Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Dizileri ve Örüntüler

Ardışık pozitif tam sayılar, belirli bir kurala göre aşağıdaki gibi satırlar halinde piramit şeklinde dizilmiştir:

1. satır: 1
2. satır: 2, 3, 4
3. satır: 5, 6, 7, 8, 9
4. satır: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

Bu örüntüye göre, 12. satırın tam ortasında bulunan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    73
  2. B
    122
  3. 133Answer
  4. D
    144
  5. E
    145

Answer

12. satırın tam ortasında bulunan sayı 133'tür.
Verilen piramitte her satırdaki sayı adedi 1, 3, 5, 7... şeklinde artan tek sayılardır. İlk nn tek sayının toplamı n2n^2 olduğundan, nn. satırın son sayısı her zaman n2n^2'dir.

12. satır için:
- Bir önceki satırın (11. satır) son sayısı: 112=12111^2 = 121'dir.
- 12. satırın ilk sayısı: 121+1=122121 + 1 = 122'dir.
- 12. satırın son sayısı: 122=14412^2 = 144'tür.
- Bu satırdaki sayılar 122'den 144'e kadar olan ardışık sayılardır.

Tam ortadaki sayı, ilk ve son terimin toplamının yarısıdır:
122+1442=2662=133\frac{122 + 144}{2} = \frac{266}{2} = 133.

Step-by-Step Solution

1
Örüntüdeki her satırda bulunan sayı adedini analiz et.
1. satırda 1, 2. satırda 3, 3. satırda 5... n. satırda (2n-1) adet sayı vardır.
Sayılar tek sayılar dizisi şeklinde artmaktadır.
2
n. satırın son sayısını bulmak için toplam sayı adedini hesapla.
n satırın sonundaki sayı, ilk n tek sayının toplamıdır: n².
1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² formülü kullanılır.
3
11. satırın son sayısını ve 12. satırın aralığını belirle.
11. satırın sonu: 11² = 121. Dolayısıyla 12. satır 122 ile başlar ve 12² = 144 ile biter.
Bir satırın son sayısı n² olduğuna göre, bir sonraki satır n² + 1 ile başlar.
4
12. satırın ortasındaki sayıyı bul.
Başlangıç (122) ve Bitiş (144) değerlerinin ortalaması: (122 + 144) / 2 = 133.
Ardışık sayı dizilerinde ortanca terim, ilk ve son terimin aritmetik ortalamasıdır.

Key Concept

Özel Sayı Örüntüleri ve Toplam Formülleri

Hints

1
Her satırdaki son sayılara dikkat edin: 1, 4, 9, 16... Bu sayılar size tanıdık geliyor mu?
2
n. satırın son sayısı n² formülü ile bulunur. O halde 11. satır kaç ile biter?
3
11. satır 121 ile biter. Demek ki 12. satır 122 ile başlar ve 144 (12²) ile biter. Bu aralığın tam ortasını bulun.

Practice More

Benzer kurala sahip ancak çift sayılarla ilerleyen (2, 4, 6...) bir piramit sorusu çözerek örüntü yeteneğini pekiştirin.

Alternative Method

Formül Yöntemi: n. satırın ortasındaki sayı genel formülü n2−n+1n^2 - n + 1'dir. Burada n=12 yazılırsa: 144−12+1=133144 - 12 + 1 = 133 sonucu doğrudan bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic