Kümeler ve Fonksiyonlar Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 4

Tanımlı oldukları en geniş aralıklarda

f

sabit,

g

birim fonksiyondur.

f(x) = \frac{ax + 12}{3x - b}

g(x) = (c + 2)x^2 + (d - 3)x + k - 5

eşitlikleri veriliyor.

f(d) = g(c)

olduğuna göre,

a + b + d

toplamı kaçtır?

3

4

-8

13

16

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen toplamın değeri 4'tür.

Doğru cevap 4'tür çünkü birim fonksiyon tanımından d=4 bulunur; bu değer f fonksiyonunun sabit değerini -2 olarak belirler. Sabit fonksiyon katsayı oranlarından a=-6 ve b=6 elde edilir. Toplamları 4 eder.

Step-by-Step Solution

1

Birim fonksiyon g(x) = x tanımını kullanarak katsayıları analiz et.

x² terimi olmamalı, x'in katsayısı 1 olmalı: c+2=0 ⇒ c=-2 ve d-3=1 ⇒ d=4.

Birim fonksiyon her elemanı kendisine eşler (g(x)=x), bu yüzden x dışındaki terimlerin katsayıları sıfırlanmalı, x'in katsayısı 1 olmalıdır.

2

f(d) = g(c) eşitliğini kullanarak sabit fonksiyonun değerini bul.

f(4) = g(-2). g birim fonksiyon olduğundan g(-2) = -2. O halde f(x) = -2 (sabit).

g fonksiyonunun özelliği kullanılarak eşitliğin sağ tarafı hesaplanır. f sabit olduğu için tüm x değerleri için sonuç -2 olacaktır.

3

Sabit fonksiyon şartı (oran orantı) ile a ve b değerlerini bul.

a/3 = 12/(-b) = -2 (Fonksiyon değeri). Buradan a = -6 ve b = 6 bulunur.

Rasyonel ifadenin sabit fonksiyon olması için pay ve paydadaki derecelerin katsayıları orantılı olmalı ve bu oran fonksiyonun sabit değerine eşit olmalıdır.

4

Bulunan değerleri topla.

a + b + d = (-6) + 6 + 4 = 4.

Soruda istenen nihai işlem gerçekleştirilir.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonun sabit olması için katsayılar oranı eşit olmalı (

a/c = b/d = k

); birim fonksiyonda ise

g(x)=x

formunda katsayılar ayarlanmalıdır.

Hints

1

Birim fonksiyon

g(x) = x

kuralına sahiptir. Bu, polinomdaki x'li terimin katsayısının 1, diğer tüm katsayıların 0 olması demektir.

Practice More

Benzer yapıda, f(x) fonksiyonunun birim, g(x) fonksiyonunun sabit olduğu ve bileşke fonksiyon içeren sorular çözülebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 62Question →

A

ve

B

boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A)=6

s(B)=8

s(A \cup B)=10

eșitlikleri veriliyor.

Buna göre, $s((A \times B) \cup (B \times A))$ değeri kaçtır?

16

48

80

96

100

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

İstenen birleşim kümesinin eleman sayısı 80'dir.

Soruyu çözmek için önce

A

ve

B

kümelerinin kesişim eleman sayısını bulmalıyız.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülünden

10 = 6 + 8 - s(A \cap B)

yazılır ve

s(A \cap B) = 4

bulunur. Daha sonra bizden istenen

s((A \times B) \cup (B \times A))

ifadesi için genel birleşim kuralı olan

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

uygulanır. Burada

s(A \times B) = 48

ve

s(B \times A) = 48

'dir. Kesişim bölgesi için ise kartezyen çarpım özelliği gereği

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

eşitliği kullanılır. Bu durumda kesişim eleman sayısı

4 \cdot 4 = 16

olur. Sonuç olarak

48 + 48 - 16 = 80

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A \cap B

kümesinin eleman sayısını bul

s(A \cap B) = s(A) + s(B) - s(A \cup B) = 6 + 8 - 10 = 4

Kümelerin birleşimi formülünden kesişim eleman sayısına ulaşmak gerekir.

2

Kartezyen çarpım kümelerinin ayrı ayrı eleman sayılarını hesapla

s(A \times B) = 6 \cdot 8 = 48

ve

s(B \times A) = 8 \cdot 6 = 48

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır.

3

Kartezyen çarpımların kesişim kümesinin eleman sayısını bul

s((A \times B) \cap (B \times A)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap A) = 4 \cdot 4 = 16

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

kuralı kullanılır.

4

Birleşim formülünü uygula

48 + 48 - 16 = 80

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

formülü uygulanır.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Birleşimi ve Kesişimi

Hints

1

Önce

s(A \cap B)

değerini bulmak için kümelerde birleşim formülünü kullanın.

2

İstenen ifade

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

yapısındadır. Burada

X = A \times B

ve

Y = B \times A

olarak düşünülmelidir.

3

Kartezyen çarpımların kesişimi kuralını hatırlayın:

(A \times B) \cap (B \times A)

kümesi, aslında

(A \cap B) \times (B \cap A)

kümesine eşittir.

Practice More

Kümelerin ayrık olduğu durumda kartezyen çarpım birleşiminin nasıl değiştiğini inceleyen bir soru çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 63Question →

$K = \{2, 4, 6\}$ kümesi üzerinde tanımlı $f: K \rightarrow K$ fonksiyonunun Venn şeması ile gösterimi aşağıda verilmiştir. Bu şemada her eleman oklarla kendisiyle eşleşmiştir. Buna göre, bu $f$ fonksiyonunun türü aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit Fonksiyon

Birim Fonksiyon

İçine Fonksiyon

Ters Fonksiyon

Parçalı Fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Birim Fonksiyon

Answer

Verilen eşleşme kuralına göre her eleman kendisine gittiği için bu bir birim fonksiyondur.

Birim fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde yine kendisine eşleyen fonksiyondur. Şemada görüldüğü üzere 2 sayısı 2'ye, 4 sayısı 4'e ve 6 sayısı 6'ya gitmektedir. Bu durum

f(x) = x

kuralına karşılık geldiği için doğru cevap birim fonksiyondur.

Step-by-Step Solution

1

Şemadaki okları takip ederek her elemanın hangi sayıya gittiğini belirle.

f(2) = 2

,

f(4) = 4

ve

f(6) = 6

olduğu görülür.

Fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değerlerini nasıl değiştirdiğini anlamak için.

2

Eşleşme kuralını (fonksiyonun genel biçimini) tespit et.

f(x) = x

kuralı geçerlidir.

Her elemanın kendisiyle eşleştiğini matematiksel olarak ifade etmek için.

3

Bu kurala uyan fonksiyon çeşidinin adını hatırla.

Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyon 'Birim Fonksiyon'dur.

Kavramsal tanımı kullanarak doğru türü belirlemek için.

Key Concept

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon Tanımı

Hints

1

Şemada sol taraftaki sayıların her birinin sağ tarafta hangi sayıya gittiğini tek tek takip edin.

2

Okların uçlarına baktığınızda, bir sayının (örneğin 4'ün) yine aynı sayıya mı gittiğini yoksa başka bir sayıya mı yöneldiğini kontrol edin.

3

Her elemanın 'kendisiyle' eşleştiği fonksiyonlara matematikte ne isim verildiğini düşünün (İpucu: 'Ne girerse o çıkar' kuralı).

Practice More

Eğer şemadaki tüm oklar sadece 4 sayısına gitseydi, bu fonksiyonun türü ne olurdu? (Cevap: Sabit Fonksiyon)

Alternative Method

f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6

eşitliklerini yazdıktan sonra fonksiyonun kuralının

f(x)=x

olduğunu görebiliriz. Bu kural birim fonksiyonun temel tanımıdır.

Estimated Time:45s

Question 64Question →

Bir kalkınma ajansına sunulan projeler; "İstihdam", "Verimlilik" ve "İnovasyon" olmak üzere üç farklı kriter açısından değerlendirilmiştir. Değerlendirme raporuna göre aşağıdakiler bilinmektedir:

* Toplam $65$ proje onaylanmış olup, her proje en az bir kriteri sağlamaktadır.
* Sadece tek bir kriteri sağlayan projelerin sayıları birbirine eşittir.
* Sadece iki kriteri sağlayan projelerin sayıları birbirine eşittir.
* Her üç kriteri de sağlayan proje sayısı, sadece iki kriteri sağlayan herhangi bir grubun sayısının üçte biridir.
* En az iki kriteri sağlayan toplam proje sayısı $20$ 'dir.

Buna göre, "Verimlilik" kriterini sağlayan toplam proje sayısı kaçtır?

21

23

27

29

33

Show answer & explanation

Answer: 29

Answer

Verimlilik kriterini sağlayan toplam 29 proje vardır.

Verimlilik kriterini sağlayan proje sayısı, bu kümeye ait tüm alt bölgelerin toplamıdır: Sadece Verimlilik (

x

), Verimlilik ve İstihdam (

y

), Verimlilik ve İnovasyon (

y

) ve her üç kriter (

z

). Hesaplamalar sonucu

x=15, y=6, z=2

bulunduğundan, toplam

15 + 6 + 6 + 2 = 29

olur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımla.

Sadece 1 kriter sağlayanlar:

x

(her biri için eşit). Sadece 2 kriter sağlayanlar:

y

(her biri için eşit). Her 3 kriteri sağlayanlar:

z

.

Sözel ifadeyi matematiksel değişkenlere dökmek çözümü kolaylaştırır.

2

"En az iki kriter" ve oran bilgisini kullanarak

y

ve

z

değerlerini bul.

Verilen oran

y = 3z

. Denklem:

3y + z = 20 \Rightarrow 3(3z) + z = 20 \Rightarrow 10z = 20 \Rightarrow z = 2

. Buradan

y = 6

bulunur.

Üçlü kesişim ve ikili kesişimlerin toplamı 20 olarak verilmiştir.

3

Toplam proje sayısını kullanarak

x

değerini bul.

Toplam =

3x + 3y + z = 65

.

3x + 18 + 2 = 65 \Rightarrow 3x = 45 \Rightarrow x = 15

.

Evrensel küme (birleşim) formülü ile tek bilinmeyen kalan

x

hesaplanır.

4

"Verimlilik" kümesinin eleman sayısını hesapla.

Verimlilik (V) = (Sadece V) + (Sadece V∩İ) + (Sadece V∩E) + (Her üçü). V =

x + y + y + z = 15 + 6 + 6 + 2 = 29

.

Bir kümenin toplam eleman sayısı, o kümeyi oluşturan tüm ayrık bölgelerin toplamıdır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Kesişim Problemleri

Hints

1

Projeleri üç kesişen küme olarak düşünün (Venn şeması). Kümelerin sadece kendine ait kısımlarına

x

, sadece iki kümenin kesiştiği kısımlara

y

ve üçünün kesişimine

z

diyerek denklemleri kurun.

2

'En az iki kriteri sağlayan' demek, sadece iki kriteri sağlayanlar (

3y

) ile üçünü de sağlayanların (

z

) toplamı demektir (

3y + z = 20

).

3

y = 3z

eşitliğini kullanarak önce

z

'yi bulun. Sonra toplam sayı formülü (

3x + 3y + z = 65

) ile

x

'i elde edin. Verimlilik kümesi

x + 2y + z

toplamıdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, 'en çok bir dili bilenler' veya 'en az bir dersi geçenler' kalıplarını kullanan sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 65Question →

Bir site yönetimi toplantısında, 'Güvenlik Sistemi' ve 'Peyzaj Düzenlemesi' olmak üzere iki farklı proje oylamaya sunulmuştur. Toplantıya katılan toplam $55$ kat malikinin oy kullandığı bu oylama ile ilgili şu bilgiler verilmiştir:

* Sadece Güvenlik Sistemi projesine oy verenlerin sayısı, sadece Peyzaj Düzenlemesi projesine oy verenlerin sayısının $3$ katıdır.
* Her iki projeye de oy veren $8$ kişi vardır.
* Hiçbir projeye oy vermeyen (çekimser) $7$ kişi bulunmaktadır.

Buna göre, Güvenlik Sistemi projesine oy veren toplam kişi sayısı kaçtır?

30

38

10

48

18

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Güvenlik Sistemi projesine oy veren toplam kişi sayısı 38'dir.

Doğru cevap, sadece Güvenlik sistemine oy verenler (

3x = 30

) ile her iki projeye de oy verenlerin (

8

) toplamı olan

38

'dir. Denklem

4x + 15 = 55

şeklinde kurulup çözüldüğünde

x=10

bulunur ve yerine konulur.

Step-by-Step Solution

1

Kümeleri ve verilenleri tanımla.

Evrensel küme (toplam kişi)

s(E) = 55

. İki küme: Güvenlik (

G

) ve Peyzaj (

P

). Kesişim

s(G \cap P) = 8

. Hiçbirine oy vermeyenler

s((G \cup P)') = 7

.

Problemi matematiksel sembollerle ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

Bilinmeyenleri değişken cinsinden ifade et.

Sadece Peyzaj'a oy verenlere

x

dersek, sadece Güvenlik'e oy verenler

3x

olur.

Verilen kat ilişkisini denkleme dökmek için.

3

Toplam kişi sayısı üzerinden denklemi kur.

(\text{Sadece } G) + (\text{Sadece } P) + (\text{Her ikisi}) + (\text{Hiçbiri}) = \text{Toplam}

3x + x + 8 + 7 = 55

Evrensel küme, tüm alt bölgelerin toplamına eşittir.

4

Denklemi çözerek

x

değerini bul.

4x + 15 = 55 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10

.

Bilinmeyen

x

değerini bulmak için işlem yapılır.

5

İstenen kümenin eleman sayısını hesapla.

Güvenlik projesine oy verenler =

(\text{Sadece } G) + (\text{Her ikisi}) = 3x + 8

.

3(10) + 8 = 30 + 8 = 38

.

Soru 'Sadece Güvenlik'i değil, 'Güvenlik' kümesinin tamamını sormaktadır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Denklem Kurma

Hints

1

Problemi çözmek için bir Venn şeması çizmeyi deneyin. İki kesişen küme ve dışarıda kalan bir bölge olacaktır.

2

Sadece Peyzaj'a oy verenlere

x

derseniz, sadece Güvenlik'e oy verenler

3x

olur. Tüm bölgelerin toplamı 55'e eşittir.

3

Denklem:

3x + x + 8 + 7 = 55

. Buradan

x

'i bulduktan sonra, Güvenlik kümesi için

3x + 8

işlemini yapmayı unutmayın.

Alternative Method

Toplam kişi sayısından (

55

), hiçbirine oy vermeyenleri (

7

) çıkarırsanız birleşim kümesini (

48

) bulursunuz.

s(G \cup P) = s(G) + s(P) - s(G \cap P)

formülünde

s(G) = 3x+8

ve

s(P)=x+8

yazarak da çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 66Question →

\mathbb{Z}

tam sayılar kümesi olmak üzere,

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 < 17\}

kümeleri tanımlanmıştır.

Buna göre, $(A \times B) \cup (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

63

90

100

126

144

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

90

Soruda verilen

(A \times B) \cup (B \times A)

kümesinin eleman sayısını bulmak için

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

formülü kullanılır. Burada

X = A \times B

ve

Y = B \times A

'dır.

Öncelikle kümelerin eleman sayıları bulunur:

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \Rightarrow s(A)=7

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} \Rightarrow s(B)=9

Buradan

s(A \times B) = 7 \cdot 9 = 63

ve

s(B \times A) = 9 \cdot 7 = 63

bulunur.

Önemli nokta kesişim kümesidir:

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

.

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

olup

s(A \cap B) = 6

'dır.
Kesişim kümesinin eleman sayısı:

6 \cdot 6 = 36

.

Sonuç:

63 + 63 - 36 = 90

.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını belirle

|x - 2| \le 3 \Rightarrow -3 \le x - 2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5

.

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

, yani

s(A) = 7

.

Mutlak değer eşitsizliğini çözerek tam sayı elemanları listelemek gerekir.

2

B kümesinin elemanlarını belirle

x^2 < 17

koşulunu sağlayan tam sayılar:

-\sqrt{17} < x < \sqrt{17}

(

\approx 4.12

).

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

, yani

s(B) = 9

.

Karesi 17'den küçük olan tam sayıları bulmak gerekir.

3

Kesişim kümesini (

A \cap B

) ve eleman sayısını bul

Ortak elemanlar:

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

.

s(A \cap B) = 6

.

Birleşim formülünde kullanılacak olan kesişim değerini bulmak için.

4

Birleşim formülünü uygula

s((A \times B) \cup (B \times A)) = s(A \times B) + s(B \times A) - s((A \times B) \cap (B \times A))

. Bu da

s(A)s(B) + s(B)s(A) - [s(A \cap B)]^2

eşittir.

63 + 63 - 36 = 126 - 36 = 90

.

Kartezyen çarpımın birleşim eleman sayısını hesaplamak için dahil etme-hariç tutma prensibi kullanılır.

Key Concept

Kartezyen Çarpım ve Kümelerde Birleşim Prensibi

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını açıkça listeleyin ve kaçar elemanlı olduklarını (s(A) ve s(B)) bulun.

2

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülünü hatırlayın:

s(X \cup Y) = s(X) + s(Y) - s(X \cap Y)

. Burada X ve Y kartezyen çarpım kümeleridir.

3

(A \times B) \cap (B \times A)

kümesinin eleman sayısı,

(A \cap B)

kümesinin eleman sayısının karesine eşittir.

Estimated Time:2m 30s

Question 67Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi örten (surjective) bir fonksiyon olmasına rağmen birebir (injective) değildir?

f(x) = 2x + 1

f(x) = \begin{cases} x+1 & x \ge 0 \\ x & x < 0 \end{cases}

f(x) = 1 - x

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift ise} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek ise} \end{cases}

f(x) = x^3

Show answer & explanation

Answer: $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift ise} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek ise} \end{cases}$

Answer

Parçalı olarak tanımlanan

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek} \end{cases}

fonksiyonu.

Verilen parçalı fonksiyon, tüm tam sayıları (örtenlik) çift sayılar dalı üzerinden elde edebilir (

f(2y)=y

). Ancak, tek ve çift sayıların görüntüleri çakışabildiği için (örneğin

f(0)=0

ve

f(1)=0

) birebir değildir. Bu durum, sonsuz kümelerde bir fonksiyonun örten olup birebir olmamasının klasik bir örneğidir.

Step-by-Step Solution

1

Örtenlik testi: Değer kümesindeki (

\\mathbb{Z}

) her elemanın en az bir kez görüntülenip görüntülenmediğini kontrol et.

D seçeneğinde, her

y \\in \\mathbb{Z}

sayısı için

x = 2y

(çift sayı) seçilirse

f(2y) = 2y/2 = y

olur. Yani tüm tam sayılar elde edilebilir, fonksiyon örtendir.

Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

2

Birebirlik testi: Tanım kümesindeki farklı elemanların aynı görüntüye gidip gitmediğini kontrol et.

D seçeneğinde,

f(0) = 0/2 = 0

ve

f(1) = (1-1)/2 = 0

bulunur.

0 \\neq 1

olmasına rağmen

f(0) = f(1)

olduğundan fonksiyon birebir değildir.

Farklı girdiler aynı çıktıyı veriyorsa fonksiyon birebir olamaz.

3

Diğer seçenekleri ele.

f(x)=2x+1

(Tek sayıları örter, çiftleri örtmez),

f(x)=1-x

(Hem birebir hem örtendir),

f(x)=x^3

(Sadece küpleri örter), B seçeneği (0 değerini almaz).

Soru bizden 'Örten OLSUN ama Birebir OLMASIN' şartını sağlayan tek fonksiyonu istemektedir.

Key Concept

Örten fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın eşleştiği fonksiyondur. Birebir fonksiyon ise her elemanın farklı bir görüntüye sahip olduğu fonksiyondur.

\\mathbb{Z}

gibi sonsuz kümelerde bu iki özellik bağımsız olabilir.

Hints

1

Fonksiyonun örten olması için

\mathbb{Z}

'deki HER sayının sonuç olarak çıkabilmesi gerekir.

2

Birebir olmaması için, farklı iki

x

değerinin (örneğin 0 ve 1) aynı sonucu vermesi gerekir.

3

Parçalı fonksiyonda çift sayıları (

2k

) kullanarak tüm tam sayıları elde edip edemeyeceğinizi kontrol edin.

Estimated Time:2m 0s

Question 68Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir

f

fonksiyonu için,

f(x) + 3f(-x) = 2x + 4

eșitliği her

x

gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

-4

-1

1

2

3

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

f(2) değeri -1'dir.

Verilen fonksiyonel eşitlikte

f(2)

değerini bulmak için, denklemde

x

yerine hem

2

hem de

-2

yazılarak iki bilinmeyenli (

f(2)

ve

f(-2)

) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

x

yerine

2

yazılarak ilk denklem oluşturulur.

f(2) + 3f(-2) = 2(2) + 4 \Rightarrow f(2) + 3f(-2) = 8

İstenen değeri içeren bir denklem elde etmek için.

2

f(-2)

terimini bulmak için

x

yerine

-2

yazılarak ikinci denklem oluşturulur.

f(-2) + 3f(2) = 2(-2) + 4 \Rightarrow f(-2) + 3f(2) = 0

Bilinmeyen

f(-2)

değerini

f(2)

cinsinden ifade etmek için.

3

İkinci denklemden

f(-2)

çekilip birinci denklemde yerine yazılır.

f(-2) = -3f(2)

olduğundan;

f(2) + 3(-3f(2)) = 8

İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene düşürmek için.

4

Elde edilen denklem çözülerek

f(2)

bulunur.

f(2) - 9f(2) = 8 \Rightarrow -8f(2) = 8 \Rightarrow f(2) = -1

Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda değişken değiştirme ve denklem sistemi kurma.

Hints

1

Verilen eşitlikte

x

yerine

2

yazarak

f(2)

ve

f(-2)

içeren bir denklem elde ediniz.

2

Sadece

x=2

yazmak yetmeyecektir; bilinmeyen

f(-2)

teriminden kurtulmak için

x

yerine

-2

de yazarak ikinci bir denklem oluşturunuz.

3

Elde ettiğiniz iki denklemi (

f(2) + 3f(-2) = 8

ve

f(-2) + 3f(2) = 0

) taraf tarafa yok etme veya yerine koyma metoduyla çözünüz.

Practice More

f(x) + 2f(1/x) = 3x

türündeki rasyonel değişkenli soruları inceleyiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 69Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde $A$ , $B$ ve $C$ kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 2| \le 3\}

B = \{y \in \mathbb{Z} : y^2 < 17\}

C = \{z \in \mathbb{Z} : z \text{ pozitif tek sayıdır}\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times C)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

8

10

12

18

24

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12

İfade

(A \cap B) \times (B \cap C)

şeklinde düzenlenir. A ve B'nin kesişimi

\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(6 eleman), B ve C'nin kesişimi (B'deki pozitif tekler)

\{1, 3\}

(2 eleman) şeklindedir. Sonuç

6 \times 2 = 12

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İstenen ifadeyi kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliği ile sadeleştir.

(A \times B) \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (B \cap C)

Bu özdeşlik sayesinde kümelerin tamamını yazmak yerine sadece gerekli kesişim kümelerini bulmak yeterlidir.

2

A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle yaz.

A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}

(Çünkü

-3 \le x-2 \le 3 \Rightarrow -1 \le x \le 5

) ve

B = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}

(Çünkü

y^2 < 17 \Rightarrow -4 \le y \le 4

).

Eşitsizlikleri sağlayan tam sayıları belirlemek için.

3

A \cap B

kümesini ve eleman sayısını bul.

A \cap B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}

. Eleman sayısı

s(A \cap B) = 6

.

Her iki kümede ortak olan elemanlar belirlenir.

4

B \cap C

kümesini ve eleman sayısını bul.

B

kümesindeki 'pozitif tek sayılar' (C kümesi tanımı):

\{1, 3\}

. Eleman sayısı

s(B \cap C) = 2

.

B kümesinin elemanları içinden C kümesinin şartını sağlayanlar seçilir.

5

Sonucu hesapla.

s((A \cap B) \times (B \cap C)) = s(A \cap B) \cdot s(B \cap C) = 6 \cdot 2 = 12

.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, bileşen kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen Çarpımın Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği

Estimated Time:2m 30s

Question 70Question →

Bir bakanlıkta görev yapan ve hizmet içi eğitim programına katılan 45 uzmanın her biri, 'Stratejik Planlama' veya 'Risk Yönetimi' eğitimlerinden en az birini almıştır. Bu uzmanlardan 29'u Stratejik Planlama, 25'i ise Risk Yönetimi eğitimi aldığına göre, her iki eğitimi de alan uzman sayısı kaçtır?

9

16

20

45

54

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Her iki eğitimi de alan uzman sayısı 9'dur.

Soruda, her uzmanın en az bir eğitim aldığı belirtildiği için evrensel küme ile birleşim kümesi aynıdır. Kümeler formülüne göre: Birleşim = (A Kümesi) + (B Kümesi) - (Kesişim). Buradan hareketle; 45 = 29 + 25 - (Her ikisi). 45 = 54 - (Her ikisi) işleminden sonuç 9 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilenleri belirle

s(S) = 29 (Stratejik Planlama), s(R) = 25 (Risk Yönetimi), s(S ∪ R) = 45 (Toplam Mevcut)

Soruda verilen sayısal değerleri küme notasyonu ile ifade etmek çözümü kolaylaştırır.

2

Kümelerin birleşim formülünü kullan

s(S ∪ R) = s(S) + s(R) - s(S ∩ R)

Herkes en az bir eğitim aldığı için birleşim kümesi toplam mevcuda eşittir.

3

Değerleri formülde yerine koy ve kesişimi (s(S ∩ R)) bul

45 = 29 + 25 - x ⇒ 45 = 54 - x ⇒ x = 9

İki kümenin eleman sayıları toplamından birleşim (toplam grup) çıkarıldığında kesişim bulunur.

Key Concept

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin çıkarılmasıyla bulunur: s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B).

Hints

1

Gruptaki herkes en az bir eğitim almıştır, yani boşta kalan kimse yoktur.

2

Stratejik Planlama alanlar (29) ile Risk Yönetimi alanları (25) topladığınızda, toplam uzman sayısını (45) aşıyor musunuz?

3

Aşan miktar, her iki eğitimi de alan (iki kere sayılan) kişilerdir: (29 + 25) - 45 işlemini yapın.

Practice More

Benzer mantıkla, 'en az bir dil bilenler' yerine 'dil bilmeyenlerin de olduğu' bir soru çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek; Sadece Stratejik Planlama (29-x), Sadece Risk Yönetimi (25-x) ve Her ikisi (x) bölgelerinin toplamını 45'e eşitleyebilirsiniz: (29-x) + x + (25-x) = 45 ⇒ 54 - x = 45 ⇒ x = 9.

Estimated Time:45s

Question 71Question →

E

evrensel kümesinin boştan farklı

A

ve

B

alt kümeleri için,

[(A \setminus B) \cup (B \setminus A)]' \cap A

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A \cap B

A \setminus B

A

B

\emptyset

Show answer & explanation

Answer: A \cap B

Answer

İfadenin en sade hali

A \cap B

kümesidir.

Verilen ifade adım adım incelendiğinde; parantez içi

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

simetrik farkı belirtir. Bu bölge, sadece A'da ve sadece B'de olan elemanları kapsar. Bu ifadenin tümleyeni (

'

), kesişim bölgesi (

A \cap B

) ve kümelerin dışındaki bölgeyi (

(A \cup B)'

) verir. Son adımda bu bölgenin

A

ile kesişimi alındığında, evrensel kümenin dışı elenir ve geriye sadece

A

ile ortak olan kısım, yani

A \cap B

kalır.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki ifadeyi (

X = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

) analiz et.

Bu ifade,

A

veya

B

'de olup her ikisinde birden olmayan elemanları (Simetrik Fark) temsil eder.

Kümeler teorisinde fark işleminin tanımı gereği

A \setminus B

sadece A'da olanları,

B \setminus A

sadece B'de olanları verir.

2

Bu ifadenin tümleyenini (

X'

) düşün.

X'

, simetrik farkın dışındaki bölgedir. Yani hem

A

ve

B

'nin kesişimi (

A \cap B

) hem de her iki kümenin dışı (

(A \cup B)'

) bu bölgededir.

Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan tüm elemanları kapsar.

3

Bulunan bölgeyi

A

kümesi ile kesiştir (

\cap A

).

Simetrik farkın dışında kalan elemanlardan sadece

A

kümesinin içinde olanlar seçilmelidir.

(A \cup B)'

bölgesi

A

'nın dışındadır. Geriye sadece

A \cap B

kalır.

Kesişim işlemi, her iki kümede ortak olan elemanları verir.

A

'nın içinde olup simetrik farkta olmayan tek bölge kesişim bölgesidir.

Key Concept

Simetrik farkın tümleyeni, iki kümenin kesişimi ile iki kümenin birleşiminin tümleyeninin birleşimidir.

Hints

1

İfadeyi Venn şeması üzerinde bölgeleri tarayarak düşünmeyi deneyin.

2

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

ifadesi, 'Simetrik Fark' olarak bilinir ve kesişim hariç birleşimdeki tüm elemanları ifade eder.

3

Simetrik farkın tümleyeni, kesişim bölgesi (

A \cap B

) ile dış bölgenin birleşimidir. Bunu

A

ile kesiştirirseniz geriye ne kalır?

Practice More

Benzer mantıkla

[(A \cup B) \setminus (A \cap B)]' \cap B

ifadesini sadeleştirmeyi deneyin.

Alternative Method

De Morgan Kuralları ile cebirsel çözüm: Fark işlemini kesişime çevirin (

A \setminus B = A \cap B'

). İfade

[(A \cap B') \cup (B \cap A')]' \cap A

olur. De Morgan uygulandığında

(A' \cup B) \cap (B' \cup A) \cap A

elde edilir.

(B' \cup A) \cap A = A

olduğundan (yutma özelliği), geriye

(A' \cup B) \cap A

kalır. Dağılma özelliği ile

(A' \cap A) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B

bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 72Question →

$A = \{1, 2, 3\}$ ve $B = \{k, l, m, n\}$ kümeleri verilmiştir. Aşağıdaki şemada $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonunun eşleşmeleri gösterilmiştir.

Buna göre, şemada özellikleri belirtilen $f$ fonksiyonunun çeşidi aşağıdakilerden hangisidir?

Sabit Fonksiyon

Birim Fonksiyon

Örten Fonksiyon

Birebir Fonksiyon

Birebir ve Örten Fonksiyon

Show answer & explanation

Answer: Birebir Fonksiyon

Answer

Verilen şemada her eleman farklı bir görüntüye gittiği için fonksiyon Birebir Fonksiyondur.

Doğru cevap olan seçenek, tanım kümesindeki her elemanın (1, 2, 3) değer kümesindeki farklı bir elemanla (m, k, n) eşleştiğini doğru bir şekilde ifade eder. Bu durum birebir fonksiyonun temel tanımıdır.

Step-by-Step Solution

1

Eşleşmeleri listeleyelim.

f(1)=m

,

f(2)=k

,

f(3)=n

Fonksiyonun davranışını net bir şekilde görmek için şemadaki okları takip ederiz.

2

Birebirliği kontrol edelim.

m \neq k \neq n

Tanım kümesindeki her eleman (1, 2, 3) farklı bir görüntüye (m, k, n) gittiği için fonksiyon birebirdir.

3

Örtenliği kontrol edelim.

B

kümesindeki '

l

' elemanı açıkta kalmıştır.

Değer kümesinde (B) eşleşmeyen en az bir eleman bulunduğu için fonksiyon örten değildir (içine fonksiyondur).

4

Sonucu belirleyelim.

Birebir Fonksiyon

Sadece birebir olma şartı sağlandığı için fonksiyon çeşidi budur.

Key Concept

Birebir Fonksiyon Tanımı: Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün farklı olmasıdır.

Hints

1

Tanım kümesindeki her eleman farklı bir elemana mı gidiyor yoksa bazıları aynı elemanla mı eşleşmiş?

2

Sağdaki B kümesinde açıkta kalan, yani kendisine hiç ok gelmeyen bir eleman var mı?

3

Her eleman farklı bir yere gittiği için 'birebir'dir; ancak 'l' elemanı boşta kaldığı için 'örten' değildir.

Practice More

B kümesinden 'l' elemanını çıkarırsak fonksiyonun çeşidinde ne gibi bir değişiklik olur?

Alternative Method

Fonksiyonu sıralı ikililer kümesi olarak yazarak da görebilirsiniz:

f = \{(1, m), (2, k), (3, n)\}

. İkinci bileşenlerin hepsi birbirinden farklı olduğu için fonksiyon birebirdir.

Estimated Time:45s

Question 73Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde bir $A$ kümesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \ \middle| \ \frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} \in \mathbb{Z} \right\}

Buna göre, $A$ kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

0

42

48

66

72

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

A kümesinin elemanlarının toplamı 48'dir.

Verilen ifade düzenlendiğinde

x + \frac{20}{x-4}

elde edilir. Bu ifadenin tam sayı olması için

(x-4)

, 20'nin bir böleni olmalıdır. 20'nin tam sayı bölenleri:

\{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}

olmak üzere 12 tanedir. Her bir bölen

d

için

x = d + 4

değerini alır. Tüm

x

değerlerinin toplamı:

\sum (d + 4) = \sum d + \sum 4

. Bölenlerin toplamı (

\sum d

) simetrik oldukları için 0'dır. O halde toplam

12 \times 4 = 48

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya cebirsel düzenleme ile basitleştir.

\frac{x^2 - 4x + 20}{x - 4} = \frac{x(x-4) + 20}{x - 4} = x + \frac{20}{x - 4}

İfadenin tam sayı olma koşulunu daha kolay analiz etmek için tam kısım ile kesirli kısmı ayırırız.

2

İfadenin tam sayı olması için

(x - 4)

'ün 20'nin tam sayı böleni olması gerektiğini belirle.

x - 4 \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}

x

bir tam sayı olduğundan,

20 / (x-4)

ifadesinin de tam sayı olması gerekir. Bu da paydanın 20'yi tam bölmesini gerektirir.

3

Her bir bölen değeri için

x

değerlerini bul ve topla.

Toplam

= 48

.

Her bölen (

d

) için

x = d + 4

eşitliği geçerlidir. Bölenlerin toplamı 0 olduğundan, toplam sadece öteleme miktarına bağlıdır.

Key Concept

Tam Sayılarda Bölünebilme ve Küme Tanımı

Hints

1

İfadeyi

x + \frac{A}{x-4}

biçiminde yazmaya çalışın.

2

İfadenin tam sayı olması için paydanın payı tam bölmesi gerekir. 20 sayısının tüm tam sayı bölenlerini (negatifler dahil) düşünün.

3

Her bir bölen değeri

d

için,

x - 4 = d

eşitliğinden

x = d + 4

elde edilir. Bu

x

değerlerinin toplamını bulun.

Practice More

Benzer mantıkla,

\frac{x^2+10}{x+1}

ifadesinin tam sayı olduğu kaç farklı doğal sayı değeri olduğu sorulabilir.

Alternative Method

Bölenleri tek tek bulmak yerine, simetri özelliğini kullanabilirsiniz.

x - 4

ifadesi

d

değerlerini alır. Toplam

x = \sum (d+4) = \sum d + \sum 4

.

\sum d = 0

olduğu için sonuç sadece

n \times 4

olur (

n

: bölen sayısı).

Estimated Time:2m 30s

Question 74Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı

f

ve

g

fonksiyonları için,

f(x^2 - 2x) = 4x^2 - 8x + 3

g(3x + 1) = f(x + 5)

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $g(-2)$ değeri kaçtır?

-1

15

19

35

39

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

19

Önce

g(-2)

için gerekli

x

değeri

3x+1=-2

denkleminden

x=-1

olarak bulunur. Bu değer

g(3x+1)=f(x+5)

eşitliğinde yerine yazıldığında

g(-2)=f(4)

elde edilir.

f

fonksiyonunun kuralı incelendiğinde

f(x^2-2x) = 4(x^2-2x)+3

olduğu görülür, yani

f(u)=4u+3

tür. Buradan

f(4) = 4(4)+3=19

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

g(-2) değerini bulmak için g(3x+1) eşitliğinde parantez içini -2'ye eşitleyerek x değerini bulma.

3x + 1 = -2 ⇒ 3x = -3 ⇒ x = -1

Fonksiyonun verilen girdiye karşılık gelen bağımsız değişken değerini bulmak gerekir.

2

Bulunan x = -1 değerini g fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazarak f cinsinden karşılığını bulma.

g(-2) = f(-1 + 5) = f(4)

g fonksiyonunun çıktısı f fonksiyonuna bağlıdır.

3

f fonksiyonunun kuralını analiz etme. f(x²-2x) = 4x²-8x+3 eşitliğinde sağ tarafı sol taraftaki ifadeye benzetme.

f(x² - 2x) = 4(x² - 2x) + 3 ⇒ f(u) = 4u + 3

Fonksiyonun genel kuralını (f(x) veya f(u)) belirlemek için değişken dönüşümü yapılmalıdır.

4

Elde edilen kuralda istenen f(4) değerini hesaplama.

f(4) = 4(4) + 3 = 16 + 3 = 19

Sonuca ulaşmak için fonksiyon kuralı uygulanır.

Key Concept

Fonksiyonlarda değişken dönüşümü ve bileşke mantığı

Hints

1

Önce g fonksiyonunun içini -2 yapan x değerini bulunuz.

2

Bulduğunuz x değerini g fonksiyonunun eşitliğinde yerine yazarak f fonksiyonunda hangi değerin istendiğini belirleyiniz.

3

f(x^2 - 2x) = 4(x^2 - 2x) + 3

parantezlemesini fark edip

f(u) = 4u + 3

kuralını kullanınız.

Estimated Time:2m 0s

Question 75Question →

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere, $f(x) = 3x - 2$ fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, $f(4)$ değeri kaçtır?

10

14

6

5

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Fonksiyonun

x = 4

için değeri 10'dur.

Fonksiyon kuralı olan

3x - 2

ifadesinde

x

yerine

4

yazıldığında, işlem önceliği kurallarına göre önce

3

ile

4

çarpılır (

12

), ardından

2

çıkarılır ve sonuç

10

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenin yerine koyulması

f(4) = 3(4) - 2

Fonksiyonda bir değer bulmak için, tanım kümesinden verilen sayı (

4

), kuraldaki

x

değişkeninin yerine yazılır.

2

Çarpma işleminin yapılması

12 - 2

Matematiksel işlemlerde öncelik çarpmadadır; bu yüzden önce

3

ile

4

çarpılır.

3

Çıkarma işleminin yapılması

10

Çarpma sonucundan

2

çıkarılarak nihai değere ulaşılır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma

Hints

1

f(4)

değerini bulmak için fonksiyondaki

x

harfi yerine

4

sayısını yazmalısın.

2

3x

ifadesi,

3

ile

x

değerinin çarpılacağı anlamına gelir. Yani önce

3 \times 4

işlemini yapmalısın.

3

İşlem önceliğine dikkat et: Önce çarpma (

3 \times 4

), sonra çıkarma (

- 2

) işlemini yapmalısın.

Practice More

Benzer şekilde

f(x) = 2x + 5

için

f(3)

değerini hesaplayarak pratik yapabilirsin.

Alternative Method

Fonksiyonu bir makine gibi düşünebilirsin: Girdi olarak 4 girdiğinde makine önce onu 3 ile çarpar, sonra sonuçtan 2 çıkarır.

Estimated Time:45s

Question 76Question →

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı $f$ birim fonksiyon ve $g$ sabit fonksiyondur.

A = \mathbb{R} - \{3\}

ve

B = \mathbb{R} - \{2\}

olmak üzere,

h: A \rightarrow B

fonksiyonu,

h(x) = \frac{ax + 4}{x - b}

şeklinde tanımlanmış olup birebir ve örtendir.

f(a+b) + g(2023) = 9

olduğuna göre, $(h \circ g)(5)$ ifadesinin değeri kaçtır?

7

8

10

12

14

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Doğru cevap 12'dir.

Soruda verilen fonksiyon çeşitlerinin özellikleri kullanılarak bilinmeyenler bulunmalıdır.

h(x) = \frac{ax+4}{x-b}

fonksiyonu için tanım kümesinden çıkarılan eleman paydayı sıfır yapan değerdir (

x=b

), değer kümesinden çıkarılan eleman ise

\frac{a}{1}=a

değeridir. Kümeler

\mathbb{R}-\{3\}

ve

\mathbb{R}-\{2\}

verildiğinden

b=3

ve

a=2

bulunur.

f

birim fonksiyon olduğundan

f(a+b)=f(5)=5

olur. Denklemde yerine yazılırsa

5 + g(2023) = 9

işleminden

g(2023)=4

bulunur.

g

sabit fonksiyon olduğundan her

x

için

g(x)=4

'tür. İstenen

(h \circ g)(5)

değeri

h(g(5))=h(4)

olarak hesaplanır.

h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = 12

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

h fonksiyonunun tanım ve değer kümelerinden a ve b sabitlerini belirle.

b=3

ve

a=2

Tanım kümesi

\mathbb{R}-\{3\}

olduğundan paydayı sıfır yapan değer

x=3

'tür (

3-b=0 \Rightarrow b=3

). Değer kümesi

\mathbb{R}-\{2\}

olduğundan yatay asimptot

y=a/1=2

'dir (

a=2

).

2

Verilen denklemde a ve b değerlerini yerine yazarak g fonksiyonunun sabit değerini bul.

g(x) = 4

f(a+b) + g(2023) = 9 \Rightarrow f(5) + g(2023) = 9

. f birim fonksiyon olduğundan

f(5)=5

.

5 + g(2023) = 9 \Rightarrow g(2023)=4

. g sabit fonksiyon olduğundan her x için

g(x)=4

.

3

Bileşke fonksiyon değerini hesapla.

12

(h \circ g)(5) = h(g(5)) = h(4)

. Fonksiyonda yerine koyarsak:

h(4) = \frac{2(4)+4}{4-3} = \frac{12}{1} = 12

.

Key Concept

Rasyonel fonksiyonların birebir ve örten olması için tanım kümesinden paydayı sıfır yapan değerin, değer kümesinden ise asimptot değerinin çıkarılması gerekir.

Hints

1

Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılan sayı paydayı sıfır yapar.

2

Birebir ve örten rasyonel fonksiyonlarda değer kümesinden çıkarılan sayı, x'lerin katsayıları oranıdır (yatay asimptot).

3

a=2 ve b=3 bulduktan sonra, f'nin birim (içi dışı bir) ve g'nin sabit (her zaman aynı değer) olduğunu unutmayınız.

Alternative Method

Tersi alınan fonksiyon yöntemiyle de çözülebilir:

h(x)

birebir ve örten ise tersi de fonksiyondur.

h^{-1}(x)

bulunduğunda tanım kümesindeki kısıtlama a'yı, değer kümesindeki kısıtlama b'yi verir.

Estimated Time:2m 30s

Question 77Question →

Tam sayılar kümesi (

\mathbb{Z}

) üzerinde

A

ve

B

kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A = \{x \in \mathbb{Z} : |x + 1| \le 2\}

B = \{x \in \mathbb{Z} : x^2 + x - 6 < 0\}

Buna göre, $(A \times B) \cap (B \times A)$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

9

12

16

20

25

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

16

İstenilen küme

(A \times B) \cap (B \times A)

ifadesidir. Kartezyen çarpımın dağılma özelliğine göre bu ifade

(A \cap B) \times (B \cap A)

kümesine eşittir. Kümeler değişmeli olduğu için

B \cap A = A \cap B

olur. Dolayısıyla sonuç

s(A \cap B) \times s(A \cap B)

yani

[s(A \cap B)]^2

olacaktır.

A

ve

B

kümelerinin ortak elemanları

\{-2, -1, 0, 1\}

olup 4 tanedir. Cevap

4^2 = 16

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını bulmak için mutlak değer eşitsizliğini çözeriz.

|x + 1| \le 2 \Rightarrow -2 \le x + 1 \le 2 \Rightarrow -3 \le x \le 1

. Tam sayı elemanlar:

\{-3, -2, -1, 0, 1\}

. (

s(A)=5

)

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kuralı uygulanır.

2

B kümesinin elemanlarını bulmak için ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.

x^2 + x - 6 < 0 \Rightarrow (x+3)(x-2) < 0

. Kökler

-3

ve

2

'dir. Eşitsizlik

<0

olduğu için kökler arası alınır:

(-3, 2)

. Tam sayı elemanlar:

\{-2, -1, 0, 1\}

. (

s(B)=4

)

İkinci dereceden eşitsizliklerde işaret tablosu incelenerek çözüm aralığı bulunur.

3

İki kümenin kesişimini (

A \cap B

) buluruz.

A = \{-3, -2, -1, 0, 1\}

ve

B = \{-2, -1, 0, 1\}

olduğu için ortak elemanlar

\{-2, -1, 0, 1\}

'dir.

s(A \cap B) = 4

.

Kartezyen çarpımların kesişimini hesaplamak için önce kümelerin kesişimi gereklidir.

4

Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanarak sonucu hesaplarız.

s[(A \times B) \cap (B \times A)] = s(A \cap B) \times s(B \cap A) = 4 \times 4 = 16

.

Özellik:

(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)

. Burada

C=B

ve

D=A

alınır.

Key Concept

Kartezyen çarpımların kesişimi, kümelerin kesişimlerinin kartezyen çarpımına eşittir:

(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (A \cap B)

.

Hints

1

Önce A ve B kümelerinin elemanlarını liste yöntemiyle açıkça yazınız.

Practice More

İki kümenin birleşiminin kartezyen çarpımı ile ilgili sorular çözülebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 78Question →

Aşağıdaki Venn şemasında $A$ ve $B$ kümeleri gösterilmiş ve iki kümenin kesişim bölgesi taranmıştır.

Buna göre, şemada taralı bölge ile gösterilen $A \cap B$ kümesinin elemanları aşağıdakilerden hangisidir?

\{3, 4\}

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

\{1, 2\}

\{5, 6\}

\{1, 2, 5, 6\}

Show answer & explanation

Answer: $\{3, 4\}$

Answer

\{3, 4\}

Kesişim kümesi (

A \cap B

), hem A hem de B kümesine ait olan ortak elemanların oluşturduğu kümedir. Venn şemasında bu bölge iki dairenin üst üste bindiği (kesiştiği) orta bölgedir. Şemaya bakıldığında bu bölgede

3

ve

4

elemanlarının yer aldığı görülmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasındaki kümeleri ve elemanlarını belirleyin.

A = \{1, 2, 3, 4\}

ve

B = \{3, 4, 5, 6\}

Kümelerin kapsamını anlamak için tüm elemanları listelemek gerekir.

2

Kesişim bölgesindeki (taralı alan) elemanları tespit edin.

A \cap B = \{3, 4\}

Kesişim kümesi (

\cap

), her iki kümenin ortak olduğu bölgedir.

Key Concept

Kümelerde Kesişim İşlemi

Hints

1

Kesişim sembolü olan

\cap

, 've' anlamına gelir; yani hem A'da hem de B'de olanları arıyoruz.

2

Venn şemasında iki dairenin birbirinin üzerine bindiği orta bölgedeki elemanlara odaklanın.

3

Taralı bölgede yazan sayıları listeleyin: Bu sayılar hem A dairesinin hem de B dairesinin içindedir.

Practice More

Aynı kümeler için birleşim (

A \cup B

) kümesinin eleman sayısını bulmayı deneyin.

Estimated Time:45s

Question 79Question →

A ve B boş kümeden farklı iki küme ve

B \subset A

olmak üzere,

K = (A \times A) \setminus (B \times B)

kümesi tanımlanıyor.

K kümesinin eleman sayısının 48 olduğu bilindiğine göre, A kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

6

7

8

13

25

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

A kümesinin eleman sayısı en az 7'dir.

Verilen

K = (A \times A) \setminus (B \times B)

ifadesi,

B \subset A

koşulu altında, eleman sayısının

s(A)^2 - s(B)^2

olduğunu gösterir.

a^2 - b^2 = 48

eşitliğini sağlayan pozitif tam sayılar arandığında,

(a-b)

ve

(a+b)

çarpanlarının aynı paritede (ikisi de çift) olması gerektiği görülür. Bu koşulu sağlayan çarpan çiftleri (2, 24), (4, 12) ve (6, 8)'dir. Bu çiftlerden elde edilen

a

değerleri sırasıyla 13, 8 ve 7'dir. En küçük değer 7'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kartezyen çarpım ve fark kümesi özelliklerini kullanarak denklem kur.

s(A)=a

ve

s(B)=b

olsun.

B \subset A

olduğundan

B \times B \subset A \times A

'dır. Bu durumda

s(K) = s(A \times A) - s(B \times B) = a^2 - b^2 = 48

olur.

Alt küme ilişkisi olduğu için eleman sayıları doğrudan çıkarılabilir.

2

İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayır.

(a-b) \cdot (a+b) = 48

denklemi elde edilir.

Tam sayı çözümlerini bulmak için ifade çarpım durumuna getirilmelidir.

3

Çarpanların tek-çift durumunu incele.

Çarpımları 48 (çift) olan iki sayının toplamı (

2a

) çift olacağından, çarpanların ikisi de çift sayı olmalıdır.

Teklik-çiftlik analizi yapılarak 1x48 ve 3x16 gibi geçersiz durumlar elenir.

4

Olası çarpan çiftlerini (ikisi de çift olan) incele ve

a

değerlerini bul.

Durum 1:

a-b=2, a+b=24 \Rightarrow 2a=26 \Rightarrow a=13

Durum 2:

a-b=4, a+b=12 \Rightarrow 2a=16 \Rightarrow a=8

Durum 3:

a-b=6, a+b=8 \Rightarrow 2a=14 \Rightarrow a=7

Tüm geçerli tamsayı ikililerini belirlemek için.

5

En küçük

a

değerini seç.

Bulunan değerler (13, 8, 7) arasından en küçük olan 7'dir.

Soru en az değeri sormaktadır.

Key Concept

Kartezyen çarpımın eleman sayısı özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin sayı teorisiyle ilişkisi.

Hints

1

B \subset A

olduğu için

B \times B

kümesi

A \times A

kümesinin alt kümesidir. Eleman sayılarını doğrudan çıkarabilirsiniz.

2

s(A)=a

ve

s(B)=b

derseniz, problem

a^2 - b^2 = 48

denklemini sağlayan en küçük

a

sayısını bulmaya dönüşür.

3

48 sayısının çarpanlarını düşünün (örneğin

6 \times 8

).

(a-b)

ve

(a+b)

çarpanlarının toplamı

2a

(çift sayı) olmalıdır, bu yüzden her iki çarpan da çift sayı olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak

(A \times B) \cup (B \times A)

eleman sayısını soran soruları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Tam kare sayıları listeleyerek farkı 48 olanları arayabilirsiniz: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 (49-1=48).

7^2 - 1^2 = 48

eşitliğini hızlıca görebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 80Question →

E

evrensel kümesinin boştan farklı

A

ve

B

alt kümeleri için,

\left[ (A \setminus B)' \cap (A \cap B) \right] \cup (B \setminus A)

ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A

B

A \cap B

B \setminus A

A \cup B

Show answer & explanation

Answer: $B$

Answer

İfadenin en sade hali

B

kümesidir.

Verilen ifadede öncelikle fark işleminin tümleyeni alınır:

(A \setminus B)' = A' \cup B

. Bu ifade ile

(A \cap B)

kesiştirildiğinde,

(A \cap B)

kümesi

A' \cup B

kümesinin bir alt kümesi olduğu için sonuç yine

(A \cap B)

olur. Son adımda,

B

kümesinin

A

ile olan kesişimi

(A \cap B)

ile

B

kümesinin

A

farkı

(B \setminus A)

birleştirilir. Bir kümenin kesişim bölgesi ile fark bölgesinin birleşimi, o kümenin kendisine (

B

) eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Parantez içindeki

(A \setminus B)'

ifadesini De Morgan kuralı ile açalım.

(A \setminus B)' = (A \cap B')' = A' \cup B

Fark işlemi

A \setminus B = A \cap B'

olarak yazılabilir ve ardından tümleyeni alınır.

2

Köşeli parantez içindeki kesişim işlemini dağılma özelliği veya alt küme ilişkisi ile sadeleştirelim:

(A' \cup B) \cap (A \cap B)

.

A \cap B

(A \cap B)

kümesi hem

B

'nin hem de

A

'nın alt kümesidir. Dolayısıyla

(A' \cup B)

kümesinin de alt kümesidir. Bir kümenin, kendisini kapsayan bir küme ile kesişimi kendisine eşittir.

3

Elde edilen sonucu dışarıdaki ifade ile birleştirelim:

(A \cap B) \cup (B \setminus A)

.

B

(A \cap B)

,

B

kümesinin

A

ile ortak olan kısmıdır.

(B \setminus A)

ise

B

kümesinin

A

ile ortak olmayan kısmıdır. Bu iki ayrık parçanın birleşimi

B

kümesinin kendisini verir.

Key Concept

Kümelerde fark işleminin tümleyeni ve dağılma özellikleri kullanılarak yapılan cebirsel sadeleştirme.

Hints

1

Önce parantez içindeki

(A \setminus B)'

ifadesini, fark işlemini kesişime çevirerek

(A \cap B')'

şeklinde düşünün ve De Morgan kuralını uygulayın.

2

Bulduğunuz

(A' \cup B)

ifadesi ile

(A \cap B)

ifadesinin kesişimini düşünün.

(A \cap B)

kümesi,

(A' \cup B)

kümesinin içinde midir?

3

Elde ettiğiniz

(A \cap B)

kümesi ile

(B \setminus A)

kümesini birleştirin.

B

kümesinin

A

ile ortak olan kısmı ve

A

ile ortak olmayan kısmının birleşimi neyi verir?

Practice More

Benzer mantıkla

(A \cup B)' \cap (A' \setminus B)

ifadesinin sadeleştirilmesini içeren sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Venn şeması çizerek her bir bölgeyi numaralandırabilirsiniz.

(A \setminus B)'

bölgesi,

A

fark

B

dışındaki her yerdir. Bu bölge ile

A \cap B

kesiştiğinde sadece kesişim bölgesi kalır. Son olarak bu bölgeye

B \setminus A

eklenirse

B

kümesinin tamamı elde edilir.

Estimated Time:2m 30s

Kümeler ve Fonksiyonlar

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method