Examkin

Cebir

424 questions

Question 261Question →

Birinci dereceden denklemler konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki soruyu çözerken belirli adımlar izlemiştir.

2(x−1)−x+23=x2(x-1) - \frac{x+2}{3} = x

Öğrencinin çözüm adımları şöyledir:

I. Adım: Eşitliğin her iki tarafındaki terimlerin paydaları 3'te eşitlenmiştir:
6(x−1)3−x+23=3x3\frac{6(x-1)}{3} - \frac{x+2}{3} = \frac{3x}{3}
II. Adım: Paydalar atılarak denklem düzenlenmiştir:
6(x−1)−(x+2)=3x6(x-1) - (x+2) = 3x
III. Adım: Parantezler dağıtılmıştır:
6x−6−x+2=3x6x - 6 - x + 2 = 3x
IV. Adım: Benzer terimler toplanmıştır:
5x−4=3x5x - 4 = 3x
V. Adım: Bilinenler ve bilinmeyenler ayrılıp sonuç bulunmuştur:
2x=4  ⟹  x=22x = 4 \implies x = 2

Buna göre, öğrenci ilk hatayı hangi adımda yapmıştır?

Show answer & explanation

Answer: III. Adım

Answer

III. Adım
Doğru cevap 'III. Adım'dır. II. adımdaki 6(x−1)−(x+2)6(x-1) - (x+2) ifadesi açılırken, eksi işareti parantez içindeki her iki terime de dağıtılmalıdır. Yani −(x+2)-(x+2) ifadesi −x−2-x - 2 olmalıdır. Ancak öğrenci bunu −x+2-x + 2 olarak yazarak işaret hatası yapmıştır.

Step-by-Step Solution

1
I. ve II. adımları kontrol et.
I. adımda paydalar doğru eşitlenmiş (3×2(x−1)3 \times 2(x-1) ve 3×x3 \times x). II. adımda paydalar doğru atılmıştır.
Denklem çözümüne başlarken payda eşitleme ve sadeleştirme işlemleri doğru yapılmıştır.
2
III. adımı (parantez açma) kontrol et.
İfade: 6(x−1)−(x+2)6(x-1) - (x+2). Doğru dağılım: 6x−6−x−26x - 6 - x - 2. Öğrencinin yazdığı: 6x−6−x+26x - 6 - x + 2.
Kesir çizgisinin önündeki eksi işareti, paydaki tüm terimlere etki etmelidir. −(x+2)-(x+2) işlemi −x−2-x-2 sonucunu verir. Öğrenci işareti +2+2 olarak bırakarak hata yapmıştır.
3
Sonucu belirle.
İlk hata III. adımda yapılmıştır.
İşaret hatası sonucu değiştirmiştir.

Key Concept

İşlem Önceliği ve İşaret Dağılımı

Hints

1
Kesir çizgisinin önündeki eksi işaretinin, paydaki ifadenin tamamına (parantez içindeymiş gibi) etki ettiğini unutmayın.

Practice More

İçinde eksi işaretli parantezlerin bulunduğu daha karmaşık denklemler çözülmelidir.
Estimated Time:2m 0s
Question 262Question →

Bir kamu kurumunun kırtasiye deposunda bulunan kurşun kalemlerin sayısının, tükenmez kalemlerin sayısına oranı 35\frac{3}{5}'tir. Bu depoda 4545 tane kurşun kalem olduğuna göre, tükenmez kalemlerin sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 7575

Answer

Depodaki tükenmez kalemlerin sayısı 7575'tir.
Verilen oran 35\frac{3}{5} olduğu için kurşun kalemlerin miktarı 3k3k, tükenmez kalemlerin miktarı ise 5k5k ile temsil edilebilir. 3k=453k = 45 olduğundan k=15k = 15 bulunur. Buradan tükenmez kalemlerin sayısı 5×15=755 \times 15 = 75 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen oranı matematiksel olarak ifade edin.
Kurs¸un Kalem SayısıTu¨kenmez Kalem Sayısı=35\frac{\text{Kurşun Kalem Sayısı}}{\text{Tükenmez Kalem Sayısı}} = \frac{3}{5}
Oran, iki çokluğun miktar olarak karşılaştırılmasını sağlar.
2
Bilinen değeri yerine yazarak bir orantı kurun.
45x=35\frac{45}{x} = \frac{3}{5} (burada xx tükenmez kalem sayısıdır)
Verilen kurşun kalem sayısını (4545) pay kısmına yerleştirerek bilinmeyenle ilişkilendiririz.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni yalnız bırakın.
3×x=45×53 \times x = 45 \times 5 ⇒\Rightarrow 3x=2253x = 225
Orantıdaki temel özellik olan içler dışlar çarpımı, denklemi çözmemize yardımcı olur.
4
Eşitliğin her iki tarafını 33'e bölün.
x=2253=75x = \frac{225}{3} = 75
Bilinmeyen xx değerini bulmak için çarpanı karşı tarafa bölü olarak geçiririz.

Key Concept

İki çokluğun birbirine bölünmesine oran denir. İki oranın eşitliğine ise orantı adı verilir.

Hints

1
Oran, iki sayının birbirine bölümüdür. Burada Kurşun / Tükenmez = 3/53/5 olarak verilmiştir.
2
33 birime 4545 kalem düşüyorsa, 11 birime kaç kalem düştüğünü bulun.
3
33 ile hangi sayıyı çarparsak 4545 eder? Aynı sayıyı 55 ile çarparak tükenmez kalem sayısını bulabilirsiniz.

Practice More

Bu kalemlerin toplam sayısını bulmak için bulduğunuz tükenmez kalem sayısını kurşun kalem sayısıyla toplayabilirsiniz.

Alternative Method

Kat ilişkisini kullanabilirsiniz: 33 sayısı 4545 olması için 1515 ile çarpılmıştır. Orantının bozulmaması için paydadaki 55 sayısı da 1515 ile çarpılmalıdır: 5×15=755 \times 15 = 75.
Estimated Time:45s
Question 263Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir sayının başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. Mutlak değer her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür.

Buna göre, ∣−9∣+∣4∣−∣−3∣|-9| + |4| - |-3| işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İşlemin sonucu 10 olarak hesaplanır.
Mutlak değer tanımı gereği sayıların işareti ne olursa olsun başlangıç noktasına uzaklıklarını pozitif olarak verir. Dolayısıyla ∣−9∣|-9| sayısı 99, ∣4∣|4| sayısı 44 ve ∣−3∣|-3| sayısı 33 olarak değerlendirilir. Yapılan 9+4−39 + 4 - 3 işlemi sonucunda 1010 değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli ifadelerin her birinin değerini ayrı ayrı hesaplayın.
∣−9∣=9|-9| = 9, ∣4∣=4|4| = 4 ve ∣−3∣=3|-3| = 3.
Mutlak değer bir uzaklık belirttiği için sonuç her zaman pozitiftir.
2
Hesaplanan değerleri verilen matematiksel ifadede yerlerine yazın.
9+4−39 + 4 - 3
İşlem önceliğine ve verilen sembollere (+ ve -) uymak gerekir.
3
Toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru gerçekleştirin.
9+4=139 + 4 = 13 ve 13−3=1013 - 3 = 10.
Temel aritmetik kuralları uygulanır.

Key Concept

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki 0 noktasına olan uzaklığıdır ve asla negatif değer alamaz.

Hints

1
Mutlak değer içindeki bir sayının negatif veya pozitif olması sonucu değiştirmez; her iki durumda da sonuç o sayının pozitif değeridir.
2
İşlemdeki sayıları önce ∣−9∣|-9|, ∣4∣|4| ve ∣−3∣|-3| olarak ayrı ayrı dışarı çıkarın, sonra aradaki + ve - işaretlerini kullanarak hesaplayın.
3
İşlemi şu şekilde basitleştirebilirsiniz: 9+4−39 + 4 - 3. Şimdi bu basit toplama ve çıkarma işlemini yapın.

Practice More

Mutlak değer içindeki sayıların birbirine olan uzaklığını hesapladığımız soruları çözerek kavramı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde 0 noktasından başlayarak önce 9 birim sağa (mutlak -9), sonra 4 birim daha sağa (mutlak 4) gidip, en son 3 birim sola (mutlak -3 kadar geri) gelerek sonucu bulabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 264Question →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA kümesi,
A={x∈Z∣∣x∣≤4} A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| \le 4 \}

şeklinde veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir negatif çift sayı ve en az bir pozitif tek sayı birlikte bulunur?

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

288
Soruda istenen alt kümelerin hem negatif çift sayı (−4,−2-4, -2) grubundan en az bir eleman, hem de pozitif tek sayı (1,31, 3) grubundan en az bir eleman içermesi gerekmektedir. Kümeyi üç ayrık parçaya böleriz: G1=\{-4, -2\}, G2=\{1, 3\} ve G3=\{-3, -1, 0, 2, 4\}. İstenen şartı sağlamak için G1 ve G2'den boş küme haricindeki tüm alt kümeler (22−1=32^2-1=3) seçilebilirken, G3'ten tüm alt kümeler (25=322^5=32) seçilebilir. Çarpma kuralı gereği toplam sayı 3×3×32=2883 \times 3 \times 32 = 288 olur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.
A={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}. Toplam eleman sayısı s(A)=9s(A) = 9.
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek kümenin elemanlarını açıkça görmek gerekir.
2
Kümeyi koşullara göre üç ayrık gruba ayır: Negatif Çiftler (G1), Pozitif Tekler (G2) ve Diğerleri (G3).
G1 (Negatif Çift): {−4,−2}\{-4, -2\} (2 eleman)
G2 (Pozitif Tek): {1,3}\{1, 3\} (2 eleman)
G3 (Diğerleri): {−3,−1,0,2,4}\{-3, -1, 0, 2, 4\} (5 eleman)
Alt küme oluştururken her grubun katkısını ayrı ayrı hesaplamak işlemi kolaylaştırır.
3
Her gruptan istenen koşulu sağlayan alt küme sayısını hesapla.
G1'den (en az bir eleman): 22−1=32^2 - 1 = 3 farklı seçim.
G2'den (en az bir eleman): 22−1=32^2 - 1 = 3 farklı seçim.
G3'ten (koşul yok): 25=322^5 = 32 farklı seçim.
'En az bir' koşulu, o gruptan boş küme seçilemeyeceği anlamına gelir (Tüm durumlar - Boş küme).
4
Çarpma kuralını uygulayarak toplam alt küme sayısını bul.
3×3×32=9×32=2883 \times 3 \times 32 = 9 \times 32 = 288.
Gruplar birbirinden bağımsız seçildiği için seçenek sayıları çarpılır.

Key Concept

Ayrık Gruplama ve Çarpma Kuralı ile Alt Küme Sayısı

Hints

1
Önce mutlak değer eşitsizliğini çözerek AA kümesinin elemanlarını açıkça yazınız.
2
Kümeyi üç gruba ayırın: 1) Negatif Çift Sayılar, 2) Pozitif Tek Sayılar, 3) Geriye kalan tüm sayılar (0 dahil).
3
Bir gruptan 'en az bir eleman' seçmek, o grubun 'hiçbir elemanının seçilmediği' (boş küme) durumu tüm durumlardan çıkarmak demektir (2n−12^n - 1).

Practice More

Benzer mantıkla, asal sayılar ve çift sayılar üzerinden koşullu alt küme sayısı soruları çözülebilir.

Alternative Method

Tümleyen Yöntemi: Tüm alt kümelerden (292^9), hiç negatif çift içermeyenleri (29−22^{9-2}) ve hiç pozitif tek içermeyenleri (29−22^{9-2}) çıkarın. Ancak bu işlemde hem negatif çift hem de pozitif tek içermeyenleri (29−42^{9-4}) iki kez çıkardığınız için bir kez geri ekleyin: 512−128−128+32=288512 - 128 - 128 + 32 = 288.
Estimated Time:2m 30s
Question 265Question →

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, acil sağlık hizmetlerini güçlendirmek amacıyla üç farklı bölgeye (K, L ve M) toplam 120 adet tam donanımlı ambulans tahsis edecektir. Ambulansların bölgelere dağılımı, ilgili bölgelerin nüfus yoğunlukları olan 5, 6 ve 8 sayıları ile doğru orantılı; mevcut istasyon sayıları olan 2, 4 ve 3 sayıları ile ters orantılı olacak şekilde planlanmıştır.

Buna göre, en fazla ambulans tahsis edilen bölge ile en az ambulans tahsis edilen bölge arasındaki fark kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

En fazla ambulans alan M bölgesi (48) ile en az alan L bölgesi (27) arasındaki fark 21'dir.
Soruda verilen bilgilere göre, ambulans sayıları nüfus yoğunluğu ile doğru, istasyon sayısı ile ters orantılıdır. Bu durumda K bölgesi için K=k⋅52K = k \cdot \frac{5}{2}, L bölgesi için L=k⋅64=k⋅32L = k \cdot \frac{6}{4} = k \cdot \frac{3}{2} ve M bölgesi için M=k⋅83M = k \cdot \frac{8}{3} eşitlikleri kurulur. Paydaları eşitlemek için (EKOK=6) genişletme yapıldığında oranlar K∝15K \propto 15, L∝9L \propto 9 ve M∝16M \propto 16 olur. Toplam oran 15+9+16=4015+9+16=40 kattır. 40 kat=12040 \text{ kat} = 120 ise 1 kat=31 \text{ kat} = 3 olur. En fazla alan M (16×3=4816 \times 3 = 48), en az alan L (9×3=279 \times 3 = 27) dir. Fark 48−27=2148 - 27 = 21 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen orantı ilişkilerini matematiksel olarak ifade et.
K = k * (5/2), L = k * (6/4), M = k * (8/3)
Doğru orantı paya, ters orantı paydaya yazılır.
2
Kesirli ifadeleri tam sayıya çevirmek için paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bul ve genişlet.
EKOK(2, 4, 3) = 12. Genişletilmiş oranlar: K -> 30k, L -> 18k, M -> 32k. Sadeleştirilmiş hali: K=15x, L=9x, M=16x.
İşlemleri tam sayılarla yapmak hata riskini azaltır.
3
Toplam ambulans sayısını kullanarak orantı sabiti x'i bul.
15x + 9x + 16x = 120 -> 40x = 120 -> x = 3.
Toplam parça sayısını bütüne eşitleyerek birim değeri bulmak gerekir.
4
Her bölgeye düşen ambulans sayısını hesapla.
K = 15*3 = 45, L = 9*3 = 27, M = 16*3 = 48.
Birim değer ile bölge katsayılarını çarparak gerçek sayıları buluruz.
5
En fazla ve en az alan bölgeleri belirleyip farkı al.
En fazla: M (48), En az: L (27). Fark: 48 - 27 = 21.
Sorunun bizden istediği nihai sonuç.

Key Concept

Bileşik Orantı (Doğru ve Ters Orantı Birlikte)

Hints

1
Bir çokluk xx ile doğru, yy ile ters orantılı ise bu çokluk k⋅xyk \cdot \frac{x}{y} şeklinde ifade edilir.
2
Bölgelerin paylarını 52\frac{5}{2}, 64\frac{6}{4} ve 83\frac{8}{3} kesirleri ile orantılı düşünün. İşlem kolaylığı için bu kesirleri tam sayı yapacak bir sayıyla genişletin.

Practice More

Bileşik orantı problemlerinde payda eşitleme pratiği için kesirli katsayılar içeren benzer sorular çözünüz.
Estimated Time:2m 30s
Question 266Question →

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde temel amaç, bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakarak değerini hesaplamaktır.

Buna göre,
2x+6=142x + 6 = 14
denklemini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 4'tür.
Verilen denklemde önce +6 sayısı karşıya -6 olarak atılır. 14'ten 6 çıkarıldığında 8 kalır. Elde edilen 2x = 8 eşitliğinde x'i bulmak için her iki taraf 2'ye bölünür. 8'in 2'ye bölümü olan 4 değeri denklemin köküdür.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafında bulunan +6 sayısını, işaretini değiştirerek (-6 olarak) sağ tarafa gönderin.
2x = 14 - 6 => 2x = 8
Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için sabit terimler eşitliğin karşı tarafına ters işaretle geçer.
2
Eşitliğin her iki tarafını x'in katsayısı olan 2'ye bölün.
x = 8 / 2 => x = 4
Çarpım durumundaki bir katsayı, karşı tarafa bölme işlemi olarak geçerek bilinmeyenin tek başına kalmasını sağlar.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözme

Hints

1
Denklemi bir terazi gibi düşünün; x'i bulmak için yanındaki sayılardan kurtulmalısınız.
2
+6 sayısı eşitliğin karşı tarafına geçerken işareti tersine döner ve -6 olur.
3
2x = 8 aşamasına geldiğinizde, x'i tek başına bırakmak için her iki tarafı 2'ye bölmeniz gerekir.

Practice More

Bu mantığı pekiştirmek için 3x - 4 = 11 denklemini çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemiyle seçeneklerdeki sayıları denklemde x yerine koyarak eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin 4 değerini koyduğunuzda 2(4) + 6 = 8 + 6 = 14 sağlandığını görürsünüz.
Estimated Time:45s
Question 267Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=5x−8f(x) = 5x - 8 fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

7 değeri doğrudur.
Verilen f(x)=5x−8f(x) = 5x - 8 fonksiyonunda xx yerine 33 yazıldığında 5⋅3−85 \cdot 3 - 8 işlemi oluşur. İşlem önceliği gereği önce çarpma yapılır (1515), ardından 88 çıkarılarak 77 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyon kuralında xx değişkeni yerine verilen 33 değerini yazın.
f(3)=5(3)−8f(3) = 5(3) - 8
Fonksiyonun değerini bulmak için tanım kümesindeki eleman kuralda yerine yazılır.
2
Çarpma işlemini gerçekleştirin.
5×3=155 \times 3 = 15
İşlem önceliğine göre çarpma işlemi çıkarmadan önce yapılır.
3
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bulun.
15−8=715 - 8 = 7
Bulunan çarpım sonucundan sabit terim çıkarılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma (Substitution)

Hints

1
Fonksiyonlar birer eşleme kuralıdır; f(3)f(3) demek, kuraldaki her xx yerine 33 yazmak demektir.
2
f(x)=5x−8f(x) = 5x - 8 ifadesinde xx gördüğünüz yere 33 yazarak 5⋅3−85 \cdot 3 - 8 işlemini kurun.
3
İşlem önceliğine dikkat edin: Önce 55 ile 33'ü çarpın, çıkan sonuçtan 88 çıkarın.

Practice More

Benzer şekilde f(x)=4x+6f(x) = 4x + 6 fonksiyonu için f(−2)f(-2) değerini hesaplayarak negatif sayılarla işlem pratiği yapabilirsiniz.

Alternative Method

Fonksiyonu bir makine gibi düşünebilirsiniz: Girdi (xx) makineye girer, 55 ile çarpılır ve 88 çıkarılarak çıktı elde edilir. Girdi 33 ise çıktı 77 olur.
Estimated Time:45s
Question 268Question →
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
a3−b3=19a^3 - b^3 = 19

olduğuna göre, a2+b2a^2 + b^2 toplamının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

İki kare toplamının değeri 13 olarak bulunur.
Verilen küp farkı ifadesi (a−b)(a2+ab+b2)=19(a-b)(a^2+ab+b^2)=19 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 19 asal bir sayı olduğu ve a,ba, b pozitif tam sayılar olduğu için a−b=1a-b=1 ve a2+ab+b2=19a^2+ab+b^2=19 eşitlikleri kurulur. Birinci denklemden a=b+1a=b+1 elde edilir. Bu değer ikinci denklemde yerine yazıldığında b=2b=2 ve a=3a=3 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin kareleri toplamı olan 32+22=133^2 + 2^2 = 13 doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Küp farkı özdeşliğini uygulayın.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=19a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 19
İfadedeki değişkenlerin değerlerini bulabilmek için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
2
19 sayısının asal çarpanlarını belirleyin.
19 asaldır, çarpanları 1 ve 19'dur. aa ve bb pozitif tam sayı olduğundan a>ba > b olmalıdır; dolayısıyla a−b=1a - b = 1 ve a2+ab+b2=19a^2 + ab + b^2 = 19 olur.
Tam sayı kısıtlaması ve asal sayı özelliği denklemi basitleştirir.
3
Birinci dereceden denklemden aa değerini bb cinsinden yazıp ikinci denklemde yerine koyun.
a=b+1a = b + 1 için (b+1)2+(b+1)b+b2=19⇒3b2+3b+1=19(b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 19 \Rightarrow 3b^2 + 3b + 1 = 19
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyene indirgemek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek bb ve aa değerlerini bulun.
3b2+3b−18=0⇒b2+b−6=0⇒(b+3)(b−2)=03b^2 + 3b - 18 = 0 \Rightarrow b^2 + b - 6 = 0 \Rightarrow (b + 3)(b - 2) = 0. bb pozitif olduğundan b=2b = 2 ve buradan a=3a = 3 bulunur.
Pozitif tam sayı şartını sağlayan kök seçilir.
5
a2+b2a^2 + b^2 toplamını hesaplayın.
32+22=9+4=133^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
Soru kökünde istenen nihai işlem gerçekleştirilir.

Key Concept

İki küp farkı özdeşliği ve tam sayılarda çarpanlara ayırma

Hints

1
a3−b3a^3 - b^3 ifadesini çarpanlarına ayırarak başlayın ve ifadenin 19'a eşitliğini yazın.
2
19 sayısının asal olduğunu düşünerek, çarpanların hangi tam sayı değerlerini alabileceğini belirleyin.
3
a−b=1a-b=1 ve a2+ab+b2=19a^2+ab+b^2=19 denklemlerini ortak çözerek pozitif tam sayı olan aa ve bb değerlerini bulun.

Practice More

İki küp toplamı (a3+b3a^3 + b^3) formülünü de kullanarak benzer tam sayı problemlerini çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 269Question →

Matematik öğretmeni Selim Bey, üslü sayılar konusunu işlerken tahtaya aşağıdaki matematiksel ifadeyi yazmıştır:

(−2)−2⋅4+(−1)2025⋅50 (-2)^{-2} \cdot 4 + (-1)^{2025} \cdot 5^0

Buna göre, Selim Bey'in tahtaya yazdığı bu işlemin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

İşlemin sonucu 0'dır.
İşlemdeki tüm üslü terimler kurallara uygun şekilde hesaplandığında; birinci terim 1, ikinci terim ise -1 sonucunu verir. Bu iki değerin toplamı sıfıra eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Üslü ifadeleri teker teker hesaplayalım.
(−2)−2=1(−2)2=14(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}
Negatif üs kuralına göre a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}'dir ve negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
2
Diğer üslü ifadelerin değerlerini belirleyelim.
(−1)2025=−1(-1)^{2025} = -1 ve 50=15^0 = 1
-1'in tek kuvvetleri -1'dir. Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
3
Bulunan değerleri ana işlemde yerine koyalım.
(14⋅4)+(−1⋅1)(\frac{1}{4} \cdot 4) + (-1 \cdot 1)
İşlem önceliğine göre önce çarpma işlemleri yapılır.
4
Çarpma ve toplama işlemlerini tamamlayalım.
1+(−1)=01 + (-1) = 0
Bir sayı ile toplamsal tersinin toplamı sıfırdır.

Key Concept

Üslü sayılarda temel kurallar: Negatif üs, sıfırıncı kuvvet ve negatif tabanların kuvvetleri.

Hints

1
İşlem önceliğine dikkat ederek önce üslü ifadelerin değerlerini bulun.
2
Negatif üs (a−n=1/ana^{-n} = 1/a^n) ve sıfırıncı kuvvet (a0=1a^0 = 1) kurallarını uygulayın.
3
(−2)−2(-2)^{-2} ifadesinin 1/41/4 olduğunu ve (−1)2025(-1)^{2025} ifadesinin tek kuvvetten dolayı −1-1 olduğunu fark edin.

Practice More

Negatif tabanlarda parantez kullanımının sonuç üzerindeki etkisini pekiştirmek için benzer bir işlemde parantezsiz ifadeler kullanmayı deneyin.
Estimated Time:1m 0s
Question 270Question →
(−3)2−(−1)3(−1)4−3−1 \frac{(-3)^2 - (-1)^3}{(-1)^4 - 3^{-1}}

işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

İşlemin sonucu 15'tir.
İşlem önceliğine göre önce üslü ifadelerin değerleri bulunur. Pay kısmında (−3)2=9(-3)^2=9 ve (−1)3=−1(-1)^3=-1 değerleri yer alır; bu işlem 9−(−1)=109-(-1)=10 sonucunu verir. Paydada ise (−1)4=1(-1)^4=1 ve 3−1=1/33^{-1}=1/3 değerleri bulunur; bu işlem 1−1/3=2/31-1/3=2/3 sonucunu verir. Son olarak 1010 sayısı 2/32/3 kesrine bölündüğünde, kesir ters çevrilip çarpılır (10⋅3/210 \cdot 3/2) ve sonuç 15 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki üslü ifadelerin değerleri hesaplanır.
(−3)2=9(-3)^2 = 9 ve (−1)3=−1(-1)^3 = -1.
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
2
Pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.
9−(−1)=9+1=109 - (-1) = 9 + 1 = 10.
İki negatif işaret yan yana geldiğinde toplamaya dönüşür.
3
Payda kısmındaki ifadeler hesaplanır.
(−1)4=1(-1)^4 = 1 ve 3−1=133^{-1} = \frac{1}{3}.
Negatif üs, tabanın çarpmaya göre tersini (takla atmasını) ifade eder.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemi yapılır.
1−13=33−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Tam sayı ile kesir arasındaki çıkarma işleminde payda eşitlenir.
5
Son bölme işlemi uygulanır.
1023=10⋅32=302=15\frac{10}{\frac{2}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{2} = \frac{30}{2} = 15.
Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

Key Concept

Üslü sayılarda işaret incelemesi, negatif üs ve işlem önceliği.

Hints

1
Üslü ifadeleri açarken parantezin dışındaki kuvvetin tek mi yoksa çift mi olduğuna dikkat ediniz.
2
(−3)2(-3)^2 pozitif bir değerdir, ancak (−1)3(-1)^3 negatif bir değerdir. 3−13^{-1} ifadesi ise bir rasyonel sayıdır.
3
Pay: 9−(−1)9 - (-1), Payda: 1−(1/3)1 - (1/3). Bu işlemleri tamamladıktan sonra bölme işlemini yapınız.

Practice More

Negatif üslerin ve parantezli işlemlerin yer aldığı daha karmaşık rasyonel ifade soruları çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 271Question →

45+205−−83\frac{\sqrt{45} + \sqrt{20}}{\sqrt{5}} - \sqrt[3]{-8} işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İşlemin doğru sonucu 7'dir.
Verilen işlemde öncelikle köklü ifadeler en sade hale (aba\sqrt{b}) getirilir. 45=35\sqrt{45}=3\sqrt{5} ve 20=25\sqrt{20}=2\sqrt{5} olarak bulunur. Pay kısmı 555\sqrt{5} olur ve paydadaki 5\sqrt{5} ile sadeleşerek 5 sonucunu verir. İkinci kısımda −83\sqrt[3]{-8}, -2 olarak dışarı çıkar. Son olarak 5−(−2)5 - (-2) işlemi yapılarak 7 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki sayıları aba\sqrt{b} formatına getirerek sadeleştirin.
45=9⋅5=35\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} ve 20=4⋅5=25\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}
Toplama işlemi yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir.
2
Pay kısmındaki toplama işlemini gerçekleştirin.
35+25=553\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}
Kök dereceleri ve içleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır.
3
Kesirli ifadeyi sadeleştirin.
555=5\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5
Pay ve paydadaki 5\sqrt{5} çarpanları birbirini götürür.
4
Küp kök ifadesini hesaplayın.
−83=(−2)33=−2\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2
Tek dereceli köklerin içi negatif olabilir ve sonuç negatif çıkar.
5
Son çıkarma işlemini yapın.
5−(−2)=5+2=75 - (-2) = 5 + 2 = 7
Bir sayıdan negatif bir sayıyı çıkarmak, o sayının pozitifiyle toplamak demektir.

Key Concept

Köklü sayılarda dört işlem ve kök dışına çıkarma kuralları.
Question 272Question →
Tam sayılar kümesi üzerinde □\square işlemi, her xx ve yy tam sayısı için
x□y=(x+1)⋅(y−2)x \square y = (x + 1) \cdot (y - 2)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 7□57 \square 5 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İşlem tanımına göre x=7x=7 ve y=5y=5 değerleri yerleştirildiğinde sonuç 24 olarak bulunur.
Verilen x□y=(x+1)⋅(y−2)x \square y = (x + 1) \cdot (y - 2) kuralında xx yerine 7, yy yerine 5 yazıldığında (7+1)⋅(5−2)=8⋅3=24(7+1) \cdot (5-2) = 8 \cdot 3 = 24 işlemi elde edilir. Bu hesaplama, işlem önceliği ve kuralın uygulanışı bakımından tamamen doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin belirlenmesi
x=7x = 7 ve y=5y = 5
Soruda istenen 7□57 \square 5 ifadesinde, kuraldaki ilk değişken (xx) yerine 7, ikinci değişken (yy) yerine 5 gelmelidir.
2
Değerlerin kurala yerleştirilmesi
(7+1)⋅(5−2)(7 + 1) \cdot (5 - 2)
Tanımlanan x□y=(x+1)⋅(y−2)x \square y = (x + 1) \cdot (y - 2) kuralında harflerin yerine sayıları yazdık.
3
Parantez içi işlemlerin yapılması
8⋅38 \cdot 3
İşlem önceliğine göre önce parantez içindeki toplama ve çıkarma işlemleri tamamlanır.
4
Çarpma işleminin sonuçlandırılması
24
Elde edilen 8 ve 3 değerleri çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen değişkenler (harfler) yerine istenen sayıları doğru sırada yerleştirip işlem önceliğine dikkat ederek hesaplama yapmaktır.

Hints

1
İşlem sorularında ilk adım, kuraldaki harflerin (x ve y) hangi sayılara denk geldiğini bulmaktır.
2
7□57 \square 5 ifadesinde kuraldaki xx yerine 7, yy yerine ise 5 yazmalısın.
3
(7+1)(7 + 1) ve (5−2)(5 - 2) sonuçlarını bulup birbirleriyle çarparak doğru cevaba ulaşabilirsin.

Practice More

İşlem kuralında kare alma veya bölme gibi farklı operatörlerin olduğu benzer soruları çözerek pratiğini geliştirebilirsin.
Estimated Time:45s
Question 273Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−8)⋅(x+8)(x - 8) \cdot (x + 8)

ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: x2−64x^2 - 64

Answer

x2−64x^2 - 64 ifadesi verilen çarpımın özdeşidir.
x2−64x^2 - 64 ifadesi doğrudur çünkü (x−8)(x-8) ve (x+8)(x+8) terimlerinin çarpımı, (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 özdeşliğine tam olarak uymaktadır. Burada birinci terimin karesi (x2x^2) ile ikinci terimin karesi (82=648^2 = 64) birbirinden çıkarılmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi iki kare farkı özdeşlik kalıbıyla karşılaştırın.
(a−b)⋅(a+b)(a - b) \cdot (a + b) yapısında a=xa = x ve b=8b = 8 olduğu görülür.
İki terimin farkı ile toplamının çarpımı temel bir özdeşlik formudur.
2
İki kare farkı formülünü uygulayın.
(x−8)⋅(x+8)=x2−82(x - 8) \cdot (x + 8) = x^2 - 8^2 elde edilir.
(a−b)⋅(a+b)=a2−b2(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2 kuralı gereği sonuç terimlerin karelerinin farkıdır.
3
Sabit sayının karesini hesaplayın.
x2−64x^2 - 64 sonucuna ulaşılır.
88 sayısının karesi (8×88 \times 8) 6464 değerine eşittir.

Key Concept

İki Kare Farkı Özdeşliği

Hints

1
Bu ifade (a−b)⋅(a+b)(a-b) \cdot (a+b) biçimindedir. Bu yapının özel bir adı vardır.
2
İki kare farkı özdeşliğini hatırlayın: (a−b)⋅(a+b)=a2−b2(a-b) \cdot (a+b) = a^2 - b^2.
3
Birinci terim olan xx'in karesinden, ikinci terim olan 88'in karesini çıkarmalısınız.

Practice More

Benzer şekilde (2x−3)⋅(2x+3)(2x - 3) \cdot (2x + 3) ifadesini genişleterek katsayıların nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Çarpma işlemini dağılma özelliğini kullanarak yapabilirsiniz: x⋅x+x⋅8−8⋅x−8⋅8x \cdot x + x \cdot 8 - 8 \cdot x - 8 \cdot 8. Burada +8x+8x ve −8x-8x birbirini yok edecek ve geriye sadece x2−64x^2 - 64 kalacaktır.
Estimated Time:45s
Question 274Question →
3x+3x+3x9x=127\frac{3^x + 3^x + 3^x}{9^x} = \frac{1}{27}


eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Denklemi sağlayan x değeri 4'tür.
Verilen denklemde önce pay kısmındaki toplama işlemi çarpım haline getirilir (3⋅3x=3x+13 \cdot 3^x = 3^{x+1}). Payda 3 tabanına çevrilir (9x=32x9^x = 3^{2x}). Bölme işlemi kuralı uygulanarak sol taraf 31−x3^{1-x} bulunur. Sağ taraf 3−33^{-3} olarak yazıldığında üsler eşitlenerek x=4x=4 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki tekrarlı toplamayı çarpma işlemine dönüştür.
3x+3x+3x=3⋅3x=3x+13^x + 3^x + 3^x = 3 \cdot 3^x = 3^{x+1}
n tane axa^x ifadesinin toplamı n⋅axn \cdot a^x şeklinde yazılır.
2
Paydadaki 9x9^x ifadesini 3 tabanında yaz.
9x=(32)x=32x9^x = (3^2)^x = 3^{2x}
Üslü ifadelerde tabanları eşitlemek, işlem yapmayı kolaylaştırır.
3
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemini yap.
3x+132x=3(x+1)−2x=31−x\frac{3^{x+1}}{3^{2x}} = 3^{(x+1) - 2x} = 3^{1-x}
Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
4
Eşitliğin sağ tarafındaki 127\frac{1}{27} sayısını 3 tabanında yaz.
127=133=3−3\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}
Paydadaki üslü ifade paya çıkarılırken üssün işareti değişir.
5
Oluşan üslü denklemi çöz.
31−x=3−3⇒1−x=−3⇒x=43^{1-x} = 3^{-3} \Rightarrow 1-x = -3 \Rightarrow x = 4
Tabanları eşit olan üslü ifadelerin üsleri de eşittir.

Key Concept

Üslü Denklemler ve Taban Değiştirme

Hints

1
Pay kısmındaki 3x+3x+3x3^x + 3^x + 3^x ifadesini çarpma işlemi (n⋅axn \cdot a^x) olarak yazmayı deneyin.
2
Tüm ifadeleri ortak taban olan 3 tabanında yazın. 9x=(32)x9^x = (3^2)^x ve 127=3−3\frac{1}{27} = 3^{-3} dönüşümlerini kullanın.
3
İfadeyi sadeleştirdikten sonra 31−x=3−33^{1-x} = 3^{-3} eşitliğini elde edeceksiniz. Buradan üsleri eşitleyin.

Practice More

Benzer yapıdaki 2x+2x4x=18\frac{2^x+2^x}{4^x} = \frac{1}{8} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 275Question →

xx gerçel sayısı için

3(2x−1)−4(x+2)=x+22 3(2x - 1) - 4(x + 2) = \frac{x + 2}{2}


eşitliği verildiğine göre, xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Verilen denklemde gerekli dağıtma ve sadeleştirme işlemleri yapıldığında xx değeri 8 olarak bulunur.
Denklemdeki parantezler kurallara uygun şekilde açılıp benzer terimler birleştirildikten sonra, içler-dışlar çarpımı yardımıyla paydadan kurtulunmuş ve xx değeri yalnız bırakılarak 8 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sol tarafındaki parantezleri dağıtın.
6x−3−4x−8=x+226x - 3 - 4x - 8 = \frac{x+2}{2}
Çarpma işleminin çıkarma ve toplama üzerine dağılma özelliğini uygulamak gerekir.
2
Sol taraftaki benzer terimleri (değişkenler ve sabit sayılar) birleştirin.
2x−11=x+222x - 11 = \frac{x+2}{2}
Denklemi sadeleştirerek işlem kolaylığı sağlamak hedeflenir.
3
Eşitliğin her iki tarafını paydada bulunan 2 sayısı ile çarpın (İçler-dışlar çarpımı).
2(2x−11)=x+2  ⟹  4x−22=x+22(2x - 11) = x + 2 \implies 4x - 22 = x + 2
Rasyonel ifadeden kurtularak doğrusal bir denklem elde etmek gerekir.
4
Bilinmeyenleri (xx) eşitliğin bir tarafına, sabit sayıları diğer tarafına toplayın.
4x−x=2+22  ⟹  3x=244x - x = 2 + 22 \implies 3x = 24
Değişkeni yalnız bırakmak için terim taşıma kuralı uygulanır.
5
Her iki tarafı 3'e bölerek xx değerini bulun.
x=8x = 8
Bilinmeyenin katsayısını 1 yaparak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde dağılma özelliği ve rasyonel ifadelerin çözümü.

Hints

1
Öncelikle parantezlerin önündeki sayıları parantez içine dağıtarak işe başlayın.
2
Elde ettiğiniz 2x−11=(x+2)/22x - 11 = (x+2)/2 ifadesinde bölü durumundaki 2'yi karşı tarafa çarpım olarak geçirin.
3
4x−22=x+24x - 22 = x + 2 denkleminde xx'li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayarak çözümü bitirin.

Practice More

Değişkenin hem payda hem de pay kısmında olduğu rasyonel denklemleri çözerek bu beceriyi pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 276Question →

xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,

x2−y2=24x^2 - y^2 = 24

x−y=2x - y = 2

olduğuna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Verilen bilgilere göre x⋅yx \cdot y çarpımının değeri 35'tir.
İki kare farkı özdeşliği olan x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) ifadesinde verilenler yerine yazıldığında 24=2(x+y)24 = 2(x + y) elde edilir ve buradan x+y=12x + y = 12 bulunur. x+y=12x + y = 12 ve x−y=2x - y = 2 denklemleri ortak çözüldüğünde x=7x = 7 ve y=5y = 5 değerlerine ulaşılır. Bu iki sayının çarpımı 35 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
İki kare farkı özdeşliğini yazarak verilen değerleri yerine koymak
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) özdeşliğinden 24=2⋅(x+y)24 = 2 \cdot (x + y) elde edilir.
İki kare farkı kuralı gereği bir ifadenin kareleri farkı, o ifadelerin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.
2
Bilinmeyenlerin toplamını bulmak
x+y=12x + y = 12
Eşitliğin her iki tarafı 2'ye bölünerek toplam değeri bulunur.
3
Denklem sistemini çözerek xx ve yy değerlerini ayrı ayrı hesaplamak
x=7x = 7 ve y=5y = 5
x+y=12x + y = 12 ve x−y=2x - y = 2 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2x=14⇒x=72x = 14 \Rightarrow x = 7 bulunur. Yerine konulduğunda y=5y = 5 çıkar.
4
Soru kökünde istenen çarpma işlemini gerçekleştirmek
7⋅5=357 \cdot 5 = 35
Soru bizden xx ve yy değerlerinin çarpımını istemektedir.

Key Concept

İki Kare Farkı Özdeşliği

Hints

1
x2−y2x^2 - y^2 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) özdeşliğini kullanarak x+yx+y değerini bulun.

Practice More

Toplamları ve kareleri toplamı verilen iki sayının çarpımını bulmaya yönelik tam kare özdeşliği sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

x−y=2x - y = 2 ise x=y+2x = y + 2 yazılabilir. Bu ifadeyi x2−y2=24x^2 - y^2 = 24 denkleminde yerine koyarak (y+2)2−y2=24(y + 2)^2 - y^2 = 24 üzerinden yy değerini bulabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 277Question →
(−2)4−32+40(-2)^4 - 3^2 + 4^0


işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İşlemin sonucu 8'dir.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğu için (−2)4=16(-2)^4 = 16 değerini alır. 32=93^2 = 9 ve her sayının sıfırıncı kuvveti 11 olduğu için 40=14^0 = 1 olur. Bu değerler işlemde yerine konulduğunda 16−9+116 - 9 + 1 ifadesinden 88 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
(−2)4(-2)^4 ifadesinin değerini hesaplayınız.
(−2)4=(−2)⋅(−2)⋅(−2)⋅(−2)=16(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
2
323^2 ifadesinin değerini hesaplayınız.
32=3⋅3=93^2 = 3 \cdot 3 = 9
Üslü sayı tanımı gereği taban kendisiyle kuvvet kadar çarpılır.
3
404^0 ifadesinin değerini belirleyiniz.
40=14^0 = 1
Sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
4
Bulunan değerleri ana işlemde yerine yazarak sonucu bulunuz.
16−9+1=7+1=816 - 9 + 1 = 7 + 1 = 8
İşlem önceliğine göre soldan sağa toplama ve çıkarma işlemleri gerçekleştirilir.

Key Concept

Üslü ifadelerde temel hesaplama kuralları, negatif tabanların çift kuvvetleri ve sıfırıncı kuvvet kuralı.

Hints

1
Her bir üslü ifadenin değerini ayrı ayrı hesaplayarak başlayın.
2
Unutmayın; negatif bir sayının parantez dışındaki çift kuvveti pozitiftir ve bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
3
(−2)4=16(-2)^4 = 16, 32=93^2 = 9 ve 40=14^0 = 1 değerlerini 16−9+116 - 9 + 1 işleminde yerine koyun.

Practice More

Negatif tabanların tek ve çift kuvvetleri arasındaki farkı pekiştirmek için (−3)2(-3)^2 ve (−3)3(-3)^3 ifadelerini içeren sorular çözebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 278Question →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
∣∣x−3∣−7∣=2 ||x - 3| - 7| = 2

eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Eşitliği sağlayan x değerlerinin toplamı 12'dir.
Verilen
∣∣x−3∣−7∣=2 ||x - 3| - 7| = 2
denklemi, mutlak değer özelliğinden dolayı iki farklı eşitliğe ayrılır:
∣x−3∣−7=2 |x - 3| - 7 = 2
ve
∣x−3∣−7=−2 |x - 3| - 7 = -2
. Birinci durumdan ∣x−3∣=9|x-3|=9 elde edilir, buradan x=12x=12 ve x=−6x=-6 bulunur. İkinci durumdan ∣x−3∣=5|x-3|=5 elde edilir, buradan x=8x=8 ve x=−2x=-2 bulunur. Tüm değerlerin toplamı 12+(−6)+8+(−2)=1212 + (-6) + 8 + (-2) = 12 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Dıştaki mutlak değeri kaldırarak denklemi iki duruma ayırın.
∣x−3∣−7=2 |x - 3| - 7 = 2
veya
∣x−3∣−7=−2 |x - 3| - 7 = -2
∣A∣=b|A| = b ise A=bA = b veya A=−bA = -b kuralı uygulanır.
2
Her iki durumda elde edilen yeni denklemleri düzenleyin.
1. Durum:
∣x−3∣=9 |x - 3| = 9

2. Durum:
∣x−3∣=5 |x - 3| = 5
Sabit sayıları eşitliğin diğer tarafına atarak mutlak değeri yalnız bırakırız.
3
Her iki mutlak değer denklemini çözerek x değerlerini bulun.
1. Durumdan: x−3=9⇒x=12x - 3 = 9 \Rightarrow x = 12 veya x−3=−9⇒x=−6x - 3 = -9 \Rightarrow x = -6
2. Durumdan: x−3=5⇒x=8x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 veya x−3=−5⇒x=−2x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2
Her bir mutlak değer denklemi tekrar pozitif ve negatif durumlara ayrılır.
4
Bulunan tüm x değerlerini toplayın.
12+(−6)+8+(−2)=12 12 + (-6) + 8 + (-2) = 12
Soruda tüm farklı x değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

İç içe mutlak değer içeren denklemlerde, çözüm kümesi bulunurken işlem en dıştan içe doğru adım adım iki duruma ayrılarak yapılır.
Question 279Question →

Aşağıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

(−3)3−(−1)2024−(−2)2 (-3)^3 - (-1)^{2024} - (-2)^2
Show answer & explanation

Answer: -32

Answer

-32
İşlemdeki üslü ifadeler tek tek çözüldüğünde; (−3)3(-3)^3 tek kuvvet olduğu için -27, (−1)2024(-1)^{2024} çift kuvvet olduğu için +1, (−2)2(-2)^2 çift kuvvet olduğu için +4 sonucunu verir. İşlem −27−(+1)−(+4)-27 - (+1) - (+4) haline gelir ve sonuç -32 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Her bir üslü ifadenin değerini hesapla.
(−3)3=−27(-3)^3 = -27

(−1)2024=1(-1)^{2024} = 1

(−2)2=4(-2)^2 = 4
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.
2
Bulunan değerleri işlemdeki yerlerine yazarak çıkarma işlemlerini yap.
−27−1−4=−32-27 - 1 - 4 = -32
Tam sayılarla çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

Üslü sayılarda negatif tabanın tek ve çift kuvvetlerinin işaret incelemesi.
Question 280Question →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=4xy−3x−3y+kx \triangle y = 4xy - 3x - 3y + k

biçiminde tanımlanıyor.

Bu işlemin yutan elemanı bulunduğuna göre, 33 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 79\frac{7}{9}

Answer

İşlemin yutan elemanından k değeri bulunur, ardından birim eleman ve son olarak 3'ün tersi hesaplanarak 79\frac{7}{9} sonucuna ulaşılır.
Sorunun çözümü üç aşamalıdır. Öncelikle 'yutan eleman' bilgisi kullanılarak bilinmeyen kk sabiti bulunmalıdır. x△z=zx \triangle z = z eşitliğinden yutan eleman z=3/4z=3/4 ve buna bağlı olarak k=3k=3 bulunur. İkinci aşamada işlemin 'birim (etkisiz) elemanı' bulunmalıdır. x△e=xx \triangle e = x eşitliğinden e=1e=1 elde edilir. Son aşamada ise bir sayının tersinin tanımı (a△a−1=ea \triangle a^{-1} = e) kullanılarak 3'ün tersi hesaplanır. 3△x=13 \triangle x = 1 denklemi çözüldüğünde sonuç 79\frac{7}{9} çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Yutan eleman (zz) tanımını kullanarak kk değerini bul.
k=3k = 3
Yutan eleman tanımı gereği her xx için x△z=zx \triangle z = z olmalıdır. 4xz−3x−3z+k=z⇒x(4z−3)+(k−4z)=04xz - 3x - 3z + k = z \Rightarrow x(4z-3) + (k-4z) = 0. Bu eşitliğin her xx için sağlanması katsayıların 0 olmasını gerektirir: 4z−3=0⇒z=3/44z-3=0 \Rightarrow z=3/4 ve k−4z=0⇒k=3k-4z=0 \Rightarrow k=3.
2
İşlemin kuralını k=3k=3 ile güncelle ve birim elemanı (ee) bul.
e=1e = 1
İşlem: x△y=4xy−3x−3y+3x \triangle y = 4xy - 3x - 3y + 3. Birim eleman tanımı gereği x△e=xx \triangle e = x olmalıdır. 4xe−3x−3e+3=x⇒4xe−3e=4x−3⇒e(4x−3)=4x−34xe - 3x - 3e + 3 = x \Rightarrow 4xe - 3e = 4x - 3 \Rightarrow e(4x-3) = 4x-3. Buradan e=1e=1 bulunur.
3
33 sayısının işlemine göre tersini (xx) bul.
x=79x = \frac{7}{9}
Ters eleman tanımı gereği 3△x=e=13 \triangle x = e = 1 olmalıdır. Denklemde yerine yazılırsa: 4(3)(x)−3(3)−3x+3=1⇒12x−9−3x+3=1⇒9x−6=1⇒9x=7⇒x=7/94(3)(x) - 3(3) - 3x + 3 = 1 \Rightarrow 12x - 9 - 3x + 3 = 1 \Rightarrow 9x - 6 = 1 \Rightarrow 9x = 7 \Rightarrow x = 7/9.

Key Concept

İşlem Özellikleri (Yutan Eleman, Birim Eleman, Ters Eleman)

Hints

1
Öncelikle yutan eleman tanımını (x△z=zx \triangle z = z) kullanarak kk değerini bulmalısın.
2
k değerini bulduktan sonra, bir sayının tersini bulabilmek için önce işlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulman gerekir (x△e=xx \triangle e = x).
3
Birim eleman e=1e=1 dir. Şimdi 3'ün tersini bulmak için 3△x=13 \triangle x = 1 denklemini çöz.

Practice More

Değişme özelliği olan ve olmayan işlemlerin farklarını inceleyen sorular çözülebilir.
Estimated Time:3m 0s
PreviousPage 14 / 22Next
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 14 | Examkin