Kümeler ve Fonksiyonlar

Question 161Question →

Bir bölge müdürlüğünde görevli $40$ personelin tamamı "Proje Yönetimi" veya "Kriz Yönetimi" eğitimlerinden en az birine katılmıştır. Proje Yönetimi eğitimine katılan personel sayısı $26$ , Kriz Yönetimi eğitimine katılan personel sayısı ise $22$ 'dir. Buna göre, sadece Proje Yönetimi eğitimine katılan personel sayısı, her iki eğitime de katılan personel sayısından kaç fazladır?

8

10

14

18

26

Show answer & explanation

Answer: $10$

Answer

Sadece Proje Yönetimi eğitimine katılan personel sayısı, her iki eğitime de katılan personel sayısından

10

fazladır.

Verilen bilgilere göre birleşim kümesi

40

personelden oluşmaktadır. Kesişim kümesi formülünden (

26 + 22 - 40

) her iki eğitime katılan personel sayısı

8

olarak bulunur. Sadece Proje Yönetimi eğitimine katılanlar ise

26 - 8 = 18

kişidir. Bu iki değer arasındaki fark (

18 - 8

) bize

10

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim kümesini (her iki eğitime katılanları) hesapla.

n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 26 + 22 - 40 = 8

Kümelerde birleşim formülü kullanılarak her iki grupta da yer alan ortak eleman sayısı bulunur.

2

Sadece Proje Yönetimi eğitimine katılan personel sayısını hesapla.

n(A) - n(A \cap B) = 26 - 8 = 18

Toplam Proje Yönetimi grubundan, her iki eğitime de katılanlar çıkarıldığında 'sadece' o eğitimi alanlar kalır.

3

İstenen farkı hesapla.

18 - 8 = 10

Sadece bir eğitime katılanlar ile kesişim kümesi arasındaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Key Concept

İki kümenin birleşim ve kesişim ilişkisi kullanılarak küme problemlerinin modellenmesi.

Hints

1

Birleşim kümesi eleman sayısı formülünü (

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

) hatırlayın.

2

Kesişim kümesini bulduktan sonra bir Venn şeması çizerek 'yalnız' bir eğitimi alanları ayrı bölgelere yerleştirin.

3

Şemada 'Proje Yönetimi' dairesinin kesişim dışında kalan kısmındaki sayı ile kesişimdeki sayıyı birbirinden çıkarın.

Practice More

Eğer personelin bir kısmı hiçbir eğitime katılmasaydı çözümde ne değişirdi? Bu durumu evrensel küme üzerinden inceleyen benzer soruları çözebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 162Question →

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ kümesi veriliyor. Bir kümenin her elemanı diğer bir kümenin de elemanı ise bu kümeye alt küme denir ve $\subseteq$ sembolü ile gösterilir.

Buna göre, $A$ kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunur?

4

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Kümenin alt kümelerinden 12 tanesinde en az bir asal sayı bulunur.

Verilen

A = \{1, 2, 3, 4\}

kümesinin toplam

2^4 = 16

tane alt kümesi vardır. Bu kümelerden içinde hiç asal sayı (

\{2, 3\}

) bulunmayanlar, sadece asal olmayan

\{1, 4\}

elemanlarından oluşan alt kümelerdir. Bunların sayısı

2^2 = 4

'tür. Toplam alt küme sayısından bu 4 küme çıkarıldığında (boş küme dahil), geriye kalan 12 alt kümenin her birinde mutlaka en az bir tane asal sayı (2 veya 3) bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kümenin eleman sayısını belirlemek.

s(A) = 4

Alt küme sayısını hesaplamak için toplam eleman sayısına ihtiyaç vardır.

2

Toplam alt küme sayısını hesaplamak.

2^4 = 16

n

elemanlı bir kümenin alt küme sayısı

2^n

formülü ile bulunur.

3

Kümedeki asal olan ve olmayan elemanları belirlemek.

Asal olanlar:

\{2, 3\}

, Asal olmayanlar:

\{1, 4\}

"En az bir" sorularında tüm durumlardan istenmeyen durumları (asal olmayanları) çıkarmak en kısa yoldur.

4

İçinde hiç asal sayı bulunmayan alt küme sayısını bulmak.

s(\{1, 4\}) = 2

olduğu için

2^2 = 4

Sadece asal olmayan elemanlardan oluşan alt kümeler, içinde asal sayı barındırmaz.

5

Tüm alt kümelerden istenmeyenleri çıkarmak.

16 - 4 = 12

Tüm durumlar - Hiç asal içermeyenler = En az bir asal içerenler.

Key Concept

Alt küme kavramı ve 'en az bir' içeren durumların tüm durumlardan çıkarma yoluyla bulunması.

Hints

1

Bir kümenin alt küme sayısını

2^n

formülü ile hesaplayabileceğini hatırla.

2

Kümedeki asal sayıları (2 ve 3) ve asal olmayan sayıları (1 ve 4) gruplandır.

3

'En az bir' ifadesi geçen sorularda; tüm alt kümelerin sayısından, içinde hiç asal sayı olmayanların sayısını çıkarmak seni doğrudan sonuca götürür.

Practice More

Benzer bir mantıkla, elemanları harflerden oluşan bir kümede 'en az bir sesli harf bulunan' alt küme sayısını hesaplamayı deneyebilirsin.

Alternative Method

İçinde sadece bir asal olan alt kümeleri (

\{2\}

içerenler ve

\{3\}

içerenler) ve her iki asalı da içerenleri (

\{2, 3\}

içerenler) ayrı ayrı hesaplayıp toplayabilirsin. Ancak 'tüm durumlar - istenmeyen durum' yöntemi çok daha pratiktir.

Estimated Time:1m 30s

Question 163Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ ve $B$ kümeleri aşağıda verilmiştir:

A = \{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{20}{x} \in \mathbb{Z} \}

B = \{ x \in \mathbb{Z} \mid |x - 2| \le 4 \}

Buna göre, $A \cup B$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

11

13

14

15

17

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

A ve B kümelerinin birleşim kümesinin eleman sayısı 15'tir.

Doğru cevaba ulaşmak için önce kümelerin elemanları açıkça listelenmelidir. A kümesi, 20 sayısını tam bölen tüm tam sayıları (negatifler dahil) içerir:

\{-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20\}

olmak üzere 12 elemanlıdır. B kümesi ise mutlak değer eşitsizliği

-4 \le x-2 \le 4

şeklinde çözülerek elde edilen aralıktaki tam sayıları kapsar:

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

olmak üzere 9 elemanlıdır. Bu iki kümenin ortak elemanları (kesişim)

\{-2, -1, 1, 2, 4, 5\}

olup 6 tanedir. Birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

uygulandığında

12 + 9 - 6 = 15

sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız.

A = \{-20, -10, -5, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 5, 10, 20\}

(Toplam 12 eleman).

\frac{20}{x}

ifadesinin tam sayı olması için

x

'in 20'nin tam sayı böleni olması gerekir. Negatif bölenler unutulmamalıdır.

2

B kümesinin elemanlarını eşitsizliği çözerek bulunuz.

B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

(Toplam 9 eleman).

|x - 2| \le 4 \Rightarrow -4 \le x - 2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 6

.

3

Kesişim kümesi

A \cap B

'yi belirleyiniz.

A \cap B = \{-2, -1, 1, 2, 4, 5\}

(Toplam 6 eleman).

Her iki kümede ortak olan elemanlar seçilir. 0 sayısı A kümesinde yoktur (tanımsızlık).

4

Birleşim formülünü kullanarak sonucu hesaplayınız.

s(A \cup B) = 12 + 9 - 6 = 15

.

s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)

formülü uygulanır.

Key Concept

Kümelerde Birleşim Formülü ve Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Question 164Question →

Bir halk eğitim merkezinde 'Ebru', 'Hat' ve 'Tezhip' sanatları üzerine kurslar açılmıştır. Kurslara katılanlarla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Her katılımcı bu üç kurstan en az birine kayıtlıdır.
* Ebru kursuna katılanların hiçbiri Tezhip kursuna katılmamıştır.
* Hat kursuna katılan toplam kişi sayısı $24$ 'tür.
* Hat kursuna katılanların $\frac{1}{3}$ 'ü aynı zamanda Ebru kursuna da katılmıştır.
* Hat kursuna katılanların $\frac{1}{4}$ 'ü aynı zamanda Tezhip kursuna da katılmıştır.
* Ebru kursuna katılan toplam kişi sayısı, Hat kursuna katılan toplam kişi sayısına eşittir.
* Sadece Ebru kursuna katılanların sayısı, sadece Tezhip kursuna katılanların sayısına eşittir.

Buna göre, bu kurslara katılan toplam öğrenci sayısı kaçtır?

48

52

56

58

70

Show answer & explanation

Answer: 56

Answer

Kurslara katılan toplam öğrenci sayısı 56'dır.

Doğru cevap 56'dır çünkü verilen oranlar kullanılarak kesişim bölgeleri (8 ve 6 kişi) hesaplanır. Ebru ve Tezhip kümelerinin kesişimi boş küme olduğundan, Hat kümesinden bu iki kesişim çıkarılarak sadece Hat dersi alanlar (10 kişi) bulunur. Toplam Ebru sayısı Hat sayısına eşit (24) olduğu için, sadece Ebru alanlar 16 kişi bulunur. Sadece Tezhip alanlar da buna eşit olduğundan 16 kişidir. Tüm ayrık bölgelerin toplamı (16+16+10+8+6) 56 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sayısal değerleri ve kesişim kümelerini belirle.

s(H) = 24

.

s(H \cap E) = 24 \cdot \frac{1}{3} = 8

.

s(H \cap T) = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6

.

Sorudaki kesir ifadelerini sayıya dökmek için.

2

Ebru ve Tezhip kümelerinin ayrık olduğunu (

E \cap T = \emptyset

) dikkate alarak Hat kümesinin sadece kendine ait eleman sayısını bul.

s(\text{Sadece } H) = s(H) - s(H \cap E) - s(H \cap T) = 24 - 8 - 6 = 10

.

Hat kümesi diğer iki kümeyle kesişmekte ancak Ebru ve Tezhip kesişmediği için üçlü kesişim yoktur.

3

Ebru kümesinin toplam eleman sayısını ve 'Sadece Ebru' sayısını bul.

s(E) = s(H) = 24

olarak verilmiş.

s(E) = s(\text{Sadece } E) + s(H \cap E) \Rightarrow 24 = x + 8 \Rightarrow x = 16

. (Sadece Ebru)

Toplam Ebru sayısı verildiği için bilinmeyen 'Sadece Ebru' sayısı bulunabilir.

4

'Sadece Tezhip' sayısını bul ve toplam katılımcıyı hesapla.

Soruda 'Sadece E' = 'Sadece T' dendiği için,

s(\text{Sadece } T) = 16

. Toplam = (Sadece E) + (Sadece T) + (Sadece H) + (E kesişim H) + (T kesişim H) =

16 + 16 + 10 + 8 + 6 = 56

.

Ayrık bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısını verir.

Key Concept

Ayrık Kümeler ve Kesişim Problemleri

Hints

1

Kümeleri çizerek çalışın. Ebru ve Tezhip kümelerinin kesişiminin boş olduğunu (

E \cap T = \emptyset

) dikkate alarak, Hat kümesini bu iki kümenin ortasına, onlarla kesişecek şekilde yerleştirin.

2

Önce Hat kümesinin kesişim elemanlarını bulun:

24

'ün

1/3

'ü ve

1/4

'ü kaçtır? Bu sayılar

H \cap E

ve

H \cap T

bölgeleridir.

3

s(E) = 24

olduğunu biliyorsunuz ve kesişim (

E \cap H

) 8 kişi. O halde sadece Ebru dersi alanları bulabilirsiniz. Bu sayı sadece Tezhip alanlara da eşittir. Tüm parçaları toplayın.

Alternative Method

Formül yöntemi:

s(E \cup H \cup T) = s(E) + s(H) + s(T) - [s(E \cap H) + s(H \cap T) + s(E \cap T)] + s(E \cap H \cap T)

. Burada

E \cap T = \emptyset

olduğundan son iki terim 0'dır.

s(T)

'yi bularak formülde yerine koyabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 165Question →

Bir kamu kurumunda çalışan $100$ personelin her biri; 'Bilgi Güvenliği', 'KVKK' ve 'Elektronik Belge Yönetimi' eğitimlerinden en az birine katılmıştır. Bu eğitimlere katılım durumlarıyla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece iki eğitime katılan personel sayısı, her üç eğitime de katılan personel sayısının $4$ katıdır.
* Sadece bir eğitime katılan personel sayısı, en az iki eğitime katılan personel sayısından $40$ fazladır.

Buna göre, her üç eğitime de katılan personel sayısı kaçtır?

6

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Her üç eğitime de katılan personel sayısı 6'dır.

Verilen bilgiler doğrultusunda personel grupları

S_1

,

S_2

ve

S_3

olarak ayrıldığında;

S_1 + S_2 + S_3 = 100

ve

S_1 = S_2 + S_3 + 40

denklemleri oluşur. Bu sistemden

S_2 + S_3 = 30

bulunur.

S_2 = 4S_3

oranı yerleştirildiğinde

5S_3 = 30

bağıntısından her üç eğitime katılan personel sayısı 6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerdeki bölge sayılarını temsil eden değişkenleri tanımlayalım.

Sadece bir eğitime katılanlar:

S_1

, sadece iki eğitime katılanlar:

S_2

, her üçüne katılanlar:

S_3

.

Kümelerdeki ayrık bölgeleri gruplandırmak çözüm sürecini basitleştirir.

2

Toplam personel sayısı üzerinden temel denklemi kuralım.

S_1 + S_2 + S_3 = 100

Her personel en az bir eğitime katıldığı için tüm bölgelerin toplamı mevcudu verir.

3

Soruda verilen bağıntıları matematiksel ifadelere dönüştürelim.

S_2 = 4 \cdot S_3

ve

S_1 = (S_2 + S_3) + 40

Metindeki 'sadece iki', 'her üçü' ve 'en az iki' ifadeleri bu değişkenlere karşılık gelir.

4

S_1

ifadesini toplam denkleminde yerine yazarak

S_2 + S_3

toplamını bulalım.

(S_2 + S_3 + 40) + S_2 + S_3 = 100 \Rightarrow 2(S_2 + S_3) = 60 \Rightarrow S_2 + S_3 = 30

İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyene indirgemek için yerine koyma yöntemi uygulanır.

5

S_2 = 4 \cdot S_3

bilgisini kullanarak

S_3

değerini hesaplayalım.

4 \cdot S_3 + S_3 = 30 \Rightarrow 5 \cdot S_3 = 30 \Rightarrow S_3 = 6

Katsayılar toplamı üzerinden nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kümelerde bölge bazlı problem çözümü ve denklemler arası geçiş.

Question 166Question →

$A = \{a, b, c, d\}$ ve $B = \{c, d, e, f\}$ kümeleri veriliyor. Aşağıdaki Venn şemasında $A$ ve $B$ kümelerinin ortak elemanlarının bulunduğu kesişim bölgesi ( $A \cap B$ ) taralı olarak gösterilmiştir. Buna göre, taralı bölgeye karşılık gelen küme aşağıdakilerden hangisidir?

\{c, d\}

\{a, b, c, d, e, f\}

\{a, b\}

\{e, f\}

\{a, b, e, f\}

Show answer & explanation

Answer: $\{c, d\}$

Answer

Taralı bölge her iki kümede de bulunan ortak elemanları temsil eder ve bu küme

\{c, d\}

şeklindedir.

Verilen A ve B kümeleri incelendiğinde, her iki kümede de bulunan elemanların 'c' ve 'd' olduğu görülür. Venn şemasında iki dairenin üst üste bindiği taralı bölge bu ortak elemanları temsil ettiği için doğru cevap bu elemanları içeren kümedir.

Step-by-Step Solution

1

A ve B kümelerinin elemanlarını listeleyiniz.

A = \{a, b, c, d\}

ve

B = \{c, d, e, f\}

Kesişim işlemini yapabilmek için her iki kümenin elemanlarını net bir şekilde görmek gerekir.

2

Her iki kümede de aynı anda bulunan (ortak olan) elemanları belirleyiniz.

c

ve

d

elemanları her iki kümede de mevcuttur.

Kesişim kümesi (

\cap

), tanımı gereği sadece ortak elemanlardan oluşur.

3

Belirlenen ortak elemanları bir küme parantezi içinde yazınız.

A \cap B = \{c, d\}

Sonucu matematiksel olarak küme gösterimiyle ifade etmek için.

Key Concept

Kümelerde kesişim işlemi (

\cap

), iki veya daha fazla kümenin tüm ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.

Hints

1

Kesişim bölgesi, her iki kümenin de içinde kalan ortak alandır.

2

A kümesinin elemanları içinde olup aynı zamanda B kümesinin elemanları içinde de olan harfleri bulun.

3

A = \{a, b, c, d\}

ve

B = \{c, d, e, f\}

listelerine bakarak her ikisinde de yazılı olan harfleri seçin.

Practice More

Aynı kümeler için birleşim (

A \cup B

) kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulmaya çalışın.

Alternative Method

Listeleme yöntemiyle her iki kümede de olan elemanların altını çizebilirsiniz: A={a, b, c, d}, B={c, d, e, f}. Altı çizili olanlar kesişimi verir.

Estimated Time:45s

Question 167Question →

Bir kamu kurumunda düzenlenen "Diksiyon" ve "Hızlı Okuma" seminerlerine katılan toplam $35$ personel bulunmaktadır. Bu personellerden $22$ 'si diksiyon seminerine, $18$ 'i hızlı okuma seminerine katılmıştır. $10$ personel ise her iki seminere de katılmıştır.

Buna göre, bu personellerden kaç tanesi düzenlenen seminerlerden yalnızca birine katılmıştır?

8

10

12

20

30

Show answer & explanation

Answer: $20$

Answer

Düzenlenen seminerlerden yalnızca birine katılan personel sayısı

20

olarak bulunur.

Diksiyon seminerine katılan

22

kişiden

10

'u aynı zamanda hızlı okuma seminerine de katıldığı için, sadece diksiyon seminerine katılan

22 - 10 = 12

kişi vardır. Benzer şekilde, sadece hızlı okuma seminerine katılan

18 - 10 = 8

kişi bulunur. 'Yalnızca birine katılanlar' bu iki grubun toplamı olan

12 + 8 = 20

personelden oluşur.

Step-by-Step Solution

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını belirleyin.

s(D \cap H) = 10

Her iki seminere de katılan personel sayısı, küme şemasının ortak bölgesini oluşturur.

2

Sadece diksiyon seminerine katılanları hesaplayın.

22 - 10 = 12

Diksiyon kümesinin toplamından her iki seminere de katılanları çıkararak sadece bu seminerle ilgilenenleri buluruz.

3

Sadece hızlı okuma seminerine katılanları hesaplayın.

18 - 10 = 8

Hızlı okuma kümesinin toplamından ortak katılanları çıkararak sadece bu seminerle ilgilenenleri buluruz.

4

Yalnızca birine katılanların toplamını bulun.

12 + 8 = 20

Soru bizden her iki kümenin de fark bölgelerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

İki küme probleminde 'yalnızca biri' ifadesi, birleşim kümesinden kesişim kümesinin çıkarılması veya fark kümelerinin toplanması anlamına gelir.

Hints

1

Bir Venn şeması çizerek 'Diksiyon' ve 'Hızlı Okuma' kümelerini oluşturun.

2

Şemanın ortasındaki kesişim bölgesine her iki seminere katılanların sayısını (

10

) yazın.

3

Sadece bir seminere katılanları bulmak için, küme toplamlarından kesişimdeki sayıyı çıkarın ve bu iki farkı toplayın.

Practice More

Verilen toplam

35

personelden kaç tanesinin hiçbir seminere katılmadığını bulmaya çalışarak evrensel küme kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Seminerlerden en az birine katılan toplam kişi sayısını (birleşim)

s(D \cup H) = s(D) + s(H) - s(D \cap H)

formülüyle

22 + 18 - 10 = 30

olarak bulabilirsiniz. Yalnızca birine katılanları bulmak için bu birleşim değerinden her iki seminere de katılanları çıkarmak yeterlidir:

30 - 10 = 20

.

Estimated Time:1m 0s

Question 168Question →

Aşağıdaki Venn şemasında $E$ evrensel kümesi ve bu kümenin bir alt kümesi olan $A$ kümesi gösterilmiştir.

Buna göre, şemada taralı olarak gösterilen bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

A'

(A'nın tümleyeni)

A

(A kümesi)

E

(Evrensel küme)

A \cap A'

Show answer & explanation

Answer: $A'$ (A'nın tümleyeni)

Answer

A'

(A'nın tümleyeni) kümesi

Şemada gösterilen taralı alan,

A

kümesinin sınırları dışında kalan ancak evrensel kümenin (

E

) sınırları içerisinde yer alan bölgedir. Matematiksel olarak bir kümenin dışında kalan elemanların kümesi o kümenin tümleyeni olarak tanımlandığından, bu bölge

A'

(A'nın tümleyeni) ile ifade edilir.

Step-by-Step Solution

1

Venn şemasını ve sınırları analiz edin.

Dikdörtgen çerçeve

E

evrensel kümesini, içindeki daire ise

A

kümesini temsil etmektedir.

Kümeler arasındaki ilişkileri görsel olarak anlamak için temel bileşenleri belirlemek gerekir.

2

Taralı bölgenin konumunu belirleyin.

Taralı bölge

A

dairesinin dışında, ancak

E

dikdörtgeninin içindedir.

Taralı alanın hangi eleman gruplarını dışladığını veya kapsadığını görmek işlemi belirlememizi sağlar.

3

Küme işlemleri tanımıyla eşleştirin.

Bir evrensel kümede, bir

A

kümesine ait olmayan elemanların kümesine

A

'nın tümleyeni denir ve

A'

ile gösterilir.

Görsel veriyi matematiksel terminoloji ile ifade etmek için tanım kullanılır.

Key Concept

Bir kümenin tümleyeni, o kümede bulunmayan ancak evrensel kümede bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir.

Hints

1

Şemadaki dikdörtgenin evrensel küme olduğunu, dairenin ise

A

kümesi olduğunu unutmayın.

2

Taralı bölge

A

dairesinin içinde mi yoksa dışında mı yer alıyor?

3

Bir kümenin dışında kalan elemanlar kümesine 'tümleyen' denir ve bu

A'

sembolü ile gösterilir.

Practice More

İki kümenin kesişiminin dışındaki bölgeyi (A ve B kümeleri varken) gösteren şemaları inceleyerek De Morgan kurallarını keşfedebilirsiniz.

Alternative Method

Şemayı

E \setminus A

(E fark A) işlemi olarak da düşünebilirsiniz. Bir evrensel kümenin alt kümesinden farkı, o alt kümenin tümleyenine eşittir (

E \setminus A = A'

).

Estimated Time:30s

Question 169Question →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu,

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + 1, & x \text{ çift sayı ise} \\ 3x - 1, & x \text{ tek sayı ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre, $(f \circ f)(a) = 11$ eşitliğini sağlayan $a$ değerlerinin toplamı kaçtır?

7

38

45

51

55

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

45

Bileşke fonksiyon sorularında dıştan içe doğru gidilir.

f(f(a))=11

eşitliğinde önce dıştaki fonksiyonu 11 yapan değer aranır. Fonksiyonun parçalı tanımı gereği, sonuç 11 olduğunda girdi ya

y/2+1=11 \Rightarrow y=20

(çift şartını sağlar) ya da

3y-1=11 \Rightarrow y=4

(tek şartını SAĞLAMAZ) olur. Dolayısıyla

f(a)=20

olmalıdır. Benzer şekilde

f(a)=20

için de iki durum incelenir:

a=38

(çift, geçerli) ve

a=7

(tek, geçerli). Bu değerlerin toplamı 45'tir.

Step-by-Step Solution

1

Bileşke fonksiyonun tanımı gereği

(f \circ f)(a) = f(f(a)) = 11

eşitliğini çözmek için önce

f(a) = y

dönüşümü yapılır ve

f(y) = 11

denklemi incelenir.

f(y) = 11

Fonksiyonun tersinden giderek içteki değeri bulmak için.

2

f(y) = 11

olması için iki durumu (tek ve çift) kontrol et.

Durum 1 (Çift):

\frac{y}{2} + 1 = 11 \Rightarrow y = 20

. 20 çift sayı olduğu için GEÇERLİDİR.
Durum 2 (Tek):

3y - 1 = 11 \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4

. 4 tek sayı olmadığı için GEÇERSİZDİR.

Parçalı fonksiyonun tanım aralığı (tek/çift olma şartı) kontrol edilmelidir.

3

Bulunan geçerli

y = 20

değeri için,

f(a) = 20

eşitliğini sağlayan

a

değerlerini bul.

Durum 1 (Çift):

\frac{a}{2} + 1 = 20 \Rightarrow \frac{a}{2} = 19 \Rightarrow a = 38

. (38 çifttir, GEÇERLİ)
Durum 2 (Tek):

3a - 1 = 20 \Rightarrow 3a = 21 \Rightarrow a = 7

. (7 tektir, GEÇERLİ)

İkinci aşamada tekrar fonksiyonun ters görüntülerini bulmak için.

4

Bulunan geçerli

a

değerlerini topla.

38 + 7 = 45

Soruda a değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve ters görüntü (görüntü kümesinden tanım kümesine geçiş) işlemlerinde tanım koşullarının kontrolü.

Hints

1

(f \circ f)(a) = f(f(a))

olduğunu hatırlayın. Önce

f(k) = 11

olacak şekilde

k

değerini bulmaya çalışın.

2

f(k) = 11

denklemini çözerken, fonksiyonun iki farklı kuralı olduğunu unutmayın. Bulduğunuz

k

değerinin o kural için gerekli 'tek' veya 'çift' şartını sağlayıp sağlamadığını mutlaka kontrol edin.

3

İlk adımda

3k-1=11

derseniz

k=4

bulursunuz, ancak kural 'tek sayılar' içindir. 4 tek sayı olmadığı için bu çözümü elemelisiniz. Sadece

k=20

değeri geçerlidir. Şimdi

f(a)=20

için tekrar çözüm yapın.

Alternative Method

Deneme yanılma yerine, ters fonksiyon mantığıyla

f^{-1}(11)

kümesini bulup, bu kümenin elemanları için tekrar ters fonksiyon uygulayabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 170Question →

$A = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$ kümesi veriliyor.

Bu kümenin alt kümelerinin kaç tanesinde, kümenin en küçük elemanı ile en büyük elemanının toplamı 11'dir?

171

340

341

511

682

Show answer & explanation

Answer: 341

Answer

341

Soruda, alt kümenin en küçük (

min

) ve en büyük (

max

) elemanlarının toplamının 11 olması istenmektedir. Kümeler tam sayılardan oluştuğu için

min \neq max

olmak zorundadır (toplam tek sayı). Bu şartı sağlayan

(min, max)

çiftleri şunlardır:

(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)

. Her bir çift için, alt küme bu iki elemanı kesinlikle içermeli, geri kalan elemanlar ise bu iki sayı arasındaki sayılardan seçilmelidir. Aradaki eleman sayısı

n

ise, o durum için

2^n

farklı alt küme yazılabilir. Hesaplanan değerlerin toplamı (

256 + 64 + 16 + 4 + 1

) 341 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Problemin kısıtlarını ve temel mantığını belirle.

Alt kümenin en küçük elemanı

x

, en büyük elemanı

y

olsun.

x + y = 11

ve

x \le y

olmalıdır. Bir kümede elemanlar birbirinden farklı olduğu için

x \neq y

olmalıdır (çünkü

x=y

ise

2x=11

olur,

x=5.5

tam sayı değildir). Bu nedenle küme en az 2 elemanlı olmalıdır.

Soruda verilen toplam şartını sağlayan olası en küçük ve en büyük eleman çiftlerini tespit etmek için.

2

Toplamı 11 olan

(x, y)

çiftlerini ve bu çiftler arasındaki eleman sayısını belirle.

Olası çiftler

(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)

'dır. Her çift için, bu iki sayı arasında kalan elemanlar alt kümeye dahil edilebilir veya edilmeyebilir.

Bir alt kümenin en küçük ve en büyük elemanı belirlendiğinde, diğer elemanlar sadece bu iki değer arasındaki sayılardan seçilebilir.

3

Her durum için oluşabilecek alt küme sayısını hesapla (

2^n

formülü ile).

Durum 1:

\{1, \dots, 10\}

(Arada

2,3,..,9

var, 8 eleman)

\rightarrow 2^8 = 256

durum.
Durum 2:

\{2, \dots, 9\}

(Arada

3,..,8

var, 6 eleman)

\rightarrow 2^6 = 64

durum.
Durum 3:

\{3, \dots, 8\}

(Arada

4,..,7

var, 4 eleman)

\rightarrow 2^4 = 16

durum.
Durum 4:

\{4, \dots, 7\}

(Arada

5,6

var, 2 eleman)

\rightarrow 2^2 = 4

durum.
Durum 5:

\{5, 6\}

(Arada eleman yok, 0 eleman)

\rightarrow 2^0 = 1

durum.

Aradaki her eleman kümede ya vardır ya yoktur, bu da alt küme sayısını verir.

4

Tüm durumları topla.

Toplam =

256 + 64 + 16 + 4 + 1 = 341

.

Ayrık durumların toplam sayısı nihai sonucu verir.

Key Concept

Alt Küme Oluşturma ve Sayma Prensipleri

Hints

1

Alt kümenin en küçük elemanı

x

ve en büyük elemanı

y

olsun.

x + y = 11

eşitliğini sağlayan kaç farklı

(x, y)

tam sayı çifti vardır?

2

Her

(x, y)

çifti için, alt küme mutlaka

x

ve

y

'yi içermelidir. Diğer elemanlar ise

x

ile

y

arasındaki sayılardan seçilmelidir.

3

Çiftler:

(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)

. Her çift için arada kalan eleman sayısını (

n

) bulup

2^n

değerlerini toplayın. Örneğin (5,6) arasında hiç sayı yoktur,

n=0

olur.

Practice More

Benzer mantıkla, en küçük ve en büyük eleman farkının sabit bir sayı olduğu durumlar incelenebilir.

Alternative Method

Toplamı:

\sum_{k=0}^{4} 2^{2k} = 1 + 4 + 16 + 64 + 256 = \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 341

formülü ile seri toplamı olarak da düşünülebilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 171Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu,

f\left(\frac{2x+1}{x-1}\right) = x^2 - ax + 4

eşitliğini sağlamaktadır.

$f(5) = 10$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

-2

-1

1

2

3

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Fonksiyonun verilen değerini sağlamak için

x

yerine 2 yazılmalıdır, bu durumda

a

değeri -1 olarak bulunur.

Fonksiyonun kuralında

f(5)

değerine ulaşmak için öncelikle

\frac{2x+1}{x-1} = 5

denklemi çözülerek

x=2

bulunur. Daha sonra fonksiyonun sağ tarafında

x

yerine 2 yazılarak

4 - 2a + 4 = 10

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

8 - 2a = 10

ve buradan

a = -1

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonun içinin 5'e eşitlenmesi

\frac{2x+1}{x-1} = 5

f(5)

değerini kullanabilmek için argümanın 5 olması gerekir.

2

Rasyonel denklemin çözülmesi

2x + 1 = 5x - 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2

İçler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen

x

değeri belirlenir.

3

x

değerinin fonksiyonun sağ tarafında yerine yazılması

f(5) = 2^2 - a(2) + 4

x=2

yazıldığında fonksiyonun tanımındaki sağ taraf

f(5)

değerine karşılık gelir.

4

Elde edilen ifadenin verilen sonuca eşitlenmesi

8 - 2a = 10

Soruda

f(5) = 10

olarak verilmiştir.

5

a

parametresinin yalnız bırakılması

-2a = 2 \Rightarrow a = -1

Doğrusal denklem çözülerek istenen parametre bulunur.

Key Concept

Fonksiyonlarda değer bulma ve bilinmeyen parametre hesaplama

Hints

1

f(5)

değerini elde etmek için parantez içindeki ifadenin 5 olması gerektiğini fark edin.

2

\frac{2x+1}{x-1} = 5

denkleminden

x

değerini çekin.

3

Bulduğunuz

x

değerini fonksiyonun sağ tarafına yerleştirip 10'a eşitleyerek

a

bilinmeyenini bulun.

Practice More

Benzer şekilde

f(g(x))

yapısındaki bileşke fonksiyonlarda değer bulma sorularını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 172Question →

Bir kamu kurumunun proje biriminde çalışan 54 personelin her biri; Kalkınma (K), Verimlilik (V) ve İstihdam (İ) projelerinden en az birinde görev almaktadır.

Bu personel grubuyla ilgili şu bilgiler verilmiştir:
* Her üç projede de görev alan personel sayısı 6'dır.
* Sadece iki projede görev alanların sayısı, her bir proje çifti için birbirine eşittir ve her üç projede de görev alanların sayısının yarısı kadardır.
* Sadece bir projede görev alanların sayısı, her üç proje grubu için de birbirine eşittir.

Buna göre, Kalkınma (K) projesinde görev alan toplam personel sayısı kaçtır?

13

19

25

28

31

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Kalkınma projesinde görev alan toplam personel sayısı 25'tir.

Kalkınma projesi kümesi (

K

), sadece K'de çalışanları, K ile V'nin kesişimini, K ile İ'nin kesişimini ve her üçünün kesişimini kapsar. Verilenlerden her bölgenin değeri bulunup toplandığında 25 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Kümelerin kesişim ve fark bölgelerindeki eleman sayılarını değişkenlerle ifade et.

Her üç projede çalışan (

K \cap V \cap İ

) = 6. Sadece iki projede çalışanlar her çift için

6/2 = 3

. Sadece bir projede çalışanlar her küme için

x

.

Sorudaki sözel ilişkileri matematiksel ifadelere dökmek için.

2

Toplam personel sayısını kullanarak

x

değerini bulmak için denklem kur.

Total = (3 \times x) + (3 \times 3) + 6 = 54

\Rightarrow 3x + 15 = 54

\Rightarrow 3x = 39

\Rightarrow x = 13

.

Sadece bir projede çalışan personel sayısını bulmak için.

3

Kalkınma (K) kümesinin toplam eleman sayısını hesapla.

s(K) = (\text{Sadece } K) + (\text{Sadece } K \cap V) + (\text{Sadece } K \cap İ) + (\text{Hepsi})

\Rightarrow s(K) = 13 + 3 + 3 + 6 = 25

.

Soruda istenen 'Kalkınma projesinde görev alan toplam kişi sayısı'nı bulmak için.

Key Concept

Kümelerde Birleşim Formülü ve Venn Şeması Yorumlama

Question 173Question →

Bir kamu kurumunun kütüphanesinden yararlanan $50$ personelin her biri "Süreli Yayınlar" veya "Akademik Kitaplar" bölümlerinden en az birini takip etmektedir. Bu personelden Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı, Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısının $2$ katıdır.

Her iki bölümü de takip eden $10$ personel olduğuna göre, sadece Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı, sadece Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısının kaç katıdır?

2

3

4

5

1,5

Show answer & explanation

Answer: $3$

Answer

Sadece Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı, sadece Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısının 3 katıdır.

Verilen bilgilere göre Akademik Kitaplar takip edenlerin sayısı 20, Süreli Yayınlar takip edenlerin sayısı 40 olarak bulunur. Her iki bölümü takip eden 10 kişi çıkarıldığında, sadece Süreli Yayınlar takip eden 30 ve sadece Akademik Kitaplar takip eden 10 kişi kalır. 30 sayısı 10 sayısının 3 katıdır.

Step-by-Step Solution

1

Küme eleman sayıları için değişken tanımlayalım.

Akademik Kitaplar bölümünü takip edenlerin sayısı

s(A) = x

olsun. Bu durumda Süreli Yayınlar bölümünü takip edenlerin sayısı

s(S) = 2x

olur.

Soruda Süreli Yayınlar takipçilerinin, Akademik Kitaplar takipçilerinin 2 katı olduğu belirtilmiştir.

2

Küme birleşim formülünü kullanarak

x

değerini hesaplayalım.

s(S \cup A) = s(S) + s(A) - s(S \cap A)

formülünden;

50 = 2x + x - 10

elde edilir. Buradan

60 = 3x

ve

x = 20

bulunur.

Tüm personelin en az bir bölümü takip ettiği bilindiğinden, toplam kişi sayısı birleşim kümesinin eleman sayısına eşittir.

3

Kümelerin fark bölgelerini (sadece bir bölümü takip edenleri) bulalım.

Süreli Yayınlar toplamda

2x = 40

kişidir. Sadece Süreli Yayınlar:

40 - 10 = 30

kişi. Akademik Kitaplar toplamda

x = 20

kişidir. Sadece Akademik Kitaplar:

20 - 10 = 10

kişi.

"Sadece" ifadesi, kümenin tamamından her iki bölümü de takip eden (kesişim) kişilerin çıkarılmasını gerektirir.

4

İstenen oranı hesaplayalım.

30 / 10 = 3

bulunur.

Sadece Süreli Yayınlar takipçilerinin, sadece Akademik Kitaplar takipçilerine oranı sorulmuştur.

Key Concept

Kümelerde Birleşim ve Fark İşlemleri

Hints

1

Akademik Kitaplar takip edenlere

x

diyerek bir Venn şeması çizmeyi deneyin.

2

Toplam 50 kişiyi bulmak için iki kümenin eleman sayılarını toplayıp ortak olanları (kesişim) bir kez çıkarmanız gerektiğini hatırlayın.

3

2x + x - 10 = 50

denklemini çözerek her bir kümenin eleman sayısını bulun ve ardından 'sadece' kısımlarına odaklanın.

Practice More

Benzer bir problemi, eleman sayılarının katı yerine yüzdesi verildiği (örneğin personelin %60'ı...) durumlar için çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Venn şemasında bölgelere isim vererek (a, b, c) çözebilirsiniz. a: sadece Süreli, b: kesişim, c: sadece Akademik olsun. b = 10 verilmiş. a + b + c = 50 ve a + b = 2(c + b) denklemleriyle a ve c değerlerine doğrudan ulaşabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 174Question →

$A = \{1, 2, \{2\}, \{1, 3\}, \emptyset\}$ kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bu küme için yanlıştır?

\emptyset \in A

\{2\} \in A

\{2\} \subseteq A

\{1, 3\} \subseteq A

s(A) = 5

Show answer & explanation

Answer: $\{1, 3\} \subseteq A$

Answer

{1, 3} ifadesinin bir alt küme olduğu iddiası yanlıştır; çünkü 3 bu kümenin bağımsız bir elemanı değildir.

Doğru cevap olan ifade yanlıştır; çünkü

\{1, 3\}

kümesinin

A

kümesinin bir alt kümesi olabilmesi için

1

ve

3

değerlerinin ayrı ayrı

A

kümesinin elemanı olması gerekir (

1 \in A

ve

3 \in A

). Ancak

3

sayısı

A

kümesinin bir elemanı değildir;

A

kümesinin elemanı olan şey

\{1, 3\}

ikilisinin oluşturduğu bütünsel yapıdır.

Step-by-Step Solution

1

Kümenin elemanlarını tek tek listeleyelim.

Elemanlar:

1

,

2

,

\{2\}

,

\{1, 3\}

,

\emptyset

Küme gösteriminde virgüllerle ayrılan her bir ifade, içindeki parantezlere bakılmaksızın birer elemandır.

2

Eleman sayısını (

s(A)

) belirleyelim.

s(A) = 5

Listelediğimiz nesne sayısı 5'tir.

3

Aitlik (

\in

) durumlarını kontrol edelim.

\emptyset \in A

,

\{2\} \in A

ve

\{1, 3\} \in A

ifadeleri doğrudur.

Bu ifadeler kümenin içinde aynen (olduğu gibi) yer almaktadır.

4

Alt küme (

\subseteq

) durumlarını analiz edelim.

\{2\} \subseteq A

doğrudur, ancak

\{1, 3\} \subseteq A

yanlıştır.

Bir kümenin alt küme olabilmesi için kapsamındaki her bir elemanın ana kümenin de elemanı olması gerekir.

2 \in A

olduğu için

\{2\}

alt kümedir. Fakat

3 \notin A

olduğu için (sadece

\{1, 3\}

bütün olarak elemandır)

\{1, 3\}

ifadesi bir alt küme değil, bir elemandır.

Key Concept

Küme elemanı (∈) ve alt küme (⊆) kavramları arasındaki fark.

Hints

1

Kümedeki virgüllerle ayrılmış her parçayı bağımsız bir eleman olarak düşünün.

2

Bir ifadenin 'eleman' olması için küme içinde aynen görülmesi, 'alt küme' olması için ise parantez içindekilerin kümenin elemanı olması gerekir.

3

Kümede

\{1, 3\}

bütünüyle bir elemandır ancak 3 sayısı tek başına eleman değildir. Bu durum alt küme tanımını nasıl etkiler?

Practice More

İç içe geçmiş kümelerde eleman ve alt küme farkını pekiştirmek için kuvvet kümesi (power set) sorularına göz atabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 175Question →

$A$ ve $B$ boştan farklı iki sonlu kümedir. $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı $K_1$ , $B$ kümesinden $A$ kümesine tanımlanabilen sabit fonksiyon sayısı $K_2$ 'dir.

$s(A) = 4$ ve $3K_1 - K_2 = 11$ olduğuna göre;

$A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlanabilen birebir fonksiyonların kaç tanesinde, $A$ kümesinin belirli bir elemanı $a_1$ , $B$ kümesinin belirli bir elemanı $b_1$ ile eşleşmez?

120

96

72

24

12

Show answer & explanation

Answer: 96

Answer

İstenen koşulu sağlayan 96 adet birebir fonksiyon vardır.

A

kümesinden

B

kümesine tanımlanabilecek tüm birebir fonksiyonların sayısı

P(5,4)=120

'dir.

a_1

'in

b_1

ile eşleştiği (istenmeyen) durumların sayısı ise

P(4,3)=24

'tür. İstenen durum sayısı

120 - 24 = 96

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Sabit fonksiyon sayılarını kullanarak küme eleman sayılarını belirle.

s(A)=4

olduğu için

K_2 = 4

.

3K_1 - 4 = 11 \implies 3K_1 = 15 \implies K_1 = 5

.

A \to B

sabit fonksiyon sayısı

s(B)

olduğundan,

s(B)=5

.

Bir kümeden diğerine tanımlanan sabit fonksiyon sayısı, değer kümesinin eleman sayısına eşittir.

2

Tüm birebir fonksiyonların sayısını hesapla.

P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120

.

s(A)=n, s(B)=m

ise birebir fonksiyon sayısı

P(m, n)

permütasyonudur.

3

İstenmeyen durumun (eşleşme olması) sayısını hesapla.

a_1 \to b_1

eşleşmesi sabitlenirse, kalan 3 eleman kalan 4 elemana eşleşir:

1 \times P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24

.

Belirli bir elemanın eşleştiği durumları tüm durumlardan çıkarmak için önce bu durumların sayısını bulmalıyız.

4

Tüm durumlardan istenmeyen durumu çıkar.

120 - 24 = 96

.

Toplam sayıdan kısıtlamaya uymayan durumlar çıkarılarak sonuç bulunur.

Key Concept

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Kısıtlı Permütasyon

Hints

1

Önce

K_1

ve

K_2

değerlerini bularak

B

kümesinin eleman sayısını tespit edin.

2

Tüm birebir fonksiyonların sayısını permütasyon formülü

P(n, r)

ile hesaplayın.

3

İstenmeyen durum (

a_1

'in

b_1

'e gitmesi) sayısını bulup, toplam sayıdan çıkarın.

Practice More

Birebir ve örten fonksiyon sayısı ile ilgili benzer bir kısıtlama sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Doğrudan sayma yöntemi:

a_1

için

b_1

hariç 4 seçenek vardır.

a_2

için kalan 4 seçenek,

a_3

için kalan 3,

a_4

için kalan 2 seçenek vardır.

4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96

.

Estimated Time:2m 30s

Question 176Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $K$ ve $L$ kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

K = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \le 9\}

L = \{x \in \mathbb{R} : x^2 - 2x - 8 < 0\}

Buna göre, analitik düzlemde $(K \cup L) \times (K \cap L)$ kartezyen çarpımının oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

25

30

35

36

42

Show answer & explanation

Answer: 35

Answer

Kartezyen çarpımın oluşturduğu bölgenin alanı 35 birimkaredir.

Soruda verilen eşitsizlikler çözüldüğünde

K = [-3, 3]

ve

L = (-2, 4)

aralıkları elde edilir. Bu iki kümenin birleşimi

K \cup L = [-3, 4)

olup uzunluğu 7 birim, kesişimi ise

K \cap L = (-2, 3]

olup uzunluğu 5 birimdir. Kartezyen çarpımın alanı bu iki uzunluğun çarpımı olan

7 \times 5 = 35

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

K kümesinin aralığını belirle.

x^2 \le 9 \Rightarrow -3 \le x \le 3

. Yani

K = [-3, 3]

. Uzunluğu:

3 - (-3) = 6

birim.

Karesi 9'dan küçük veya eşit olan sayılar -3 ile 3 arasındadır.

2

L kümesinin aralığını belirle.

x^2 - 2x - 8 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) < 0

. Kökler -2 ve 4'tür. İşaret tablosuna göre negatif olduğu aralık

L = (-2, 4)

. Uzunluğu:

4 - (-2) = 6

birim.

İkinci dereceden eşitsizlik çözülerek aralık bulunur.

3

Birleşim kümesini (

K \cup L

) bul ve uzunluğunu hesapla.

[-3, 3] \cup (-2, 4) = [-3, 4)

. Bu aralığın uzunluğu

4 - (-3) = 7

birimdir.

İki aralığın birleşimi, en küçük alt sınır ile en büyük üst sınır arasındaki tüm sayıları kapsar.

4

Kesişim kümesini (

K \cap L

) bul ve uzunluğunu hesapla.

[-3, 3] \cap (-2, 4) = (-2, 3]

. Bu aralığın uzunluğu

3 - (-2) = 5

birimdir.

İki aralığın kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanlardır (büyük olan alt sınır, küçük olan üst sınır).

5

Kartezyen çarpımın alanını hesapla.

Alan =

(K \cup L)

uzunluğu

\times

(K \cap L)

uzunluğu =

7 \times 5 = 35

birimkare.

Kartezyen çarpımın alanı, bileşen kümelerin uzunluklarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Kartezyen çarpımın geometrik yorumunda, oluşan bölgenin alanı kümelerin uzunluklarının (tek boyutlu ölçülerinin) çarpımıdır.

Hints

1

Önce

K

ve

L

kümelerinin sayı doğrusu üzerindeki aralıklarını belirleyin.

2

K

kümesi

[-3, 3]

aralığıdır.

L

kümesi için

x^2 - 2x - 8 < 0

eşitsizliğinin köklerini bularak aralığı tespit edin.

3

Birleşim kümesinin uzunluğu 7, kesişim kümesinin uzunluğu 5 birimdir. Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır.

Practice More

İki kümenin kartezyen çarpımının grafiğini çizerek köşe noktalarının koordinatlarını bulmayı gerektiren bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu çizerek her iki kümenin kapsadığı bölgeleri renkli kalemle işaretleyip ortak (kesişim) ve toplam (birleşim) uzunlukları görsel olarak ölçebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 177Question →

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı $A$ kümesi, ortak özellik yöntemiyle aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:

A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \mid \frac{4x + 36}{x + 3} \in \mathbb{Z}^+ \right\}

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

8

11

12

14

16

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

A kümesinin 11 elemanı vardır.

Verilen

A

kümesinin elemanlarını bulmak için ifadeyi

4 + \frac{24}{x+3}

şeklinde düzenleriz. Bu ifadenin bir pozitif tam sayı olması için iki koşul gereklidir: (1)

x+3

, 24'ü tam bölmelidir. (2) İfadenin toplam değeri 0'dan büyük olmalıdır. 24'ün 8 adet pozitif böleni bu koşulu her zaman sağlar. 24'ün 8 adet negatif böleninden ise sadece -8, -12 ve -24 değerleri ifadeyi pozitif yapar (örneğin

x+3=-8

için

4 + (-3) = 1

). Toplamda

8+3=11

farklı

x

değeri vardır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ifadeyi polinom bölmesi veya basit kesirlerine ayırma yöntemiyle düzenle.

\frac{4x + 36}{x + 3} = \frac{4(x + 3) + 24}{x + 3} = 4 + \frac{24}{x + 3}

İfadeyi tam sayı ve kesirli kısım olarak ayırmak,

x

değerlerini bulmayı kolaylaştırır.

2

Sonucun

\mathbb{Z}^+

(pozitif tam sayılar) kümesine ait olması için gereken eşitsizliği kur.

4 + \frac{24}{x + 3} > 0 \implies \frac{24}{x + 3} > -4

Soruda sonucun pozitif tam sayı olması istendiği için ifade 0'dan büyük olmalıdır.

3

24

sayısının tam sayı bölenlerini belirle (

k = x+3

diyelim).

Pozitif bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 tane).
Negatif bölenler: -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24 (8 tane).

Kesrin tam sayı olması için paydanın 24'ü tam bölmesi gerekir.

4

Belirlenen bölenlerden eşitsizliği (

\frac{24}{k} > -4

) sağlayanları seç.

Tüm pozitif bölenler (8 tane) sağlar.
Negatif bölenler için kontrol:

k=-1 \to -24

(sağlamaz)

k=-2 \to -12

(sağlamaz)

k=-3 \to -8

(sağlamaz)

k=-4 \to -6

(sağlamaz)

k=-6 \to -4

(sağlamaz, çünkü sonucun

>0

olması için ifadenin en az 1 olması gerekir, burada sonuç 0 olur)

k=-8 \to -3

(SAĞLAR,

4-3=1

)

k=-12 \to -2

(SAĞLAR,

4-2=2

)

k=-24 \to -1

(SAĞLAR,

4-1=3

)
Negatiflerden sağlayanlar: -8, -12, -24 (3 tane).

Negatif bölenlerin hepsi sonucu pozitif yapmaz, sadece -4'ten büyük sonuç verenler geçerlidir.

5

Toplam sağlayan

k

değerlerini say ve sonucu bul.

8 (pozitif) + 3 (negatif) = 11 eleman.

Her bir geçerli

k

değeri için bir

x

tam sayısı (

x=k-3

) bulunduğundan, kümenin eleman sayısı

k

değerlerinin sayısına eşittir.

Key Concept

Bir kümenin ortak özellik yöntemiyle tanımlanması, elemanlarının belirli bir matematiksel koşulu sağlamasına dayanır. Bu tür sorularda hem tam bölünebilme hem de eşitsizlik kısıtlamalarına dikkat edilmelidir.

Hints

1

İfadeyi

4 + \frac{A}{x+3}

biçiminde yazarak tam sayı kısmını ayırın.

2

Paydanın (

x+3

) 24'ü tam bölmesi gerekir. Ancak sonucun 'pozitif tam sayı' (

\mathbb{Z}^+

) olması gerektiğini unutmayın.

3

Negatif bölenleri kontrol ederken dikkatli olun. Örneğin, payda -6 olduğunda sonuç 0 olur ve bu pozitif bir tam sayı değildir.

Practice More

Benzer mantıkla, 'sonucun tam sayı olduğu' ancak x'in doğal sayı olduğu varyasyonları çözebilirsiniz.

Alternative Method

Grafiksel yaklaşım:

y = 4 + 24/k

hiperbolünü düşünerek

y

değerinin 1 veya daha büyük olduğu tam sayı apsisleri sayılabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 178Question →

Bir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında, alt küme sayısı 96 artmaktadır.

Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı kaç farklı alt kümesi vardır?

10

15

16

26

32

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı 16'dır.

Soruda verilen bilgiye göre kümenin eleman sayısını bulup, ardından kombinasyon hesabı yapmamız gerekir.

2^{n+2} - 2^n = 96

denkleminden kümenin eleman sayısının

n=5

olduğu bulunur. 'En çok 2 elemanlı' ifadesi, eleman sayısı 0, 1 veya 2 olan alt kümelerin toplamını belirtir. Bu hesaplama

\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2}

işlemiyle 16 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Kümenin başlangıçtaki eleman sayısına

n

diyelim. Eleman sayısı 2 artırıldığında yeni eleman sayısı

n+2

olur.

Başlangıç alt küme sayısı

2^n

, yeni alt küme sayısı

2^{n+2}

.

Alt küme sayısı formülünün (

2^n

) tanımlanması.

2

Verilen artış miktarını kullanarak denklemi kuralım:

2^{n+2} - 2^n = 96

.

2^n(2^2 - 1) = 96 \Rightarrow 2^n \cdot 3 = 96

.

Üslü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma işlemi.

3

Denklemi çözerek

n

değerini bulalım.

2^n = 32 \Rightarrow n = 5

.

Kümenin eleman sayısının tespiti.

4

n=5

elemanlı bir kümenin 'en çok 2 elemanlı' alt kümelerini hesaplayalım (0, 1 veya 2 elemanlı).

\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 1 + 5 + 10 = 16

.

Kombinasyon formülü ile istenen alt küme sayılarının toplanması.

Key Concept

Alt Küme Sayısı Değişimi ve Kombinasyon

Hints

1

Önce kümenin eleman sayısını (

n

) bulmalısınız. Alt küme sayısı formülünü (

2^n

) kullanarak, eleman sayısı 2 arttığında oluşan fark denklemini kurun.

2

2^{n+2} - 2^n = 96

denklemini çözmek için

2^n

parantezine alın.

3

n=5

bulduktan sonra, 'en çok 2 elemanlı' alt kümeler için

\binom{5}{0}

,

\binom{5}{1}

ve

\binom{5}{2}

değerlerini toplayın.

Practice More

Benzer mantıkla 'en az 3 elemanlı alt küme sayısı' sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Pascal üçgeninin 5. satırını (1, 5, 10, 10, 5, 1) yazarak ilk üç terimi toplayabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 179Question →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ kümesi veriliyor. Bu kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, kümedeki en küçük eleman ile en büyük elemanın toplamı 9 olur?

15

18

21

22

28

Show answer & explanation

Answer: 22

Answer

Koşulu sağlayan toplam 22 farklı alt küme vardır.

4 elemanlı bir kümenin en küçük ve en büyük elemanlarının toplamı sabitlendiğinde, diğer 2 eleman bu iki değer arasında olmak zorundadır. (1,8) için arada 6 sayı, (2,7) için 4 sayı, (3,6) için 2 sayı vardır. Bu aralıklardan 2'şer eleman seçilerek tüm olasılıklar toplanır:

\binom{6}{2} + \binom{4}{2} + \binom{2}{2} = 15 + 6 + 1 = 22

.

Step-by-Step Solution

1

Alt küme özelliklerini ve kısıtlamaları belirle

Alt küme

K

olsun.

s(K)=4

ve

\min(K) + \max(K) = 9

.

Soruda istenen şartları matematiksel ifadeye dökmek gerekir.

2

Toplamı 9 olan olası (min, max) çiftlerini listele

Olası çiftler:

(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)

.

Küme elemanları

1

ile

8

arasındadır. Bu aralıkta toplamı 9 eden uç noktalar belirlenmelidir.

3

Her çift için aradaki elemanlardan 2 tane seçim yap (toplam 4 eleman olması için)

Durum 1:

(1, 8) \rightarrow

Arada

\{2,3,4,5,6,7\}

var (6 eleman).

\binom{6}{2} = 15

küme.
Durum 2:

(2, 7) \rightarrow

Arada

\{3,4,5,6\}

var (4 eleman).

\binom{4}{2} = 6

küme.
Durum 3:

(3, 6) \rightarrow

Arada

\{4,5\}

var (2 eleman).

\binom{2}{2} = 1

küme.
Durum 4:

(4, 5) \rightarrow

Arada eleman yok. 2 eleman seçilemez. 0 küme.

En küçük ve en büyük eleman seçildikten sonra, kalan 2 eleman bu iki değerin ARASINDAN seçilmelidir. Aksi takdirde min/max değerleri değişir.

4

Tüm durumları topla

15 + 6 + 1 = 22

.

Ayrık durumların toplam sayısı cevabı verir.

Key Concept

Bu soru, alt küme tanımını, min-max kavramlarını ve kombinasyon hesabını (seçme) birleştirerek test etmektedir.

Hints

1

Önce, toplamları 9 olan ve kümede bulunan en küçük ve en büyük sayı çiftlerini (x, y) belirleyin.

2

Bir alt kümenin en küçüğü x, en büyüğü y ise, diğer elemanlar x ile y arasında olmalıdır.

3

Olası çiftler (1,8), (2,7), (3,6)'dır. Her çift için aradaki sayılardan kaç farklı şekilde 2 sayı daha seçebileceğinizi hesaplayıp toplayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla: 'Elemanları çarpımı negatif olan 3 elemanlı kaç alt küme vardır?' sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Tüm 4 elemanlı alt kümeleri yazmak yerine, sistematik olarak en küçük elemanı 1, 2, 3... olanları gruplandırarak da gidilebilir, ancak kombinasyon yöntemi daha hızlıdır.

Estimated Time:3m 0s

Question 180Question →

$A$ ve $B$ , boş kümeden farklı iki kümedir.

$A \setminus B$ kümesinin alt küme sayısı $64$ 'tür.

s(A \cup B) = 4 \cdot s(A \cap B)

Eşitliği ve $s(A) > s(B)$ eşitsizliği sağlandığına göre, $A$ kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?

8

9

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

A

kümesinin eleman sayısı en çok

9

olabilir.

Verilen alt küme sayısından

s(A \setminus B)=6

bulunur.

s(A \cap B) = x

denildiğinde, verilen eşitlikten

s(B \setminus A) = 3x - 6

elde edilir.

B \setminus A

kümesinin eleman sayısı negatif olamayacağı için

x \ge 2

olmalıdır. Ayrıca

s(A) > s(B)

koşulunun sağlanması için

x < 4

olması gerekir. Bu iki koşulu sağlayan en büyük

x

tam sayısı

3

'tür. Buradan

s(A) = 6 + 3 = 9

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

A \setminus B

kümesinin eleman sayısını belirle.

2^{s(A \setminus B)} = 64 \implies s(A \setminus B) = 6

Alt küme sayısı formülü (

2^n

) kullanılarak eleman sayısı bulunur.

2

Kümeler için bilinmeyenleri tanımla ve birleşim formülünü oluştur.

s(A \cap B) = x

ve

s(B \setminus A) = y

olsun.

s(A \cup B) = 6 + x + y

.

Birleşim kümesi, ayrık üç bölgenin toplamıdır: fark kümeleri ve kesişim.

3

Verilen eşitliği kullanarak

y

'yi

x

cinsinden ifade et.

6 + x + y = 4x \implies y = 3x - 6

Problemde verilen

s(A \cup B) = 4 \cdot s(A \cap B)

eşitliği denklem haline getirilir.

4

x

için alt ve üst sınırları belirle.

1.

y \ge 0 \implies 3x - 6 \ge 0 \implies x \ge 2

. 2.

s(A) > s(B) \implies 6 + x > x + y \implies 6 > y

.

y = 3x - 6

yerine konulursa

6 > 3x - 6 \implies 12 > 3x \implies x < 4

.

Eleman sayısı negatif olamaz ve sorudaki

s(A) > s(B)

kısıtlaması sağlanmalıdır.

5

x

'in alabileceği tam sayı değerlerini bul ve

s(A)

'yı maksimize et.

2 \le x < 4

olduğu için

x

tamsayı olarak

2

veya

3

olabilir. En çok dendiği için

x=3

seçilir.

s(A) = 6 + x = 6 + 3 = 9

.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)

olduğu için

x

ne kadar büyükse

s(A)

o kadar büyük olur.

Key Concept

Kümelerde birleşim ve kesişim formülleri ile eşitsizlik analizi.

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer