Examkin

All practice questions

2563 questions

All types2,563Multiple choice2,490Numeric63Ordering10
Question 2541Question →

Analitik düzlemde, 2x−y−4=02x - y - 4 = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle oluşturduğu dik üçgenin alanı 99 birimkare olan doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 2x−y+6=02x - y + 6 = 0

Answer

2x−y+6=02x - y + 6 = 0 denklemiyle verilen doğrudur.
İstenen doğru verilen doğruya paralel olduğu için eğimi aynı olmalıdır, yani eğim 2'dir. Bu durumda doğrunun genel denklemi 2x−y+C=02x - y + C = 0 şeklinde kurulur. Bu doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı CC, x-eksenini kestiği noktanın apsisi ise −C2-\frac{C}{2} olur. Koordinat eksenleriyle sınırlanan bölge bir dik üçgen olup alanı 12⋅∣C∣⋅∣−C2∣=C24\frac{1}{2} \cdot |C| \cdot |-\frac{C}{2}| = \frac{C^2}{4} formülüyle hesaplanır. Alanın 9 birimkare olduğu verildiğine göre C2=36C^2 = 36 ve buradan C=6C = 6 veya C=−6C = -6 bulunur. Buna göre aranan doğrulardan biri 2x−y+6=02x - y + 6 = 0 şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen doğrunun eğimini belirlemek.
2x−y−4=0  ⟹  y=2x−42x - y - 4 = 0 \implies y = 2x - 4 yazıldığında eğim m=2m = 2 olarak bulunur.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
2
Eğimi 22 olan genel doğru denklemini yazıp eksenleri kestiği noktaları bulmak.
Aradığımız doğru 2x−y+C=02x - y + C = 0 şeklindedir. x=0x = 0 için y=Cy = C ve y=0y = 0 için x=−C2x = -\frac{C}{2} elde edilir.
Eksenleri kesim noktaları, doğrunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin dik kenar uzunluklarını verir.
3
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin alan formülünü uygulamak.
A=12⋅∣C∣⋅∣−C2∣=C24A = \frac{1}{2} \cdot |C| \cdot |-\frac{C}{2}| = \frac{C^2}{4} olur. Alan 99 birimkare olduğundan C24=9  ⟹  C2=36  ⟹  C=6\frac{C^2}{4} = 9 \implies C^2 = 36 \implies C = 6 veya C=−6C = -6 bulunur.
Koordinat eksenleri orijinde dik kesiştiğinden oluşan bölge bir dik üçgendir.
4
Doğru denklemini oluşturmak.
C=6C = 6 için denklem 2x−y+6=02x - y + 6 = 0 olur. Bu denklem seçeneklerde mevcuttur.
Bulunan olası iki doğrudan birisi seçeneklerde yer almaktadır.

Key Concept

Paralel doğruların eğimlerinin eşitliği ve eksenleri kestiği noktalar yardımıyla doğru denklemi oluşturma.
Question 2542Question →
n>1n > 1 bir tam sayı olmak üzere,
(n−2)!⋅(n2−1)(n+2)!=124\frac{(n-2)! \cdot (n^2 - 1)}{(n+2)!} = \frac{1}{24}
olduğuna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen n(n+2) = 24 eşitliğinden n = 4 bulunur.
Verilen denklemde payda yer alan n2−1n^2-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliğiyle (n−1)(n+1)(n-1)(n+1) şeklinde yazılır. Paydadaki (n+2)!(n+2)! ifadesi ise (n−2)!(n-2)! terimine kadar geriye doğru açıldığında (n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)! elde edilir. Bu açılımlar rasyonel ifadede yerine yazılıp pay ve paydadaki ortak olan (n−2)!(n-2)!, (n−1)(n-1) ve (n+1)(n+1) çarpanları sadeleştirilirse denklem 1n(n+2)=124\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24} haline gelir. Buradan n(n+2)=24n(n+2) = 24 eşitliği elde edilir. Çarpımları 24 olan ve aralarında 2 fark bulunan pozitif tam sayılardan küçük olanı 4'tür. Bu nedenle n=4n = 4 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyelli terim olan (n-2)! cinsinden açın ve iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
n2−1=(n−1)(n+1)n^2 - 1 = (n-1)(n+1) ve (n+2)!=(n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!(n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!
Ortak çarpanları bularak sadeleştirme işlemini gerçekleştirmek.
2
Açılımları denklemde yerine yazarak ortak terimleri sadeleştirin.
(n−2)!⋅(n−1)(n+1)(n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!=1n(n+2)=124\frac{(n-2)! \cdot (n-1)(n+1)}{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24}
Pay ve paydadaki (n−2)!(n-2)!, (n−1)(n-1) ve (n+1)(n+1) terimleri birbirini sadele��tirerek ifadeyi en basit haline getirir.
3
Sadeleşen eşitlikten içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden bir denklem elde edin.
n(n+2)=24  ⟹  n2+2n−24=0n(n+2) = 24 \implies n^2 + 2n - 24 = 0
Bilinmeyen n değerini bulmak amacıyla denklem kurmak.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak pozitif tam sayı olan kökü belirleyin.
(n+6)(n−4)=0  ⟹  n=4(n+6)(n-4) = 0 \implies n = 4 (n=−6n = -6 değeri n>1n > 1 şartını sağlamaz)
n sayısının 1'den büyük bir tam sayı olması şartına uygun olan kökü seçmek.

Key Concept

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde sadeleştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleri

Alternative Method

Cebirsel çözüm yerine seçeneklerdeki değerler denklemde n yerine yazılarak kontrol edilebilir. n = 4 için: 2!⋅(42−1)6!=2⋅15720=30720=124\frac{2! \cdot (4^2 - 1)}{6!} = \frac{2 \cdot 15}{720} = \frac{30}{720} = \frac{1}{24} elde edilir ve eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür.
Estimated Time:1m 30s
Question 2543Question →

Yarıçapı 3r3r olan XX kasnağı ile yarıçapı 8r8r olan YY kasnağı, birbirine düz bir kayışla bağlanmıştır. XX kasnağının üzerinde bir PP noktası, YY kasnağının üzerinde ise bir RR noktası işaretlenmiştir. Başlangıçta hem PP hem de RR noktaları kendi kasnaklarının en üst konumunda (saat 12 yönünde) bulunmaktadır.

Buna göre, XX kasnağı saat yönünde 66 tam tur döndürüldüğünde, YY kasnağı üzerindeki RR noktasının yeni konumu aşağıdakilerden hangisi olur?

Show answer & explanation

Answer: En sağ nokta

Answer

En sağ nokta
Düz kayışla birbirine bağlı kasnaklar aynı yönde döner. X kasnağının saat yönünde 6 tur atması, yarıçaplar oranı kullanılarak (6×3/86 \times 3 / 8) Y kasnağının da saat yönünde 2,25 tur atmasını sağlar. R noktası 2 tam turun ardından çeyrek tur (90 derece) daha saat yönünde ilerleyerek en üst konumdan en sağ konuma ulaşır. Bu nedenle en sağ nokta ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Kasnakların dönme yönünü belirlemek.
X kasnağı saat yönünde döndüğünde, düz bağlanan kayış nedeniyle Y kasnağı da onunla aynı yönde, yani saat yönünde döner.
Düz kayışla birbirine bağlanan kasnaklar her zaman aynı yönde hareket eder.
2
Y kasnağının tur sayısını hesaplamak.
NY=6×3r8r=2,25N_Y = 6 \times \frac{3r}{8r} = 2,25 tur.
Birbirine bağlı kasnak sistemlerinde tur sayısı ile yarıçap ters orantılıdır (NX×rX=NY×rYN_X \times r_X = N_Y \times r_Y).
3
R noktasının yeni konumunu belirlemek.
R noktası 2 tam tur ve ek olarak 0,25 (çeyrek) tur saat yönünde ilerler. 0,25 tur 90 derecelik açıya karşılık geldiğinden, en üst konumda olan R noktası saat yönünde 90 derece dönerek en sağ konuma gelir.
Bir tam tur 360 derece olduğundan, 0,25 tur 360∘×0,25=90∘360^\circ \times 0,25 = 90^\circ dönme anlamına gelir.

Key Concept

Düz kayışla bağlı dairesel düzeneklerde tur sayısı hesaplama ve yön tayini
Question 2544Question →

Bir sayı doğrusu üzerindeki 00 noktasında bulunan bir piyon, kendisine verilen bir doğal sayının basamaklarındaki rakamları soldan sağa doğru sırayla takip ederek hareket ettirilmektedir. Piyonun hareket kuralları şu şekildedir:

* Rakam asal sayı ise piyon o rakamın değeri kadar birim sağa kaydırılır.
* Rakam asal olmayan çift bir sayı ise (00 hariç) piyon o rakamın değerinin yarısı kadar birim sola kaydırılır.
* Rakam asal olmayan tek bir sayı ise piyon 11 birim sağa kaydırılır.
* Rakam 00 ise piyon hareket etmez.

Buna göre, piyon sisteme 7469274692 sayısı girildiğinde son durumda sayı doğrusunda hangi noktada bulunur?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Piyonun son durumda ulaştığı nokta 5 noktasıdır.
Verilen kurallar 7469274692 sayısının rakamlarına sırasıyla uygulandığında; 7 için +7+7, 4 için −2-2, 6 için −3-3, 9 için +1+1 ve 2 için +2+2 birimlik hareketler gerçekleşir. Bu hareketlerin toplamı 7−2−3+1+2=57 - 2 - 3 + 1 + 2 = 5 birim sağa doğru yer değiştirmeye karşılık gelir. Başlangıç noktası 0 olduğundan piyon en son 5 noktasına ulaşır.

Step-by-Step Solution

1
Say�� doğrusundaki başlangıç noktasını belirleme.
Piyon 00 noktasındadır.
Soruda piyonun harekete başlangıçta 00 noktasından başladığı belirtilmiştir.
2
Birinci rakam olan 7 için kuralı uygulama.
Piyon 77 birim sağa kayarak +7+7 noktasına gelir.
7 rakamı bir asal sayıdır. Kural gereği asal sayı değerinde sağa gidilir.
3
İkinci rakam olan 4 için kuralı uygulama.
Piyon 22 birim sola kayarak +5+5 noktasına gelir.
4 rakamı çift ve asal olmayan bir sayıdır. Kural gereği bu değerin yarısı kadar sola gidilir.
4
Üçüncü rakam olan 6 için kuralı uygulama.
Piyon 33 birim sola kayarak +2+2 noktasına gelir.
6 rakamı çift ve asal olmayan bir sayıdır. Kural gereği bu değerin yarısı kadar sola gidilir.
5
Dördüncü rakam olan 9 için kuralı uygulama.
Piyon 11 birim sağa kayarak +3+3 noktasına gelir.
9 rakamı tek ve asal olmayan bir sayıdır. Kural gereği 1 birim sağa gidilir.
6
Beşinci rakam olan 2 için kuralı uygulama.
Piyon 22 birim sağa kayarak +5+5 noktasına gelir.
2 rakamı bir asal sayıdır. Kural gereği asal sayı değerinde sağa gidilir.

Key Concept

Koşullu işlemler ve kural takibi algoritmalarında her adımın kurallara uygun olarak sırayla yürütülmesi
Question 2545Question →
Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için,
P(A′)=23P(A') = \frac{2}{3}
P(B)=12P(B) = \frac{1}{2}
P(A′∩B′)=14P(A' \cap B') = \frac{1}{4}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, AA ve BB olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı olan P(A∩B)P(A \cap B) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 112\frac{1}{12}

Answer

Bir bölü on iki
De Morgan kuralları kullanılarak birleşim olasılığı P(A∪B)=1−P(A′∩B′)=34P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = \frac{3}{4} olarak bulunur. Tümleyen kuralından P(A)=1−P(A′)=13P(A) = 1 - P(A') = \frac{1}{3} elde edilir. Bu değerler genel birleşim formülü olan P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) içinde yerine yazılıp paydalar eşitlendiğinde birlikte gerçekleşme olasılığı bir bölü on iki olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
P(A)P(A) değerini bulmak için tümleyen özelliğini kullanın.
P(A)=1−P(A′)=1−23=13P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
Birleşim formülünde olayın kendisinin olasılığına ihtiyaç duyulmaktadır.
2
De Morgan kurallarını kullanarak P(A∪B)P(A \cup B) olasılığını elde edin.
P(A′∩B′)=P((A∪B)′)=1−P(A∪B)⇒P(A∪B)=1−14=34P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \Rightarrow P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
İki olayın tümleyenlerinin kesişimi, bu olayların birleşiminin tümleyenine eşittir.
3
Olasılık birleşim formülünü yazıp bilinen değerleri yerine koyarak kesişim olasılığını hesaplayın.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)⇒34=13+12−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - P(A \cap B) paydalar 12'de eşitlendiğinde 912=412+612−P(A∩B)⇒P(A∩B)=112\frac{9}{12} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{12} bulunur.
İki olayın birleşim ve kesişim olasılıkları arasındaki temel ilişkiyi kurmak için bu formül gereklidir.

Key Concept

Tümleyen Olaylar, De Morgan Kuralları ve Olasılık Birleşim Formülü
Estimated Time:1m 30s
Question 2546Question →
Analitik düzlemde, karşılıklı iki kenarı
12x−5y+39=012x - 5y + 39 = 0
24x−10y−52=024x - 10y - 52 = 0
doğruları üzerinde bulunan bir karenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Alan değeri 25 birimkaredir.
Karenin karşılıklı iki kenarı paralel doğrular üzerinde yer aldığından, bu doğrular arasındaki dik uzaklık karenin bir kenar uzunluğuna eşit olur. İkinci denklemi 2 ile sadeleştirdiğimizde doğrular 12x−5y+39=012x - 5y + 39 = 0 ve 12x−5y−26=012x - 5y - 26 = 0 halini alır. Bu doğrular arasındaki uzaklık formülü uygulandığında kenar uzunluğu 55 birim olarak hesaplanır. Kenarı 55 birim olan karenin alanı ise 2525 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
İkinci doğrunun denklemini 2 ile sadeleştirerek katsayılarını birinci doğrunun katsayıları ile eşitleyin.
12x−5y−26=012x - 5y - 26 = 0 denklemi elde edilir.
Paralel doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğruların xx ve yy katsayılarının (AA ve BB değerlerinin) eşitlenmesi gerekir.
2
Katsayıları eşitlenen doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.
Uzaklık d=∣39−(−26)∣122+(−5)2=6513=5d = \frac{|39 - (-26)|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{65}{13} = 5 birim olarak bulunur.
Karşılıklı kenarları paralel doğrular üzerinde olan karenin doğrular arasındaki dik uzaklığı, karenin bir kenar uzunluğunu (a=5a=5) verir.
3
Karenin bir kenar uzunluğunu kullanarak alanını hesaplayın.
Alan=a2=52=25Alan = a^2 = 5^2 = 25 birimkare olarak bulunur.
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla (karesiyle) elde edilir.

Key Concept

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} şeklindedir. Formülü uygulamadan önce doğruların AA ve BB katsayıları mutlaka eşitlenmelidir.
Estimated Time:1m 30s
Question 2547Question →

Bir ABCDABCD dışbükey dörtgeninde, BB ve DD köşeleri [AC][AC] köşegeninin farklı taraflarında yer almaktadır.

[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]
[AD]⊥[DC][AD] \perp [DC]

[AC][AC] köşegeninin orta noktası EE noktasıdır. m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ ve m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ olduğuna göre, m(EBD^)=xm(\widehat{EBD}) = x kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 10∘10^\circ

Answer

İstenen açı 10∘10^\circ olarak bulunur.
Doğru cevap 10∘10^\circ olan seçenektir. [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve [AD]⊥[DC][AD] \perp [DC] olduğundan ABCABC ve ADCADC birer dik üçgendir. Hipotenüsün orta noktası olan EE noktasına çizilen BEBE ve DEDE kenarortayları muhteşem üçlü özelliğinden dolayı hipotenüsün yarısına (AE=CEAE = CE) eşit olur. Bu durumda AE=BE=CE=DEAE = BE = CE = DE eşitliği elde edilir. Buradan ABEABE ve ADEADE üçgenlerinin ikizkenar üçgen olduğu görülür. İkizkenar üçgenlerin taban açılarından faydalanarak m(BEC^)=100∘m(\widehat{BEC}) = 100^\circ ve m(DEC^)=60∘m(\widehat{DEC}) = 60^\circ bulunur. BB ve DD noktaları farklı taraflarda olduğu için tepe açısı m(BED^)=160∘m(\widehat{BED}) = 160^\circ olan BDEBDE ikizkenar üçgeni elde edilir. Bu üçgenin taban açısı olan xx ise 180∘−160∘2=10∘\frac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak ABCABC dik üçgeninde [AC][AC] hipotenüsünün orta noktası EE olduğu için muhteşem üçlü özelliğini uygulayalım.
BEBE kenarortayının uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olur: BE=AE=CEBE = AE = CE.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
2
ABEABE ikizkenar üçgeninde (AE=BEAE = BE) taban açılarını ve dış açıyı bulalım.
m(ABE^)=m(BAE^)=50∘m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = 50^\circ olur. Buradan dış açı m(BEC^)=50∘+50∘=100∘m(\widehat{BEC}) = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ bulunur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir ve bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
3
Benzer şekilde, ADCADC dik üçgeninde [AC][AC] hipotenüsünün orta noktası EE olduğu için muhteşem üçlü özelliğini uygulayalım.
DEDE kenarortayının uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olur: DE=AE=CEDE = AE = CE.
Aynı hipotenüsü paylaşan diğer dik üçgende de muhteşem üçlü kuralı geçerlidir.
4
ADEADE ikizkenar üçgeninde (AE=DEAE = DE) taban açılarını ve dış açıyı bulalım.
m(ADE^)=m(DAE^)=30∘m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{DAE}) = 30^\circ olur. Buradan dış açı m(DEC^)=30∘+30∘=60∘m(\widehat{DEC}) = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ bulunur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
5
BDEBDE üçgeninin tepe açısını ve kenar ilişkisini belirleyelim.
m(BED^)=m(BEC^)+m(DEC^)=100∘+60∘=160∘m(\widehat{BED}) = m(\widehat{BEC}) + m(\widehat{DEC}) = 100^\circ + 60^\circ = 160^\circ olur. Ayrıca BE=AEBE = AE ve DE=AEDE = AE olduğundan BE=DEBE = DE elde edilir.
BB ve DD noktaları ACAC doğrusunun farklı taraflarında olduğundan EE noktasındaki açılar toplanır. İki kenar da hipotenüsün yarısına eşit olduğu için BDEBDE ikizkenar üçgendir.
6
BDEBDE ikizkenar üçgeninde taban açısı olan xx'i hesaplayalım.
2x+160∘=180∘  ⟹  2x=20∘  ⟹  x=10∘2x + 160^\circ = 180^\circ \implies 2x = 20^\circ \implies x = 10^\circ bulunur.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olup ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısına eşit olması (Muhteşem Üçlü) ve bu özelliğin oluşturduğu ikizkenar üçgenlerde açı ilişkileri.
Question 2548Question →

Bir spor salonundaki sporcuların kümesi EE evrensel kümesidir. Bu sporculardan düzenli olarak kardiyo yapanların kümesi KK, ağırlık antrenmanı yapanların kümesi ise AA olarak belirlenmiştir.

Bu spor salonunda;
* Sadece ağırlık antrenmanı yapanların sayısı, hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların sayısının 4 katıdır.
* Kardiyo yapan sporcuların sayısı, sadece ağırlık antrenmanı yapan sporcuların sayısından 2 fazladır.
* Bu iki aktiviteden en az birini yapan toplam 50 sporcu bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonunda sadece kardiyo yapan sporcu sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Sadece kardiyo yapan sporcu sayısı 20'dir.
Sorudaki veriler doğrultusunda hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanlar s(K∩A)=ys(K \cap A) = y, sadece ağırlık antrenmanı yapanlar s(A∖K)=4ys(A \setminus K) = 4y ve sadece kardiyo yapanlar s(K∖A)=3y+2s(K \setminus A) = 3y + 2 olarak belirlenir. Bu üç bölgenin toplamı olan s(K∪A)=8y+2=50s(K \cup A) = 8y + 2 = 50 eşitliğinden y=6y = 6 bulunur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı 3(6)+2=203(6) + 2 = 20 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin bölgelerini değişkenlerle ifade etme
Hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların kümesi K∩AK \cap A ve eleman sayısı s(K∩A)=ys(K \cap A) = y olsun. Sadece ağırlık antrenmanı yapanların kümesi A∖KA \setminus K olur. Birinci koşula göre, s(A∖K)=4ys(A \setminus K) = 4y olarak yazılır.
Problemdeki oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade edebilmek amacıyla bu adım yapılır.
2
Kardiyo yapanların ve sadece kardiyo yapanların sayısını bulma
Kardiyo yapan sporcuların kümesi KK olup eleman sayısı s(K)=s(K∖A)+s(K∩A)s(K) = s(K \setminus A) + s(K \cap A) şeklindedir. İkinci koşula göre, s(K)=s(A∖K)+2⇒s(K)=4y+2s(K) = s(A \setminus K) + 2 \Rightarrow s(K) = 4y + 2 olur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı s(K∖A)=s(K)−s(K∩A)=(4y+2)−y=3y+2s(K \setminus A) = s(K) - s(K \cap A) = (4y + 2) - y = 3y + 2 bulunur.
Kardiyo yapanların kümesini oluşturan bölgeleri ve sadece kardiyo yapan bölgeyi tanımlamak için bu adım yapılır.
3
Bilinmeyeni çözme ve hedef değeri hesaplama
En az birini yapanların toplamı s(K∪A)=s(K∖A)+s(A∖K)+s(K∩A)=50s(K \cup A) = s(K \setminus A) + s(A \setminus K) + s(K \cap A) = 50 olarak verilmiştir. Değerleri yerine yazarsak; (3y+2)+4y+y=50⇒8y+2=50⇒8y=48⇒y=6(3y + 2) + 4y + y = 50 \Rightarrow 8y + 2 = 50 \Rightarrow 8y = 48 \Rightarrow y = 6 elde edilir. Bizden istenen sadece kardiyo yapanlar s(K∖A)=3y+2=3(6)+2=20s(K \setminus A) = 3y + 2 = 3(6) + 2 = 20 olarak bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısından yararlanarak bilinmeyen yy değerini bulup sadece kardiyo yapanların sayısını hesaplamak için bu adım yapılır.

Key Concept

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin şema ve denklemlerle modellenmesi.
Question 2549Question →

Aşağıdaki çarpma işleminde ABAB ve 3C3C iki basamaklı birer doğal sayıdır.

AB×3C∙∙∙+1081224\begin{array}{rccc} & & A & B \\ \times & & 3 & C \\ \hline & \bullet & \bullet & \bullet \\ + & 1 & 0 & 8 & \\ \hline 1 & 2 & 2 & 4 \end{array}

Buna göre, A+B+CA + B + C toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Rakamların toplamı olan 13 sayısı doğru cevaptır.
Çarpma işleminde ikinci basamak kaydırmalı satır (108108), ABAB sayısı ile alttaki 3C3C sayısının onlar basamağındaki 33 rakamının çarpımına eşittir. Buradan 3×AB=1083 \times AB = 108 eşitliği kurulur ve AB=36AB = 36 bulunur. Dolayısıyla A=3A = 3 ve B=6B = 6'dır. Tüm çarpım sonucu 12241224 olduğuna göre, 36×3C=122436 \times 3C = 1224 olur. Bu bölme işleminden 3C=343C = 34 ve dolayısıyla C=4C = 4 elde edilir. Bu rakamların toplamı olan 3+6+4=133 + 6 + 4 = 13 doğru yanıttır.

Step-by-Step Solution

1
İkinci kısmi çarpımın analiz edilmesi
3×AB=1083 \times AB = 108
Çarpma işleminde ikinci satırdaki kısmi çarpım (108108), üstteki sayı (ABAB) ile alttaki sayının onlar basamağındaki rakamın (33) çarpılmasıyla elde edilir. Bu satır bir basamak sola kaydırılmış olarak yazılır.
2
AA ve BB rakamlarının bulunması
AB=36  ⟹  A=3AB = 36 \implies A = 3 ve B=6B = 6
3×AB=1083 \times AB = 108 denkleminden iki basamaklı ABAB sayısı 108÷3=36108 \div 3 = 36 olarak bulunur. Dolayısıyla onlar basamağı A=3A = 3 ve birler basamağı B=6B = 6 olur.
3
CC rakamının bulunması
3C=34  ⟹  C=43C = 34 \implies C = 4
Çarpma işleminin sonucu olan 12241224 sayısı, ABAB ile 3C3C sayılarının çarpımıdır. 36×3C=122436 \times 3C = 1224 denkleminden iki basamaklı 3C3C sayısı 1224÷36=341224 \div 36 = 34 olarak bulunur. Buradan birler basamağındaki rakam C=4C = 4 olur.
4
İstenen toplamın hesaplanması
A+B+C=3+6+4=13A + B + C = 3 + 6 + 4 = 13
Bulunan A=3A = 3, B=6B = 6 ve C=4C = 4 değerleri toplanarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Çarpma işleminde kısmi çarpımların basamak kaydırma mantığı ve basamak analizi

Hints

1
Çarpma işlemindeki ikinci kısmi çarpımın (108108), ABAB sayısı ile alttaki 3C3C sayısının onlar basamağındaki 3 rakamının çarpımından geldiğini unutmayın.
2
3×AB=1083 \times AB = 108 eşitliğini kullanarak ABAB iki basamaklı sayısını bulun. Buradan AA ve BB rakamlarına ulaşabilirsiniz.
3
AB=36AB = 36 bulduktan sonra, çarpma işleminin genel sonucu olan 36×3C=122436 \times 3C = 1224 denklemini çözerek CC rakamını bulun.

Practice More

Benzer şekilde, bölme işleminde kalan kuralları ve basamak çözümlemesini bir arada kullanan harf-rakam aritmetiği sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Alternatif olarak, ilk kısmi çarpım olan ∙∙∙\bullet\bullet\bullet ifadesinin C×ABC \times AB olduğunu biliyoruz. Ayrıca tüm sonucun 1080+(C×AB)=12241080 + (C \times AB) = 1224 olduğunu görebiliriz (çünkü ikinci satır sola kaydırılmıştır ve değeri 10801080'dir). Buradan C×AB=1224−1080=144C \times AB = 1224 - 1080 = 144 elde edilir. 3×AB=1083 \times AB = 108 ve C×AB=144C \times AB = 144 denklemlerini oranlarsak C3=144108=43  ⟹  C=4\frac{C}{3} = \frac{144}{108} = \frac{4}{3} \implies C = 4 bulunur. Buradan da AB=36AB = 36 elde edilerek çözüme ulaşılır.
Estimated Time:1m 30s
Question 2550Question →

Pozitif tam sayılar, birinci satırdan başlayarak her satırda satır numarası kadar sayı olacak biçimde, aşağıdaki kurala göre bir piramit oluşturmaktadır:

1
3 2
6 5 4
10 9 8 7

Her satırın en solundaki sayı o satırın en büyük sayısıdır ve sayılar soldan sağa doğru birer azalarak sıralanmaktadır.

Buna göre, bu piramidin 12. satırındaki soldan 4. sayı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 75

Answer

12. satırdaki soldan 4. sayı 75'tir.
Doğru cevap olan 75 sayısı, 12. satırın ilk sayısı olan 78'den başlanıp soldan sağa doğru sayılar birer azaltılarak (78, 77, 76, 75) 4. sıraya ulaşıldığında elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Piramitteki satırların ilk (en soldaki) sayılarının örüntüsünü belirlemek.
1. satırın ilk sayısı 1, 2. satırın 3, 3. satırın 6, 4. satırın 10'dur. Bu sayılar ardışık toplamları temsil eden üçgensel sayılardır.
Her nn. satırın ilk sayısı, Tn=n×(n+1)2T_n = \frac{n \times (n+1)}{2} formülüyle hesaplanan nn. üçgensel sayıdır.
2
12. satırın en solundaki (ilk) sayıyı hesaplamak.
T12=12×132=6×13=78T_{12} = \frac{12 \times 13}{2} = 6 \times 13 = 78 bulunur.
12. satırın ilk elemanını bulmak için n=12n = 12 değeri formülde yerine yazılır.
3
12. satırdaki sayıların diziliş kuralını uygulayarak soldan 4. sayıyı bulmak.
12. satırın elemanları soldan sağa doğru birer azalarak ilerler: 1. sayı 78, 2. sayı 77, 3. sayı 76 ve 4. sayı 75 olur.
Soldan kk. sayıyı bulmak için ilk sayıdan (k−1)(k - 1) çıkarmamız gerekir. 4. sayı için 78−3=7578 - 3 = 75 elde edilir.

Key Concept

Sayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler
Question 2551Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)={2x+3,x<1x2−2,x≥1f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & x < 1 \\ x^2 - 2, & x \ge 1 \end{cases}
g(x)=3x−12g(x) = \frac{3x - 1}{2}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (f∘g)(3)+(g∘f)(−1)(f \circ g)(3) + (g \circ f)(-1) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

15
Bileşke fonksiyonların kuralları adım adım uygulanıp parçalı fonksiyonun koşullarına dikkat edildiğinde; birinci bileşke terimden 14, ikinci bileşke terimden ise 1 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı doğru cevap olan 15'i verir.

Step-by-Step Solution

1
g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=3(3)−12=82=4g(3) = \frac{3(3) - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4
(f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) ifadesini bulmak için öncelikle içteki g(3)g(3) değerini hesaplamamız gerekir.
2
f(4)f(4) değerini hesaplayın.
f(4)=42−2=16−2=14f(4) = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14
4≥14 \ge 1 olduğundan, f(x)f(x) parçalı fonksiyonunun ikinci dalı olan x2−2x^2 - 2 kuralı uygulanır.
3
f(−1)f(-1) değerini hesaplayın.
f(−1)=2(−1)+3=−2+3=1f(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1
(g∘f)(−1)=g(f(−1))(g \circ f)(-1) = g(f(-1)) ifadesini bulmak için öncelikle içteki f(−1)f(-1) değerini bulmalıyız. −1<1-1 < 1 olduğundan birinci dal olan 2x+32x + 3 kuralı kullanılır.
4
g(1)g(1) değerini hesaplayın.
g(1)=3(1)−12=22=1g(1) = \frac{3(1) - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1
Bulunan f(−1)=1f(-1) = 1 değerini g(x)g(x) fonksiyonunda yerine yazarız.
5
Elde edilen iki değeri toplayın.
14+1=1514 + 1 = 15
Soruda istenen (f∘g)(3)+(g∘f)(−1)(f \circ g)(3) + (g \circ f)(-1) toplamını bulmak için iki bileşke değer toplanır.

Key Concept

Parçalı Tanımlı ve Bileşke Fonksiyonlarda Değer Bulma
Estimated Time:1m 30s
Question 2552Question →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⋄\diamond ve ∘\circ işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:
a⋄b=(a+1)⋅(b−1) a \diamond b = (a + 1) \cdot (b - 1)
a∘b=2a−b a \circ b = 2a - b
Buna göre,
(x⋄3)∘5=11 (x \diamond 3) \circ 5 = 11
eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen eşitlikte dıştaki ∘\circ işleminin kuralı uygulandığında 2(x⋄3)−5=112(x \diamond 3) - 5 = 11 elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde 2(x⋄3)=16  ⟹  x⋄3=82(x \diamond 3) = 16 \implies x \diamond 3 = 8 bulunur. Daha sonra ⋄\diamond işleminin kuralı uygulandığında (x+1)⋅(3−1)=8  ⟹  2(x+1)=8  ⟹  x+1=4  ⟹  x=3(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3 olarak elde edilir. Bu nedenle doğru değer 3 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki (x⋄3)(x \diamond 3) ifadesini tek bir değişken (örneğin YY) gibi kabul ederek d��ştaki ∘\circ işlemini uygularız.
Y∘5=2Y−5=11Y \circ 5 = 2Y - 5 = 11 denkleminden 2Y=16  ⟹  Y=82Y = 16 \implies Y = 8 elde edilir. Buradan x⋄3=8x \diamond 3 = 8 olduğu bulunur.
İşlem önceliğine göre önce dıştaki işlemin kuralı uygulanarak parantez içindeki ifadenin değeri belirlenmelidir.
2
Bulunan x⋄3=8x \diamond 3 = 8 eşitliğine ⋄\diamond işleminin kuralı uygulanır.
(x+1)⋅(3−1)=8  ⟹  2(x+1)=8(x + 1) \cdot (3 - 1) = 8 \implies 2(x + 1) = 8 denklemi elde edilir.
xx değişkenini bulabilmek için tanımlanan birinci işlemin kuralını uygularız.
3
2(x+1)=82(x + 1) = 8 denklemi çözülerek bilinmeyen değer yalnız bırakılır.
x+1=4  ⟹  x=3x + 1 = 4 \implies x = 3 bulunur.
Eşitliğin her iki tarafı 2'ye bölünerek ve ardından 1 çıkarılarak xx değeri elde edilir.

Key Concept

Özel Tanımlı İşlemler
Question 2553Question →

Kenar uzunlukları 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olan ABCDABCD dikdörtgeninin dışından, bu dikdörtgene teğet olacak şekilde yerleştirilen 1 cm1\text{ cm} yarıçaplı bir çember, dikdörtgenin çevresi boyunca kaymadan dönerek tam bir tur atıyor. Buna göre, çemberin merkezinin bu tur boyunca aldığı toplam yol kaç cm\text{cm}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 28+2π28 + 2\pi

Answer

Toplam alınan yol 28+2π cm28 + 2\pi\text{ cm}'dir.
Doğru seçenekte belirtilen 28+2π28 + 2\pi değeri, dikdörtgenin çevre uzunluğu (28 cm28\text{ cm}) ile çemberin 4 köşede yaptığı dönüşlerden elde edilen 4 adet çeyrek çember yayının uzunluğunun (2π cm2\pi\text{ cm}) toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin kenarları boyunca çemberin merkezinin aldığı doğrusal yolu hesaplayın.
2×6+2×8=28 cm2 \times 6 + 2 \times 8 = 28\text{ cm}
Çember dikdörtgenin kenarları boyunca ilerlerken, merkezinin aldığı doğrusal yol dikdörtgenin çevre uzunluğuna eşit olur.
2
Çemberin dikdörtgenin köşelerinden dönerken merkezinin aldığı dairesel yolları hesaplayın.
4×(90∘360∘×2π×1)=2π cm4 \times \left(\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 1\right) = 2\pi\text{ cm}
Her bir köşede çemberin merkezi, köşeyi merkez kabul eden 90∘90^\circ'lik bir çeyrek yay çizer. 4 köşe olduğu için toplamda 1 tam çember çevresi kadar yol alınır.
3
Doğrusal ve dairesel yolları toplayarak toplam yolu bulun.
28+2π cm28 + 2\pi\text{ cm}
Toplam yol, doğrusal ilerleme mesafesi ile köşe dönüşlerindeki yay uzunluklarının toplamıdır.

Key Concept

Bir çemberin bir çokgen etrafında dönmesiyle merkezinin aldığı yol, çokgenin çevresi ile köşelerdeki dönüş yaylarının toplamına eşittir.
Question 2554Question →

Bir şifreleme sisteminde;
* SARMA\text{SARMA}
* MASAR\text{MASAR}
* ASRAM\text{ASRAM}
* SARAS\text{SARAS}
* MARAS\text{MARAS}

sözcükleri, karışık olarak 1683616836, 1686116861, 3616836168, 3686136861 ve 6186361863 sayıları ile şifrelenmiştir.

Buna göre, MARAS\text{MARAS} sözcüğünün şifresi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 3686136861

Answer

MARAS sözcüğünün şifresi 36861 sayısıdır.
Sözcüklerin ilk harfleri incelendiğinde S harfinin 2 kez, M harfinin 2 kez, A harfinin ise 1 kez tekrarlandığı görülür. Şifrelerin ilk basamaklarında da 1 rakamı 2 kez, 3 rakamı 2 kez, 6 rakamı ise 1 kez yer almaktadır. Buna göre, ilk harfi A olan tek sözcük olan ASRAM, ilk basamağı 6 olan 61863 şifresine karşılık gelir. Buradan A = 6, S = 1, R = 8, M = 3 olduğu bulunur. MARAS sözcüğünün harfleri sırasıyla M, A, R, A, S olduğuna göre şifresi 36861 sayısı olur.

Step-by-Step Solution

1
Sözcüklerin ilk harflerinin frekansını (tekrarlanma sıklığını) inceleyin.
İlk harfler S, M, A, S, M şeklindedir. Burada S harfi 2 kez, M harfi 2 kez, A harfi ise sadece 1 kez geçmektedir. Bu durumda ilk harfi A olan tek sözcük ASRAM'dır.
Benzersiz harften yola çıkarak eşleştirmeyi başlatmak.
2
Şifrelerin ilk basamaklarındaki rakamların frekansını inceleyin.
İlk basamaklar 1, 1, 3, 3 ve 6'dır. Burada 1 rakamı 2 kez, 3 rakamı 2 kez, 6 rakamı ise sadece 1 kez geçmektedir. Buradan, ilk basamağı benzersiz olan 61863 şifresinin ASRAM sözcüğ��ne ait olduğu belirlenir (ASRAM = 61863).
Benzersiz olan ilk harf ile benzersiz olan ilk rakamı eşleştirmek.
3
ASRAM = 61863 eşleşmesinden harflerin rakam karşılıklarını çıkartın.
A = 6, S = 1, R = 8, M = 3 değerleri elde edilir.
Elde edilen harf-rakam değerlerini kullanarak diğer sözcüklerin kodlarını bulmak.
4
Bulunan harf değerlerini MARAS sözcüğünde yerlerine yerleştirin.
M = 3, A = 6, R = 8, A = 6, S = 1 de��erleri sırasıyla yazıldığında MARAS sözcüğünün şifresi 36861 olarak bulunur.
Soruda istenen sözcüğün şifresine ulaşmak.

Key Concept

Sözcük ve sayı gruplarında harf ve basamak frekanslarının (tekrarlanma sıklıklarının) karşılaştırılarak şifrelerin çözülmesi.

Hints

1
Sözcüklerin ilk harflerinin ve şifrelerin ilk basamaklarının tekrarlanma sıklıklarını (frekanslarını) listeleyerek başlayın.
2
Hem ilk harfler hem de şifrelerin ilk basamakları arasında sadece bir adet benzersiz (tekrar etmeyen) karakter vardır. Bu benzersiz karakterleri birbiriyle eşleştirin.
3
ASRAM sözcüğü 61863 şifresiyle eşleşir. Buradan A, S, R ve M harflerinin sayısal karşılıklarını bulup MARAS kelimesinde yerine yazın.

Practice More

Benzer şekilde harfler yerine şekil veya sembollerin kullanıldığı şifreleme sorularını çözerek frekans analizi pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Sözcüklerin son harflerinin frekansından da gidilebilir. Sonu A ile biten iki sözcük (SARMA, MARAS - son rakamları 6 ve 1 olmalı), R ile biten bir sözcük (MASAR - son rakamı 8 olmalı), M ile biten bir sözcük (ASRAM - son rakamı 3 olmalı), S ile biten bir sözcük (SARAS - son rakamı 1 olmalı) vardır. Şifrelerin son basamakları incelendiğinde 8 ile biten 36168'in MASAR olduğu doğrudan görülür. Buradan M = 3, A = 6, S = 1, R = 8 değerleri bulunarak MARAS = 36861 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:1m 30s
Question 2555Question →

Bir kenar uzunluğu 88 birim olan nn adet eş kare; her bir karenin sol alt köşesi, bir önceki karenin ağırlık merkezine (köşegenlerinin kesişim noktasına) gelecek ve kenarları birbirine paralel olacak şekilde üst üste yerleştirilerek bir geometrik şekil elde ediliyor.

Bu şekilde elde edilen geometrik şeklin toplam alanı 304304 birimkare olduğuna göre, oluşan şeklin çevre uzunluğu kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 112

Answer

Oluşan geometrik şeklin çevre uzunluğu 112 birimdir.
Çakışan bölgenin alanı 1616 birimkare olup, nn adet kare için toplam alan 48n+1648n + 16 olarak modellenir. Toplam alan 304304 birimkareye eşitlendiğinde kare sayısı n=6n=6 olarak bulunur. Her çakışmada çevre uzunluğundan 1616 birim eksildiğinden, 66 kare için toplam çevre 16(6)+16=11216(6) + 16 = 112 birim olmaktadır. Bu nedenle çevre uzunluğu 112 birim olan seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
İki ardışık karenin çakışma alanını hesaplayın.
Her bir karenin bir kenarı 88 birim olduğundan alanı 8×8=648 \times 8 = 64 birimkaredir. Bir karenin sol alt köşesi diğerinin ağırlık merkezine yerleştirildiğinde, çakışan bölge kenarları paralel olan 4×44 \times 4 boyutlarında bir kare olur. Çakışan alan 4×4=164 \times 4 = 16 birimkaredir.
Toplam alan bağıntısını oluşturmak için çakışan alan miktarını bilmemiz gerekir.
2
Kare sayısı nn için toplam alan formülünü kurun ve nn değerini bulun.
nn adet kare için n−1n-1 adet çakışma bölgesi oluşur. Toplam Alan = n×64−(n−1)×16=48n+16n \times 64 - (n-1) \times 16 = 48n + 16 birimkare olur. 48n+16=304  ⟹  48n=288  ⟹  n=648n + 16 = 304 \implies 48n = 288 \implies n = 6 bulunur.
Şekli oluşturan toplam kare sayısını bulmak, çevre uzunluğunu hesaplamamızı sağlayacaktır.
3
Oluşan şeklin çevre uzunluğunu hesaplayın.
nn adet karenin çakışma olmadan toplam çevresi 32n32n birimdir. Her bir çakışmada, ikişer kenardan 44'er birimlik toplam 1616 birim çevre kaybı yaşanır. Toplam Çevre = 32n−16(n−1)=16n+1632n - 16(n-1) = 16n + 16 birimdir. n=6n = 6 i��in Çevre = 16×6+16=11216 \times 6 + 16 = 112 birim bulunur.
Soruda istenen nihai çevre uzunluğuna ulaşmak için.

Key Concept

Geometrik şekillerin çakışma durumlarında alan ve çevre bağıntılarının modellenmesi

Hints

1
Bir karenin sol alt köşesi diğerinin ağırlık merkezine geliyorsa, iki karenin çakışan kısmı büyük karenin tam olarak dörtte biridir.
2
nn tane kare doğrusal şekilde dizildiğinde aralarında n−1n-1 tane çakışma bölgesi oluşur. Toplam alanı bulmak için karelerin alanları toplamından bu çakışan alanları çıkarmalısınız.
3
Çevre hesaplarken, her çakışma noktası dış çevreye dahil olan bazı kenar parçalarını yok eder. İki karenin birleştiği her yerde, dış çevreden 4+4=84 + 4 = 8 birimlik ikişer adet parça (toplamda 16 birim) eksilir.

Practice More

Benzer bir mantıkla, kareler yerine eşkenar üçgenlerin ağırlık merkezleri kullanılarak oluşturulan örüntülerin alan ve çevre ilişkilerini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Toplam çevreyi bulmak için şekli yatay ve dikey projeksiyonlarına ayırarak da hesaplayabilirsiniz. En sol alt köşeden en sağ üst köşeye kadar olan toplam yatay uzunluk 8+4(n−1)=4n+48 + 4(n-1) = 4n + 4 birimdir. Aynı şekilde dikey uzunluk da 4n+44n + 4 birimdir. Şeklin dış sınırı tırtıklı olsa da, çevre uzunluğu bu sınırları çevreleyen en küçük dikdörtgenin çevresine eşittir. Dolayısıyla Çevre = 2×((4n+4)+(4n+4))=16n+162 \times ((4n+4) + (4n+4)) = 16n + 16 olur. Buradan n=6n=6 için Çevre = 16(6)+16=11216(6) + 16 = 112 birim bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 2556Question →

Bir şifreleme sisteminde harfler sıfırdan farklı birer rakamla eşleştirilmiştir. Bu sistemde,

Sözcük
TEKİN
NİTEL
LİTEK
ETKİN
KİTLE

sözcükleri karışık olarak 2948729487, 4729547295, 5947859478, 7429574295 ve 8947289472 sayılarıyla şifrelenmiştir.

Buna göre, İLETKEN sözcüğünün bu şifreleme sistemindeki kodu aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 9874275

Answer

İLETKEN sözcüğünün şifreleme sistemindeki doğru kodu 9874275 sayısıdır.
Sözcüklerin son harfleri ile şifrelerin son rakamları eşleştirildiğinde E=7\text{E}=7, L=8\text{L}=8, K=2\text{K}=2 ve N=5\text{N}=5 değerleri bulunur. Buradan KİTLE = 2948729487 şifresi yardımıyla I˙=9\text{İ}=9 ve T=4\text{T}=4 değerleri elde edilir. İLETKEN harfleri sırasıyla yerleştirildiğinde 98742759874275 koduna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözcüklerin son harflerini ve şifrelerin son rakamlarını inceleyin.
KİTLE sözcüğü E ile, NİTEL sözcüğü L ile, LİTEK sözcüğü K ile biterken; TEKİN ve ETKİN sözcükleri N ile bitmektedir. Şifrelerin son rakamları ise 77, 88, 22 ve iki adet 55'tir.
Her sözcüğün son harfinin şifresinin son rakamı ile eşleşmesi gerektiği için bu harfleri doğrudan tespit edebiliriz.
2
E, L, K ve N harflerinin sayısal değerlerini belirleyin.
Tek olan son harflerden yola çıkarak: E=7\text{E} = 7 (KİTLE →\rightarrow 2948729487), L=8\text{L} = 8 (NİTEL →\rightarrow 5947859478), K=2\text{K} = 2 (LİTEK →\rightarrow 8947289472) ve N=5\text{N} = 5 (TEKİN ve ETKİN →\rightarrow 4729547295 ve 7429574295) bulunur.
Son harfleri benzersiz olan sözcükler ile son rakamları benzersiz olan şifreleri eşleştirerek harf değerlerini doğrudan buluruz.
3
KİTLE = 29487 şifresini kullanarak T ve İ harflerinin değerlerini bulun.
K=2\text{K} = 2, L=8\text{L} = 8, E=7\text{E} = 7 olduğunu bildiğimize göre, KİTLE sözcüğünün harfleri sırasıyla K(2)\text{K}(2)-I˙(9)\text{İ}(9)-T(4)\text{T}(4)-L(8)\text{L}(8)-E(7)\text{E}(7) şeklindedir. Buradan I˙=9\text{İ} = 9 ve T=4\text{T} = 4 elde edilir.
Elde ettiğimiz harf değerlerini bilinen bir sözcük şifresine yerleştirerek kalan bilinmeyen harfleri tespit ederiz.
4
İLETKEN sözcüğünün kodunu harf değerlerini sırasıyla yerleştirerek oluşturun.
I˙=9\text{İ} = 9, L=8\text{L} = 8, E=7\text{E} = 7, T=4\text{T} = 4, K=2\text{K} = 2, E=7\text{E} = 7, N=5\text{N} = 5 değerlerini İLETKEN sırasına göre dizdiğimizde şifre 98742759874275 olur.
Tüm harflerin sayısal karşılıklarını bulduktan sonra hedef sözcüğün kodunu doğrudan yazarız.

Key Concept

Sözcük ve harf şifreleme mantığı
Estimated Time:1m 30s
Question 2557Question →

Bir şifreleme sisteminde geometrik şekiller ve içlerindeki noktalar kullanılarak sayılar şifrelenmektedir. Her bir şekil bir rakamı temsil etmekte ve yan yana gelen şekiller soldan sağa doğru sırasıyla basamakları oluşturarak bir sayıyı tanımlamaktadır.

Şeklin kenar sayısı ss, içindeki nokta sayısı nn olmak üzere, şeklin temsil ettiği rakam şu şekilde hesaplanmaktadır:
- Şeklin içi boş ise temsil ettiği rakam: (s+n)(s + n) toplamının birler basamağı
- Şeklin içi taralı ise temsil ettiği rakam: (s×n)(s \times n) çarpımının birler basamağı

Buna göre; sırasıyla içi boş ve içinde 7 nokta olan bir beşgen, içi taralı ve içinde 9 nokta olan bir üçgen ile içi taralı ve içinde 6 nokta olan bir kare yan yana getirildiğinde oluşan üç basamaklı sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 274

Answer

274
Şifreleme kurallarına göre içi boş beşgen (5 kenarlı) ve 7 noktalı şekil için 5 + 7 = 12 işleminden 2 rakamı elde edilir. İçi taralı üçgen (3 kenarlı) ve 9 noktalı şekil için 3 x 9 = 27 işleminden 7 rakamı elde edilir. İçi taralı kare (4 kenarlı) ve 6 noktalı şekil için 4 x 6 = 24 işleminden 4 rakamı elde edilir. Bu rakamlar sırasıyla yan yana getirildiğinde 274 sayısı oluşur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci şeklin temsil ettiği rakamı hesaplama
s=5s = 5 (beşgen) ve n=7n = 7 (nokta sayısı). Şekil boş olduğu için toplama kuralı uygulanır: 5+7=125 + 7 = 12. Birler basamağı 22'dir.
Kurala göre boş şekillerde kenar sayısı ile nokta sayısı toplanır ve sonucun birler basamağı alınır.
2
İkinci şeklin temsil ettiği rakamı hesaplama
s=3s = 3 (üçgen) ve n=9n = 9 (nokta sayısı). Şekil taralı olduğu için çarpma kuralı uygulanır: 3×9=273 \times 9 = 27. Birler basamağı 77'dir.
Kurala göre taralı şekillerde kenar sayısı ile nokta sayısı çarpılır ve sonucun birler basamağı alınır.
3
Üçüncü şeklin temsil ettiği rakamı hesaplama
s=4s = 4 (kare) ve n=6n = 6 (nokta sayısı). Şekil taralı olduğu için çarpma kuralı uygulanır: 4×6=244 \times 6 = 24. Birler basamağı 44'tür.
Kurala göre taralı şekillerde kenar sayısı ile nokta sayısı çarpılır ve sonucun birler basamağı alınır.
4
Rakamları birleştirerek sayıyı oluşturma
22, 77 ve 44 rakamları sırasıyla birleştirildiğinde 274274 sayısı elde edilir.
Şekillerin yan yana dizilim sırası sayının basamaklarını oluşturmaktadır.

Key Concept

Şekil ve nokta özelliklerine bağlı tanımlanmış mantıksal kurallarla şifre çözme
Question 2558Question →

Bir duvar saatinin sarkacı, 12 cm12\text{ cm} uzunluğundaki bir kolun ucuna bağlıdır. Sarkaç hareket ederken, kol düşey doğrultuyla her iki yönde en fazla 30∘30^\circ lik açı yapmaktadır. Buna göre, sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım (bir uçtan diğer uca gidip tekrar ilk konumuna dönme) hareketi boyunca aldığı toplam yol kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Sarkacın ucundaki ağırlığın bir tam salınım boyunca aldığı toplam yol 8π cm8\pi\text{ cm}'dir.
Sarkaç düşey doğrultudan her iki yöne en fazla 30∘30^\circ saptığı için, sarkaç kolunun bir uçtan diğer uca hareketi toplamda 60∘60^\circ lik bir merkez açı oluşturur. Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} olan bu daire diliminin yay uzunluğu 2π⋅12⋅60360=4π cm2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm} olarak hesaplanır. Bir tam salınım hareketi gidiş ve dönüşten oluştuğu için sarkacın aldığı toplam yol bu değerin iki katı olan 8π cm8\pi\text{ cm}'dir.

Step-by-Step Solution

1
Sarkacın bir uçtan diğer uca giderken taradığı toplam merkez açıyı bulalım.
Sarkaç düşey doğrultunun her iki yönünde 30∘30^\circ hareket ettiği için toplam açı 30∘+30∘=60∘30^\circ + 30^\circ = 60^\circ olur.
Sarkacın hareket yönü boyunca taradığı yayın merkez açısını belirlemek gerekir.
2
Sarkacın tek yönlü hareketi (gidiş) boyunca aldığı yay uzunluğunu hesaplayalım.
Yay uzunluğu = 2πr⋅α360=2π⋅12⋅60360=4π cm2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360} = 2\pi \cdot 12 \cdot \frac{60}{360} = 4\pi\text{ cm}'dir.
Yarıçapı 12 cm12\text{ cm} ve merkez açısı 60∘60^\circ olan çember yayının uzunluğunu bulmak için yay uzunluğu formülü uygulanır.
3
Bir tam salınım (gidiş ve dönüş) boyunca alınan toplam yolu bulalım.
Toplam yol = 2×4π=8π cm2 \times 4\pi = 8\pi\text{ cm}'dir.
Bir tam salınım hareketi, sarkacın bir uçtan diğer uca gitmesini ve ardından başlangıç konumuna geri dönmesini içerdiği için tek yönlü yol ikiyle çarpılır.

Key Concept

Daire diliminin yay uzunluğu formülü yardımıyla salınım yapan bir sarkacın aldığı yolun hesaplanması.
Question 2559Question →

Ölçüleri derece cinsinden birer tam sayı olan tümler iki açıdan büyük olanının ölçüsü, küçük olan��nın ölçüsünün 44 katından küçüktür. Buna göre, bu açılardan küçük olanının alabileceği en küçük ölçü kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Küçük açının alabileceği en küçük ölçü 19 derecedir.
Tümler iki açının toplamı 90 derecedir. Küçük açı xx ise büyük açı 90−x90 - x olur. Sorudaki koşula göre 90−x<4x90 - x < 4x eşitsizliğinden 5x>905x > 90 ve x>18x > 18 bulunur. Derece cinsinden tam sayı olan küçük açının alabileceği en küçük değer bu durumda 19 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Küçük açının ölçüsüne xx, büyük açının ölçüsüne yy diyelim ve bu iki açının tümler olması ilişkisini yazalım.
x+y=90∘  ⟹  y=90∘−xx + y = 90^{\circ} \implies y = 90^{\circ} - x
Tümler iki açının ölçüleri toplam�� 90∘90^{\circ}'dir.
2
Büyük açının ölçüsünün, küçük açının ölçüsünün 44 katından küçük olduğu bilgisini kullanarak eşitsizliği kuralım.
y<4x  ⟹  90∘−x<4xy < 4x \implies 90^{\circ} - x < 4x
Soruda büyük açının küçük açının 4 katından küçük olduğu açıkça belirtilmiştir.
3
Eşitsizlikte xx'li terimleri bir araya getirerek xx için alt sınırı bulalım.
90∘<5x  ⟹  x>18∘90^{\circ} < 5x \implies x > 18^{\circ}
−x-x terimi eşitsizliğin karşı tarafına +x+x olarak geçer ve her iki taraf 55'e bölünür.
4
xx açısının alabileceği en küçük tam sayı değerini belirleyelim.
x=19∘x = 19^{\circ}
Açı ölçüleri tam sayı olduğundan, 18∘18^{\circ}'den büyük olan en küçük tam sayı 19∘19^{\circ} olmalıdır.

Key Concept

Tümler Açı ve Açı Ölçüleri Eşitsizlikleri
Question 2560Question →

Yarıçapı 24 cm24\text{ cm} olan sabit bir dairesel pistin iç kısmında, yarıçapı 6 cm6\text{ cm} olan başka bir çember kaymadan dönerek ilerlemektedir. Küçük çember, büyük çemberin iç duvarı boyunca tam bir tur (büyük çember etrafında tam bir dolanım) yapıp başladığı noktaya geri döndüğünde, kendi merkezi etrafında kaç tam devir yapmış olur?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Küçük çember kendi merkezi etrafında 3 tam devir yapmış olur.
Küçük çember büyük çemberin içerisinde kaymadan ilerlediğinde, küçük çemberin merkezinin aldığı yol yarıçapı 18 cm18\text{ cm} olan bir çember oluşturur. Bu yolun uzunluğu olan 36π cm36\pi\text{ cm} değeri, küçük çemberin kendi çevre uzunluğu olan 12π cm12\pi\text{ cm} değerine bölündüğünde 3 tam devir yaptığı bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Küçük çemberin merkezisinin izlediği dairesel yolun yarıçapını belirlemek.
Yolun yarıçapı: Ryol=R−r=24−6=18 cmR_{\text{yol}} = R - r = 24 - 6 = 18\text{ cm}
Küçük çember büyük çemberin iç kısmında teğet olarak dolandığı için, küçük çemberin merkezinin büyük çemberin merkezine olan uzaklığı iki yarıçapın farkı kadar olur.
2
Küçük çemberin merkezinin aldığı toplam yolu (izlediği yörüngenin çevre uzunlu��unu) hesaplamak.
Yörünge çevresi: Cyol=2⋅π⋅Ryol=2⋅π⋅18=36π cmC_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot R_{\text{yol}} = 2 \cdot \pi \cdot 18 = 36\pi\text{ cm}
Dönme hareketi sırasında alınan toplam yol, küçük çemberin merkezinin çizdiği çemberin çevresine eşittir.
3
Küçük çemberin kendi çevre uzunluğunu hesaplamak.
Küçük çemberin çevresi: Cku¨c¸u¨k=2⋅π⋅r=2⋅π⋅6=12π cmC_{\text{küçük}} = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 6 = 12\pi\text{ cm}
Bir tam devirde çemberin kendi çevresi kadar yol alacağını bilerek bu değeri bölen olarak kullanacağız.
4
Toplam devir sayısını bulmak için merkez yolunun uzunluğunu küçük çemberin çevresine bölmek.
Devir sayısı: Devir=CyolCku¨c¸u¨k=36π12π=3\text{Devir} = \frac{C_{\text{yol}}}{C_{\text{küçük}}} = \frac{36\pi}{12\pi} = 3
Toplam alınan yolun, bir devirde alınan yola oranı toplam devir sayısını verir.

Key Concept

Çemberin içte dönme hareketinde merkezinin aldığı yol ve devir sayısı ilişkisi.

Hints

1
Küçük çember dönerken, onun merkez noktasının çizdiği yörüngeyi düşünün. Bu yörüngenin yarıçapı kaç cm\text{cm}'dir?
2
Küçük çemberin merkezinin çizdiği yörüngenin yarıçapı, büyük çemberin yarıçapı ile küçük çemberin yarıçapının farkına eşittir (24−6=18 cm24 - 6 = 18\text{ cm}).
3
Merkezin aldığı yolu (2⋅π⋅182 \cdot \pi \cdot 18) küçük çemberin kendi çevresine (2⋅π⋅62 \cdot \pi \cdot 6) bölerek toplam devir sayısını bulun.

Practice More

Benzer şekilde, küçük çember büyük çemberin dış çeperi boyunca dönerek ilerleseydi devir sayısının nasıl değişeceğini hesaplayabilirsiniz.

Alternative Method

Dönme hareketlerinde genel formül kullanılabilir: İçten dönme durumunda devir sayısı N=R−rrN = \frac{R - r}{r} formülü ile hesaplanır. Buradan N=24−66=3N = \frac{24 - 6}{6} = 3 bulunur.
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 128 / 129Next
All practice questions — ALES | Examkin