Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Dizileri ve Örüntüler

Ardışık çift doğal sayılar, belirli bir kurala göre aşağıdaki gibi piramit şeklinde dizilmiştir:

2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
...

Buna göre, 10. satırda bulunan sayıların aritmetik ortalaması kaçtır?

  1. A
    99
  2. B
    100
  3. 101Answer
  4. D
    102
  5. E
    110

Answer

10. satırdaki sayıların ortalaması 101'dir.
Verilen piramit incelendiğinde her satırın ortalaması belirli bir kurala uyar. 1. satır ortalaması 2 (12+11^2+1), 2. satır ortalaması (4+6)/2=5 (22+12^2+1), 3. satır ortalaması (8+10+12)/3=10 (32+13^2+1)'dur. Bu örüntü genelleştirildiğinde n. satırın ortalaması n2+1n^2+1 olur. Dolayısıyla 10. satır için 102+1=10110^2+1 = 101 sonucu bulunur. Alternatif olarak, satır başı ve sonu hesaplanarak (92 ve 110) ortalamaları alınarak da aynı sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Her satırdaki terim sayısını ve önceki satırlarda kullanılan toplam terim sayısını belirle.
n. satırda n adet sayı vardır. 10. satırdan önce (1'den 9'a kadar) toplam 9×102=45\frac{9 \times 10}{2} = 45 sayı kullanılmıştır.
Sayı dizisinin başlangıç değerini bulmak için önceki tüm terimlerin sayısını bilmemiz gerekir.
2
10. satırın ilk terimini bul.
45 sayıdan sonraki ilk çift sayı 46. çift sayıdır. İlk terim: 2×46=922 \times 46 = 92.
Dizi ardışık çift sayılardan oluştuğu için k. terim 2k2k formülüyle bulunur.
3
10. satırın son terimini bul.
10. satırda 10 sayı vardır, yani 45 + 10 = 55. sayı son terimdir. Son terim: 2×55=1102 \times 55 = 110.
Ardışık dizilerde ortalamayı bulmak için ilk ve son terim yeterlidir.
4
Sayıların aritmetik ortalamasını hesapla.
Ortalama = I˙lk Terim+Son Terim2=92+1102=2022=101\frac{\text{İlk Terim} + \text{Son Terim}}{2} = \frac{92 + 110}{2} = \frac{202}{2} = 101.
Ardışık artan dizilerde aritmetik ortalama, ilk ve son terimin toplamının yarısıdır.

Key Concept

Sayısal mantık problemlerinde üçgensel sayı dizileri ve aritmetik dizi özelliklerinin kullanımı.

Hints

1
Önceki satırlarda toplam kaç adet sayı kullanıldığını hesaplayarak 10. satırın hangi sayıyla başladığını bulunuz.
2
1'den 9'a kadar olan satırlardaki toplam terim sayısı 9×102=45\frac{9 \times 10}{2} = 45'tir. 10. satır, 46. çift sayı ile başlar.
3
Her satırın ortalamasına dikkat edin: 1. satır (2), 2. satır (5), 3. satır (10). Bu sayılar satır numarası nn ile n2+1n^2 + 1 ilişkisine sahiptir.

Practice More

Benzer bir piramidin ardışık tek sayılarla oluşturulduğu durumda satır toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Satır ortalamaları dizisi oluşturulabilir: 1. satır ortalaması 2, 2. satır 5, 3. satır 10, 4. satır 17. Bu dizi an=n2+1a_n = n^2 + 1 genel terimine sahiptir. Buradan a10=102+1=101a_{10} = 10^2 + 1 = 101 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Dizileri ve Örüntüler

More questions from this topic