Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

29 questions

Question 21Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes işlemi,
x⊗y={2x+y,x≤yx−3y,x>yx \otimes y = \begin{cases} 2x + y, & x \le y \\ x - 3y, & x > y \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
k⊗(3⊗5)=35k \otimes (3 \otimes 5) = 35
eşitliğini sağlayan kk değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 68

Answer

Eşitliği sağlayan tek geçerli kk değeri 68'dir.
Parantez içi işleminden 11 bulunur. Denklem k⊗11=35k \otimes 11 = 35 olur. İşlem parçalı tanımlandığı için k≤11k \le 11 ve k>11k > 11 durumları ayrı ayrı incelenir. İlk durumdan k=12k=12 bulunur ancak bu değer k≤11k \le 11 şartını sağlamaz. İkinci durumdan k=68k=68 bulunur ve bu değer k>11k > 11 şartını sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki işlemi hesapla: 3⊗53 \otimes 5
3≤53 \le 5 olduğu için 2(3)+5=6+5=112(3) + 5 = 6 + 5 = 11.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır. x≤yx \le y durumu geçerlidir.
2
Elde edilen sonucu ana denklemde yerine yaz: k⊗11=35k \otimes 11 = 35
Denklem k⊗11=35k \otimes 11 = 35 halini alır.
Bulunan değeri yerine koyarak bilinmeyenli denklemi oluştururuz.
3
Birinci durumu (k≤11k \le 11) incele
2k+11=35⇒2k=24⇒k=122k + 11 = 35 \Rightarrow 2k = 24 \Rightarrow k = 12. ANCAK 12≤1112 \le 11 şartı sağlanmadığı için bu kök GEÇERSİZDİR.
Parçalı fonksiyonda bulunan kökün, o parçanın tanım aralığında olup olmadığı kontrol edilmelidir.
4
İkinci durumu (k>11k > 11) incele
k−3(11)=35⇒k−33=35⇒k=68k - 3(11) = 35 \Rightarrow k - 33 = 35 \Rightarrow k = 68. 68>1168 > 11 şartı sağlandığı için bu kök GEÇERLİDİR.
Diğer durumun denklemini çözüp koşul kontrolü yaparız.

Key Concept

Parçalı Tanımlı Fonksiyonlarda Denklem Çözümü ve Tanım Aralığı Kontrolü

Hints

1
Önce parantez içindeki (3⊗5)(3 \otimes 5) işleminin sonucunu bulun.
Estimated Time:2m 0s
Question 22Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋆\star işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x⋆y=3x−2y+1x \star y = 3x - 2y + 1
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4⋆54 \star 5 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Verilen özel tanımlı işlemde değişkenler yerine yazılarak hesaplama yapıldığında sonuç 3 olarak bulunur.
Verilen kuralda xx yerine 4 ve yy yerine 5 yazıldığında 3(4)−2(5)+13(4) - 2(5) + 1 ifadesi elde edilir. Bu ifadenin çözümü 12−10+112 - 10 + 1 şeklindedir ve sonuç 3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri belirle
x=4x = 4 ve y=5y = 5
İşlem tanımında yıldız sembolünün solundaki sayı xx, sağındaki sayı ise yy değerini temsil eder.
2
Değerleri formülde yerine koy
3⋅4−2⋅5+13 \cdot 4 - 2 \cdot 5 + 1
Tanımlanan x⋆y=3x−2y+1x \star y = 3x - 2y + 1 kuralını uygulamak için xx yerine 4, yy yerine 5 yazılır.
3
Aritmetik işlemleri gerçekleştir
12−10+1=312 - 10 + 1 = 3
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar (3⋅4=123 \cdot 4 = 12 ve 2⋅5=102 \cdot 5 = 10) yapılır, ardından toplama-çıkarma sırasıyla sonuç bulunur.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, verilen sembolün tanımındaki değişkenlerin (x, y veya a, b) yerlerine istenen sayıları doğru sırada yerleştirip standart aritmetik kurallarıyla hesaplamaktır.

Hints

1
Sembolün solundaki sayıyı xx, sağındaki sayıyı yy olarak kabul edin.
2
Formüldeki xx harfi yerine 4, yy harfi yerine 5 yazarak bir matematiksel ifade oluşturun.
3
Oluşturduğunuz 3⋅4−2⋅5+13 \cdot 4 - 2 \cdot 5 + 1 işleminde önce çarpmaları yaparak ilerleyin.

Practice More

İşlemde parantezli bir ifade (örneğin (1⋆2)⋆3(1 \star 2) \star 3) içeren soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 23Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋆\star işlemi,

x⋆y=x3−y3x2+xy+y2x \star y = \frac{x^3 - y^3}{x^2 + xy + y^2}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (2024⋆2021)⋆m=5(2024 \star 2021) \star m = 5 eşitliğini sağlayan mm değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Eşitliği sağlayan m değeri -2'dir.
Verilen işlem, iki küp farkı özdeşliği kullanılarak sadeleştirildiğinde aslında basit bir çıkarma işlemi (x−yx-y) olduğu görülür. İlk adımda 2024−2021=32024-2021=3 bulunur. İkinci adımda 3−m=53-m=5 denklemi çözülerek m=−2m=-2 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen işlemin özdeşlik kullanılarak sadeleştirilmesi.
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) özdeşliği kullanıldığında, pay ve paydadaki terimler sadeleşir: x⋆y=x−yx \star y = x - y.
Büyük sayılarla küp hesabı yapmak yerine cebirsel sadeleştirme yapmak zaman kazandırır.
2
Parantez içindeki işlemin sonucunun bulunması.
2024⋆2021=2024−2021=32024 \star 2021 = 2024 - 2021 = 3.
İşlem tanımı (fark işlemi) uygulanır.
3
Bulunan sonucun ana denklemde yerine yazılması ve m değerinin çözülmesi.
3⋆m=5⇒3−m=5⇒−m=2⇒m=−23 \star m = 5 \Rightarrow 3 - m = 5 \Rightarrow -m = 2 \Rightarrow m = -2.
Sadeleşmiş işlem kuralı ikinci adımda da uygulanır.

Key Concept

İki Küp Farkı Özdeşliği

Hints

1
Paydaki x3−y3x^3 - y^3 ifadesini çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) özdeşliğini kullanarak kesri sadeleştirin.
3
İşlem aslında x⋆y=x−yx \star y = x - y şeklindedir. Önce parantez içini yapın, sonra sonucu 5'e eşitleyin.

Practice More

İki kare farkı (x2−y2x^2-y^2) özdeşliği içeren benzer bir işlem sorusu çözülebilir.

Alternative Method

Eğer özdeşlik hatırlanmazsa, küçük sayılarla (örneğin 2 ve 1) işlem kuralı test edilerek örüntü (x−yx-y) keşfedilebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 24Question →

A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi aşağıdaki işlem tablosunda verilmiştir.

Buna göre, (4⋆x)⋆2=3(4 \star x) \star 2 = 3 eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Doğru cevap 5'tir.
Verilen eşitliği çözmek için dışarıdan içeriye doğru gitmek gerekir. Önce (4⋆x)(4 \star x) ifadesinin hangi değerle işleme girdiğinde sonucun 3 olduğu bulunur. Tablodan 2. sütunda sonucu 3 veren satırın 1 olduğu görülür (1⋆2=31 \star 2 = 3). Demek ki 4⋆x=14 \star x = 1 olmalıdır. Daha sonra 4. satırda sonucu 1 veren sütun aranır. Tabloda 4. satırın 5. sütun ile kesişimi 1'dir (4⋆5=14 \star 5 = 1). Bu nedenle x=5x = 5 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki ifadeye geçici bir isim verelim: K=(4⋆x)K = (4 \star x). Denklem K⋆2=3K \star 2 = 3 haline gelir.
K⋆2=3K \star 2 = 3
Bilinmeyeni bulmak için işlemi dıştan içe doğru çözmek gerekir.
2
Tabloda ikinci elemanın 2, sonucun 3 olduğu satırı bulalım. Yani tablonun 2. sütununda 3 değerini arayalım.
1. Satır (1⋆2=31 \star 2 = 3)
Tablo işleminde a⋆ba \star b için a satırı ve b sütununun kesişimine bakılır. Burada sonuç ve sütun belli olduğu için satır aranır.
3
Bulduğumuz satır değeri KK'dır. Yani K=1K = 1. Şimdi ilk denkleme geri dönelim: 4⋆x=14 \star x = 1.
4⋆x=14 \star x = 1
İlk adımda bulduğumuz ara değeri yerine koyarak asıl bilinmeyene ulaşırız.
4
Tabloda 4. satırda sonucun 1 olduğu sütunu arayalım.
5. Sütun (4⋆5=14 \star 5 = 1)
4. satırdaki değerler incelendiğinde 1 değerinin 5. sütunda olduğu görülür.
5
Bulunan sütun değeri xx'tir.
x=5x = 5
İşlem tamamlanmıştır.

Key Concept

İşlem Tablosu Okuma ve Ters İşlem

Hints

1
İşlemi dışarıdan içeriye doğru çözmelisin. Önce (4⋆x)(4 \star x) ifadesini tek bir bilinmeyen gibi düşün.
2
Hangi sayıyı 2 ile işleme sokarsan sonuç 3 olur? Tablonun 2. sütununa bakarak 3 sonucunu veren satırı bul.
3
Tabloda 1⋆2=31 \star 2 = 3 olduğunu göreceksin. Demek ki parantez içi 1 olmalı. Şimdi 4⋆x=14 \star x = 1 denklemini çözmek için 4. satırda 1 sonucunu veren sütunu bul.

Practice More

Benzer bir tabloda değişme özelliğinin olup olmadığını kontrol etmeyi gerektiren sorular çözülebilir.
Estimated Time:1m 30s
Question 25Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi,

x⋆y={x+2y,x≤y ise3x−y,x>y ise x \star y = \begin{cases} x + 2y, & x \leq y \text{ ise} \\ 3x - y, & x > y \text{ ise} \end{cases}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, (2⋆5)⋆4(2 \star 5) \star 4 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

İşlemin sonucu 32'dir.
İşlem, verilen sayıların büyüklük ilişkisine göre iki farklı kural içermektedir. İlk adımda 2≤52 \leq 5 olduğu için üstteki kural (x+2yx+2y) uygulanır ve 12 bulunur. İkinci adımda 12>412 > 4 olduğu için alttaki kural (3x−y3x-y) uygulanır ve sonuç 32 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez içindeki (2⋆5)(2 \star 5) işlemini hesapla. x=2x=2 ve y=5y=5 değerlerini karşılaştır.
2≤52 \leq 5 olduğu için x+2yx + 2y kuralı kullanılır: 2+2(5)=2+10=122 + 2(5) = 2 + 10 = 12.
İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır. xx değeri yy değerinden küçük olduğu için üstteki kural geçerlidir.
2
Bulunan sonucu yerine yazarak (12⋆4)(12 \star 4) işlemini hesapla. x=12x=12 ve y=4y=4 değerlerini karşılaştır.
12>412 > 4 olduğu için 3x−y3x - y kuralı kullanılır: 3(12)−4=36−4=323(12) - 4 = 36 - 4 = 32.
İlk işlemin sonucu 12'dir. Yeni işlemde xx değeri yy değerinden büyük olduğu için alttaki kural geçerlidir.

Key Concept

Parçalı Fonksiyon Mantığı ve İşlem Önceliği
Estimated Time:1m 0s
Question 26Question →

Matematikte bazı işlemler alışılmışın dışında, semboller yardımıyla özel olarak tanımlanabilir. Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊗\otimes işlemi;

a⊗b=4a−3ba \otimes b = 4a - 3b

biçiminde tanımlanmıştır. Buna göre, 3⊗23 \otimes 2 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İşlem tanımında verilen değerler yerine konulduğunda sonuç 6 olarak bulunur.
Verilen a⊗b=4a−3ba \otimes b = 4a - 3b tanımında aa yerine 33, bb yerine 22 yazıldığında; 4(3)−3(2)=12−6=64(3) - 3(2) = 12 - 6 = 6 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen işlem tanımında değişkenleri belirle.
a=3a = 3 ve b=2b = 2
3⊗23 \otimes 2 ifadesinde ilk sayı aa, ikinci sayı bb değişkenine karşılık gelir.
2
Değişkenleri işlem formülünde yerine yaz.
4×3−3×24 \times 3 - 3 \times 2
aa yerine 33, bb yerine 22 yazarak matematiksel ifadeyi oluştururuz.
3
Çarpma işlemlerini gerçekleştir.
12−612 - 6
İşlem önceliğine göre önce çarpmalar yapılır.
4
Çıkarma işlemini yaparak sonucu bul.
6
Elde edilen değerler arasındaki fark hesaplanır.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde temel kural, sembolün sağındaki ve solundaki sayıları tanımda verilen uygun değişkenlerin yerine hatasız yerleştirmektir.

Hints

1
Bu tür sorularda sembolün solundaki sayıyı formüldeki ilk harfin, sağındaki sayıyı ise ikinci harfin yerine yazmalısın.
2
Sorumuzda a=3a=3 ve b=2b=2 olarak alınmalıdır. Şimdi bu değerleri 4a−3b4a - 3b ifadesinde yerlerine koymayı dene.
3
İşlemin son hali 4×3−3×24 \times 3 - 3 \times 2 olacaktır. Önce çarpmaları yapıp sonra çıkarmayı tamamla.

Practice More

Değişkenlerin yerini değiştirerek 2⊗32 \otimes 3 işlemini yapıp sonucun neden farklı çıktığını inceleyebilirsin.
Estimated Time:45s
Question 27Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 3△63 \triangle 6 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İstenen işlemin sonucu 6'dır.
Verilen işlem tanımı x△y=2x+3y−2(y△x)x \triangle y = 2x + 3y - 2(y \triangle x) şeklindedir. Bizden 3△63 \triangle 6 istenmektedir. Bu ifadeye AA, tersi olan 6△36 \triangle 3 ifadesine BB diyelim. Tanımı her iki durum için yazarsak:
1. Durum (x=3,y=6x=3, y=6): A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2. Durum (x=6,y=3x=6, y=3): B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A

B'nin değerini birinci denklemde yerine yazarsak:
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifadeye A, işlemdeki ters sıralı ifadeye B diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluştur.
3△6=A3 \triangle 6 = A ve 6△3=B6 \triangle 3 = B olsun. Verilen tanımdan iki denklem yazılır:
1) A=2(3)+3(6)−2B⇒A=24−2BA = 2(3) + 3(6) - 2B \Rightarrow A = 24 - 2B
2) B=2(6)+3(3)−2A⇒B=21−2AB = 2(6) + 3(3) - 2A \Rightarrow B = 21 - 2A
İşlem tanımı kendi tersine (y △ x) bağlı olduğu için, değeri doğrudan bulamayız; bir denklem sistemi kurmamız gerekir.
2
İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak (substitüsyon yöntemi) A değerini bul.
A=24−2(21−2A)A = 24 - 2(21 - 2A)
A=24−42+4AA = 24 - 42 + 4A
A=−18+4AA = -18 + 4A
Bilinmeyen sayısını bire indirerek denklemi çözülebilir hale getirmek için.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çöz.
18=4A−A18 = 4A - A
18=3A18 = 3A
A=6A = 6
A değeri soruda bizden istenen 3△63 \triangle 6 ifadesidir.

Key Concept

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin sonucu kendisine veya tersine bağlı olarak verilebilir. Bu tür 'döngüsel' tanımlarda değişken değiştirme yöntemiyle denklem sistemi kurularak çözüm yapılır.

Hints

1
İşlemin sonucunu doğrudan bulamazsınız çünkü tanım içinde işlemin kendisi (ters çevrilmiş halde) tekrar geçmektedir.
2
3△63 \triangle 6 ifadesine A, 6△36 \triangle 3 ifadesine B diyerek iki ayrı denklem yazmayı deneyin.
3
Elde ettiğiniz A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini ortak çözerek A değerini bulabilirsiniz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış ancak x⋆y=1/x+1/y−(y⋆x)x \star y = 1/x + 1/y - (y \star x) gibi rasyonel ifadeler içeren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Taraf tarafa toplama yöntemi: Elde edilen A=24−2BA = 24 - 2B ve B=21−2AB = 21 - 2A denklemlerini düzenleyip (A+2B=24A + 2B = 24 ve 2A+B=212A + B = 21) taraf tarafa toplayarak 3(A+B)=45⇒A+B=153(A+B)=45 \Rightarrow A+B=15 bulabilir, sonra yerine koyarak A'yı çekebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Question 28Question →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy pozitif tam sayısı için aşağıdaki iki kuralı sağlamaktadır:

x△1=xx \triangle 1 = x
x△y=x⋅y+(x△(y−1))(y>1 ic¸in)x \triangle y = x \cdot y + (x \triangle (y-1)) \quad (y > 1 \text{ için})

Buna göre, 3△153 \triangle 15 işleminin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 360

Answer

İşlemin sonucu 360'tır.
Verilen işlem incelendiğinde, x△yx \triangle y ifadesinin x⋅y+x⋅(y−1)+⋯+x⋅1x \cdot y + x \cdot (y-1) + \dots + x \cdot 1 şeklinde açıldığı görülür. Bu ifade xx parantezine alındığında x⋅(1+2+⋯+y)x \cdot (1 + 2 + \dots + y) elde edilir. 1'den yy'ye kadar olan sayıların toplamı y(y+1)2\frac{y(y+1)}{2} formülü ile bulunur. x=3x=3 ve y=15y=15 değerleri yerine yazıldığında: 3⋅15⋅162=3⋅120=3603 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 3 \cdot 120 = 360 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen yinelemeli (rekürsif) bağıntıyı inceleyerek genel kuralı keşfet.
x △ y = x·y + x·(y-1) + ... + x·1 şeklinde açılabilir.
Tanım gereği her adımda y bir azaltılarak işlem tekrar etmektedir.
2
İfadeyi x parantezine alarak toplam formülüne dönüştür.
x △ y = x · (y + (y-1) + ... + 1)
Her terimde x çarpanı ortaktır.
3
Gauss toplam formülünü (1'den n'e kadar sayıların toplamı) uygula.
1 + 2 + ... + y = y(y+1)/2 olduğundan, Formül: x · [y(y+1)/2]
Ardışık sayıların toplamını hızlı hesaplamak için bu formül gereklidir.
4
Verilen değerleri (x=3, y=15) formülde yerine koy.
3 · [15 · 16 / 2] = 3 · [120] = 360
Sonuca ulaşmak için sayısal işlem yapılır.

Key Concept

Genelleme ve Örüntü Tanıma (Rekürsif Bağıntılar)

Hints

1
İşlemi küçük sayılarla deneyerek örüntüyü görmeye çalışın. Örneğin x△2x \triangle 2 ve x△3x \triangle 3 neye eşit olur?
2
Tanımı açtığınızda x△y=xy+x(y−1)+x(y−2)+…x \triangle y = xy + x(y-1) + x(y-2) + \dots şeklinde bir seri elde edersiniz. Ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
3
İşlem aslında xx sayısı ile 11'den yy'ye kadar olan tam sayıların toplamının çarpımıdır. n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} formülünü kullanın.

Practice More

Benzer bir mantıkla tanımlanan a⋆b=a+b+(a⋆(b−1))a \star b = a + b + (a \star (b-1)) işlemi için çözüm yöntemini düşünün.

Alternative Method

Formülü fark edemezseniz, işlemi gruplayarak yapabilirsiniz: 3△15=3⋅(15+14+⋯+1)3 \triangle 15 = 3 \cdot (15 + 14 + \dots + 1). Toplamı bulmak için baştaki ve sondaki sayıları toplayıp terim sayısının yarısı ile çarpabilirsiniz (Gauss yöntemi).
Estimated Time:3m 0s
Question 29Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=x⋅y+4x+4y+mx \triangle y = x \cdot y + 4x + 4y + m
eşitliği ile veriliyor.

Bu işlemin yutan elemanı olduğuna göre, 22 sayısının △\triangle işlemine göre tersi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -23/6

Answer

2 sayısının işlem altındaki tersi -23/6'dır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincirleme bir mantık kurulmalıdır. İlk olarak 'yutan eleman' bilgisi kullanılarak işlemdeki bilinmeyen mm sayısı bulunur (y+4=0⇒y=−4y+4=0 \Rightarrow y=-4 ve 3y+m=0⇒m=123y+m=0 \Rightarrow m=12). Daha sonra işlemin 'birim elemanı' hesaplanır ((x+4)(e+3)=0⇒e=−3(x+4)(e+3)=0 \Rightarrow e=-3). Son olarak, 2 sayısının tersi tt için 2△t=e2 \triangle t = e eşitliği çözülür (6t+20=−3⇒t=−23/66t+20=-3 \Rightarrow t=-23/6).

Step-by-Step Solution

1
Yutan eleman tanımını kullanarak m sabitini bul.
m = 12 ve yutan eleman = -4
Yutan eleman y için x ∆ y = y olmalıdır. xy + 4x + 4y + m = y eşitliğinde x parantezine alırsak x(y+4) + (3y+m) = 0. Bu eşitliğin her x için sağlanması için katsayılar 0 olmalıdır: y+4=0 => y=-4 ve 3(-4)+m=0 => m=12.
2
İşlemin kuralını m değeri ile güncelle.
x ∆ y = xy + 4x + 4y + 12
Bulunan m değerini yerine yazarak işlemin tam kuralını elde ederiz.
3
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (e) bul.
e = -3
Birim eleman e için x ∆ e = x olmalıdır. xe + 4x + 4e + 12 = x => xe + 3x + 4e + 12 = 0 => x(e+3) + 4(e+3) = 0 => (x+4)(e+3) = 0. Her x için sağlanması için e+3=0 yani e=-3 olmalıdır.
4
2 sayısının tersini (t) bul.
t = -23/6
Bir sayının tersi ile işleme girmesi sonucu birim elemanı vermelidir. 2 ∆ t = e => 2t + 4(2) + 4t + 12 = -3 => 6t + 20 = -3 => 6t = -23 => t = -23/6.

Key Concept

Özel tanımlı bir işlemde ters eleman bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bulunması gerekir. Birim elemanın bulunabilmesi için ise (bu soruda olduğu gibi) işlemdeki bilinmeyen sabitlerin yutan eleman gibi ek bilgilerle çözülmesi gerekebilir.

Hints

1
Bir işlemde yutan eleman yy, her xx değeri için x△y=yx \triangle y = y eşitliğini sağlayan elemandır. Bu eşitliği kullanarak önce mm değerini bulmaya çalışın.
2
mm değerini bulduktan sonra işlemin birim elemanını (ee) bulmalısınız. Birim eleman, her xx için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini sağlar.
3
x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 özdeşliğini fark ederseniz işlemleriniz kolaylaşır. Birim eleman e=−3e=-3 olacaktır. Ters eleman tanımı gereği 2△t=−32 \triangle t = -3 denklemini çözmelisiniz.

Practice More

Benzer bir işlemde yutan eleman yerine 'değişme özelliği' olduğu belirtilseydi bilinmeyen katsayıları nasıl bulurdunuz?

Alternative Method

İşlem x△y=(x+4)(y+4)−4x \triangle y = (x+4)(y+4) - 4 şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Bu formda, işlemin esas kısmı (x+4)(y+4)(x+4)(y+4) çarpımıdır. Bu yapıda birim eleman, parantez içini 1 yapan değerdir (yani e+4=1⇒e=−3e+4=1 \Rightarrow e=-3). Ters eleman için ise (2+4)(t+4)=1(2+4)(t+4) = 1 olmalıdır.
Estimated Time:4m 0s
PreviousPage 2 / 2
Özel Tanımlı İşlemler Practice Questions — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Page 2 | Examkin