Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Dizileri ve Örüntüler

Tam sayılardan oluşan bir (an)(a_n) dizisinin terimleri arasında aşağıdaki ilişki tanımlanmıştır:

a1=5a_1 = 5
an+1={an+4, n tek sayı isean−2, n c¸ift sayı isea_{n+1} = \begin{cases} a_n + 4 & , \text{ n tek sayı ise} \\ a_n - 2 & , \text{ n çift sayı ise} \end{cases}

Buna göre, bu dizinin 60. terimi (a60a_{60}) kaçtır?

  1. A
    61
  2. B
    63
  3. C
    65
  4. 67Answer
  5. E
    69

Answer

Dizinin 60. terimi 67'dir.
Dizinin terimleri incelendiğinde, tek ve çift indisli terimlerin kendi içlerinde farklı aritmetik diziler oluşturduğu görülür. Çift indisli terimler (a2,a4,a6...a_2, a_4, a_6...) 9'dan başlayarak 2'şer artmaktadır. a60a_{60} terimi bu alt dizinin 30. terimine denk gelir. Aritmetik dizi formülü a2k=9+(k−1)2a_{2k} = 9 + (k-1)2 kullanıldığında, k=30k=30 için sonuç 67 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dizinin ilk birkaç terimini hesaplayarak örüntüyü analiz et.
a1=5a_1 = 5
n=1n=1 (tek) →a2=5+4=9\rightarrow a_2 = 5 + 4 = 9
n=2n=2 (çift) →a3=9−2=7\rightarrow a_3 = 9 - 2 = 7
n=3n=3 (tek) →a4=7+4=11\rightarrow a_4 = 7 + 4 = 11
n=4n=4 (çift) →a5=11−2=9\rightarrow a_5 = 11 - 2 = 9
n=5n=5 (tek) →a6=9+4=13\rightarrow a_6 = 9 + 4 = 13
Örüntünün genel kuralını görmek için somut örnekler oluşturulmalıdır.
2
Çift indisli terimlerin (a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \dots) kendi aralarındaki artış kuralını belirle.
a2=9a_2 = 9
a4=11a_4 = 11
a6=13a_6 = 13
Bu terimler 2'şer artan bir aritmetik dizi oluşturmaktadır.
Soruda a60a_{60} sorulduğu için sadece çift indisli terimlerin kuralına odaklanmak çözümü hızlandırır.
3
Çift indisli terimler için genel formülü oluştur (2k2k. terim için).
Çift indisli terimler dizisi (bk=a2kb_k = a_{2k}) olsun.
b1=a2=9b_1 = a_2 = 9
b2=a4=11b_2 = a_4 = 11
Artış miktarı (rr) = 2
Formül: bk=b1+(k−1)r→a2k=9+(k−1)2=2k+7b_k = b_1 + (k-1)r \rightarrow a_{2k} = 9 + (k-1)2 = 2k + 7
Aritmetik dizi formülü kullanılarak istenen adımdaki değere doğrudan ulaşılır.
4
a60a_{60} değerini hesapla.
a60a_{60} terimi, çift indisli dizinin 30. elemanıdır (2k=60⇒k=302k=60 \Rightarrow k=30).
a60=2(30)+7=60+7=67a_{60} = 2(30) + 7 = 60 + 7 = 67
Formülde k yerine 30 yazılarak sonuç bulunur.

Key Concept

İki Aşamalı Artışlı Sayı Dizileri

Hints

1
Dizinin ilk 6 terimini (a1a_1'den a6a_6'ya kadar) tek tek hesaplayıp yazınız.
2
Çift numaralı terimlere (a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \dots) özellikle dikkat edin; bu sayılar arasında sabit bir artış görebiliyor musunuz?
3
a60a_{60} terimi, çift sayılar dizisinin 30. elemanıdır. İlk elemanı a2=9a_2=9 ve artış miktarı 2 olan bir aritmetik dizi formülü kurunuz.

Practice More

Benzer bir kurala sahip ancak nn sayısının 3'e bölümünden kalana göre değişen bir dizi sorusu çözerek modüler aritmetik ile dizi ilişkisini pekiştirin.

Alternative Method

Toplam değişim yöntemi: a1a_1'den a60a_{60}'a kadar 59 geçiş vardır. Bu geçişlerin 30 tanesi tek nn (+4+4), 29 tanesi çift nn (−2-2) işlemidir. Toplam değişim: 30(4)+29(−2)=120−58=6230(4) + 29(-2) = 120 - 58 = 62. Sonuç: a1+62=5+62=67a_1 + 62 = 5 + 62 = 67.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic