Examkin

Cebir

424 questions

Question 241Question →
2564−512+19\sqrt{\frac{25}{64} - \frac{5}{12} + \frac{1}{9}}
işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 724\frac{7}{24}

Answer

İşlemin sonucu 7/24'tür.
Verilen ifade, kök içinde rasyonel sayıların tam kare özdeşliğidir. Terimler incelendiğinde ifadenin (58−13)2(\frac{5}{8} - \frac{1}{3})^2 açılımı olduğu görülür. Karekök işlemi sonucunda ifade mutlak değer içinde dışarı çıkar ve kesir işlemi yapılarak doğru sonuç elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki sayıları üslü ifade olarak tanımla
2564=(58)2\frac{25}{64} = (\frac{5}{8})^2 ve 19=(13)2\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2
Tam kare özdeşliğini kullanabilmek için terimleri kare şeklinde yazarız.
2
Ortadaki terimi kontrol et
2⋅58⋅13=1024=5122 \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}
İfadenin (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 formatına uyup uymadığını doğrularız. Ortadaki terim −5/12-5/12 ile eşleşmektedir.
3
İfadeyi tam kare parantezine al ve kök dışına çıkar
(58−13)2=∣58−13∣\sqrt{(\frac{5}{8} - \frac{1}{3})^2} = |\frac{5}{8} - \frac{1}{3}|
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralını uygularız.
4
Mutlak değer içindeki işlemi yap
58−13=15−824=724\frac{5}{8} - \frac{1}{3} = \frac{15 - 8}{24} = \frac{7}{24}
Paydaları eşitleyerek (24'te) çıkarma işlemini tamamlarız.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği ve Köklü İfadeler

Hints

1
Kök içindeki sayıların paydalarını eşitlemek yerine, sayıların tam kare olup olmadığını kontrol edin.
2
2564\frac{25}{64} ve 19\frac{1}{9} sayılarını üslü biçimde yazın ve ortadaki −512-\frac{5}{12} teriminin bu sayılarla ilişkisine bakın.
3
İfade a2−2ab+b2=∣a−b∣\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = |a-b| formundadır. a=58a=\frac{5}{8} ve b=13b=\frac{1}{3} alarak işlem yapın.

Alternative Method

Paydaları 576'da (64, 12 ve 9'un EKOK'u) eşitleyerek işlem yapmak: 225−240+64576=49576=724\sqrt{\frac{225 - 240 + 64}{576}} = \sqrt{\frac{49}{576}} = \frac{7}{24}.
Estimated Time:1m 30s
Question 242Question →
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
(3x−2y)2(3x - 2y)^2

ifadesinin özdeşi olan açılım aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2

Answer

9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2 ifadesi verilen tam kare ifadenin doğru açılımıdır.
Tam kare farkı özdeşliği kuralı olan (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ifadesinde aa yerine 3x3x ve bb yerine 2y2y yazıldığında; (3x)2−2(3x)(2y)+(2y)2(3x)^2 - 2(3x)(2y) + (2y)^2 işlemleri yapılarak 9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2 sonucuna ulaşılır. Bu, ifadenin matematiksel olarak tam ve doğru açılımıdır.

Step-by-Step Solution

1
Özdeşlik kuralını belirle.
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
İfadenin yapısı iki terimin farkının karesi (tam kare) şeklindedir.
2
Terimleri kuraldaki yerlerine yerleştir.
a=3xa = 3x ve b=2yb = 2y
Verilen ifadede birinci terim 3x3x, ikinci terim ise 2y2y'dir.
3
Birinci terimin karesini al.
(3x)2=9x2(3x)^2 = 9x^2
Kuraldaki a2a^2 terimini hesaplamak gerekir.
4
Terimlerin çarpımının iki katını hesapla.
2⋅(3x)⋅(2y)=12xy2 \cdot (3x) \cdot (2y) = 12xy
Kuraldaki 2ab2ab terimini hesaplamak gerekir; aradaki işaret eksi olduğu için bu terim çıkarılacaktır.
5
İkinci terimin karesini al.
(2y)2=4y2(2y)^2 = 4y^2
Kuraldaki b2b^2 terimini hesaplamak gerekir; karenin sonucu her zaman pozitiftir.
6
Tüm terimleri birleştir.
9x2−12xy+4y29x^2 - 12xy + 4y^2
Bulunan parçalar kurala uygun şekilde bir araya getirilir.

Key Concept

Tam Kare Özdeşliği: İki terimin toplamının veya farkının karesi alınırken birinci terimin karesi, terimlerin çarpımının iki katı ve ikinci terimin karesi toplanır.

Hints

1
Bu bir tam kare açılımıdır. (a−b)2(a-b)^2 formülünü hatırlamaya çalışın.
2
Açılımda üç terim olmalıdır: Birincinin karesi, ikisinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi.
3
(3x)2−2⋅(3x)⋅(2y)+(2y)2(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 işlemini yaparak katsayıları ve işaretleri dikkatle kontrol edin.

Practice More

Benzer şekilde (4x+5)2(4x + 5)^2 ifadesinin açılımını yaparak tam kare toplam özdeşliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Özdeşlik formülünü hatırlayamazsanız, (3x−2y)2(3x-2y)^2 ifadesini (3x−2y)⋅(3x−2y)(3x-2y) \cdot (3x-2y) şeklinde yazıp terimleri birbiri üzerine dağıtarak (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği) aynı sonuca ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 243Question →

12x=2712^x = 27 ve 3y=163^y = 16 eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅(y+2)x \cdot (y + 2) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadenin doğru değeri 6'dır.
Verilen 12x=2712^x=27 eşitliği asal çarpanlarına ayrılarak düzenlendiğinde 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} elde edilir. Diğer verilen 3y=163^y=16 eşitliği ise 24=3y2^4 = 3^y şeklinde yazılır. Üslü sayılarda tabanları aynı olan iki eşitlikte üslerin oranı sabittir kuralı gereği, 2'nin üsleri ile 3'ün üsleri oranlanır: 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}. Bu orantıdan içler dışlar çarpımı yapılarak 2xy=12−4x2xy = 12 - 4x eşitliği bulunur. Terimler düzenlendiğinde 2xy+4x=122xy + 4x = 12 ve 2 parantezine alınıp sadeleştirildiğinde x(y+2)=6x(y+2)=6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitliği asal çarpanlarına ayırarak düzenle.
12x=(22⋅3)x=22x⋅3x=27=3312^x = (2^2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 3^x = 27 = 3^3
Tabanları en sade (asal) hale getirerek ortak tabanlar arasında ilişki kurmak gerekir.
2
22x2^{2x} ifadesini yalnız bırakarak xx'li terimleri grupla.
22x=333x=33−x2^{2x} = \frac{3^3}{3^x} = 3^{3-x}
İki denklem arasında köprü kurabilmek için eşitliğin bir tarafını sadece 2 tabanına, diğerini 3 tabanına dönüştürmek gerekir.
3
İkinci eşitliği 2 ve 3 tabanında ifade et.
3y=16=24⇒24=3y3^y = 16 = 2^4 \Rightarrow 2^4 = 3^y
Birinci denklemden elde edilen yapı (2a=3b2^a = 3^b) ile karşılaştırma yapabilmek için.
4
Aynı tabanların üslerini oranla.
2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y}
an=bma^n = b^m ve ak=bpa^k = b^p ise nk=mp\frac{n}{k} = \frac{m}{p} kuralı uygulanır.
5
İçler dışlar çarpımı yaparak istenen ifadeyi oluştur.
2x⋅y=4⋅(3−x)⇒2xy=12−4x⇒2xy+4x=122x \cdot y = 4 \cdot (3-x) \Rightarrow 2xy = 12 - 4x \Rightarrow 2xy + 4x = 12
Denklemi çözerek soruda sorulan formata (x(y+2)x(y+2)) yaklaşmak.
6
Sonucu sadeleştir.
2x(y+2)=12⇒x(y+2)=62x(y+2) = 12 \Rightarrow x(y+2) = 6
Soruda istenen ifadenin net değerini bulmak.

Key Concept

Üslü denklemlerde taban ayrıştırma ve üs oranlama özelliği

Hints

1
12x=2712^x = 27 ifadesinde 12'yi asal çarpanlarına (22⋅32^2 \cdot 3) ayırıp 22x2^{2x}'i yalnız bırakınız.
2
Elde ettiğiniz 22x=33−x2^{2x} = 3^{3-x} eşitliği ile 24=3y2^4 = 3^y eşitliğini alt alta yazarak üsler arasında orantı kurunuz.
3
Tabanları aynı olan üslü denklemlerde 2x4=3−xy\frac{2x}{4} = \frac{3-x}{y} oranını kullanarak içler dışlar çarpımı yapınız.
Estimated Time:3m 0s
Question 244Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
x+1+4x−3−x+6−6x−3=2 \sqrt{x + 1 + 4\sqrt{x-3}} - \sqrt{x + 6 - 6\sqrt{x-3}} = 2

eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 214\frac{21}{4}

Answer

214\frac{21}{4}
Verilen ifade düzenlendiğinde mutlak değerli bir denklem elde edilir: ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2|\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2. Bu denklemin çözümü, mutlak değerin tanımı kullanılarak yapıldığında x=21/4x = 21/4 sonucuna ulaşılır. Kök içindeki ifadelerin tam kareye tamamlanması sorunun çözümündeki kilit noktadır.

Step-by-Step Solution

1
Kök içindeki ifadeleri tam kare formatına benzeterek düzenle.
x+1+4x−3=(x−3)+4+4x−3=(x−3+2)2x + 1 + 4\sqrt{x-3} = (x-3) + 4 + 4\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3} + 2)^2 ve x+6−6x−3=(x−3)+9−6x−3=(x−3−3)2x + 6 - 6\sqrt{x-3} = (x-3) + 9 - 6\sqrt{x-3} = (\sqrt{x-3} - 3)^2
A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} kuralını uygulamak için xx terimini (x−3)(x-3) cinsinden yazarız.
2
Kök dışına çıkarma işlemini mutlak değer kullanarak yap.
(x−3+2)2−(x−3−3)2=2  ⟹  ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2\sqrt{(\sqrt{x-3} + 2)^2} - \sqrt{(\sqrt{x-3} - 3)^2} = 2 \implies |\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2
Çift dereceli kök dışına çıkan ifade daima mutlak değer içinde yazılmalıdır: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.
3
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini incele.
x−3≥0\sqrt{x-3} \ge 0 olduğundan (x−3+2)(\sqrt{x-3} + 2) daima pozitiftir ve aynen çıkar. Denklem: (x−3+2)−∣x−3−3∣=2(\sqrt{x-3} + 2) - |\sqrt{x-3} - 3| = 2
Mutlak değer çözümlemesi için içinin işaretine bakılır.
4
Denklemi düzenleyerek mutlak değeri yalnız bırak.
x−3+2−2=∣x−3−3∣  ⟹  x−3=∣x−3−3∣\sqrt{x-3} + 2 - 2 = |\sqrt{x-3} - 3| \implies \sqrt{x-3} = |\sqrt{x-3} - 3|
Denklemi çözülebilir basit bir forma getirmek gerekir.
5
Değişken değiştirerek (t=x−3t = \sqrt{x-3}) denklemi çöz.
t=∣t−3∣t = |t-3| için iki durum vardır: t=t−3t = t-3 (çözüm yok) veya t=−(t−3)t = -(t-3). Buradan t=−t+3  ⟹  2t=3  ⟹  t=32t = -t + 3 \implies 2t = 3 \implies t = \frac{3}{2}.
∣a∣=b|a| = b ise a=ba=b veya a=−ba=-b durumları incelenir.
6
tt değerini yerine koyarak xx'i bul.
x−3=32  ⟹  x−3=94  ⟹  x=3+94=12+94=214\sqrt{x-3} = \frac{3}{2} \implies x - 3 = \frac{9}{4} \implies x = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12+9}{4} = \frac{21}{4}
Sonuca ulaşmak için ters işlem yapılır.

Key Concept

İç içe kökler ve mutlak değer içeren denklemler

Hints

1
Kök içindeki ifadeleri, bir parantez karesi şeklinde yazıp yazamayacağınızı kontrol edin. xx terimini (x−3)+3(x-3) + 3 gibi düşünerek terimleri gruplandırın.
2
x+1+4x−3x + 1 + 4\sqrt{x-3} ifadesini (x−3+2)2(\sqrt{x-3} + 2)^2 şeklinde yazabilirsiniz. Diğer köklü ifadeyi de benzer şekilde düzenleyin.
3
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadeleri mutlak değer içinde yazmayı unutmayın. ∣x−3+2∣−∣x−3−3∣=2|\sqrt{x-3} + 2| - |\sqrt{x-3} - 3| = 2 denklemini çözün.

Practice More

x−4x−4=2\sqrt{x - 4\sqrt{x-4}} = 2 denkleminin çözüm kümesini bulan bir alıştırma sorusu çözülebilir.

Alternative Method

t=x−3t = \sqrt{x-3} dönüşümü yaparak denklemi t2+3+1+4t−t2+3+6−6t=2\sqrt{t^2+3+1+4t} - \sqrt{t^2+3+6-6t} = 2 haline getirebilir, buradan (t+2)2−(t−3)2=2\sqrt{(t+2)^2} - \sqrt{(t-3)^2} = 2 elde edebilirsiniz.
Estimated Time:4m 0s
Question 245Question →
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
1x+1y=32vex⋅y=4\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \quad \text{ve} \quad x \cdot y = 4

olduğuna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

İstenen ifadenin değeri 28'dir.
Soruda verilen rasyonel ifadeden x+yx+y toplamının 6 olduğu bulunur. x2+y2x^2+y^2 ifadesi, (x+y)2−2xy(x+y)^2 - 2xy özdeşliğine eşittir. Değerler yerine konulduğunda 36−8=2836 - 8 = 28 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen rasyonel denklemin paydalarını eşitleyerek x+yx+y toplamını bul.
x+yx⋅y=32\frac{x+y}{x \cdot y} = \frac{3}{2}
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde toplam ve çarpım değerlerine ulaşmak çözümün ilk adımıdır.
2
x⋅y=4x \cdot y = 4 değerini yerine yazarak x+yx+y değerini hesapla.
x+y4=32⇒2(x+y)=12⇒x+y=6\frac{x+y}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2(x+y) = 12 \Rightarrow x+y = 6
Toplam (x+yx+y) ve çarpım (x⋅yx \cdot y) değerleri bilindiğinde kareler toplamı hesaplanabilir.
3
x2+y2x^2 + y^2 ifadesini (x+y)(x+y) ve xyxy cinsinden yazan özdeşliği kullan.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
Tam kare özdeşliği (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 düzenlenerek kareler toplamı yalnız bırakılır.
4
Bulunan değerleri özdeşlikte yerine koyarak sonucu bul.
x2+y2=62−2(4)=36−8=28x^2 + y^2 = 6^2 - 2(4) = 36 - 8 = 28
İşlem hatası yapmadan sonuca ulaşılır.

Key Concept

İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Question 246Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayısı için
f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy f(x+y) = f(x) + f(y) + 3xy

eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

İstenen değer 21'dir.
Verilen fonksiyonel eşitlikte değişkenlere uygun değerler verilerek adım adım ilerlenir. Önce x=1,y=1x=1, y=1 seçilerek f(2)=11f(2)=11 bulunur, ardından x=2,y=1x=2, y=1 seçilerek f(3)=21f(3)=21 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikte f(2)f(2) değerini bulmak için x=1x=1 ve y=1y=1 değerlerini yerine yazalım.
f(1+1)=f(1)+f(1)+3⋅1⋅1⇒f(2)=4+4+3=11f(1+1) = f(1) + f(1) + 3 \cdot 1 \cdot 1 \Rightarrow f(2) = 4 + 4 + 3 = 11
f(3)f(3) değerine ulaşmak için önce ara basamak olan f(2)f(2)'nin bilinmesi gerekmektedir.
2
f(3)f(3) değerini bulmak için denklemde x=2x=2 ve y=1y=1 (veya x=1,y=2x=1, y=2) değerlerini yerine yazalım.
f(2+1)=f(2)+f(1)+3⋅2⋅1⇒f(3)=11+4+6f(2+1) = f(2) + f(1) + 3 \cdot 2 \cdot 1 \Rightarrow f(3) = 11 + 4 + 6
Bulduğumuz f(2)f(2) değeri kullanılarak bir sonraki basamak olan f(3)f(3) hesaplanır.
3
Son toplama işlemini yapalım.
f(3)=21f(3) = 21
İşlem sonucu.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde verilen bağıntıyı kullanarak adım adım değer bulma.

Hints

1
Önce f(2)f(2) değerini bulmak için xx ve yy yerine 1 yazmayı deneyin.
2
f(2)f(2)'yi bulduktan sonra, f(3)f(3)'ü elde etmek için 2+12+1 toplamını kullanacak şekilde xx ve yy değerleri seçin.
3
f(2)=f(1)+f(1)+3(1)(1)f(2) = f(1) + f(1) + 3(1)(1) işlemini çözün, çıkan sonucu f(3)=f(2)+f(1)+3(2)(1)f(3) = f(2) + f(1) + 3(2)(1) denkleminde yerine yazın.
Estimated Time:2m 30s
Question 247Question →

Bir kentsel dönüşüm projesi kapsamında, kenar uzunluğu aa metre olan kare şeklindeki bir arsanın köşesinden, kenar uzunluğu bb metre olan kare şeklindeki bir alan trafo merkezi yapılmak üzere ayrılmıştır (a>ba > b).

Geriye kalan arsa alanının, arsanın ve ayrılan parçanın birer kenar uzunluklarının farkına ((a−b)(a-b)) oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Show answer & explanation

Answer: a+ba + b

Answer

İstenilen oran a+ba + b ifadesine eşittir.
Soruda verilen geometrik senaryo matematiksel olarak modellendiğinde, büyük karenin alanından (a2a^2) küçük karenin alanı (b2b^2) çıkarılmaktadır. Bu işlem a2−b2a^2 - b^2 ifadesini verir. Soruda bu değerin kenar farkına (a−ba-b) bölünmesi istendiğinden, işlem a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b} halini alır. İki kare farkı özdeşliği gereği pay (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) olarak çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (a−b)(a-b) çarpanları sadeleştiğinde geriye a+ba+b kalır.

Step-by-Step Solution

1
Başlangıçtaki arsanın alanı ve ayrılan parçanın alanını belirle.
Başlangıç alanı a2a^2, ayrılan alan b2b^2 metrekaredir.
Kare şeklindeki bir bölgenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
2
Geriye kalan alanı ifade et.
Geriye kalan alan = a2−b2a^2 - b^2.
Toplam alandan ayrılan parça çıkarılarak kalan alan bulunur.
3
Elde edilen alan ifadesini, verilen kenar farkına böl.
Oran = a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b}.
Soruda kalan alanın kenar farkına oranı sorulmuştur.
4
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi sadeleştir.
(a−b)(a+b)a−b=a+b\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b.
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliği kullanılarak sadeleştirme yapılır.

Key Concept

İki Kare Farkı Özdeşliği
Question 248Question →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
∣3x−12∣+3x=a |3x - 12| + 3x = a

denklemini sağlayan hiçbir xx gerçel sayısı bulunmadığına göre, aa'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Denklemde çözüm kümesinin boş olması için aa değeri 12'den küçük olmalıdır, bu şartı sağlayan en büyük tam sayı 11'dir.
İfadenin alabileceği en küçük değer 12'dir. Eşitliğin sağlanamaması (çözüm olmaması) için aa sayısının 12'den kesinlikle küçük olması gerekir. Bu durumda en büyük tam sayı değeri 11 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi bir fonksiyon olarak düşünerek mutlak değerin kritik noktasını belirle.
3x−12=0⇒x=43x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4 kritik noktadır.
Mutlak değerin içi x=4x=4 noktasında işaret değiştirir, bu nedenle inceleme x≥4x \ge 4 ve x<4x < 4 durumlarına göre yapılmalıdır.
2
x≥4x \ge 4 durumu için fonksiyonun görüntü kümesini incele.
x≥4x \ge 4 ise ∣3x−12∣=3x−12|3x-12| = 3x-12 olur. İfade: (3x−12)+3x=6x−12(3x-12) + 3x = 6x - 12. Bu aralıkta en küçük değer x=4x=4 için 6(4)−12=126(4)-12 = 12 olur.
6x−126x - 12 artan bir fonksiyondur, minimum değerini aralığın başlangıcında alır.
3
x<4x < 4 durumu için fonksiyonun görüntü kümesini incele.
x<4x < 4 ise ∣3x−12∣=−(3x−12)=−3x+12|3x-12| = -(3x-12) = -3x+12 olur. İfade: (−3x+12)+3x=12(-3x+12) + 3x = 12.
Bu aralıkta xx'li terimler birbirini götürür ve ifade sabit 12 değerine eşit olur.
4
Elde edilen sonuçlara göre fonksiyonun genel görüntü kümesini ve çözüm koşulunu belirle.
İfade her zaman 12 veya 12'den büyük değerler almaktadır (Görüntü kümesi: [12,∞)[12, \infty)). Çözüm kümesinin boş olması için sonucun (aa) bu aralığın dışında olması gerekir: a<12a < 12.
Eğer a≥12a \ge 12 olsaydı, grafik y=ay=a doğrusunu keserdi ve çözüm olurdu.
5
a<12a < 12 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıyı bul.
11
12'den küçük en büyük tam sayı 11'dir.

Key Concept

Mutlak değerli fonksiyonların grafiği ve görüntü kümesi analizi

Hints

1
Mutlak değer içini sıfır yapan kritik noktayı (x=4x=4) bularak ifadeyi iki ayrı durumda inceleyiniz.
2
x≥4x \ge 4 ve x<4x < 4 durumları için ∣3x−12∣+3x|3x - 12| + 3x ifadesinin alabileceği değerleri (görüntü kümesini) hesaplayınız.

Practice More

Benzer mantıkla ∣2x−6∣−2x=a|2x-6| - 2x = a denkleminin çözüm kümesini inceleyen bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Grafik Çizimi: y=∣3x−12∣+3xy = |3x-12| + 3x fonksiyonunun grafiği çizilirse, x<4x<4 için y=12y=12 yatay doğrusu, x>4x>4 için ise y=6x−12y=6x-12 yükselen doğrusu oluşur. Grafiğin en alt noktası y=12y=12'dir.
Estimated Time:2m 30s
Question 249Question →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=xy+2x+2y+2x \Delta y = xy + 2x + 2y + 2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu işlemde 33 sayısının tersi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −95-\frac{9}{5}

Answer

İstenen değer −95-\frac{9}{5}'tir.
İşlemde bir elemanın tersini bulmak için önce birim eleman (ee) bulunur (xΔe=xx \Delta e = x). Bu işlemde e=−1e = -1 çıkar. Daha sonra 3Δ3−1=−13 \Delta 3^{-1} = -1 eşitliği çözüldüğünde sonuç −95-\frac{9}{5} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birim (etkisiz) elemanı (ee) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kur.
x⋅e+2x+2e+2=xx \cdot e + 2x + 2e + 2 = x
Bir işlemde ters elemanı bulabilmek için önce o işlemin birim elemanı bilinmelidir.
2
Eşitliği düzenleyerek ee'yi yalnız bırak.
e(x+2)+2x+2=x⇒e(x+2)+(x+2)=0⇒(x+2)(e+1)=0e(x+2) + 2x + 2 = x \Rightarrow e(x+2) + (x+2) = 0 \Rightarrow (x+2)(e+1) = 0. Buradan e=−1e = -1 bulunur.
Eşitliğin her xx değeri için sağlanması, parantez içindeki ifadenin sıfırlanmasını gerektirir.
3
33 sayısının tersini (mm) bulmak için 3Δm=e3 \Delta m = e eşitliğini çöz.
3⋅m+2(3)+2m+2=−13 \cdot m + 2(3) + 2m + 2 = -1
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim eleman elde edilir.
4
Denklemi çözerek sonucu bul.
3m+6+2m+2=−1⇒5m+8=−1⇒5m=−9⇒m=−953m + 6 + 2m + 2 = -1 \Rightarrow 5m + 8 = -1 \Rightarrow 5m = -9 \Rightarrow m = -\frac{9}{5}
Sonuç adımı.

Key Concept

Ters Eleman

Hints

1
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısınız.
2
Birim eleman ee olmak üzere, her xx için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini sağlayan ee değerini hesaplayın.
3
Birim eleman e=−1e = -1 dir. Şimdi 33'ün tersi olan sayıya mm diyerek 3Δm=−13 \Delta m = -1 denklemini çözün.

Practice More

Benzer bir işlemde tersi kendisine eşit olan elemanları bulmayı deneyiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 250Question →
x=3+173−17−33x = \sqrt[3]{3 + \sqrt{17}} - \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} olduğuna göre,
x3+6xx^3 + 6x
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İfadenin değeri 6'dır.
Sorunun çözümü için (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) özdeşliği kullanılır. x=a−bx = a - b olarak düşünüldüğünde, aa ve bb değerlerinin küpleri farkı 6 ve çarpımları 2 çıkar. Bu değerler yerine yazıldığında x3=6−6xx^3 = 6 - 6x eşitliği bulunur, buradan da x3+6x=6x^3 + 6x = 6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi x=a−bx = a - b formunda tanımla.
a=17+33a = \sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} ve b=17−33b = \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} olsun.
Küp açılımı özdeşliğini kullanabilmek için terimleri isimlendirmek işlemi kolaylaştırır.
2
Eşitliğin her iki tarafının küpünü alarak (a−b)3=a3−b3−3ab(a−b)(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b) özdeşliğini uygula.
x3=(17+3)−(17−3)−3(17+33⋅17−33)⋅xx^3 = (\sqrt{17} + 3) - (\sqrt{17} - 3) - 3(\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}) \cdot x
xx değişkenine bağlı bir denklem elde etmek için küp alma işlemi gereklidir.
3
a3−b3a^3 - b^3 farkını ve a⋅ba \cdot b çarpımını hesapla.
a3−b3=3−(−3)=6a^3 - b^3 = 3 - (-3) = 6 ve a⋅b=(17+3)(17−3)3=17−93=83=2a \cdot b = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)} = \sqrt[3]{17 - 9} = \sqrt[3]{8} = 2.
Denklemdeki sabit terimleri bulmak için kök içindeki işlemler yapılır. İki kare farkı (m−n)(m+n)=m2−n2(m-n)(m+n) = m^2 - n^2 kullanılır.
4
Bulunan değerleri ana denklemde yerine yaz.
x3=6−3(2)(x)⇒x3=6−6xx^3 = 6 - 3(2)(x) \Rightarrow x^3 = 6 - 6x
Bulunan sayısal değerler yerine konularak xx cinsinden basit bir eşitlik elde edilir.
5
İstenen x3+6xx^3 + 6x ifadesini elde etmek için terimleri düzenle.
x3+6x=6x^3 + 6x = 6
Soruda sorulan ifadeyi doğrudan elde etmek için −6x-6x terimi eşitliğin diğer tarafına atılır.

Key Concept

Tam Küp Özdeşliği ve Köklü İfadeler

Hints

1
İfadeyi x=A−Bx = A - B şeklinde düşünün ve her iki tarafın küpünü alarak (A−B)3(A-B)^3 özdeşliğini kullanmayı deneyin.
2
(A−B)3=A3−B3−3AB(A−B)(A-B)^3 = A^3 - B^3 - 3AB(A-B) özdeşliğinde, A=17+33A = \sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} ve B=17−33B = \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} değerlerini yerine yazın.
3
Küp kök içindeki sayıların çarpımının (17+3)(17−3)=17−9=8(\sqrt{17}+3)(\sqrt{17}-3) = 17-9=8 olduğuna dikkat edin. Bu durumda AB=2AB=2 olacaktır.

Practice More

Benzer yapıdaki x=5+23−5−23x = \sqrt[3]{\sqrt{5}+2} - \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternative Method

Polinom denklemi kurma yöntemi: xx değerini bir kök kabul eden 3. dereceden denklem oluşturularak da çözüme gidilebilir, ancak küp alma yöntemi en pratik olandır.
Estimated Time:3m 0s
Question 251Question →

Bir kamu kurumunun arşiv dairesinde bulunan dosya klasörlerinin sayısının, evrak raflarının sayısına oranı 83\frac{8}{3} olarak belirlenmiştir. Bu arşivde toplam 1515 adet evrak rafı bulunduğuna göre, dosya klasörlerinin sayısı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

Arşivdeki dosya klasörlerinin sayısı 40'tır.
Verilen oran 83\frac{8}{3} olduğuna göre, her 33 raf için 88 dosya klasörü bulunmaktadır. Raf sayısı 1515 olduğuna göre, bu 33 sayısının 55 katıdır (15=3×515 = 3 \times 5). Orantının bozulmaması için dosya sayısı da 88 sayısının 55 katı olmalıdır (8×5=408 \times 5 = 40).

Step-by-Step Solution

1
Oran orantı denklemini kurunuz.
Dosya Klaso¨ru¨ SayısıEvrak Rafı Sayısı=83\frac{\text{Dosya Klasörü Sayısı}}{\text{Evrak Rafı Sayısı}} = \frac{8}{3}
Soruda verilen oran, iki çokluk arasındaki ilişkiyi gösterir.
2
Bilinen değeri (evrak rafı sayısı = 15) denklemde yerine yazınız.
x15=83\frac{x}{15} = \frac{8}{3}
Bilinmeyen dosya klasörü sayısına xx diyerek denklem oluşturulur.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyeni bulunuz.
3⋅x=8⋅15⇒3x=120⇒x=403 \cdot x = 8 \cdot 15 \Rightarrow 3x = 120 \Rightarrow x = 40
Doğru orantılı çokluklarda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

Key Concept

Oran, iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır. İki oranın eşitliğine ise orantı denir.

Hints

1
Dosya sayısı ile raf sayısı arasında doğru orantı olduğunu unutmayın.
2
Raf sayısı olan 1515, orandaki payda olan 33'ün kaç katıdır?
3
x15=83\frac{x}{15} = \frac{8}{3} denkleminde içler dışlar çarpımı yaparak xx değerini yalnız bırakın.

Practice More

Benzer bir soruda, toplam personel sayısı verilip bir grubun sayısı istendiğinde 2k+7k=9k2k + 7k = 9k mantığını kullanmayı deneyin.

Alternative Method

Kat yöntemi: 3k=153k = 15 ise k=5k = 5 bulunur. Dosya sayısı 8k8k olduğu için 8×5=408 \times 5 = 40 sonucuna ulaşılır.
Estimated Time:45s
Question 252Question →

Bir kamu kurumunda evrak kayıt memuru olarak görev yapan bir personel, 1212 adet dilekçeyi 4040 dakikada sisteme kaydedebilmektedir. Bu personel aynı çalışma hızıyla, 100100 dakikalık çalışma süresi boyunca toplam kaç adet dilekçeyi sisteme kaydedebilir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Personel 100 dakikada toplam 30 adet dilekçe kaydedebilir.
Dilekçe sayısı ile süre arasında doğru orantı vardır. 1212 dilekçe 4040 dakikada yapılıyorsa, 11 dilekçe için 40/1240/12 değil, her 1010 dakikada 33 dilekçe yapıldığı görülür (12/4=312/4 = 3 ve 40/4=1040/4 = 10). Bu durumda 100100 dakika, 1010 dakikanın 1010 katı olduğu için dilekçe sayısı da 33'ün 1010 katı olan 3030 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bilgiler doğrultusunda doğru orantı denklemini kurun.
12 dilekc¸e40 dakika=x dilekc¸e100 dakika\frac{12 \text{ dilekçe}}{40 \text{ dakika}} = \frac{x \text{ dilekçe}}{100 \text{ dakika}}
Dilekçe sayısı arttıkça geçen sürenin de aynı oranda artması gerektiği için doğru orantı kullanılır.
2
Denklemdeki oranları sadeleştirerek işlemi kolaylaştırın.
310=x100\frac{3}{10} = \frac{x}{100}
12 ve 40 sayılarını 4 ile sadeleştirerek daha küçük sayılarla işlem yapmak hata payını azaltır.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak bilinmeyen xx değerini hesaplayın.
10×x=3×100⇒10x=300⇒x=3010 \times x = 3 \times 100 \Rightarrow 10x = 300 \Rightarrow x = 30
Orantının temel özelliği gereği içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

Key Concept

Doğru Orantı ve Orantı Kurma

Hints

1
İş miktarı (dilekçe sayısı) ile geçen süre arasındaki ilişkiyi düşünün. Süre arttıkça kayıt edilen dilekçe sayısı da artar mı?
2
Verilen değerlerle bir doğru orantı tablosu veya denklemi oluşturun: 1212 dilekçeye 4040 dakika geliyorsa, xx dilekçeye 100100 dakika gelir.
3
İçler dışlar çarpımı yaparak 1240=x100\frac{12}{40} = \frac{x}{100} denklemini çözün. Sadeleştirme yapmak işinizi kolaylaştıracaktır.

Practice More

Benzer bir soruyu, dilekçe sayısının sabit tutulup sürenin sorulduğu bir kurguyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Birim süre yöntemini kullanabilirsiniz. 1212 dilekçe 4040 dakikada kaydediliyorsa, 1010 dakikada 12÷4=312 \div 4 = 3 dilekçe kaydedilir. 100100 dakika 1010 dakikanın 1010 katı olduğu için, 3×10=303 \times 10 = 30 dilekçe kaydedilir.
Estimated Time:45s
Question 253Question →
xx bir tam sayı olmak üzere,
16−∣x2−20∣x+5−3x−43 \frac{\sqrt{16 - |x^2 - 20|}}{\sqrt{x+5}} - \frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}

ifadesi bir gerçel sayı belirttiğine göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İfadenin tanımlı olduğu 7 farklı tam sayı değeri vardır.
İfadenin tanımlı olması için üç koşulun kesişimi alınmalıdır: 1) Çift dereceli kökün içi negatif olmamalı (4≤x2≤364 \le x^2 \le 36), 2) Paydadaki çift kök sıfırdan büyük olmalı (x>−5x > -5), 3) Paydadaki tek kök sıfır olmamalı (x≠4x \ne 4). Bu koşulları sağlayan tam sayılar {−4,−3,−2,2,3,5,6}\{-4, -3, -2, 2, 3, 5, 6\} olmak üzere toplam 7 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Paydaki kareköklü ifadenin tanımlı olma şartını incele: 16−∣x2−20∣\sqrt{16 - |x^2 - 20|}
16−∣x2−20∣≥0⇒∣x2−20∣≤1616 - |x^2 - 20| \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 20| \le 16
Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz.
2
Mutlak değer eşitsizliğini çöz.
−16≤x2−20≤16⇒4≤x2≤36-16 \le x^2 - 20 \le 16 \Rightarrow 4 \le x^2 \le 36
Mutlak değer ∣u∣≤a|u| \le a ise −a≤u≤a-a \le u \le a kuralı uygulanır.
3
x2x^2 eşitsizliğinden xx aralıklarını bul.
x∈[−6,−2]∪[2,6]x \in [-6, -2] \cup [2, 6]
Karesi 4 ile 36 arasında olan sayılar, pozitif tarafta [2,6][2,6], negatif tarafta [−6,−2][-6,-2] aralığındadır.
4
Birinci paydanın tanımlı olma şartını incele: x+5\sqrt{x+5}
x+5>0⇒x>−5x+5 > 0 \Rightarrow x > -5
Paydada olduğu için kök içi sıfırdan kesinlikle büyük olmalıdır.
5
İkinci paydanın tanımlı olma şartını incele: x−43\sqrt[3]{x-4}
x−4≠0⇒x≠4x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4
Tek dereceli köklerin içi negatif olabilir ancak paydada olduğu için sıfır olamaz.
6
Tüm şartları sağlayan ortak kümeyi (kesişimi) bul.
Kümeler: ([−6,−2]∪[2,6])∩(x>−5)∖{4}([-6, -2] \cup [2, 6]) \cap (x > -5) \setminus \{4\}
Tüm kısıtlamaların aynı anda sağlanması gerekir.
7
Kesişim kümesindeki tam sayıları listele ve say.
Negatifler: {−4,−3,−2}\{-4, -3, -2\} (3 adet). Pozitifler: {2,3,5,6}\{2, 3, 5, 6\} (44 hariç, 4 adet). Toplam: 3+4=73 + 4 = 7.
Aralık (−5,−2]∪[2,6](-5, -2] \cup [2, 6] şeklindedir ve x≠4x \ne 4 şartı vardır.

Key Concept

Köklü İfadelerin Tanım Aralığı

Hints

1
Köklü ifadelerin derecelerine dikkat et: Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz (≥0≥ 0), tek dereceli köklerin içi her reel sayı olabilir.
2
Paydada bulunan ifadeler sıfıra eşit olamaz. Ayrıca mutlak değerli eşitsizlik ∣x2−20∣≤16|x^2 - 20| ≤ 16 ifadesini çözerken alt sınırı unutma.
3
∣x2−20∣≤16|x^2 - 20| ≤ 16 eşitsizliği 4≤x2≤364 ≤ x^2 ≤ 36 sonucunu verir. Bu da çözüm kümesinin ortasında bir boşluk olduğu anlamına gelir.

Practice More

Mutlak değer içinde bilinmeyen içeren köklü ifadelerin tanım aralığı soruları.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde her bir kısıtlamayı ayrı renklerle çizerek kesişim bölgesini görsel olarak bulmak hataları önleyebilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 254Question →
205−45+−13 \frac{20}{\sqrt{5}} - \sqrt{45} + \sqrt[3]{-1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 5−1\sqrt{5} - 1

Answer

5−1\sqrt{5} - 1
İşlem adımları takip edildiğinde; ilk terim rasyonel yapılarak 454\sqrt{5}, ikinci terim sadeleştirilerek 353\sqrt{5} ve üçüncü terim −1-1 olarak bulunur. Bu değerler arasındaki işlem 45−35−14\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - 1 şeklinde olup sonuç 5−1\sqrt{5} - 1 dir.

Step-by-Step Solution

1
Kesirli ifadenin paydası rasyonel yapılır.
205=2055=45 \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}
Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için kesir 5\sqrt{5} ile genişletilir.
2
Kök içindeki diğer sayı en sade hale getirilir.
45=9⋅5=35 \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}
Kök içindeki tam kare olan çarpan (9) kök dışına çıkarılır.
3
Tek dereceli kök (küp kök) hesaplanır.
−13=−1 \sqrt[3]{-1} = -1
Negatif sayıların tek kuvvetten kökleri negatiftir ((−1)3=−1(-1)^3 = -1).
4
Bulunan değerler işlemde yerine yazılır.
45−35+(−1)=5−1 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + (-1) = \sqrt{5} - 1
Benzer köklü terimlerin katsayıları çıkarılır (4−3=14-3=1) ve sabit terim eklenir.

Key Concept

Köklü İfadelerde Dört İşlem
Question 255Question →
25x+5x+125−x+5−x+1=15625 \frac{25^x + 5^x + 1}{25^{-x} + 5^{-x} + 1} = 15625
eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Eşitliği sağlayan x değeri 3'tür.
Verilen kesirli ifadede payda düzenlendiğinde, payın 52x5^{2x}'e bölünmüş hali olduğu görülür. Ters çevirip çarpma işlemi yapıldığında paydaki ve paydadaki uzun terimler birbirini götürür ve geriye sadece 52x5^{2x} kalır. 1562515625 sayısı 565^6'ya eşit olduğundan, 2x=62x=6 denklemi elde edilir ve buradan x=3x=3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemdeki 25x25^x ve 25−x25^{-x} ifadelerini 5 tabanında yazalım.
(52)x+5x+1(52)−x+5−x+1=52x+5x+15−2x+5−x+1 \frac{(5^2)^x + 5^x + 1}{(5^2)^{-x} + 5^{-x} + 1} = \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{5^{-2x} + 5^{-x} + 1}
Tüm terimleri aynı tabanda (5) ifade etmek, sadeleştirmeyi görmeyi kolaylaştırır.
2
Paydadaki negatif üslü ifadeleri kesirli olarak yazıp payda eşitleyelim.
5−2x+5−x+1=152x+15x+1=1+5x+52x52x 5^{-2x} + 5^{-x} + 1 = \frac{1}{5^{2x}} + \frac{1}{5^x} + 1 = \frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}
Negatif üslerden kurtulup ifadeyi düzenlemek, pay ile olan ilişkiyi ortaya çıkarır.
3
Bulduğumuz ifadeyi ana denklemde yerine koyup ters çevirip çarpma işlemi yapalım.
52x+5x+11+5x+52x52x=(52x+5x+1)⋅52x1+5x+52x=52x \frac{5^{2x} + 5^x + 1}{\frac{1 + 5^x + 5^{2x}}{5^{2x}}} = (5^{2x} + 5^x + 1) \cdot \frac{5^{2x}}{1 + 5^x + 5^{2x}} = 5^{2x}
Kesirlerde bölme işlemi yapılırken ikinci kesir ters çevrilip çarpılır; bu da ortak parantezlerin sadeleşmesini sağlar.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen sayıya eşitleyip x'i bulalım.
52x=15625⇒52x=56⇒2x=6⇒x=3 5^{2x} = 15625 \Rightarrow 5^{2x} = 5^6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3
Üslü denklemlerde tabanlar eşitse üsler de eşittir kuralı uygulanır (15625=5615625 = 5^6).

Key Concept

Negatif üs içeren rasyonel ifadelerde, pay ve payda arasındaki kat ilişkisini görmek için payda eşitlenerek ortak çarpan parantezine alınır.

Hints

1
Paydadaki 25−x25^{-x} ve 5−x5^{-x} ifadelerini 125x\frac{1}{25^x} ve 15x\frac{1}{5^x} şeklinde yazarak payda eşitlemeyi deneyin.
2
Paydayı düzenlediğinizde 1+5x+25x25x\frac{1 + 5^x + 25^x}{25^x} ifadesini elde edeceksiniz. Şimdi bölme işlemini yapın.
3
Bölme işleminden sonra elinizde sadece 25x25^x kalacak. Bunu 15625'e eşitleyerek x'i bulun.

Practice More

Benzer bir sadeleştirme sorusunu 3x3^x tabanıyla veya harfli ifadelerle (a,ba, b) çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

a=5xa = 5^x dönüşümü yaparsanız ifade a2+a+1a−2+a−1+1\frac{a^2+a+1}{a^{-2}+a^{-1}+1} haline gelir. Bu yapının değeri her zaman en büyük dereceli terime (a2a^2) eşittir.
Estimated Time:2m 30s
Question 256Question →

A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. Buna göre, bu iki kümenin ortak elemanlarından oluşan A∩BA \cap B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: {3,4}\{3, 4\}

Answer

Kesişim kümesi {3,4}\{3, 4\} olarak bulunur.
İki kümenin kesişimi, her iki kümede de bulunan ortak elemanların kümesidir. Verilen AA ve BB kümeleri incelendiğinde, hem AA kümesinde hem de BB kümesinde bulunan sayıların sadece 33 ve 44 olduğu görülür. Bu nedenle kesişim kümesi {3,4}\{3, 4\} olur.

Step-by-Step Solution

1
AA ve BB kümelerinin elemanlarını tek tek inceleyin.
A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\} ve B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\} elemanlarına sahiptir.
Hangi elemanların ortak olduğunu belirlemek için liste yöntemiyle karşılaştırma yapmak en kolay yoldur.
2
Her iki kümede de aynı anda bulunan sayıları işaretleyin.
33 ve 44 sayıları her iki kümede de mevcuttur.
Kesişim işlemi (∩\cap), kümelerin 've' bağlacı ile birbirine bağlanan ortak elemanlarını bulmayı amaçlar.
3
Bu ortak elemanları yeni bir küme parantezi içinde yazın.
A∩B={3,4}A \cap B = \{3, 4\}
Kesişim kümesinin matematiksel gösterimi bu şekildedir.

Key Concept

Kümelerde Kesişim İşlemi

Hints

1
Kesişim işlemi (∩\cap), iki kümenin 'ortak' elemanlarını bulmak demektir.
2
AA ve BB kümelerinin listelerine bakın. Hangi sayılar her iki listede de yazıyor?
3
33 ve 44 elemanlarını her iki kümede de görebiliyor musunuz? İşte bu elemanlar kesişim kümesini oluşturur.

Practice More

Kesişim kümesini bulduktan sonra, aynı kümeler için birleşim (A∪BA \cup B) kümesini yazarak aradaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek, her iki dairenin üst üste bindiği (ortak olan) bölgeye elemanları yerleştirebilirsiniz. Bu bölgedeki elemanlar kesişimi verir.
Estimated Time:45s
Question 257Question →
(−3)2+23−40(-3)^2 + 2^3 - 4^0
işleminin sonucu kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

İşlemin sonucu 16 olarak bulunur.
Verilen işlemdeki her bir terim üslü sayı kurallarına göre ayrı ayrı hesaplanır: (−3)2=9(-3)^2 = 9, 23=82^3 = 8 ve 40=14^0 = 1. Bu değerler işlemde yerine yazıldığında 9+8−19 + 8 - 1 ifadesi elde edilir. Bu toplama ve çıkarma işleminin sonucu 1616 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
(−3)2(-3)^2 ifadesini hesaplayın.
(−3)×(−3)=9(-3) \times (-3) = 9
Negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir.
2
232^3 ifadesini hesaplayın.
2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8
Üslü sayılarda kuvvet, tabanın kendisiyle kaç kez çarpılacağını belirtir.
3
404^0 ifadesini hesaplayın.
11
Matematikte sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 11 olarak tanımlanmıştır.
4
Elde edilen sonuçları ana işlemde yerlerine koyarak toplama ve çıkarma işlemlerini tamamlayın.
9+8−1=169 + 8 - 1 = 16
Bulunan değerlerin aritmetik toplamı nihai sonucu verir.

Key Concept

Üslü sayıların temel özellikleri (negatif taban, pozitif kuvvet ve sıfırıncı kuvvet kuralı).

Hints

1
İşlemdeki her bir üslü ifadeyi (negatif taban, küp ve sıfırıncı kuvvet) sırasıyla hesaplamaya başlayın.
2
Unutmayın: Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir ve herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 11'dir.
3
(−3)2=9(-3)^2 = 9, 23=82^3 = 8 ve 40=14^0 = 1 değerlerini kullanarak işlemi 9+8−19 + 8 - 1 şeklinde yeniden yazın.

Practice More

Negatif üs içeren benzer bir hesaplama sorusu çözerek bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 258Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
f(x)+g(x)=3x2+4x+5 f(x) + g(x) = 3x^2 + 4x + 5

eşitliği sağlandığına göre, (g∘f)(−1)(g \circ f)(-1) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

32
Verilen simetri özelliklerine göre ff çift (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), gg ise tek (g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)) fonksiyondur. Denklemde xx yerine −x-x yazılarak f(x)−g(x)=3x2−4x+5f(x)-g(x)=3x^2-4x+5 elde edilir. Orijinal denklemle taraf tarafa işlemler yapıldığında f(x)=3x2+5f(x)=3x^2+5 ve g(x)=4xg(x)=4x bulunur. Buradan (g∘f)(−1)=g(f(−1))=g(8)=32(g \circ f)(-1) = g(f(-1)) = g(8) = 32 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Simetri özelliklerini matematiksel olarak ifade et.
f y-eksenine göre simetrik ise f(-x) = f(x) (Çift fonksiyon); g orijine göre simetrik ise g(-x) = -g(x) (Tek fonksiyon).
Fonksiyonların grafik simetrileri, tek ve çift olma özelliklerini belirler.
2
Verilen denklemde x yerine -x yazarak ikinci bir denklem elde et.
f(-x) + g(-x) = 3(-x)^2 + 4(-x) + 5 => f(x) - g(x) = 3x^2 - 4x + 5.
İki bilinmeyenli (f ve g) bir denklem sistemi oluşturmak için simetri özelliklerini kullanmak gerekir.
3
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f(x) fonksiyonunu bul.
(f(x) + g(x)) + (f(x) - g(x)) = (3x^2 + 4x + 5) + (3x^2 - 4x + 5) => 2f(x) = 6x^2 + 10 => f(x) = 3x^2 + 5.
g(x) terimlerini yok ederek f(x)'i yalnız bırakmak.
4
İlk denklemden f(x)'i çıkararak g(x) fonksiyonunu bul.
g(x) = (3x^2 + 4x + 5) - (3x^2 + 5) = 4x.
f(x) bulunduktan sonra g(x)'i bulmak için yerine koyma veya çıkarma işlemi yapılır.
5
İstenen (gof)(-1) değerini hesapla.
Önce f(-1) = 3(-1)^2 + 5 = 8. Sonra g(8) = 4(8) = 32.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği önce içteki fonksiyonun değeri bulunur, sonra dıştaki fonksiyonda yerine yazılır.

Key Concept

Tek ve Çift Fonksiyonların Simetri Özellikleri

Hints

1
Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar 'çift', orijine göre simetrik olanlar 'tek' fonksiyondur.
2
Çift fonksiyonlarda f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), tek fonksiyonlarda g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitliğini kullanın.
3
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir denklem elde edin ve bu iki denklemi f(x)f(x) ve g(x)g(x)'i bulmak için taraf tarafa toplayıp çıkarın.

Practice More

Tek ve çift fonksiyonların türevleri veya integralleri ile ilgili özellikleri inceleyin.

Alternative Method

Polinom eşitliği yöntemini kullanmak: f(x) çift olduğundan sadece çift dereceli terimler (ax2+cax^2+c), g(x) tek olduğundan sadece tek dereceli terimler (bxbx) içermelidir. f(x)+g(x)=ax2+bx+c=3x2+4x+5f(x)+g(x) = ax^2+bx+c = 3x^2+4x+5 diyerek katsayıları eşleştirebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 259Question →

Bir kenar uzunluğu aa birim olan kare ile bir kenar uzunluğu bb birim olan karenin alanları farkı 6060 birimkaredir. Bu iki karenin çevre uzunlukları toplamı 4040 birim olduğuna göre, kenar uzunlukları arasındaki fark (a−ba-b) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Kenar uzunlukları farkı 6 birimdir.
Karelerin alanları farkı a2−b2=60a^2 - b^2 = 60 ve çevreleri toplamı 4a+4b=404a+4b=40 olarak verilir. Çevre denkleminden a+b=10a+b=10 bulunur. İki kare farkı özdeşliği (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2-b^2 kullanıldığında, (a−b)⋅10=60(a-b) \cdot 10 = 60 eşitliği elde edilir ve buradan a−b=6a-b=6 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeleri matematiksel eşitliklere dökün.
Alanlar farkı: a2−b2=60a^2 - b^2 = 60. Çevreler toplamı: 4a+4b=404a + 4b = 40.
Problemdeki geometrik tanımları cebirsel ifadelere çevirmek gerekir.
2
Çevre denklemini sadeleştirerek (a+b)(a+b) toplamını bulun.
4(a+b)=40  ⟹  a+b=104(a + b) = 40 \implies a + b = 10.
İki kare farkı özdeşliğini kullanabilmek için terimlerin toplamına ihtiyaç vardır.
3
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi yazın.
a2−b2=(a−b)⋅(a+b)a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b) olduğu için 60=(a−b)⋅1060 = (a - b) \cdot 10.
Özdeşlik, çarpım durumundaki ifadeleri birbirine bağlar.
4
Bilinmeyen (a−b)(a-b) değerini hesaplayın.
a−b=6010=6a - b = \frac{60}{10} = 6.
Çarpma işleminin tersi olan bölme işlemi ile sonuca ulaşılır.

Key Concept

İki kare farkı özdeşliği: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

Hints

1
Karenin alanı a2a^2, çevresi ise 4a4a formülü ile bulunur.
2
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) özdeşliğini hatırlayın.
3
Çevrelerin toplamından a+ba+b değerini bulup, alanlar farkı formülünde yerine koyarak a−ba-b değerini çekebilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, iki küp farkı özdeşliğini kullanan problemler çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 260Question →
x+2x−1−x−2x−1=2 \sqrt{x + \sqrt{2x-1}} - \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}

denklemini sağlayan en geniş xx gerçel sayı aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: [1,∞)[1, \infty)

Answer

Denklemi sağlayan en geniş aralık [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.
Denklem çözüldüğünde ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1 eşitliğine ulaşılır. Bir sayının mutlak değerinin kendisine eşit olması için o sayının sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir (x−1≥0x-1 \ge 0). Bu da x≥1x \ge 1 sonucunu verir. Ayrıca x≥1x \ge 1 koşulu, köklü ifadenin tanım aralığı olan x≥1/2x \ge 1/2 koşulunu da sağladığı için çözüm kümesi [1,∞)[1, \infty) aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak köklerden kurtulmaya çalış.
(x+2x−1−x−2x−1)2=(2)2(\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} - \sqrt{x - \sqrt{2x-1}})^2 = (\sqrt{2})^2
Köklü ifadelerde çözüm için en yaygın yöntem kare almaktır; bu işlem denklemi basitleştirir.
2
Tam kare açılımını ((a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) uygula.
(x+2x−1)−2(x+2x−1)(x−2x−1)+(x−2x−1)=2(x + \sqrt{2x-1}) - 2\sqrt{(x + \sqrt{2x-1})(x - \sqrt{2x-1})} + (x - \sqrt{2x-1}) = 2
Birinci ve üçüncü terimdeki kökler kare alınca kalkar, ortadaki terim ise iki kökün çarpımı olur.
3
İfadeyi düzenle ve ortadaki kök içindeki iki kare farkını hesapla.
2x−2x2−(2x−1)=2  ⟹  2x−2x2−2x+1=22x - 2\sqrt{x^2 - (2x-1)} = 2 \implies 2x - 2\sqrt{x^2 - 2x + 1} = 2
(A+B)(A−B)=A2−B2(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 özdeşliği kullanılır.
4
Kök içindeki ifadenin (x−1)2(x-1)^2 olduğunu gör ve kök dışına mutlak değerle çıkar.
2x−2(x−1)2=2  ⟹  2x−2∣x−1∣=22x - 2\sqrt{(x-1)^2} = 2 \implies 2x - 2|x-1| = 2
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| kuralı burada kritiktir. Çoğu hata bu adımda mutlak değerin unutulmasıyla yapılır.
5
Denklemi sadeleştir ve mutlak değerin tanımını uygula.
x−∣x−1∣=1  ⟹  ∣x−1∣=x−1x - |x-1| = 1 \implies |x-1| = x - 1
Bu eşitlik, ancak ve ancak mutlak değerin içi negatif değilse (x−1≥0x-1 \ge 0) sağlanır.
6
Sonuç kümesini ve tanım aralığını belirle.
x−1≥0  ⟹  x≥1x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1. Tanım aralığı (x≥1/2x \ge 1/2) ile kesişimi: [1,∞)[1, \infty).
Mutlak değer dışına aynen çıkması için x≥1x \ge 1 olmalıdır.

Key Concept

İç İçe Kökler ve Mutlak Değer

Hints

1
Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak dıştaki köklerden kurtulmayı deneyin.
2
Kare aldıktan sonra elde edeceğiniz x2−2x+1\sqrt{x^2 - 2x + 1} ifadesini (x−1)2\sqrt{(x-1)^2} olarak yazın.
3
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını unutmayın. ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1 eşitliği hangi xx değerleri için sağlanır?

Practice More

x2−4x+4+∣x−2∣=0\sqrt{x^2 - 4x + 4} + |x-2| = 0 denkleminin çözüm kümesini soran bir soru çözülebilir.
Estimated Time:4m 0s
PreviousPage 13 / 22Next
Cebir — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 13 | Examkin