Karışım Problemleri Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Question 1Question →

Bir endüstriyel tesiste A ve B tanklarında bulunan farklı derişimlerdeki asit çözeltileri karıştırılarak yeni çözeltiler elde edilmektedir. A tankındaki çözeltinin asit oranı $\%60$ , B tankındaki çözeltinin asit oranı ise $\%x$ 'tir. Bu tanklardan; A'dan $m$ litre, B'den $n$ litre alınarak oluşturulan I. karışımın asit oranı $\%50$ olmaktadır. Eğer A'dan $n$ litre, B'den $m$ litre alınarak karıştırılsaydı elde edilen II. karışımın asit oranı $\%55$ olacaktı.

Buna göre, B tankındaki çözeltinin asit oranı ( $x$ ) kaçtır?

35

40

45

48

50

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

B tankındaki çözeltinin asit oranı %45'tir.

Soruda verilen iki farklı karışım durumu için ağırlıklı ortalama denklemleri kurulur. Birinci durumda

A

ve

B

'den alınan miktarlar

m

ve

n

iken, ikinci durumda bu miktarlar yer değiştirmiştir (

n

ve

m

). Her iki durum için elde edilen denklemlerden

m/n

oranı çekilerek birbirine eşitlendiğinde, bilinmeyen

x

yüzdesi için ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin mantıklı çözümü

x=45

'tir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen bilgileri matematiksel denklemlere dök.

I. Durum:

\frac{60 \cdot m + x \cdot n}{m + n} = 50

II. Durum:

\frac{60 \cdot n + x \cdot m}{m + n} = 55

Karışım problemlerinde, (Miktar × Oran) toplamının toplam miktara bölümü yeni oranı verir.

2

Birinci ve ikinci denklemi düzenleyerek

m

ve

n

arasındaki ilişkiyi bul.

I. denklemden:

60m + xn = 50m + 50n \Rightarrow 10m = n(50-x)

II. denklemden:

60n + xm = 55m + 55n \Rightarrow 5n = m(55-x)

Değişkenleri sadeleştirmek için içler dışlar çarpımı yapılır.

3

Elde edilen iki bağıntıdan oran çekerek (

m/n

) birbirine eşitle.

\frac{m}{n} = \frac{50-x}{10}

ve

\frac{m}{n} = \frac{5}{55-x}

olduğu için;

\frac{50-x}{10} = \frac{5}{55-x}

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için ortak bir oran kullanılır.

4

Oluşan denklemi çözerek

x

değerini bul.

(50-x)(55-x) = 50 \Rightarrow 2750 - 105x + x^2 = 50 \Rightarrow x^2 - 105x + 2700 = 0

Çarpanlar:

(x-60)(x-45) = 0

.

x=60

olamaz (oranlar farklı olurdu), bu yüzden

x=45

.

İkinci dereceden denklemin kökleri bulunur ve problem mantığına uygun olan seçilir.

Key Concept

Karışım problemlerinde madde miktarı korunumunu kullanarak oran-orantı ve denklem sistemi kurma.

Hints

1

Karışım problemlerinde temel formül: (1. Madde Miktarı × Yüzdesi + 2. Madde Miktarı × Yüzdesi) = (Toplam Miktar × Yeni Yüzde) şeklindedir.

2

İki durum için de ayrı ayrı denklem kurmalısın. Birinci denklemden

m

ile

n

arasında bir ilişki, ikinci denklemden de yine

m

ile

n

arasında başka bir ilişki bulacaksın.

3

Birinci durumdan

10m = n(50-x)

, ikinci durumdan

5n = m(55-x)

eşitliklerini bulup taraf tarafa oranlayarak

m

ve

n

'yi yok et.

Practice More

Karışım miktarlarının yer değiştirdiği benzer problemler çözerek denklem kurma pratiği yapılabilir.

Estimated Time:3m 0s

Question 2Question →

Bir gıda mühendisi, ar-ge çalışması kapsamında şeker oranı $\%20$ olan $A$ gram şerbet ile şeker oranı $\%40$ olan $B$ gram şerbeti bir kazanda karıştırıyor. Elde edilen karışımdan, karışım içindeki suyun $A$ gramlık kısmı kaynatılarak buharlaştırılıyor. Son durumda kazandaki şerbetin şeker oranı $\%50$ olarak ölçüldüğüne göre, başlangıçtaki $A$ ve $B$ miktarları arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A = B

B = 2A

A = 2B

3A = B

2A = 3B

Show answer & explanation

Answer: $B = 2A$

Answer

B

miktarı

A

miktarının 2 katıdır (

B = 2A

).

Doğru cevap, toplam şeker miktarının korunumu ilkesine dayanır. Buharlaşan madde sadece sudur, bu nedenle başlangıçtaki toplam şeker (

0,20A + 0,40B

), son durumdaki karışımda (

B

gram) bulunan şekere (

0,50B

) eşittir. Bu eşitlik çözüldüğünde

B=2A

bağıntısı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki karışımlarda bulunan saf şeker miktarlarını hesapla.

A

karışımındaki şeker:

A \times \frac{20}{100} = 0,20A

B

karışımındaki şeker:

B \times \frac{40}{100} = 0,40A

Toplam şeker miktarı:

0,20A + 0,40B

Karışım problemlerinde çözünen madde miktarı (şeker) buharlaşma işleminden etkilenmez, sabit kalır.

2

Buharlaşma işlemi sonrası kazanda kalan toplam karışım kütlesini hesapla.

Başlangıç toplam kütlesi:

A + B

Buharlaşan su miktarı:

A

Son durumdaki kütle:

(A + B) - A = B

Buharlaşan madde sudur, toplam kütleden buharlaşan miktar çıkarılarak son kütle bulunur.

3

Son durum verilerini kullanarak denklemi kur ve çöz.

Son şeker oranı

\%50

olduğuna göre:

\frac{\text{Toplam Şeker}}{\text{Son Kütle}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}

\frac{0,20A + 0,40B}{B} = \frac{1}{2}

Yeni karışımın yüzdesi, değişmeyen şeker miktarının yeni toplam kütleye oranıdır.

4

Elde edilen orantıdan

A

ve

B

arasındaki ilişkiyi bul.

İçler dışlar çarpımı yapılır:

2 \times (0,20A + 0,40B) = 1 \times B

0,40A + 0,80B = B

0,40A = B - 0,80B

0,40A = 0,20B

Her iki taraf

0,20

'ye bölünür:

2A = B

Cebirsel sadeleştirme ile istenen bağıntı elde edilir.

Key Concept

Buharlaşma işleminde çözünen madde (şeker/tuz) miktarı sabit kalırken, toplam karışım kütlesi buharlaşan su miktarı kadar azalır.

Hints

1

Buharlaşma işleminde karışımın içindeki şeker miktarı değişmez, sadece su miktarı azalır.

2

Başlangıçtaki toplam şeker miktarını (

A

ve

B

cinsinden) ve son durumdaki toplam karışım ağırlığını (buharlaşan miktarı çıkararak) hesaplayın.

3

Son durumda karışımın ağırlığı

(A+B) - A = B

gramdır. Bu ağırlığın

\%50

'si, başlangıçtaki toplam şeker miktarına eşittir.

Practice More

Karışıma saf su veya saf şeker eklendiğinde değişim oranlarının nasıl hesaplanacağını inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Ters orantı mantığıyla: Son durumda karışımın %50'si şeker ise, karışım yarı yarıya şeker ve sudur. Kalan karışım sadece B gram kütlesindedir. Demek ki içindeki şeker 0.5B'dir. Bu şeker baştan gelen 0.2A + 0.4B idi. Eşitleyip çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 3Question →

Şeker oranı %40 olan A karışımından $x$ gram ve şeker oranı %20 olan B karışımından $y$ gram alınarak bir kapta karıştırılıyor. Oluşan bu yeni karışımın şeker oranı %32 olarak ölçülüyor. Eğer A karışımından alınan miktar 20 gram daha az olsaydı ve B karışımından alınan miktar değiştirilmeseydi, elde edilecek karışımın şeker oranı %28 olacaktı. Buna göre, başlangıçta A karışımından alınan $x$ miktarı kaç gramdır?

24

30

36

48

60

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Başlangıçta A karışımından alınan miktar 36 gramdır.

Verilen iki farklı karışım durumu için iki ayrı denklem kurulup sistem çözüldüğünde,

x

değeri 36 olarak bulunur. İlk durumda oranlar kullanılarak

x

ve

y

arasında

2x=3y

ilişkisi bulunur. İkinci durumda ise bu ilişki kullanılarak bilinmeyen miktar hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk durum için karışım formülünü kullanarak

x

ve

y

arasındaki oranı belirle.

\frac{40x + 20y}{x+y} = 32 \Rightarrow 40x + 20y = 32x + 32y \Rightarrow 8x = 12y \Rightarrow 2x = 3y

(Buradan

y = \frac{2x}{3}

bulunur).

Karışım problemlerinde (Miktar

\times

Yüzde) toplamı, toplam miktarın yüzdesine eşittir.

2

İkinci durum için (A'dan 20g eksik alındığında) yeni denklemi kur.

\frac{40(x-20) + 20y}{(x-20)+y} = 28

.

Miktar değişimini hem paya (çözünen madde) hem de paydaya (toplam madde) yansıtmak gerekir.

3

İkinci denklemi düzenleyerek

x

ve

y

arasında ikinci bir bağıntı bul.

40(x-20) + 20y = 28(x-20+y) \Rightarrow 40x - 800 + 20y = 28x - 560 + 28y \Rightarrow 12x - 8y = 240

(Her tarafı 4'e bölelim:

3x - 2y = 60

).

Denklemi sadeleştirerek çözümü kolaylaştırırız.

4

Birinci adımda bulunan

y

değerini (

y = \frac{2x}{3}

) ikinci denklemde yerine yazarak

x

'i bul.

3x - 2(\frac{2x}{3}) = 60 \Rightarrow 3x - \frac{4x}{3} = 60 \Rightarrow \frac{9x-4x}{3} = 60 \Rightarrow \frac{5x}{3} = 60 \Rightarrow 5x = 180 \Rightarrow x = 36

.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.

Key Concept

Karışım problemleri genellikle madde miktarı ve konsantrasyonun çarpımlarının korunumuna dayanır:

M_1 \cdot \%_1 + M_2 \cdot \%_2 = M_{toplam} \cdot \%_{son}

.

Hints

1

Karışım problemlerinde temel formül: (Madde 1 Miktarı × %1) + (Madde 2 Miktarı × %2) = (Toplam Miktar × Son %).

2

İlk durum için

x

ve

y

arasında bir oran bulmalısın. %40 ve %20 karıştırılıp %32 elde ediliyorsa, hangi maddeden daha fazla kullanılmıştır?

3

İlk denklemden

2x = 3y

bulacaksın. İkinci durumu yazarken A'nın miktarının

(x-20)

olduğunu unutma ve iki denklemi ortak çöz.

Practice More

Karışımdan belli bir miktar dökülüp yerine saf su veya saf madde eklenen soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Çapraz (Terazi) Yöntemi ile Çözüm:

1. Durum: %40 ve %20 karıştırılıp %32 elde edilmiş.
Farklar:

|40-32|=8

ve

|32-20|=12

.
Bu farklar ters orantılıdır:

\frac{x}{y} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

. Yani

2x = 3y

.

2. Durum: %40 ve %20 karıştırılıp %28 elde edilmiş.
Farklar:

|40-28|=12

ve

|28-20|=8

.
Oran:

\frac{x-20}{y} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

. Yani

3(x-20) = 2y

.

Sistem:

y = \frac{2x}{3}

ve

2y = 3x-60

. Yerine koyarsak

x=36

çıkar.

Estimated Time:2m 30s

Question 4Question →

Bir kolonya imalathanesinde, alkol oranları ağırlıkça sırasıyla $\%60$ ve $\%20$ olan A ve B tanklarında çözeltiler bulunmaktadır. İmalathane sorumlusu, bu iki tanktan belirli miktarlarda sıvı alıp karıştırarak $\%30$ alkol oranına sahip yeni bir karışım elde etmiştir.

Eğer sorumlu, A tankından aldığı miktar kadar B tankından; B tankından aldığı miktar kadar da A tankından alarak (miktarları ters çevirerek) bir karışım hazırlasaydı, elde edilen yeni karışımın alkol oranı yüzde kaç olurdu?

35

40

45

48

50

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Yeni karışımın alkol oranı %50 olur.

İlk karışımda elde edilen %30 değeri, %20'ye %60'tan daha yakındır (farklar sırasıyla 10 ve 30). Bu, %20'lik karışımdan (B), %60'lık karışıma (A) göre 3 kat daha fazla alındığını gösterir (

y=3x

). Miktarlar ters çevrildiğinde ise %60'lık karışımdan 3 kat, %20'lik karışımdan 1 kat alınmış olur. Bu durumda ağırlık %60 tarafına kayar ve yeni ortalama %50 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk durumdaki karışım problemini denkleme dök.

A tankından alınan miktar

x

, B tankından alınan miktar

y

olsun. Karışım denklemi:

\frac{60 \cdot x + 20 \cdot y}{x + y} = 30

Karışımın yüzdesi, toplam saf madde miktarının toplam karışım miktarına oranının 100 ile çarpılmasıyla bulunur.

2

Bu denklemden

x

ve

y

arasındaki oranı bul.

60x + 20y = 30(x + y) \Rightarrow 60x + 20y = 30x + 30y \Rightarrow 30x = 10y \Rightarrow y = 3x

. Yani B tankından alınan miktar, A'nın 3 katıdır.

İkinci durumu hesaplamak için miktarlar arasındaki ilişkiyi bilmemiz gerekir.

3

Miktarları ters çevirerek (A'dan

y

, B'den

x

alarak) yeni karışım denklemini kur.

Yeni karışım yüzdesi =

\frac{60 \cdot y + 20 \cdot x}{y + x}

Soruda miktarların değiştirilmesi (swap edilmesi) istenmiştir.

4

Bulunan

y = 3x

eşitliğini yeni denklemde yerine yaz ve sonucu hesapla.

\frac{60 \cdot (3x) + 20 \cdot x}{3x + x} = \frac{180x + 20x}{4x} = \frac{200x}{4x} = 50

Tek bilinmeyene indirgeyerek sonucu bulmak için.

Key Concept

Karışım Problemleri ve Ağırlıklı Ortalama

Hints

1

Önce verilen %30 sonucuna ulaşmak için A ve B tanklarından hangi oranda sıvı alındığını bulmalısınız.

2

Karışım formülünü kullanın: (Miktar1 × %1 + Miktar2 × %2) / Toplam Miktar = %Sonuç. Buradan miktarlar arası ilişkiyi (örneğin k ve 3k gibi) çıkarın.

3

%20 ile %30 arasında 10 fark, %60 ile %30 arasında 30 fark vardır. Ters orantıdan dolayı B'den alınan miktar A'nın 3 katıdır. Şimdi A'dan 3 birim, B'den 1 birim alarak hesap yapın.

Practice More

Benzer mantıkla çözülen, bir havuzu farklı tuz oranlarıyla dolduran musluk problemleri incelenebilir.

Alternative Method

Kaldıraç (Tahterevalli) Yöntemi: İstenen oran (30), bileşenlere (20 ve 60) olan uzaklığıyla ters orantılıdır. |30-20|=10 ve |30-60|=30. Uzaklıklar oranı 1:3 ise, miktarlar oranı 3:1 olmalıdır (B'den 3k, A'dan k). Durum tersine dönerse, A'dan 3k, B'den k alınır. Ağırlık merkezi 60'a daha yakın olacaktır: (3*60 + 1*20)/4 = 50.

Estimated Time:2m 30s

Question 5Question →

Ağırlıkça $\%15$ 'i tuz olan $20$ kg tuzlu su karışımı ile ağırlıkça $\%40$ 'ı tuz olan $30$ kg tuzlu su karışımı bir kapta karıştırılıyor. Buna göre, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

25

28

30

35

55

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Yeni karışımın tuz oranı %30'dur.

Yeni karışımın tuz oranı hesaplanırken, her iki karışımdaki saf tuz miktarları toplanır ve bu toplam, yeni oluşan karışımın toplam ağırlığına bölünür. Birinci kaptan gelen

3

kg tuz ile ikinci kaptan gelen

12

kg tuz toplandığında

15

kg toplam tuz elde edilir. Toplam ağırlık olan

50

kg'a oranlandığında ise sonucun

\%30

olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1

Birinci karışımdaki tuz miktarını hesapla

20 \times \frac{15}{100} = 3

kg tuz

Karışımın ağırlığı ile yüzdesini çarparak içindeki saf madde miktarını buluruz.

2

İkinci karışımdaki tuz miktarını hesapla

30 \times \frac{40}{100} = 12

kg tuz

İkinci kaptaki saf madde miktarını belirlemek için aynı yöntemi uygularız.

3

Toplam tuz ve toplam karışım miktarını bul

Toplam Tuz:

3 + 12 = 15

kg, Toplam Karışım:

20 + 30 = 50

kg

İki karışım birleştiğinde maddeler ve toplam kütleler toplanır.

4

Yeni karışım yüzdesini hesapla

\frac{15}{50} \times 100 = 30

Saf madde miktarını toplam kütleye oranlayıp 100 ile çarparak son yüzdeyi elde ederiz.

Key Concept

Karışım Problemlerinde Temel Denklem (

m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2 = m_{top} \cdot p_{son}

)

Hints

1

Her iki karışımdaki ayrı ayrı tuz miktarlarını bularak işe başlayabilirsin.

2

20

kg'ın

\%15

'i ile

30

kg'ın

\%40

'ını toplarsan elindeki toplam tuz miktarını bulursun.

3

Toplam

15

kg tuzun,

50

kg'lık toplam karışım içindeki yüzde karşılığını hesaplamalısın.

Practice More

Karışım miktarları eşit olsaydı sonucun ne olacağını düşünerek aritmetik ortalama mantığını kavrayabilirsin.

Alternative Method

Karışım denklemini kullanabilirsin:

20 \cdot 15 + 30 \cdot 40 = 50 \cdot x

. Buradan

300 + 1200 = 50x \Rightarrow 1500 = 50x

ve

x = 30

bulunur.

Estimated Time:1m 15s

Question 6Question →

Geleneksel bir tatlı imalathanesinde, baklava yapımı için hazırlanan $50$ kilogramlık şerbetin ağırlıkça şeker oranı $\%24$ olarak ölçülmüştür. Usta, şerbetin kıvamını artırmak için karışımın şeker oranının $\%40$ olmasını hedeflemektedir.

Buna göre, hedeflenen orana ulaşmak için şerbete şeker eklemeden, sadece kaynatma işlemiyle kaç kilogram su buharlaştırılmalıdır?

12

16

20

25

30

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Karışımdan 20 kilogram su buharlaştırılmalıdır.

Karışım problemlerinde buharlaştırma işlemi yapıldığında, su miktarı azalırken içindeki çözünen madde (şeker) miktarı sabit kalır. Başlangıçta 50 kg şerbetin %24'ü şekerdir, yani

50 \cdot 0,24 = 12

kg şeker vardır. İstenilen durumda bu 12 kg şekerin karışımın %40'ı olması gerekir. Orantı kurulursa: %40'ı 12 kg olan karışımın tamamı

12 / 0,40 = 30

kg olur. Başlangıçta 50 kg olan karışımın 30 kg'a düşmesi için

50 - 30 = 20

kg suyun buharlaşması gerekir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki karışımda bulunan saf şeker miktarını hesapla.

50 \cdot \frac{24}{100} = 12

kg şeker.

Buharlaşma işleminde sadece su eksilir, şeker miktarı sabit kalır. Bu nedenle sabit olan madde üzerinden işlem yapılır.

2

Yeni karışımda şeker oranının %40 olması için gereken toplam karışım miktarını bul.

Miktar

\cdot \%40 = 12

kg

\Rightarrow

Miktar

\cdot \frac{40}{100} = 12 \Rightarrow

Miktar

= \frac{1200}{40} = 30

kg.

Sabit kalan 12 kg şeker, yeni karışımın %40'ını oluşturmalıdır.

3

Başlangıç miktarı ile son miktar arasındaki farkı alarak buharlaşan su miktarını bul.

50 - 30 = 20

kg su.

Azalan miktar, buharlaşan suya eşittir.

Key Concept

Buharlaştırma işlemlerinde çözünen madde miktarı (tuz, şeker vb.) değişmez, sadece çözücü (su) miktarı azalır.

Hints

1

Buharlaştırma işleminde su miktarı azalır ancak şerbetin içindeki şeker miktarı değişmez.

2

Başlangıçtaki şeker miktarını hesaplayın (

50

kg'ın %

24

'ü). Bu şeker miktarı, son durumdaki karışımın %

40

'ına eşit olacaktır.

3

Denklemi kurun:

50 \cdot 24 = (50 - x) \cdot 40

. Burada

x

, buharlaşan su miktarıdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla, tuzlu su karışımına saf su eklenerek oranın düşürüldüğü (seyreltme) sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Ters orantı mantığıyla da çözülebilir: Şeker oranı %24'ten %40'a çıkmaktadır. Oran

24/40 = 3/5

katına çıkıyorsa (yani artıyorsa), toplam miktar ters orantılı olarak

3/5

katına inmelidir.

50 \cdot (3/5) = 30

kg son miktar. Fark

50 - 30 = 20

kg.

Estimated Time:1m 30s

Question 7Question →

Bir kimya laboratuvarındaki deney kabında, tuz oranı %20 olan belirli miktarda tuzlu su karışımı bulunmaktadır. Bu karışımdan önce 20 gram su buharlaştırıldığında, kaptaki karışımın tuz oranı %25'e yükselmektedir. Daha sonra, elde edilen son karışıma $x$ gram saf tuz eklendiğinde, yeni karışımın tuz oranı %40 olmaktadır.

Buna göre, son işlemde karışıma eklenen saf tuz miktarı ( $x$ ) kaç gramdır?

10

15

20

25

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Eklenen saf tuz miktarı 20 gramdır.

Problemi çözmek için işlem sırasını takip etmek gerekir. İlk adımda su buharlaştırma işlemiyle başlangıçtaki toplam karışım miktarını buluruz. Başlangıçta 100 gram karışım olduğunu tespit ederiz (20 gram su gidince 80 gram kalır, tuz miktarı sabittir). İkinci adımda, bu 80 gramlık karışıma

x

gram tuz ekleriz. Tuz eklendiğinde hem çözünen madde artar hem de toplam karışım ağırlaşır. Doğru denklem

\frac{Saf Madde + x}{Toplam + x} = Yeni Oran

şeklinde kurulduğunda,

x=20

gram bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki karışım miktarını bulmak için birinci durumu analiz et.

Başlangıç karışımına

A

diyelim. İçindeki tuz miktarı:

A \times \frac{20}{100}

.
Su buharlaşınca sadece su azalır, tuz miktarı değişmez. Yeni kütle

(A-20)

olur.
Yeni oran:

\frac{20A}{100(A-20)} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

.
Denklemi çözersek:

80A = 100(A-20) \Rightarrow 80A = 100A - 2000 \Rightarrow 20A = 2000 \Rightarrow A = 100

gram.

Değişmeyen madde (saf madde) üzerinden denklem kurarak bilinmeyen başlangıç kütlesine ulaşılır.

2

İkinci durum (su buharlaştıktan sonraki hal) için kütle ve tuz miktarını belirle.

Başlangıç 100 gr idi. 20 gr su gitti. Kalan karışım:

100 - 20 = 80

gram.
İçindeki tuz miktarı (değişmedi):

100 \times 0,20 = 20

gram.

İkinci adımdaki ekleme işlemi için baz alınacak mevcut durumu netleştirmek gerekir.

3

Saf tuz ekleme işlemi için denklemi kur ve

x

değerini bul.

Mevcut karışım: 80 gr (20 gr tuz içeriyor).

x

gr tuz ekleniyor.
Yeni Tuz Miktarı =

20 + x

Yeni Toplam Kütle =

80 + x

Yeni Oran %40:

\frac{20+x}{80+x} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}

İçler dışlar çarpımı:

5(20+x) = 2(80+x) \Rightarrow 100 + 5x = 160 + 2x \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20

.

Saf madde eklendiğinde hem paya (saf madde miktarı) hem de paydaya (toplam karışım) ekleme yapılır.

Key Concept

Karışım problemlerinde su buharlaştırılması durumunda saf madde miktarı sabit kalırken, madde eklenmesi durumunda hem saf madde hem de toplam ağırlık artar.

Estimated Time:2m 30s

Question 8Question →

Bir kamu kurumu yemekhanesinde, öğle yemeği için hazırlanan 60 kg'lık üzüm hoşafının şeker oranı ağırlıkça $\%20$ olarak ölçülmüştür. Kurum diyetisyeni, lezzet standardını yakalamak için bu hoşafın şeker oranının $\%25$ 'e çıkarılması gerektiğine karar vermiştir. Mutfakta saf şeker bulunmadığı için, aşçı bu işlemi şeker oranı $\%40$ olan başka bir hazır hoşaf karışımını ekleyerek gerçekleştirecektir.

Buna göre, hedeflenen şeker oranına ulaşmak için mevcut hoşafa, şeker oranı $\%40$ olan karışımdan kaç kg eklenmelidir?

15

20

25

30

40

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İstenilen orana ulaşmak için 20 kg ekleme yapılmalıdır.

Soruda iki farklı şeker oranına sahip karışımın birleştirilmesi istenmektedir. Birinci kapta 60 kg

\%20

'lik karışım vardır (12 kg şeker). İkinci kaptan

x

kg

\%40

'lık karışım eklenecektir (

0,40x

kg şeker). Oluşan son karışımın toplam ağırlığı

(60+x)

kg, toplam şeker miktarı ise

(12 + 0,40x)

kg olur. Bu oranın

\%25

olması istendiğinden; saf madde miktarları üzerinden kurulan

12 + 0,40x = (60+x) \cdot 0,25

denklemi çözüldüğünde eklenmesi gereken miktar 20 kg bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Mevcut karışımdaki saf şeker miktarını hesapla.

60 \times \frac{20}{100} = 12

kg şeker.

Başlangıçtaki saf madde miktarını bilmek, yeni karışım denklemini kurmak için gereklidir.

2

Eklenecek karışım miktarına

x

diyerek, oluşan yeni karışımdaki toplam madde ve şeker miktarını ifade et.

Eklenen şeker:

x \times \frac{40}{100} = 0,40x

. Toplam Karışım:

60 + x

. Toplam Şeker:

12 + 0,40x

.

Karışım problemlerinde korunan nicelik saf madde miktarıdır.

3

Hedeflenen yüzdeye (

%25

) göre eşitliği kur ve

x

'i çöz.

\frac{12 + 0,40x}{60 + x} = \frac{25}{100} \Rightarrow 12 + 0,40x = 0,25(60 + x)

Yeni karışımın yüzdesi, (Toplam Saf Madde / Toplam Karışım) oranına eşittir.

4

Denklemi çöz.

12 + 0,40x = 15 + 0,25x \Rightarrow 0,15x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{0,15} = 20

.

Matematiksel işlem sonucu.

Key Concept

Karışım problemlerinde, karıştırılan maddelerin saf madde miktarları toplamı, elde edilen yeni karışımın saf madde miktarına eşittir.

Hints

1

Her iki karışımdaki saf şeker miktarlarını ayrı ayrı ifade etmeye çalışın.

2

Birinci karışımdan gelen şeker (60'ın %20'si) ile eklenen karışımdan gelecek şekerin toplamı, son karışımın toplam ağırlığının %25'ine eşit olmalıdır.

3

Denklemi kurun:

12 + x \cdot \frac{40}{100} = (60 + x) \cdot \frac{25}{100}

.

Practice More

Şeker oranı yerine tuz oranı verilen ve buharlaştırma yapılan bir soru çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Tahterevalli (Denge) Yöntemi: Yüzdeler arasındaki farklara bakılır. Başlangıç %20, Eklenen %40, Hedef %25. Başlangıç ile Hedef arası fark 5 birim (%25-%20). Eklenen ile Hedef arası fark 15 birim (%40-%25). Farklar oranı 5/15 = 1/3'tür. Miktarlar bu farklarla ters orantılı olmalıdır. Yani (Eklenen Miktar) / (Başlangıç Miktarı) = 5 / 15 = 1/3. Başlangıç 60 kg ise, eklenen onun 1/3'ü yani 20 kg olmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 9Question →

Bir kamu kurumu araç bakım istasyonunda, içerisinde $\%20$ oranında antifriz bulunan $30$ litrelik bir radyatör sıvısı mevcuttur. Kış şartlarına hazırlık amacıyla bu karışımdaki antifriz oranının $\%40$ seviyesine çıkarılması hedeflenmektedir. Buna göre, mevcut karışıma kaç litre saf antifriz eklenmelidir?

6

8

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Karışıma 10 litre saf antifriz eklenmelidir.

Soruda karışıma saf antifriz eklendiği belirtilmiştir. Bu tür sorularda en güvenilir yöntem 'saf madde / toplam karışım' oranını kullanmaktır. Başlangıçta 30 litrenin %20'si yani 6 litresi antifrizdir.

x

litre saf antifriz eklendiğinde, yeni saf madde miktarı

(6+x)

, yeni toplam karışım miktarı ise

(30+x)

olur. Bu oranın %40 (yani

2/5

) olması istendiğinden, kurulan

\frac{6+x}{30+x} = \frac{2}{5}

denklemi çözüldüğünde

x=10

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç karışımındaki saf antifriz miktarını hesapla.

30 \text{ litre} \times \%20 = 30 \times \frac{20}{100} = 6 \text{ litre antifriz}

.

Mevcut durumdaki saf madde miktarını bilmeden üzerine ekleme yapılamaz.

2

Eklenecek saf antifriz miktarına

x

diyerek yeni karışım denklemini kur.

Eklenen

x

litre, hem saf antifriz miktarını (

6+x

) hem de toplam karışımı (

30+x

) artırır. Denklem:

\frac{6+x}{30+x} = \%40 = \frac{40}{100}

.

Saf madde eklendiğinde pay (saf madde) ve payda (toplam karışım) aynı miktarda artar.

3

Kurulan denklemi çöz.

\frac{6+x}{30+x} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5(6+x) = 2(30+x) \Rightarrow 30 + 5x = 60 + 2x \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10

.

İçler dışlar çarpımı ile bilinmeyen değer bulunur.

Key Concept

Karışım problemlerinde saf madde eklendiğinde, bu miktar hem saf madde toplamına (pay) hem de toplam karışım ağırlığına (payda) eklenir.

Hints

1

Saf madde eklendiğinde, bu miktar hem antifriz miktarını hem de toplam sıvı miktarını artırır.

2

Başlangıçtaki antifriz miktarını bulun (

30 \times \%20

). Sonra ekleyeceğiniz

x

litre saf antifrizi hem bu miktara hem de toplam 30 litreye ekleyerek yeni oranı

\%40

'a eşitleyin.

3

Denklem şöyledir:

\frac{6 + x}{30 + x} = \frac{40}{100}

. Buradan

x

'i çekin.

Alternative Method

Terazi Yöntemi (Kaldıraç Kuralı): Karışım oranı %20, eklenen saf madde %100, hedef %40. Farklara bakalım: |100 - 40| = 60 birim, |40 - 20| = 20 birim. Oran 60/20 = 3/1'dir. Yani 3 birim karışıma 1 birim saf madde eklenmelidir. 30 litre karışım varsa, bunun 1/3'ü kadar (10 litre) saf madde eklenir.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir kimya tesisinde, hacimce %20 asit oranına sahip 50 litrelik homojen bir asit-su karışımı bulunmaktadır. Bu karışımın 10 litresi dökülüyor ve yerine dökülen miktar kadar saf asit ekleniyor.

Buna göre, son durumda elde edilen karışımın asit oranı yüzde kaçtır?

16

24

32

36

40

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Karışımın son asit oranı %36'dır.

Karışımdan bir miktar döküldüğünde kalan kısmın asit oranı değişmez. 40 litre kalan karışımın %20'si asittir (8 litre). Üzerine 10 litre saf asit eklendiğinde toplam asit 18 litreye, toplam karışım tekrar 50 litreye çıkar. 50 litrede 18 litre asit, %36'lık bir orana denk gelir.

Step-by-Step Solution

1

Dökülme işleminden sonra kalan karışım miktarını ve içindeki asit miktarını hesapla.

50 litreden 10 litre dökülünce 40 litre karışım kalır. Kalan karışımın asit oranı değişmez (%20). Asit miktarı = 40 x %20 = 8 litre.

Homojen karışımlarda miktar azalsa da oran değişmez.

2

Eklenen saf asit miktarını toplam asit miktarına ekle.

10 litre saf asit (%100) ekleniyor. Toplam asit = 8 (kalan) + 10 (eklenen) = 18 litre.

Saf asit eklendiğinde çözünen madde miktarı artar.

3

Son durumdaki toplam karışım miktarına göre yeni yüzdeyi hesapla.

Toplam karışım = 40 + 10 = 50 litre. Yeni oran = (18 / 50) = 36/100 -> %36.

Yüzde oranı, (Toplam Çözünen / Toplam Karışım) x 100 formülü ile bulunur.

Key Concept

Karışım problemlerinde bir miktar karışım döküldüğünde kalan kısmın yüzdesi değişmez; ancak üzerine saf madde eklendiğinde çözünen madde oranı artar.

Hints

1

Önce dökülen karışımdan sonra kapta kaç litre madde kaldığını ve bu kalan maddenin içindeki asit miktarını hesaplayınız.

2

Kalan 40 litre karışımın asit oranı değişmemiştir (%20). Bu miktarın üzerine 10 litre saf asit (%100 asit) eklenmektedir.

3

Formül: (Kalan Hacim x Kalan Yüzde) + (Eklenen Hacim x Eklenen Yüzde) = Son Hacim x Son Yüzde. Yani: 40 x 20 + 10 x 100 = 50 x ?

Practice More

Benzer mantıkla, saf asit yerine saf su eklenseydi sonucun nasıl değişeceğini inceleyen bir soru çözebilirsiniz.

Alternative Method

Saf madde eklendiği için karışım formülü yerine doğrudan madde miktarları üzerinden gidilebilir: Kalan asit (8L) + Eklenen asit (10L) = 18L. Toplam hacim 50L. Oran = 18/50 = %36.

Estimated Time:1m 30s

Question 11Question →

A kabında ağırlıkça $\%40$ şeker oranına sahip $100$ gram, B kabında ise ağırlıkça $\%20$ şeker oranına sahip $60$ gram şekerli su karışımı bulunmaktadır. Önce A kabındaki karışımın $\frac{1}{5}$ 'i alınıp B kabına karıştırılıyor. Daha sonra B kabında elde edilen yeni karışımın $\frac{1}{4}$ 'ü alınıp tekrar A kabına karıştırılıyor. Buna göre, son durumda A kabında oluşan karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

30

32

35

36

37

Show answer & explanation

Answer: 37

Answer

Son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı

\%37

olarak bulunur.

Doğru cevap, karışım transferlerini sırasıyla ve kütle korunumuna dikkat ederek takip etmeyi gerektirir. İlk adımda A'dan B'ye geçen şeker miktarı hesaplanıp B'nin yeni yüzdesi (

\ %25

) bulunur. İkinci adımda bu yeni yüzdeli karışımdan A'ya geri transfer yapılır. Sonuçta A kabında toplam

37

gram şeker ve

100

gram karışım oluştuğu için oran

\%37

olur.

Step-by-Step Solution

1

A kabından B kabına yapılan ilk transferi analiz etme.

A'dan aktarılan:

20

g kütle,

8

g şeker. A'da kalan:

80

g kütle,

32

g şeker.

A kabındaki

100

gram karışımın

\frac{1}{5}

'i hesaplanır:

100 \times \frac{1}{5} = 20

gram. Bu miktarın içindeki şeker:

20 \times \%40 = 8

gramdır.

2

B kabındaki yeni karışımın durumunu hesaplama.

B'nin yeni hali:

80

g kütle,

20

g şeker. Yeni oran:

\%25

.

B'de başlangıçta

60

g (%20) vardı (

12

g şeker). A'dan gelen

20

g (

8

g şeker) eklendi. Toplam kütle:

60+20=80

g. Toplam şeker:

12+8=20

g. Oran:

\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = \%25

.

3

B kabından A kabına yapılan ikinci transferi analiz etme.

B'den A'ya aktarılan:

20

g kütle,

5

g şeker.

B'deki

80

gram yeni karışımın

\frac{1}{4}

'ü hesaplanır:

80 \times \frac{1}{4} = 20

gram. Bu karışımın oranı

\%25

olduğundan içindeki şeker:

20 \times 0,25 = 5

gramdır.

4

A kabındaki son durumu ve yüzdeyi hesaplama.

Son A:

100

g kütle,

37

g şeker. Oran:

\%37

.

A'da kalan

80

g karışımda

32

g şeker vardı. B'den gelen

20

g karışımda

5

g şeker geldi. Toplam kütle:

80+20=100

g. Toplam şeker:

32+5=37

g. Yüzde:

\frac{37}{100} = \%37

.

Key Concept

Karışım problemlerinde madde transferi yapılırken, saf madde miktarı ve toplam karışım miktarı ayrı ayrı takip edilmeli, ara karışımların yüzdeleri güncellenmelidir.

Hints

1

Her transfer işleminde hem toplam karışım miktarını hem de içindeki saf şeker miktarını ayrı ayrı hesaplayarak tablo oluşturunuz.

2

İlk adımda A'dan B'ye 20 gram karışım geçer. B'nin yeni toplam kütlesi 80 gram olur. Önce bu yeni karışımın şeker yüzdesini bulunuz.

Practice More

Benzer bir soruyu 'su buharlaştırma' işlemi ekleyerek çözmeyi deneyin: Karışımdan su eksildiğinde saf madde miktarı sabit kalırken yüzdesi artar.

Alternative Method

Saf madde takibi yerine oran değişimi üzerinden gidilebilir: A'dan B'ye geçen 20g, B'deki 60g ile birleşince 1'e 3 oranında karışır.

(1 \times 40 + 3 \times 20)/4 = 25

. Yeni B %25 olur. Sonra B'den A'ya dönen 20g (%25), A'da kalan 80g (%40) ile birleşir (1'e 4 oran).

(1 \times 25 + 4 \times 40)/5 = 185/5 = 37

.

Estimated Time:2m 30s

Question 12Question →

A kabında ağırlıkça %30 şeker içeren 80 gram, B kabında ise ağırlıkça %10 şeker içeren 120 gram şekerli su karışımı bulunmaktadır.

Önce A kabındaki karışımın yarısı B kabına boşaltılıp karıştırılıyor. Ardından B kabında oluşan yeni karışımın dörtte biri tekrar A kabına boşaltılıyor.

Buna göre, son durumda A kabında oluşan karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

15

18

20

22,5

25

Show answer & explanation

Answer: 22,5

Answer

Son durumda A kabındaki karışımın şeker oranı %22,5'tir.

Karışım problemlerinde adım adım madde takibi yapılmalıdır. İlk adımda A'dan B'ye 40g karışım (12g şeker) geçer. A'da 40g kalır, B ise 160g olur ve şeker oranı %15'e çıkar. İkinci adımda B'den A'ya 40g karışım (bu sefer %15'lik, yani 6g şeker içeren) geçer. Son durumda A kabında 40g (kalan) + 40g (gelen) = 80g karışım olur. Toplam şeker ise 12g (kalan) + 6g (gelen) = 18g olur. Yüzde hesabı:

\frac{18}{80} = \frac{22,5}{100}

yani %22,5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki madde miktarlarını hesapla.

A: 80g (%30) → 24g şeker. B: 120g (%10) → 12g şeker.

Karışım değişimlerini takip edebilmek için saf madde miktarlarını bilmemiz gerekir.

2

A'nın yarısını (1/2) B'ye aktar ve B'nin yeni durumunu hesapla.

Aktarılan: 40g karışım (12g şeker). B'nin Yeni Hali: 120+40=160g toplam, 12+12=24g şeker. Yeni Oran: 24/160 = %15.

A'dan dökülen miktar B'ye eklenerek yeni bir homojen karışım oluşturur.

3

B'nin yeni halinin dörtte birini (1/4) A'ya geri aktar.

Aktarılan: 160g'ın 1/4'ü = 40g karışım. İçindeki şeker: 24g'ın 1/4'ü = 6g şeker.

Homojen karışımdan alınan her parçada oran aynıdır (%15).

4

A kabının son durumunu ve yüzdesini hesapla.

A'da kalan: 40g (12g şeker). Eklenen: 40g (6g şeker). Toplam: 80g karışım, 18g şeker. Oran: 18/80 = 22,5/100 = %22,5.

Kalan miktar ile geri eklenen miktarın toplamı son yüzdeyi verir.

Key Concept

Ardışık Karışım İşlemleri ve Madde Takibi

Hints

1

Her adımda kaplarda kalan madde miktarını ve şeker miktarını ayrı ayrı not ediniz.

2

İlk işlemden sonra A kabında 40g karışım kalırken, B kabı 160g ağırlığa ulaşır. B'nin yeni şeker yüzdesini hesaplayıp ikinci adıma geçiniz.

Alternative Method

Oran yöntemi: A'dan B'ye giden miktar B'nin 1/3'ü kadardır (40g/120g). Ağırlıklı ortalama ile B'nin yeni yüzdesi bulunur. Sonra B'den A'ya gelen miktar A'nın kalanının (40g) aynısıdır (40g). Eşit miktarda karıştıkları için son yüzde, A'nın kalan yüzdesi (%30) ile B'nin yeni yüzdesinin (%15) tam ortasıdır:

(30+15)/2 = 22,5

.

Estimated Time:2m 30s

Question 13Question →

Tuz yüzdeleri birbirinden farklı olan A ve B homojen tuzlu su karışımları bulunmaktadır. A karışımından $x$ gram, B karışımından $y$ gram alınarak oluşturulan I. karışımın tuz yüzdesi $C_1$ ; A karışımından $y$ gram, B karışımından $x$ gram alınarak oluşturulan II. karışımın tuz yüzdesi $C_2$ olarak hesaplanmıştır.

$C_2$ değerinin, A karışımının kendi tuz yüzdesi ile $C_1$ değerinin aritmetik ortalamasına eşit olduğu bilindiğine göre, $x$ ile $y$ arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

y = 2x

x = 2y

y = x

y = 3x

x = 3y

Show answer & explanation

Answer: $y = 2x$

Answer

y = 2x

bağıntısı elde edilir.

Soruda verilen karışım senaryoları cebirsel olarak modellendiğinde,

C_1

ve

C_2

değerleri kütlelerin (

x

ve

y

) ağırlıklı ortalamalarına bağlıdır.

C_2

'nin,

A

ile

C_1

'in aritmetik ortalaması olması şartı (

2C_2 = A + C_1

), gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapıldığında

(a-b)(y-2x)=0

eşitliğini verir. Karışımların yüzdeleri farklı (

a \neq b

) olduğu için tek çözüm

y=2x

bağıntısıdır.

Step-by-Step Solution

1

Değişkenleri tanımla

A karışımının tuz yüzdesi

a

, B karışımının tuz yüzdesi

b

olsun. Verilen bilgiye göre

a \neq b

.

Yüzde hesaplamalarını cebirsel olarak ifade edebilmek için sabitlere ihtiyaç vardır.

2

I. Karışım (

C_1

) ve II. Karışım (

C_2

) için denklemleri kur

C_1 = \frac{x \cdot a + y \cdot b}{x + y}

ve

C_2 = \frac{y \cdot a + x \cdot b}{x + y}

Karışım problemlerinde yeni yüzde, (Miktar

\times

Yüzde) toplamının toplam miktara bölünmesiyle bulunur.

3

Verilen aritmetik ortalama şartını denkleme dök

C_2 = \frac{a + C_1}{2} \Rightarrow 2C_2 = a + C_1

Sorudaki sözel ifade matematiksel eşitliğe dönüştürülür.

4

Denklemde ifadeleri yerine yaz ve düzenle

2 \left( \frac{ya + xb}{x+y} \right) = a + \frac{xa + yb}{x+y}

Kesirli ifadelerden kurtulmak ve

x, y

ilişkisini bulmak için yerine koyma işlemi yapılır.

5

Eşitliğin her iki tarafını

(x+y)

ile çarp ve sadeleştir

2(ya + xb) = a(x+y) + xa + yb \Rightarrow 2ya + 2xb = ax + ay + xa + yb \Rightarrow 2ya + 2xb = 2ax + ay + yb

Paydaları yok ederek lineer bir denklem elde edilir.

6

Benzer terimleri bir araya topla ve çarpanlara ayır

2ya - ay - yb + 2xb - 2ax = 0 \Rightarrow ay - yb - 2ax + 2xb = 0 \Rightarrow y(a-b) - 2x(a-b) = 0 \Rightarrow (a-b)(y-2x) = 0

a \neq b

olduğu bilindiği için

(a-b)

terimi sadeleşebilir.

7

Sonucu bul

a \neq b

olduğundan

a-b \neq 0

olur. Bu durumda

y - 2x = 0

olmalıdır, yani

y = 2x

.

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

Key Concept

Karışım Problemlerinde Ağırlıklı Ortalama ve Cebirsel Modelleme

Hints

1

A ve B karışımlarının tuz yüzdelerine sırasıyla

a

ve

b

diyerek

C_1

ve

C_2

değerlerini

x

ve

y

cinsinden yazın.

2

Karışım formülünü hatırlayın: (Miktar1

\times

Yüzde1 + Miktar2

\times

Yüzde2) / Toplam Miktar. Bu formülü kullanarak

2C_2 = a + C_1

eşitliğini kurun.

3

Elde ettiğiniz denklemde paydaları eşitleyip

(x+y)

ifadelerini sadeleştirin. Sonrasında

(a-b)

parantezine alarak çözüme ulaşın.

Practice More

Karışımların bir kısmının dökülüp yerine saf su eklendiği problemleri inceleyiniz.

Alternative Method

Değer vererek kontrol etme:

x=1

ve

y=2

(yani

y=2x

) varsayalım. Eğer

a=10, b=40

ise;

C_1 = (10+80)/3 = 30

.

C_2 = (20+40)/3 = 20

. Şart:

20 = (10+30)/2

. Bu eşitlik sağlandığı için

y=2x

doğrudur.

Estimated Time:4m 0s

Question 14Question →

Bir ziraat mühendisi, iki farklı sıvı gübreyi belirli oranlarda karıştırarak yeni bir besin çözeltisi hazırlamaktadır. A çözeltisinin azot oranı $\%30$ , B çözeltisinin azot oranı $\%45$ 'tir. Mühendis; $A$ litre A çözeltisini, $B$ litre B çözeltisini, $A$ litre saf suyu ve $B$ litre saf azotu boş bir kapta karıştırmıştır. Oluşan son karışımın azot oranı $\%40$ olduğuna göre, başlangıçta kullanılan A çözeltisi miktarının B çözeltisi miktarına oranı ( $\frac{A}{B}$ ) kaçtır?

1/2

10/13

1

13/10

3/2

Show answer & explanation

Answer: $13/10$

Answer

Başlangıçta kullanılan A çözeltisi miktarının B çözeltisi miktarına oranı

13/10

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan seçenek, karışımdaki tüm azot kaynaklarının toplamının (A'dan gelen, B'den gelen ve saf eklenen) toplam karışım hacminin (A+B+A+B)

\%40

'ına eşitlenmesiyle elde edilir. Yapılan cebirsel sadeleştirmeler sonucunda

0,5A = 0,65B

eşitliğine ulaşılır ve buradan oran

13/10

olarak çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Karışımdaki toplam saf azot miktarını belirlemek.

Toplam Azot =

0,30A + 0,45B + B = 0,30A + 1,45B

A çözeltisinden

\%30A

, B çözeltisinden

\%45B

ve ayrıca eklenen saf azottan (tamamı azot olduğu için)

B

kadar madde gelir.

2

Karışımın toplam hacmini belirlemek.

Toplam Hacim =

A + B + A + B = 2A + 2B

A ve B çözeltilerine ek olarak

A

litre su ve

B

litre saf azot eklendiği için tüm miktarlar toplanır.

3

Yüzde denklemini kurmak.

\frac{0,30A + 1,45B}{2A + 2B} = 0,40

Karışımın azot oranı, toplam saf azotun toplam hacme bölünmesiyle bulunur.

4

Denklemi çözerek A ve B arasındaki ilişkiyi bulmak.

0,30A + 1,45B = 0,80A + 0,80B \Rightarrow 0,65B = 0,50A \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{0,65}{0,50} = \frac{13}{10}

İçler dışlar çarpımı yapılıp benzer terimler bir araya getirilerek oran elde edilir.

Key Concept

Karışım problemlerinde saf madde miktarının korunumu ilkesi.

Hints

1

Karışımın toplam azot miktarını paya, toplam hacmini paydaya yazarak

\%40

'a eşitleyin.

2

Saf azot eklediğinizde hem paydaki (azot miktarı) hem de paydadaki (toplam hacim) değerin arttığını unutmayın.

3

Denkleminiz şu şekilde olmalı:

(0,3A + 0,45B + B) / (A + B + A + B) = 40/100

.

Practice More

Değişkenlerin sayısının arttığı karışım problemlerinde her zaman 'Saf Madde / Toplam Hacim' formülünü kullanmak hata payını azaltır.

Estimated Time:2m 30s

Question 15Question →

Bir gümüş ustası, ağırlıkça $\%40$ gümüş içeren bir alaşım ile ağırlıkça $\%10$ gümüş içeren başka bir alaşımı eriterek birleştiriyor. Usta, bu işlem sonucunda gümüş oranı $\%20$ olan yeni bir alaşım elde etmek istemektedir.

Buna göre, $\%40$ gümüş içeren alaşımdan $12$ gram kullanan usta, istediği orandaki karışımı elde etmek için $\%10$ gümüş içeren alaşımdan kaç gram kullanmalıdır?

18

24

36

48

60

Show answer & explanation

Answer: $24$

Answer

Ustanın, gümüş oranı

\%20

olan alaşımı elde edebilmesi için

\%10

'luk alaşımdan

24

gram kullanması gerekmektedir.

Karışım problemlerinin temel prensibine göre, bileşenlerin içindeki saf madde miktarlarının toplamı, son karışımın toplam kütlesi ile son yüzdenin çarpımına eşittir. Bu soruda,

\%40

gümüş içeren

12

gram alaşımdaki gümüş miktarı (

12 \times 40

) ile

\%10

gümüş içeren

x

gram alaşımdaki gümüş miktarının (

x \times 10

) toplamı, oluşan

(12 + x)

gramlık yeni alaşımın

\%20

'sine eşittir. Yapılan hesaplama sonucunda

480 + 10x = 240 + 20x

denklemi kurulur ve buradan

x = 24

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Karışımdaki toplam gümüş miktarını belirlemek için karışım denklemini kurun.

12 \times 40 + x \times 10 = (12 + x) \times 20

Bir karışımda bulunan saf madde miktarlarının toplamı, son durumdaki toplam madde miktarının yüzdesine eşittir.

2

Elde edilen denklemdeki çarpma işlemlerini yapın.

480 + 10x = 240 + 20x

Denklemi çözebilmek için parantezleri açmak ve sayısal değerleri sadeleştirmek gerekir.

3

Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayarak denklemi çözün.

480 - 240 = 20x - 10x \Rightarrow 240 = 10x \Rightarrow x = 24

Eşitliğin korunması prensibiyle, terimleri karşı tarafa işaret değiştirerek geçirerek bilinmeyene ulaşılır.

Key Concept

Karışım problemlerinde temel kural: (1. Karışım Miktarı × 1. Karışım Yüzdesi) + (2. Karışım Miktarı × 2. Karışım Yüzdesi) = (Toplam Karışım Miktarı × Son Karışım Yüzdesi)

Hints

1

Karışım problemlerinde toplam kütle ile maddenin saflık yüzdesini çarparak toplam saf madde miktarını bulabilirsiniz.

2

M_1 \cdot Y_1 + M_2 \cdot Y_2 = (M_1 + M_2) \cdot Y_{son}

formülünü kullanarak verileri yerine yerleştirin.

3

İkinci alaşımın miktarını

x

olarak kabul ederseniz, son karışım

12 + x

gram olacaktır. Bu toplam kütlenin

\%20

'si içerisindeki gümüş miktarına eşittir.

Practice More

Karışımlardan birinin yarısı boşaltılıp yerine farklı bir karışım eklendiği senaryoları inceleyerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Oran-orantı veya terazi yöntemiyle:

\%40

ile

\%10

arasındaki farklar ve hedeflen

\%20

arasındaki uzaklıklar incelenebilir.

\%40

ile

\%20

arasında

20

birim,

\%10

ile

\%20

arasında

10

birim fark vardır. Uzaklıklar ile miktarlar ters orantılıdır. Yani

12

gram

\times 20

birim =

x

gram

\times 10

birim denkleminden

x = 24

gram bulunur.

Estimated Time:1m 20s

Question 16Question →

Ağırlıkça %40 alkol oranına sahip homojen bir karışımın bulunduğu bir kaptan, karışımın $\frac{1}{4}$ 'ü dökülüp yerine aynı miktarda saf su ekleniyor. Elde edilen yeni karışımın ise $\frac{1}{5}$ 'i dökülüp yerine aynı miktarda %60 alkol oranına sahip başka bir karışım ilave ediliyor.

Buna göre, son durumda kaptaki karışımın alkol oranı yüzde kaçtır?

32

34

36

44

56

Show answer & explanation

Answer: 36

Answer

Son durumda karışımın alkol oranı %36'dır.

İşlemler sırasıyla takip edildiğinde: 100 birimlik karışım varsayalım. 1/4'ü (25 birim) döküldüğünde geriye 30 birim alkol kalır. Saf su eklendiğinde toplam ağırlık 100'e döner ama alkol 30'da kalır (%30). Bu yeni karışımdan 1/5 (20 birim) döküldüğünde, giden alkol miktarı

20 \times 0,30 = 6

birimdir, geriye 24 birim alkol kalır. Yerine eklenen 20 birimlik %60'lık karışımdan

20 \times 0,60 = 12

birim alkol gelir. Toplam alkol

24 + 12 = 36

birim olur. Toplam karışım miktarı değişmediği (100 birim) için oran %36'dır.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç değerlerini belirle ve birinci işlemi (dökme) uygula.

Başlangıç: 100x karışım (%40 alkol) -> 40x alkol. Dökülen: 25x (%40) -> 10x alkol gider. Kalan: 75x karışım, 30x alkol.

Karışımdan belli bir miktar döküldüğünde, dökülen kısımdaki madde oranı karışımın oranıyla aynıdır.

2

Birinci işlemdeki eklemeyi (saf su) uygula ve yeni oranı bul.

Eklenen: 25x saf su (%0 alkol). Yeni Toplam: 100x karışım. Alkol: 30x + 0 = 30x. Yeni Oran: %30.

Saf suyun alkol oranı %0 olduğundan toplam madde miktarı artarken alkol miktarı sabit kalır.

3

İkinci işlemi (dökme) yeni oran üzerinden uygula.

Dökülen: 100x'in 1/5'i = 20x. Oran %30 olduğu için giden alkol:

20 \times 0,30 = 6x

. Kalan Alkol:

30x - 6x = 24x

.

İkinci dökme işleminde artık karışımın oranı %40 değil, %30'dur. Hesaplama bu güncel oran üzerinden yapılmalıdır.

4

İkinci işlemdeki eklemeyi (%60'lık karışım) uygula ve sonucu bul.

Eklenen: 20x karışım (%60). Gelen Alkol:

20 \times 0,60 = 12x

. Son Toplam Alkol:

24x + 12x = 36x

. Toplam Karışım: 100x. Sonuç: %36.

Eklenen karışımdaki saf madde miktarı hesaplanıp mevcut madde miktarına eklenir.

Key Concept

Karışım problemlerinde art arda yapılan işlemlerde (dökme/ekleme), her adım sonunda oluşan yeni yüzde oranı bir sonraki adımın referans değeridir.

Hints

1

İşlem kolaylığı için başlangıç karışım miktarını 100 birim (örneğin 100 gram) olarak varsayabilirsiniz.

2

Bir karışımdan bir miktar döküldüğünde, dökülen sıvının yüzde oranı kaptaki sıvının o anki yüzde oranıyla aynıdır.

3

İlk adım sonunda elde edilen karışımın alkol oranı %30'dur. İkinci adımı (dökme ve ekleme) bu %30 değeri üzerinden başlatmalısınız.

Alternative Method

Formül Yöntemi: Her adım için

M_{son} \times \%_{son} = M_{kalan} \times \%_{yeni} + M_{eklenen} \times \%_{eklenen}

eşitliği kurulabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 17Question →

A kabında ağırlıkça %30 tuz içeren 40 kg, B kabında ise ağırlıkça %10 tuz içeren 60 kg tuzlu su karışımı bulunmaktadır. Önce A kabındaki karışımın yarısı B kabına dökülüp karıştırılıyor. Daha sonra B kabında elde edilen yeni karışımın yarısı A kabına dökülüyor.

Buna göre, son durumda A kabında oluşan karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

15

18

20

22,5

25

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Son durumda A kabındaki tuz oranı %20'dir.

Soruda verilen ardışık işlem adımları takip edildiğinde; ilk aktarımda B kabı %15'lik 80 kg karışıma dönüşür. İkinci aktarımda B'den alınan 40 kg (%15) ile A'da kalan 20 kg (%30) karıştırılır. Kütlece ağırlıklı ortalama hesabı (veya tuz miktarı takibi) ile son karışımın %20 olduğu bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kaplardaki başlangıç tuz miktarlarını hesapla.

A kabı: 40 kg × %30 = 12 kg tuz. B kabı: 60 kg × %10 = 6 kg tuz.

Karışım problemlerinde madde miktarı üzerinden gitmek hata riskini azaltır.

2

A kabının yarısını (20 kg) B kabına aktar ve yeni B karışımını hesapla.

Aktarılan: 20 kg karışım, 6 kg tuz. B'nin yeni hali: 60 + 20 = 80 kg toplam karışım, 6 + 6 = 12 kg tuz. Yeni B Oranı: 12/80 = %15.

B kabına eklenen karışım ile mevcut karışım birleşerek yeni bir yüzde oluşturur.

3

A kabında kalan miktarı belirle.

A'da kalan: 20 kg karışım ve 6 kg tuz (Hala %30'luk).

Yarısı döküldüğünde kalan karışımın yoğunluğu değişmez.

4

Yeni B karışımının yarısını (40 kg) A kabına geri dök ve son durumu hesapla.

B'den gelen: 40 kg karışım (%15'lik), içinde 40 × 0,15 = 6 kg tuz var. Son A: 20 kg (kalan) + 40 kg (gelen) = 60 kg toplam. Tuz: 6 kg + 6 kg = 12 kg.

Son karışım oranı = Toplam Tuz / Toplam Karışım.

5

Son yüzdeyi hesapla.

12 / 60 = 1/5 = %20.

Yüzde hesabı: (Saf Madde / Toplam Madde) × 100.

Key Concept

Karışım problemlerinde ardışık dökme işlemlerinde, her adımda değişen kütle ve saf madde miktarının takibi.

Hints

1

Her adımda, aktarılan sıvının içindeki tuz miktarını hesaplayarak ilerleyin.

2

İlk adımda A'nın yarısı (20 kg, %30 tuzlu) B'ye ekleniyor. B'nin yeni toplam kütlesi 80 kg oluyor. Yeni B'nin yüzdesini bulun.

3

Yeni B karışımı %15 tuz oranına sahiptir. Bunun yarısı (40 kg) A'da kalan 20 kg (%30) karışımın üzerine dökülüyor. (40 × 15% + 20 × 30%) / 60 işlemini yapın.

Alternative Method

Ağırlıklı Ortalama Yöntemi: Son adımda A kabında kalan 20 kg (%30) ve B'den gelen 40 kg (%15) karışıyor. B'den gelen miktar A'da kalanın 2 katıdır (40kg vs 20kg). Bu durumda oluşacak yüzde, %15'e daha yakındır. Fark %15'tir, 1'e 2 oranında paylaştırılırsa sonuç %20 olur.

Estimated Time:2m 30s

Question 18Question →

A kabında ağırlıkça %30 tuz içeren 40 gram, B kabında ise ağırlıkça %20 tuz içeren 60 gram tuzlu su karışımı bulunmaktadır.

Önce A kabındaki karışımın yarısı B kabına dökülüp karıştırılıyor. Daha sonra B kabında oluşan yeni karışımın yarısı tekrar A kabına dökülüyor.

Buna göre, son durumda A kabındaki karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

22,5

24

25

26,5

28

Show answer & explanation

Answer: 25

Answer

Son durumda A kabındaki karışımın tuz oranı %25'tir.

İşlemler adım adım takip edildiğinde; ilk adımda B kabındaki karışım %22,5 olur. İkinci adımda bu karışımdan 40 gram alınıp A'daki kalan 20 gram (%30'luk) karışımla birleştirilir. Sonuçta 60 gram karışımda 15 gram tuz bulunur, bu da %25 oranına denktir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıçtaki tuz miktarlarını hesapla.

A kabı:

40 \times 0,30 = 12

g tuz. B kabı:

60 \times 0,20 = 12

g tuz.

Karışım problemlerinde madde miktarı üzerinden gitmek hata riskini azaltır.

2

A karışımının yarısını (%50'sini) B'ye dök ve B'nin yeni durumunu hesapla.

A'dan giden: 20 g karışım (%30'luk), içinde 6 g tuz var. B'nin yeni hali:

60+20=80

g karışım,

12+6=18

g tuz. Yeni oran:

\frac{18}{80} = \%22,5

.

Kalan A: 20 g karışım, 6 g tuz.

3

B karışımının yarısını A'ya dök ve A'nın son durumunu hesapla.

B'den giden: 40 g karışım (%22,5'lik), içinde

40 \times 0,225 = 9

g tuz var. A'ya ekleniyor.

A'nın son hali: 20 g (eski) + 40 g (yeni) = 60 g toplam karışım.

4

A kabındaki son tuz yüzdesini bul.

A'daki toplam tuz:

6 + 9 = 15

g. Yüzde:

\frac{15}{60} = \frac{1}{4} = \%25

.

Toplam tuz miktarı / Toplam karışım miktarı formülü uygulanır.

Key Concept

Sıralı karışım problemlerinde, her adımda değişen karışım oranını ve kütle korunumunu takip etmek esastır.

Hints

1

Her aktarım işleminde, sadece taşınan madde miktarını ve tuz miktarını hesaplayarak ilerleyin.

2

Birinci adımda A'dan 20 g karışım (6 g tuz) azalır, B'ye eklenir. Önce B'nin yeni tuz yüzdesini bulun.

3

B'nin yeni yüzdesi %22,5 olur ve kütlesi 80 g'dır. Bunun yarısı (40 g) tekrar A'ya (kalan 20 g) dökülür.

Alternative Method

Ağırlıklı Ortalama Yöntemi: İlk karışımda

(60 \cdot 20 + 20 \cdot 30) / 80 = 22,5

. İkinci karışımda A'da kalan 20g (%30) ile gelen 40g (%22,5) karışır:

(20 \cdot 30 + 40 \cdot 22,5) / 60

işlemini yapabilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 19Question →

A kabında ağırlıkça %60 alkol, B kabında ise ağırlıkça %40 alkol içeren homojen karışımlar bulunmaktadır. A kabından $x$ litre, B kabından $y$ litre alınıp boş bir kapta karıştırıldığında, oluşan yeni karışımın alkol oranı %45 olmaktadır. Buna göre, aynı karışımlar kullanılarak A kabından $y$ litre ve B kabından $x$ litre alınıp karıştırılsaydı, elde edilen yeni karışımın alkol oranı yüzde kaç olurdu?

48

50

52

55

58

Show answer & explanation

Answer: 55

Answer

Yeni karışımın alkol oranı %55 olur.

Doğru cevapta, ilk karışımdan elde edilen

y=3x

oranı ikinci karışıma doğru şekilde uygulanmıştır. A kabından

y

(yani

3x

) litre ve B kabından

x

litre alındığında, karışımda A'nın (daha yüksek yüzdeli olanın) ağırlığı artacağı için sonuç 45'ten büyük ve 60'a daha yakın olmalıdır. Hesaplama sonucunda bu değer %55 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

İlk durum için karışım formülünü yaz.

\frac{60 \cdot x + 40 \cdot y}{x + y} = 45

Karışım problemlerinde (Miktar1 × %1 + Miktar2 × %2) / Toplam Miktar formülü kullanılır.

2

Denklemi çözerek x ve y arasındaki ilişkiyi bul.

60x + 40y = 45(x + y) \Rightarrow 60x + 40y = 45x + 45y \Rightarrow 15x = 5y \Rightarrow y = 3x

İçler dışlar çarpımı ve terimlerin düzenlenmesi ile oran bulunur.

3

İkinci durum için (y litre A, x litre B) karışım formülünü yaz ve y yerine 3x koy.

Oran =

\frac{60 \cdot y + 40 \cdot x}{x + y} = \frac{60(3x) + 40(x)}{x + 3x}

İstenen durumda A'dan y, B'den x miktar alındığına dikkat edilmelidir.

4

Sonucu hesapla.

\frac{180x + 40x}{4x} = \frac{220x}{4x} = 55

x'ler sadeleşir ve sonuç bulunur.

Key Concept

Ağırlıklı Ortalama ve Oran Orantı

Hints

1

İlk durum için verilen bilgileri kullanarak karışım problemleri formülünü (Miktar x Yüzde toplamı / Toplam Miktar) uygulayın ve bir denklem kurun.

2

Kurduğunuz denklemden

x

ve

y

miktarları arasındaki oranı (örneğin

y

kaç

x

'e eşit?) bulun.

3

y = 3x

bulduktan sonra, sorunun ikinci kısmında A'dan

3x

litre, B'den

x

litre alarak yeni yüzdeyi hesaplayın.

Practice More

Benzer mantıkla, üç farklı karışımın karıştırıldığı ve değişken oranların kullanıldığı sorular çözülebilir.

Alternative Method

Pratik Yol: İki karışım

x

ve

y

oranlarında karıştırıldığında sonuç

R_1

, miktarlar yer değiştirilip (

y

ve

x

) karıştırıldığında sonuç

R_2

ise;

R_1 + R_2 = P_A + P_B

eşitliği geçerlidir. Burada

45 + R_2 = 60 + 40 \Rightarrow R_2 = 100 - 45 = 55

.

Estimated Time:2m 30s

Question 20Question →

Boş bir havuzu doldurmak amacıyla kullanılan A ve B musluklarının akıttıkları suyun tuz oranları ve dolum süreleri aşağıda verilmiştir:

* A Musluğu: $\%20$ tuz oranına sahip su akıtmakta ve boş havuzu tek başına $10$ saatte doldurmaktadır.
* B Musluğu: $\%45$ tuz oranına sahip su akıtmakta ve boş havuzu tek başına $15$ saatte doldurmaktadır.

Havuz boşken her iki musluk aynı anda açılıyor. Belli bir süre sonra A musluğu kapatılıyor ve havuzun kalan kısmı B musluğu tarafından dolduruluyor. Havuz tamamen dolduğunda, içindeki suyun tuz oranı $\%35$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, A musluğu kaç saat açık kalmıştır?

3

4

5

6

9

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

A musluğu 4 saat açık kalmıştır.

Havuzdaki suyun son tuz oranı %35 olduğuna göre, %20'lik ve %45'lik sulardan ne oranda karıştığı hesaplanır. Denklemden A'dan gelen suyun B'den gelen suya oranının 2:3 olduğu bulunur. Bu da A musluğunun toplam havuzun %40'ını doldurduğu anlamına gelir. A musluğu havuzun tamamını 10 saatte doldurabildiğine göre, %40'ını 4 saatte doldurur.

Step-by-Step Solution

1

Havuzun toplam hacmine

V

, A musluğundan akan su miktarına

V_A

ve B musluğundan akan su miktarına

V_B

diyelim. Karışım formülünü kullanarak hacimler arasındaki ilişkiyi kuralım.

\frac{20 \cdot V_A + 45 \cdot V_B}{V_A + V_B} = 35

Karışım problemlerinde son yüzdeliği bulmak için (Miktar x Yüzde) toplamları toplam miktara bölünür.

2

Denklemi çözerek

V_A

ve

V_B

arasındaki oranı bulalım.

20V_A + 45V_B = 35(V_A + V_B) \Rightarrow 20V_A + 45V_B = 35V_A + 35V_B \Rightarrow 10V_B = 15V_A \Rightarrow 2V_B = 3V_A

. Buradan

V_B = 1.5 V_A

olur.

Hacimler oranını bulmak, her bir musluğun havuza ne kadar su katkısı sağladığını gösterir.

3

Toplam hacim

V = V_A + V_B

olduğuna göre,

V_A

'nın toplam hacmin kaçta kaçı olduğunu bulalım.

V = V_A + 1.5V_A = 2.5V_A \Rightarrow V_A = \frac{V}{2.5} = \frac{10V}{25} = \frac{2}{5}V = 0.4V

A musluğunun akıttığı toplam su miktarını havuzun kapasitesi cinsinden ifade etmek süreyi bulmayı sağlar.

4

A musluğunun dolum hızı (kapasitesi) ile çalışma süresini hesaplayalım. A musluğu havuzun tamamını (

V

) 10 saatte dolduruyorsa,

0.4V

'lik kısmını kaç saatte doldurur?

t_A = \frac{\text{Miktar}}{\text{Hız}} = \frac{0.4V}{V/10} = 0.4 \times 10 = 4

saat.

İşçi/Havuz problemi mantığıyla: (Yapılan İş) = (Hız) x (Zaman).

Key Concept

Farklı yoğunluktaki sıvıların karıştırılması ve havuz dolum hızı ilişkisi.

Hints

1

Önce havuz dolduğunda içerideki A musluğundan gelen su miktarı (

V_A

) ile B musluğundan gelen su miktarı (

V_B

) arasındaki oranı bulmalısın.

2

Karışım formülünü (

Miktar_A \cdot \%A + Miktar_B \cdot \%B = ToplamMiktar \cdot \%Son

) kullanarak

V_A

ve

V_B

arasında bir eşitlik kur.

3

Bulduğun orana göre A musluğunun havuzun kaçta kaçını (

V_A/V_{toplam}

) doldurduğunu hesapla. A musluğu havuzun tamamını 10 saatte dolduruyorsa, bu kısmını kaç saatte doldurur?

Practice More

Benzer bir soruyu, musluklardan biri boşaltan musluk olacak şekilde kurgulayarak çözmeyi dene.

Alternative Method

Ters orantı yöntemi (Alligation/Tahterevalli): %20 ve %45'in %35'e uzaklıklarına bakılır. |20-35|=15 ve |45-35|=10. Miktarlar ters orantılıdır:

V_A/V_B = 10/15 = 2/3

. Yani toplam 5 birim suyun 2 birimi A'dan gelmiştir. A musluğu tamamını (5 birim) 10 saatte dolduruyorsa, 2 birimi 4 saatte doldurur.

Estimated Time:2m 30s

Karışım Problemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Alternative Method

Answer