin işaret ettiği sayıların toplamı ilk kez $10$ olur?

4

8

12

16

20

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Mekanizma çalıştırıldıktan en az 16 adım sonra gösterge çizgisinin işaret ettiği sayıların toplamı 10 olur.

Toplamın ilk kez 10 olması için içteki çarkın 1 ve dıştaki çarkın 9 değerini gösterdiği 16. adımın gerçekleşmesi gerekir. Bu adımda içteki çark 16. adım sonunda tam turlarını tamamlayarak tekrar başlangıçtaki 1 değerine ulaşır. Dıştaki çark ise 16 adım geriye giderek 9 değerine ulaşır. Bu iki değerin toplamı 10'dur ve bu durum ilk kez 16. adımda gerçekleşir.

Step-by-Step Solution

1

Çarkların her adımdaki hareket kurallarını ve gösterdikleri sayıların genel ifadesini belirleme

İç çarkın gösterdiği sayı

I(n) = (n \bmod 8) + 1

düzeniyle 1'den başlayıp artarken, dış çarkın gösterdiği sayı

D(n) = (13 - n) \bmod 12

düzeniyle (burada 0 yerine 12 alınarak) 1'den başlayıp azalır.

Adım sayısına bağlı olarak her iki çarkın hangi sayıları göstereceğini matematiksel olarak modellemek için.

2

İlk 16 adımdaki değerleri ve bu değerlerin toplamını inceleme

n = 16

için iç çark

16 \equiv 0 \pmod 8

olduğundan başlangıç değeri olan

1

'i gösterir. Dış çark ise 16 adım geriye giderek

D(16) = (13 - 16) \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12}

değerini gösterir.

Çarkların gösterdiği sayıların toplamının 10 olduğu en küçük adım sayısını bulmak için.

3

Elde edilen değerlerin toplamını doğrulama ve en küçük adım olduğunu kontrol etme

16. adımda

I(16) + D(16) = 1 + 9 = 10

olur. 0 ile 15 arasındaki hiçbir adımda bu toplam 10'a ulaşmaz (örneğin 1-7 adımlarda toplam 14, 8-12 adımlarda toplam 6, 13-15 adımlarda toplam 18'dir).

Soruda istenen 'en az' ve 'ilk kez' koşullarının sağlandığından emin olmak için.

Key Concept

Periyodik dairesel düzeneklerde hareket yönü ve modüler aritmetik kullanarak durum analizi yapma

Question 2528Question →

Analitik düzlemde $A(-4, y)$ ve $B(x, 8)$ noktaları veriliyor. $[AB]$ doğru parçasını içten $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{3}$ oranında bölen nokta $C(2, 2)$ olduğuna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

-3

-1

4

9

13

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9

Doğru cevap 9'dur. C noktası AB doğru parçasını 2/3 oranında içten böldüğü için koordinatlardaki artış/azalış miktarları bu oranla doğru orantılıdır. x koordinatı -4'ten 2'ye 6 arttığı için (2 birimlik oran), 2'den x'e 9 artmalıdır (3 birimlik oran) ve buradan x = 11 bulunur. y koordinatı ise 2'den 8'e 6 arttığı için (3 birimlik oran), y'den 2'ye 4 artmalıdır (2 birimlik oran) ve buradan y = -2 bulunur. Bu iki değerin toplamı 11 + (-2) = 9 olur.

Step-by-Step Solution

1

x-koordinatındaki artış miktarını kullanarak x değerini bulmak.

x = 11

C

noktası

[AB]

'yi

2:3

oranında böldüğü için

A

ile

C

arası

2k

,

C

ile

B

arası

3k

birimdir. x koordinatı

A(-4)

'dan

C(2)

'ye

6

artmıştır.

2k = 6 \implies k = 3

olur.

C(2)

'den

B(x)

'ye olan artış

3k = 9

olmalıdır. Buradan

x = 2 + 9 = 11

bulunur.

2

y-koordinatındaki değişim miktarını kullanarak y değerini bulmak.

y = -2

y koordinatı

C(2)

'den

B(8)

'e

6

artmıştır. Bu artış

3k

birime karşılık geldiğinden

3k = 6 \implies k = 2

olur.

A(y)

'dan

C(2)

'ye olan artış

2k = 4

olmalıdır. Buradan

2 - y = 4 \implies y = -2

bulunur.

3

Bulunan x ve y değerlerinin toplamını hesaplamak.

x + y = 9

Soruda istenen

x+y

ifadesinde bulunan değerler yerine yazılarak

11 + (-2) = 9

sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Doğru Parçasını Oranlı Bölme

Question 2529Question →

Bir fidanlıktaki toplam fidanların $\frac{2}{5}$ 'si çam fidanıdır. Kalan fidanların $\frac{1}{3}$ 'i meşe fidanıdır. Geriye kalan fidanların yarısından 40 eksik olan kısmı ise huş fidanıdır.

Fidanlıkta son durumda geriye kalan 160 fidan ladin fidanı olduğuna göre, başlangıçta fidanlıkta bulunan toplam fidan sayısı kaçtır?

400

600

720

900

1000

Show answer & explanation

Answer: 600

Answer

Başlangıçtaki toplam fidan sayısı 600'dür.

Toplam fidan sayısına

x

dediğimizde sırasıyla çam, meşe ve huş fidanlarını düştükten sonra elimizde kalan fidanların

\frac{1}{5}x + 40

olduğunu görürüz. Bu ifadeyi 160'a eşitlediğimizde

x = 600

sonucuna ulaşırız. Bu nedenle 600 fidan değerini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Toplam fidan sayısına

x

diyerek çam fidanı sayısını ve çam fidanları ayrıldıktan sonra kalan fidan sayısını

x

cinsinden belirleyelim.

Çam fidanı sayısı

\frac{2}{5}x

ve kalan fidan sayısı

x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x

olur.

Soru kalan fidanlar üzerinden devam ettiği için her aşamada kalan miktarı bulmamız gerekir.

2

Kalan fidanların

\frac{1}{3}

'inin meşe fidanı olduğunu kullanarak meşe fidanı sayısını hesaplayalım ve ardından kalan yeni fidan miktarını bulalım.

Meşe fidanı sayısı:

\frac{3}{5}x \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}x

. Yeni kalan fidan sayısı:

\frac{3}{5}x - \frac{1}{5}x = \frac{2}{5}x

olur.

Meşe fidanları da ayrıldıktan sonra geriye kalan fidan oranını belirlemek için çıkarma işlemi yaparız.

3

Geriye kalan fidanların yarısından 40 eksik olan kısmın huş fidanı olduğunu belirten ifadeyi denkleme dökelim.

Huş fidanı sayısı:

\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}x - 40 = \frac{1}{5}x - 40

olur.

Huş fidanlarının miktarını

x

cinsinden ifade etmek için kalan fidanların yarısından 40 çıkarırız.

4

Huş fidanları da ayrıldıktan sonra geriye kalan fidan sayısını bulup bu miktarı ladin fidanı sayısı olan 160'a eşitleyelim ve

x

değerini çözelim.

Son kalan fidan sayısı:

\frac{2}{5}x - (\frac{1}{5}x - 40) = \frac{1}{5}x + 40

olur. Bu durumda,

\frac{1}{5}x + 40 = 160 \Rightarrow \frac{1}{5}x = 120 \Rightarrow x = 600

bulunur.

Ladin fidanları en son kalan fidanlar olduğu için son kalan cebirsel ifadeyi 160'a eşitleyerek toplam fidan sayısına ulaşırız.

Key Concept

Kesir problemlerinde kalan miktarlar üzerinden adım adım denklem kurma ve bilinmeyen yönetimi.

Hints

1

Kalan fidanlar üzerinden işlem yaparken her adımda yeni kalan miktarı bulmaya dikkat edin.

2

Kolaylık sağlamak için toplam fidan sayısına paydaların çarpımı olan

30k

gibi bir değer vererek kesirlerden kurtulabilirsiniz.

Alternative Method

Kesirlerin paydalarında 5, 3 ve yarısı ifadesi için 2 sayıları bulunmaktadır. Bunların en küçük ortak katı olan

5 \times 3 \times 2 = 30

değerini kullanarak toplam fidan sayısına

30k

diyelim.
- Çam fidanı:

30k \times \frac{2}{5} = 12k

(Kalan:

18k

)
- Meşe fidanı:

18k \times \frac{1}{3} = 6k

(Kalan:

12k

)
- Huş fidanı:

12k

'nın yarısından 40 eksik yani

6k - 40

(Kalan:

12k - (6k - 40) = 6k + 40

)
- Son kalan ladin fidanı:

6k + 40 = 160 \Rightarrow 6k = 120 \Rightarrow k = 20

- Toplam fidan:

30k = 30 \times 20 = 600

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2530Question →

Bir hastanede kurulacak 4 kişilik bir araştırma ekibi için 3 kardiyolog ve 4 nörolog aday gösterilmiştir. Bu ekipte en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunması zorunludur. Ayrıca adaylar arasında yer alan Kardiyolog Dr. Ahmet ile Nörolog Dr. Mehmet aynı ekipte birlikte çalışmak istememektedir. Buna göre, bu araştırma ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

14

19

24

25

34

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Ekip 24 farklı şekilde oluşturulabilir.

Doğru cevap 24'tür. En az bir kardiyolog ve en az bir nörolog içeren tüm 4 kişilik grupların sayısı 34'tür. Bu gruplardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte yer aldığı 10 grup çıkarıldığında geriye istenen şartları sağlayan 24 farklı grup kalır.

Step-by-Step Solution

1

Tüm adaylar arasından en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunan 4 kişilik ekiplerin toplam sayısını bulmak.

Toplam ekip sayısı

34

olur.

Hiçbir kısıtlama olmadan 7 kişiden 4 kişi

C(7,4) = 35

farklı ��ekilde seçilir. Ancak en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog olması gerektiğinden, sadece nörologlardan oluşan durum çıkarılmalıdır. Sadece nörologlardan oluşan durum sayısı

C(4,4) = 1

olduğundan,

35 - 1 = 34

durum elde edilir.

2

Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumların sayısını hesaplamak.

Birlikte bulundukları durum sayısı

10

olur.

Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet ekibe seçildiğinde, ekipte zaten en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunma şartı sağlanmış olur. Kalan 2 kişi, bu iki doktor dışındaki 5 aday arasından

C(5,2) = 10

farklı şekilde seçilir.

3

Tüm durumlardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumları çıkarmak.

Geçerli ekip sayısı

24

olarak bulunur.

İstenen koşul bu iki doktorun birlikte çalışmaması olduğundan, tüm uygun durumlardan birlikte bulundukları durumlar çıkarılır.

Key Concept

Kısıtlı kombinasyon hesaplamaları ve küme dışlama yöntemi.

Question 2531Question →

Bir $d$ doğrusu, koordinat düzleminde $A(-2, 5)$ noktasından geçmekte ve $2x - 3y + 6 = 0$ doğrusunu dik kesmektedir. Buna göre, $d$ doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

3x + 2y + 4 = 0

2x - 3y + 19 = 0

3x + 2y - 4 = 0

3x - 2y + 16 = 0

2x + 3y - 11 = 0

Show answer & explanation

Answer: $3x + 2y - 4 = 0$

Answer

3x + 2y - 4 = 0

denklemi

Verilen doğrunun eğimi

\frac{2}{3}

olarak bulunur. Aranan doğru bu doğruyu dik kestiği için eğimi

-\frac{3}{2}

olmalıdır. Eğimi

-\frac{3}{2}

olan ve

A(-2, 5)

noktasından geçen doğrunun denklemi yazılıp düzenlendiğinde

3x + 2y - 4 = 0

ifadesine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen

2x - 3y + 6 = 0

doğrusunun eğimini (

m_1

) bulalım.

Doğru denklemini

y = mx + n

biçiminde düzenlersek:

3y = 2x + 6 \implies y = \frac{2}{3}x + 2

olur. Buradan eğim

m_1 = \frac{2}{3}

olarak bulunur.

Bir doğrunun denklemi biliniyorsa,

y

yalnız bırakıldığında

x

'in katsayısı doğrunun eğimini verir.

2

Aranan

d

doğrusunun eğimini (

m_2

) diklik koşulunu kullanarak belirleyelim.

Birbirini dik kesen doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir (

m_1 \cdot m_2 = -1

). Buradan

\frac{2}{3} \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = -\frac{3}{2}

bulunur.

İki doğrunun dik kesişmesi durumu, eğimlerinin çarpımının

-1

olmasını gerektirir.

3

Eğimi

m_2 = -\frac{3}{2}

olan ve

A(-2, 5)

noktasından geçen

d

doğrusunun denklemini yazalım.

y - y_1 = m_2(x - x_1)

formülünde değerleri yerine koyalım:

y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2)) \implies y - 5 = -\frac{3}{2}(x + 2)

. İçler dışlar çarpımı yaparsak:

2(y - 5) = -3(x + 2) \implies 2y - 10 = -3x - 6 \implies 3x + 2y - 4 = 0

denklemi elde edilir.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemini oluşturmak için standart doğru denklemi yazma formülü kullanılır.

Key Concept

Dik kesişen doğruların eğimleri çarpımı

-1

'dir ve bir noktası ile eğimi bilinen doğrunun denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülü ile bulunur.

Hints

1

İlk olarak verilen

2x - 3y + 6 = 0

doğrusunun eğimini bulmak için y'yi yalnız bırakın.

2

Bulduğunuz eğim

m_1

ise, aradığınız doğrunun eğimi

m_2

ile çarpımı

-1

olmalıdır (

m_1 \cdot m_2 = -1

).

3

Eğimi

m_2 = -\frac{3}{2}

olarak bulduktan sonra,

A(-2, 5)

noktasını kullanarak

y - 5 = -\frac{3}{2}(x - (-2))

denklemini kurup düzenleyin.

Practice More

Benzer şekilde, verilen bir noktadan geçen ve verilen bir doğruya paralel olan doğrunun denklemini bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternative Method

2x - 3y + 6 = 0

doğrusuna dik olan tüm doğrular

3x + 2y + C = 0

formatındadır.

A(-2, 5)

noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre denklemde yerine yazarak

C

sabitini bulabiliriz:

3(-2) + 2(5) + C = 0 \implies -6 + 10 + C = 0 \implies 4 + C = 0 \implies C = -4

. Buradan denklem

3x + 2y - 4 = 0

olarak bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question 2532Question →

Dik koordinat düzleminde, birbirine dik olan $d_1$ ve $d_2$ doğruları $x$ -ekseni üzerindeki bir $A$ noktasında kesişmektedir. $d_1$ doğrusu $y$ -eksenini $(0, 4)$ noktasında, $d_2$ doğrusu ise $y$ -eksenini $(0, -9)$ noktasında kesmektedir. Buna göre; köşeleri $A$ noktası, $d_1$ doğrusunun $y$ -eksenini kestiği nokta ve $d_2$ doğrusunun $y$ -eksenini kestiği nokta olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?

12

18

39

27

78

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

Köşeleri kesim noktaları olan üçgenin alanı 39 birimkaredir.

Eğimleri çarpımı

-1

olan doğruların kesişim noktasının apsisi

6

veya

-6

olarak bulunur. y-ekseni üzerindeki taban uzunluğu

13

birim ve bu tabana ait yükseklik

6

birim olduğundan üçgenin alanı

39

birimkare olur.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim noktası

A

'yı koordinat düzleminde

(k, 0)

olarak belirlemek ve doğruların eğimlerini yazmak.

d_1

doğrusunun eğimi

m_1 = -\frac{4}{k}

ve

d_2

doğrusunun eğimi

m_2 = \frac{9}{k}

olarak bulunur.

Doğruların eksenleri kestiği noktalar bilindiği için iki noktadan geçen doğrunun eğim formülü kullanılır.

2

Birbirine dik olan iki doğrunun eğimler çarpımının

-1

olması kuralın�� uygulamak.

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{4}{k}\right) \cdot \left(\frac{9}{k}\right) = -1 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = 6

veya

k = -6

elde edilir.

d_1

ve

d_2

doğrularının dik kesiştiği verilmiştir.

3

Köşe koordinatları

A(6, 0)

veya

A(-6, 0)

,

B(0, 4)

ve

C(0, -9)

olan üçgenin alanını hesaplamak.

Taban uzunluğu

|BC| = 4 - (-9) = 13

birim, bu tabana ait yükseklik

|OA| = 6

birimdir. Alan =

\frac{13 \times 6}{2} = 39

birimkaredir.

Üçgenin tabanı y-ekseni üzerinde olduğundan taban uzunluğu iki nokta arasındaki uzaklıktan, yükseklik ise kesim noktasının orijine uzaklığından bulunur.

Key Concept

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı

-1

'dir.

Alternative Method

Öklid Bağıntısı yardımıyla çözüm:

d_1 \perp d_2

olduğundan ve doğrular

y

-eksenini

(0,4)

ve

(0,-9)

noktalarında kesip

x

-ekseni üzerindeki

A(k,0)

noktasında kesiştiklerinden,

BAC

açısı

90^\circ

olan bir dik üçgen oluşur. Orijin

O(0,0)

noktası olmak üzere,

[OA]

yüksekliği hipotenüs

[BC]

'ye inen dikmedir. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre:

OA^2 = OB \cdot OC \Rightarrow k^2 = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow k = 6

(veya

-6

) bulunur. Buradan taban

|BC| = 13

birim ve yükseklik

|OA| = 6

birim olarak elde edilir. Alan ise

\frac{13 \times 6}{2} = 39

birimkaredir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2533Question →

K, L ve M sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak üzere,

\begin{array}{r} KM \\ \times \quad L \\ \hline 2ML \end{array}

çarpma işlemi veriliyor.

Buna göre, $K + L + M$ toplamı kaçtır?

9

10

11

13

16

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Rakamların toplamı 11'dir.

Çarpma işleminde birler basamağındaki M x L çarpımının son basamağı L olduğundan ve L sıfırdan farklı olduğundan M = 1 olmalıdır. İşlem K1 x L = 21L haline gelir. Bu işlemi çözümlediğimizde (10K + 1) x L = 210 + L eşitliğinden K x L = 21 elde edilir. K ve L birer rakam olduğu için bu değerler 3 ve 7'dir. Buradan K + L + M toplamı 3 + 7 + 1 = 11 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Birler basamağındaki çarpımı analiz etme

M = 1

Çarpma işleminde birler basamağı için M x L işleminin sonucu L ile bitmektedir. L sıfırdan farklı bir rakam olduğundan, bir rakamın L ile çarpımının yine L ile bitmesi ancak M = 1 olması durumunda mümkündür.

2

Bulunan değeri yerine yazarak işlemi basamaklarına ayırma

(10K + 1) x L = 210 + L

M = 1 değeri yerine yazıldığında işlem KM x L = 2ML yani K1 x L = 21L halini alır. Sayıları basamak değerlerine göre çözümleriz.

3

Denklemi sadeleştirip K ve L değerlerini bulma

K x L = 21

Denklemi açtığımızda 10KL + L = 210 + L elde edilir. Her iki taraftan L çıkarıldığında 10KL = 210, buradan da K x L = 21 bulunur.

4

Rakam çiftlerini belirleme ve toplamı hesaplama

K + L + M = 11

Çarpımları 21 olan rakam çiftleri (3, 7) veya (7, 3) olabilir. K ve L sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olduğundan her iki durumda da rakamlarımız 3, 7 ve 1'dir. Bu rakamların toplamı 3 + 7 + 1 = 11 olur.

Key Concept

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

Question 2534Question →

Bir kenar uzunluğu $6\text{ cm}$ olan bir eşkenar üçgenin her bir köşesi merkez kabul edilerek $3\text{ cm}$ yarıçaplı üç daire dilimi çizilmiştir. Bu daire dilimleri üçgenin iç bölgesinde kalmaktadır. Buna göre, üçgenin içinde olup bu daire dilimlerinin dışında kalan bölgenin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

9\sqrt{3} - 9\pi

9\sqrt{3} - 3\pi

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

18\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

9\sqrt{3} - \frac{3\pi}{2}

Show answer & explanation

Answer: $9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}$

Answer

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

Doğru cevap olan

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}

seçeneği, bir kenarı

6\text{ cm}

olan eşkenar üçgenin alanından (

9\sqrt{3}\text{ cm}^2

), köşelerde yer alan ve toplamları

180^\circ

(yarım daire) eden

3\text{ cm}

yarıçaplı üç daire diliminin alanının (

\frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

) çıkarılmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım.

A(\text{Üçgen}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2

İstenen bölgenin alanını bulmak için öncelikle tüm üçgenin alanını bilmemiz gerekir.

2

Köşelerdeki daire dilimlerinin alanları toplamını bulalım.

Eşkenar üçgenin iç açıları

60^\circ

olduğundan, her bir köşedeki dilim

60^\circ

'liktir. 3 adet dilim olduğu için toplam merkez açı

3 \times 60^\circ = 180^\circ

olur. Bu da yarıçapı

3\text{ cm}

olan bir yarım daireye karşılık gelir. Yarım dairenin alanı:

\frac{1}{2} \times \pi \times r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

bulunur.

Üçgenin köşelerinden çıkarılacak dairesel bölgelerin toplam alanını hesaplamak için daire dilimi alanı veya yarım daire alanı formülü uygulanır.

3

Üçgenin alanından daire dilimlerinin alanları toplamını çıkararak taralı bölgenin alanını bulalım.

Taralı Alan =

9\sqrt{3} - \frac{9\pi}{2}\text{ cm}^2

Aranan bölgenin alanı, tüm üçgen alanından köşelerdeki daire dilimlerinin toplam alanının çıkarılmasıyla elde edilir.

Key Concept

Eşkenar üçgen alanı ve daire dilimlerinin alanları toplamının dairede alan uygulamalarında kullanılması

Question 2535Question →

Bir robotun hareket adımları, geometrik şekiller ve bu şekillerin içindeki ok sembolleri kullanılarak şifrelenmektedir. Şifreleme kuralları şu şekildedir:

* Şeklin kenar sayısı, robotun ilerleyeceği birim mesafeyi göstermektedir (Daire $2$ birim, üçgen $3$ birim, kare $4$ birim).
* Şeklin içindeki ok sembolü, robotun mevcut ilerleme yönüne göre yapacağı dönüşü belirlemektedir:
* $\uparrow$ : Yönünü değiştirmeden düz devam et.
* $\rightarrow$ : Mevcut yönüne göre saat yönünde $90^\circ$ (sağa) dönerek ilerle.
* $\leftarrow$ : Mevcut yönüne göre saat yönünün tersinde $90^\circ$ (sola) dönerek ilerle.
* $\downarrow$ : Yönünü $180^\circ$ geriye değiştirerek ilerle.

Robot, başlangıçta $(0,0)$ noktasında bulunmakta ve yüzü Kuzey yönüne dönük durmaktadır. Robot sırasıyla aşağıdaki şifreli adımları uygulamıştır:

1. İçinde $\uparrow$ olan kare
2. İçinde $\rightarrow$ olan üçgen
3. İçinde $\leftarrow$ olan kare
4. İçinde $\downarrow$ olan daire

Buna göre, hareketini tamamlayan robotun son konumu, başlangıç konumuna göre aşağıdakilerden hangisidir?

1 birim batısında ve 2 birim kuzeyindedir.

3 birim batısında ve 6 birim kuzeyindedir.

3 birim doğusunda ve 7 birim kuzeyindedir.

3 birim doğusunda ve 6 birim kuzeyindedir.

3 birim doğusunda ve 10 birim kuzeyindedir.

Show answer & explanation

Answer: 3 birim doğusunda ve 6 birim kuzeyindedir.

Answer

3 birim doğusunda ve 6 birim kuzeyindedir.

Doğru seçenekte belirtilen konum, adımların sırasıyla takip edilmesiyle elde edilen

(3, 6)

noktasıdır. Robot, sırasıyla Kuzey yönünde 4 birim, Doğu yönünde 3 birim, Kuzey yönünde 4 birim ilerlemiş ve son olarak Güney yönünde 2 birim geri dönmüştür. Bu hareketler sonucunda başlangıç noktasına göre 3 birim doğuya ve 6 birim kuzeye ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

İlk adımın (İçinde

\uparrow

olan kare) hareketini hesaplama

Kuzey yönünde 4 birim ilerlenerek

(0, 4)

konumuna ulaşılır. Yüz hâlâ Kuzey yönüne bakmaktadır.

Kare 4 birimi temsil eder ve

\uparrow

yön değiştirmeden düz devam etmeyi gerektirir.

2

İkinci adımın (İçinde

\rightarrow

olan üçgen) hareketini hesaplama

Saat yönünde

90^\circ

dönülerek Doğu yönüne bakılır. 3 birim ilerlenerek

(3, 4)

konumuna ulaşılır. Yüz artık Doğu yönüne bakmaktadır.

Üçgen 3 birimi temsil eder ve

\rightarrow

saat yönünde (sağa) dönmeyi gerektirir.

3

Üçüncü adımın (İçinde

\leftarrow

olan kare) hareketini hesaplama

Saat yönünün tersinde

90^\circ

dönülerek tekrar Kuzey yönüne bakılır. 4 birim ilerlenerek

(3, 8)

konumuna ulaşılır. Yüz artık Kuzey yönüne bakmaktadır.

Kare 4 birimi temsil eder ve

\leftarrow

saat yönünün tersine (sola) dönmeyi gerektirir.

4

Dördüncü adımın (İçinde

\downarrow

olan daire) hareketini hesaplama

Yön

180^\circ

geriye çevrilerek Güney yönüne bakılır. 2 birim ilerlenerek

(3, 6)

konumuna ulaşılır.

Daire 2 birimi temsil eder ve

\downarrow

geriye (180 derece) dönmeyi gerektirir.

5

Başlangıç noktası

(0, 0)

ile son konum olan

(3, 6)

arasındaki mesafeyi ve yönü karşılaştırma

Son konum, başlangıç noktasına göre 3 birim doğuda ve 6 birim kuzeydedir.

(3,6)

noktası,

(0,0)

referans noktasına göre x ekseninde pozitif yönde 3 birim (Doğu), y ekseninde pozitif yönde 6 birim (Kuzey) uzaklıktadır.

Key Concept

Sembol ve Şekil Şifreleme kapsamında yönelim ve mesafe kurallarını koordinat sistemi üzerinde adım adım takip etme.

Hints

1

Robotun her dönüşte baktığı yeni yönü (Kuzey, Doğu, Güney, Batı) bir kenara not ederek ilerleyin. İlk adımda Kuzey yönüne bakmaktadır.

2

İkinci adımda saat yönünde 90 derece dönen robot artık Doğu yönüne bakmaktadır ve Doğu'ya doğru 3 birim ilerler. Üçüncü adımdaki sola dönüşün hangi yöne denk geldiğini belirleyin.

3

İlk üç adım sonunda robot

(3, 8)

noktasında ve Kuzey yönüne bakmaktadır. Son adımda 180 derece geriye dönerek Güney yönünde 2 birim ilerleyecektir.

Practice More

Benzer bir şifreleme mantığında dönüşlerin

45^\circ

'lik açılarla yapıldığı ve sekizgen gibi çokgenlerin kullanıldığı rotaları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Robotun yön değişimlerini açısal olarak takip edebilirsiniz. Kuzey

90^\circ

kabul edilirse; saat yönünde dönüşler

-90^\circ

, saat yönünün tersi yönündeki dönüşler ise

+90^\circ

olarak hesaplanabilir. Son adımda yön

180^\circ

değiştirilerek yön vektörü ters çevrilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2536Question →

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. $A$ açısının açıortayı, $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, çevrel çemberi ise $E$ noktasında kesmektedir.

$|AB| = 6\text{ cm}$ , $|AC| = 8\text{ cm}$ ve $|AD| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

4

5

6

8

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İstenen uzunluk 8 santimetredir.

Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliği ilkesine dayanarak

\triangle ABD

ile

\triangle AEC

üçgenlerinin benzer olduğu görülür. Benzerlik oranından

|AE| = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

[AE]

uzunluğundan

[AD]

uzunluğu çıkarıldığında

|DE| = 8\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çevre açıların eşitliğini belirleme

m(\angle ABD) = m(\angle AEC)

Aynı yayı (

AC

yayını) gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.

2

Açıortay özelliğini yazma

m(\angle BAD) = m(\angle EAC)

[AE]

doğrusu

A

açısının açıortayı olduğu için açıyı iki eş parçaya böler.

3

Üçgenler arasındaki benzerliği kurma

\triangle ABD \sim \triangle AEC

(Açı-Açı benzerliği)

İkişer açıları eşit olan üçgenler benzerdir.

4

Benzerlik oranını yazarak

|AE|

uzunluğunu bulma

|AE| = 12\text{ cm}

Benzerlikten

\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|}

yazılır. Buradan

\frac{6}{|AE|} = \frac{4}{8} \implies 4 \cdot |AE| = 48 \implies |AE| = 12\text{ cm}

elde edilir.

5

|DE|

uzunluğunu hesaplama

|DE| = 8\text{ cm}

A

,

D

ve

E

noktaları doğrusal olduğundan

|AE| = |AD| + |DE|

yazılır.

12 = 4 + |DE| \implies |DE| = 8\text{ cm}

bulunur.

Key Concept

Çemberde benzerlik bağıntıları kurulurken aynı yayı gören çevre açıların eşitliği kullanılarak benzer üçgenler elde edilir.

Hints

1

Aynı yayı gören çevre açıların ölçülerinin eşit olduğunu hatırlayın.

2

\triangle ABD

ve

\triangle AEC

üçgenlerinin açılarını karşılaştırarak benzer olup olmadıklarını kontrol edin.

3

Benzerlikten

\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|}

eşitliğini kullanarak önce

|AE|

uzunluğunu bulun.

Estimated Time:1m 30s

Question 2537Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

(g \circ f)(x) = f(x) + 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre,

(f \circ g)(2)

bileşke işleminin sonucu kaçtır?

8

10

12

16

20

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

16

Soruda verilen ikinci eşitlik olan

g(f(x)) = f(x) + 4

ifadesinden,

g

fonksiyonunun kendisine uygulanan girdiyi 4 artırdığı görülür. Dolayısıyla,

g(x) = x + 4

olur. Bu kurala göre

g(2) = 6

olarak hesaplanır. Birinci eşitlik olan

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

ifadesinde

x = 2

yazıldığında

(f \circ g)(2) = 3g(2) - 2

elde edilir. Bulunan

g(2) = 6

değeri yerine yerleştirildiğinde

3 \times 6 - 2 = 16

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ikinci eşitliği kullanarak

g

fonksiyonunun kuralını belirlemek.

g(f(x)) = f(x) + 4

eşitliğinde

f(x)

yerine

y

yazılırsa

g(y) = y + 4

elde edilir. Buradan

g(x) = x + 4

olarak bulunur.

g(f(x))

ifadesi,

f(x)

değerinin

g

fonksiyonunda yerine yazılması anlamına gelir.

2

g

fonksiyonunun kuralını kullanarak

g(2)

değerini hesaplamak.

g(2) = 2 + 4 = 6

bulunur.

(f \circ g)(2)

ifadesi

f(g(2))

şeklinde yazıldığından, öncelikle içteki fonksiyonun değeri hesaplanmalıdır.

3

Birinci eşitlikte

g(2)

değerini yerine yazarak bileşke fonksiyonun sonucuna ulaşmak.

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

eşitliğinde

x = 2

için

(f \circ g)(2) = 3g(2) - 2

olur.

g(2) = 6

değeri yerine yazıldığında

3 \times 6 - 2 = 18 - 2 = 16

elde edilir.

Bileşke fonksiyon tanımı gereği

(f \circ g)(2) = f(g(2))

değerine eşittir.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon

Hints

1

Bileşke fonksiyonlarda işlem yaparken en içteki fonksiyondan başlamalısınız.

(f \circ g)(2) = f(g(2))

olduğunu hatırlayın.

2

g(f(x)) = f(x) + 4

eşitliğinde

f(x)

yerine

y

yazarak

g

fonksiyonunun kuralını bulmaya çalışın.

3

g(x) = x + 4

kuralını kullanarak önce

g(2)

değerini hesaplayın, ardından bu değeri

(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2

eşitliğinde yerine koyun.

Practice More

Benzer şekilde

(f \circ g)(x) = 2g(x) + 5

ve

(g \circ f)(x) = 3f(x) - 1

eşitlikleri verildiğinde

(g \circ f)(3)

değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak,

(g \circ f)(x) = f(x) + 4

eşitliğinde

f(x)

yerine doğrudan

g(x)

değişkeni (veya herhangi bir bağımsız değişken) düşünülerek

g(x) = x + 4

kuralı doğrudan görülebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 2538Question →

Bir koordinat düzleminde, köşeleri tam sayı koordinatlarına sahip olan bir çokgenin "alan ağırlığı" şu şekilde tanımlanmaktadır:

* Çokgenin iç bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı nokta sayısı $İ$
* Çokgenin kenarları (sınırları) üzerinde yer alan tam sayı koordinatlı nokta sayısı $S$

olmak üzere, çokgenin alan ağırlığı $İ + \frac{S}{2} - 1$ formülüyle hesaplanır.

Buna göre; köşeleri koordinat düzleminde $O(0,0)$ , $A(6,0)$ ve $B(0,4)$ noktaları olan dik üçgenin alan ağırlığı kaçtır?

10

11

12

13

14

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Dik üçgenin sınır çizgileri üzerinde 12, iç bölgesinde ise 7 adet tam sayı koordinatlı nokta bulunur. Bu değerler formülde yerine yazıldığında alan ağırlığı 12 olarak hesaplanır.

Üçgenin kenarları üzerindeki tam sayı koordinatlı noktaların sayısı 12 ve iç bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktaların sayısı 7'dir. Tanımlanan formüle bu değerler yerleştirildiğinde, alan ağırlığı 7 + (12/2) - 1 = 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Üçgenin sınırları (kenarları) üzerindeki tam sayı koordinatlı nokta sayısını (

S

) belirleyelim.

S = 12

olarak bulunur.

Yatay kenar üzerindeki noktalar:

(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0), (6,0)

(7 adet). Dikey kenar üzerindeki noktalar:

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4)

(5 adet). Hipotenüs doğrusunun denklemi

2x + 3y = 12

olup bu segmentteki tam sayı noktaları:

(0,4), (3,2), (6,0)

(3 adet). Köşe noktaları ikişer kez sayıldığından, toplam tekil sınır noktası sayısı:

7 + 5 + 3 - 3 = 12

olur.

2

Üçgenin iç bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı nokta sayısını (

İ

) belirleyelim.

İ = 7

olarak bulunur.

İç bölgedeki noktalar

x > 0

,

y > 0

ve

2x + 3y < 12

koşullarını sağlamalıdır. Bu koşula uyan noktalar şunlardır:

x=1

için

(1,1), (1,2), (1,3)

(3 adet);

x=2

için

(2,1), (2,2)

(2 adet);

x=3

için

(3,1)

(1 adet);

x=4

için

(4,1)

(1 adet). Toplam iç nokta sayısı:

3 + 2 + 1 + 1 = 7

olur.

3

Belirlenen değerleri alan ağırlığı formülünde yerine yazalım.

Alan ağırlığı = 12

Formüle göre:

İ + \frac{S}{2} - 1 = 7 + \frac{12}{2} - 1 = 7 + 6 - 1 = 12

sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Geometrik şekiller üzerinde tanımlanan bağıntılarda sınır ve iç bölge koordinat noktalarını sistematik olarak sayma ve formülü doğru uygulama.

Alternative Method

Soruda tanımlanan formül aslında koordinat düzlemindeki çokgenlerin alanını hesaplamaya yarayan Pick Teoremi'dir. Dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 4 birim olduğundan alanı doğrudan

\frac{6 \times 4}{2} = 12

birimkaredir. Dolayısıyla, formülün vereceği değer doğrudan bu alan değerine eşit olmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 2539Question →

Aşağıdaki çarpma işleminde $ABA$ üç basamaklı, $CDEC$ ise dört basamaklı birer doğal sayıdır. $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ve $E$ sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamdır.

\begin{array}{r} ABA \\ \times \quad B \\ \hline CDEC \end{array}

$A > B$ olduğuna göre, $A + B + C + D + E$ toplamı kaçtır?

25

26

28

30

32

Show answer & explanation

Answer: 26

Answer

Rakamların toplamı olan 26 değeri doğru cevaptır.

Çarpma işlemi incelendiğinde,

ABA \times B = CDEC

eşitliğini ve

A > B

koşulunu sağlayan tek rakam kümesi

A=8

,

B=7

,

C=6

,

D=1

ve

E=4

şeklindedir. Bu değerlerin toplamı olan 26 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Çarpma işleminin birler basamağını çözümlemek

A \times B

çarpımının birler basamağı

C

olmalıdır. Yani

A \times B \equiv C \pmod{10}

bağıntısı bulunur.

Çarpma işleminde birler basamağındaki rakamların çarpımı, sonucun birler basamağını belirler.

2

Çarpımın binler basamağını analiz etmek

Üç basamaklı

ABA

sayısı ile tek basamaklı

B

sayısının çarpımı 4 basamaklı

CDEC

sayısını verdiğine göre, çarpımın binler basamağı da

C

olmalıdır. Bu durumda

C

değeri,

A \times B

çarpımının en büyük basamağından ve yüzler basamağından gelen eldeden oluşur.

Çarpımın en solundaki basamak, en büyük basamakların çarpımı ve oraya ulaşan eldenin toplamıdır.

3

Olası durumları denemek ve kısıtları uygulamak

Tüm rakamların sıfırdan ve birbirinden farklı olması koşulunu sağlayan iki aday durum elde edilir:
1)

787 \times 8 = 6296

(

A=7, B=8, C=6, D=2, E=9

)
2)

878 \times 7 = 6146

(

A=8, B=7, C=6, D=1, E=4

)

Çözüm kümesini daraltmak için basamak analizi ve çarpım tabloları kuralları uygulanır.

4

A > B

koşulunu kontrol etmek ve toplamı bulmak

A > B

koşulunu sağlayan durum

8 > 7

olduğundan ikinci durumdur. Rakamların toplamı

8 + 7 + 6 + 1 + 4 = 26

olarak bulunur.

Soruda verilen mantıksal eşitsizlik öncülü doğru çözümü seçmemizi sağlar.

Key Concept

Harf-Rakam Aritmetiği (Çarpma ve Bölme)

Estimated Time:1m 30s

Question 2540Question →

A

,

B

ve

C

sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakamdır.

\begin{array}{r} AB \\ \times \quad B \\ \hline C A B \end{array}

Yukarıdaki çarpma işleminde

AB

iki basamaklı,

CAB

ise üç basamaklı birer doğal sayıdır.

$A < B$ olduğuna göre, $A + B + C$ toplamı kaçtır?

6

10

8

12

15

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Doğru yanıt 8 değeridir.

A=2, B=5, C=1

rakamları çarpma işlemini ve tüm kısıtlamaları sağlamaktadır.

Çarpma işleminin matematiksel analizi yapıldığında

(10A + B)(B - 1) = 100C

eşitliği elde edilir. Bu eşitliği ve değişkenlerin sıfırdan farklı, birbirlerinden farklı rakamlar olması koşulunu sağlayan iki durum vardır:

25 \times 5 = 125

ve

75 \times 5 = 375

. Soruda ek olarak verilen

A < B

koşulunu sağlayan tek durum

2 < 5

ile

25 \times 5 = 125

işlemidir. Buradan

A=2, B=5, C=1

bulunur ve toplamları

2+5+1=8

olur.

Step-by-Step Solution

1

Çarpma işlemini basamak analizine göre yazarak bir denklem oluşturalım.

AB \times B = CAB \Rightarrow (10A + B) \times B = 100C + 10A + B

Harf-rakam aritmetiği sorularında basamak analizi yapmak bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi görmeyi kolaylaştırır.

2

Oluşan denklemi düzenleyelim ve ortak çarpan parantezine alalım.

10AB + B^2 = 100C + 10A + B \Rightarrow 10A(B - 1) + B(B - 1) = 100C \Rightarrow (10A + B)(B - 1) = 100C

Bilinmeyenleri gruplayarak çarpım durumuna getirmek, rakamların alabileceği değerleri sınırlandırmamıza yardımcı olur.

3

Değişkenlerin rakam olduğunu ve sıfırdan farklı olduğunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan değerleri bulalım.

B=5

için denklem

(10A + 5) \times 4 = 100C \Rightarrow 10A + 5 = 25C

şeklini alır. Burada

C

tek sayı olmalıdır.

C=1

için

A=2

(rakamlar kümesi:

A=2, B=5, C=1

) ve

C=3

için

A=7

(rakamlar kümesi:

A=7, B=5, C=3

) çözümleri elde edilir.

Denklemin sağ tarafı 100'ün katı olduğundan sol taraftaki çarpanların bu durumu nasıl sağlayacağını analiz etmek gerekir.

4

Bulunan rakam gruplarından hangisinin

A < B

öncülünü sağladığını belirleyelim ve toplamı hesaplayalım.

A < B

koşulunu yalnızca

A=2, B=5, C=1

grubu sağlar (

2 < 5

). Bu durumda rakamlar toplamı

2 + 5 + 1 = 8

olarak bulunur.

Soruda verilen tüm kısıtlayıcı öncüllerin (rakamların birbirinden farklı olması, sıfırdan farklı olması ve

A < B

koşulu) aynı anda sağlanması gerekir.

Key Concept

Basamak analizi ve değer verme yoluyla harf-rakam aritmetiği problemlerini çözme

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method