Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 5

Question 81Question →

Bir kamu kurumundaki iki farklı hizmet birimine gelen günlük başvuru sayıları $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu iki birimin çalışma süreçlerinin birbirinden tamamen bağımsız olduğu bilindiğine göre, ortak olasılık fonksiyonu ile marjinal olasılık fonksiyonları arasındaki ilişki hakkında aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Ortak olasılık fonksiyonu, her

x

ve

y

değeri için marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımına (

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

) eşittir.

Kovaryans değerinin sıfıra eşit olması, bu değişkenlerin bağımsız olduğunu kanıtlamak için tek başına yeterli bir şarttır.

Bağımsız iki rastgele değişkenin temsil ettiği olaylar aynı zamanda mutlaka ayrık (mutually exclusive) olaylardır.

Bağımsız değişkenlerin çarpımının beklenen değeri, bu değişkenlerin beklenen değerlerinin toplamına (

E[XY] = E[X] + E[Y]

) eşittir.

Ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının toplanması (

f(x,y) = f_X(x) + f_Y(y)

) yoluyla elde edilir.

Show answer & explanation

Answer: Ortak olasılık fonksiyonu, her $x$ ve $y$ değeri için marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımına ( $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$ ) eşittir.

Answer

İstatistiksel bağımsızlık durumunda ortak olasılık fonksiyonu, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımına eşittir.

İstatistik teorisine göre,

X

ve

Y

rastgele değişkenlerinin bağımsız olabilmesi için gerekli ve yeterli olan temel şart, bu değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonunun (PDF veya PMF), kendi marjinal fonksiyonlarının çarpımı olarak yazılabilmesidir. Bu durum, değişkenlerin tanımlı olduğu destek kümesinin de bir Kartezyen çarpım (dikdörtgen bölge) formunda olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1

Bağımsızlık tanımını hatırlayın.

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

İki rastgele değişkenin bağımsız olması, birinin aldığı değerin diğeri hakkında hiçbir bilgi vermemesi demektir.

2

Bağımsızlığın beklenen değer üzerindeki etkisini kontrol edin.

E[XY] = E[X] \cdot E[Y]

ve

Cov(X,Y) = 0

Bağımsızlık, kovaryansın sıfır olmasını gerektirir ancak kovaryansın sıfır olması bağımsızlık için yeterli değildir.

3

Seçeneklerdeki matematiksel ifadeleri karşılaştırın.

Doğru ifade marjinallerin çarpımıdır.

Bağımsızlık, hem olasılık fonksiyonları hem de birikimli dağılım fonksiyonları düzeyinde çarpımsal bir ayrışma gerektirir.

Key Concept

İstatistiksel Bağımsızlık ve Ortak Olasılık Dağılımları

Hints

1

Bağımsızlığın olasılıklar üzerindeki temel çarpım kuralını hatırlayın:

P(A \cap B) = P(A)P(B)

.

Practice More

Kovaryansın sıfır olduğu ancak bağımsızlığın sağlanmadığı (örneğin

Y=X^2

ve

X

değişkeninin sıfır etrafında simetrik olduğu) durumları inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 82Question →

Bir belediyenin fen işleri müdürlüğünde tamamlanan projelerin başarı durumu ( $Y$ ) ve projeyi yürüten personelin deneyim seviyesi ( $X$ ) arasındaki ilişkiyi gösteren ortak olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X$ \ $Y$	$0$ (Başarısız)	$1$ (Başarılı)
$1$ (Deneyimsiz)	$0,1$	$0,2$
$2$ (Deneyimli)	$0,1$	$0,6$

Buna göre, rastgele seçilen bir projenin başarılı olduğu ( $Y=1$ ) bilindiğine göre, bu projeyi yürüten personelin deneyimli ( $X=2$ ) olma olasılığı kaçtır?

0,25

0,60

0,70

0,75

0,80

Show answer & explanation

Answer: $0,75$

Answer

Rastgele seçilen projenin başarılı olduğu bilindiğinde, projeyi yürüten personelin deneyimli olma olasılığı

0,75

'dir.

Koşullu olasılık tanımına göre

P(X=2|Y=1)

, ortak olasılık olan

0,6

değerinin, koşulun gerçekleşme olasılığı olan

0,8

değerine bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda

0,75

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Koşul olayı olan projenin başarılı olması (

Y=1

) durumunun marjinal olasılığını hesaplayın.

P(Y=1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = 0,2 + 0,6 = 0,8

Koşullu olasılık formülünün (

P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)

) paydasını belirlemek için koşul olayının olasılığına ihtiyaç duyulur.

2

Deneyimli personel ve başarılı proje durumunun ortak olasılığını tablodan belirleyin.

P(X=2, Y=1) = 0,6

Koşullu olasılık formülünün pay kısmını (kesişim kümesinin olasılığı) oluşturur.

3

Koşullu olasılık tanımını uygulayarak sonucu hesaplayın.

P(X=2|Y=1) = \frac{P(X=2, Y=1)}{P(Y=1)} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75

Verilen bilgi (koşul) altında istenen olayın gerçekleşme olasılığını bulmak için temel tanım kullanılır.

Key Concept

İki kesikli rastgele değişken için koşullu olasılık kütle fonksiyonu, ortak olasılığın ilgili marjinal olasılığa bölünmesiyle elde edilir.

Alternative Method

Verilen tabloyu sadece projenin başarılı olduğu (

Y=1

) sütununa odaklanarak inceleyebilirsiniz. Bu sütundaki olasılıkların toplamı

0,2 + 0,6 = 0,8

'dir. Bu kısıtlanmış uzayda personelin deneyimli olma payı

0,6 / 0,8 = 0,75

olarak bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 83Question →

Bir ölçüm sürecinde ortaya çıkan $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} kxy^2, & 0 < x < 2, \ 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Buna göre, $f(x, y)$ fonksiyonunun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için $k$ sabitinin değeri kaç olmalıdır?

3/2

2/3

3/4

1/3

3

Show answer & explanation

Answer: 3/2

Answer

Fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için

k

sabitinin değeri

3/2

olmalıdır.

Verilen fonksiyonun geçerli bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için tüm tanımlı bölge üzerindeki integralinin 1 olması gerekir. Dikdörtgensel bölge üzerinde yapılan çift katlı integral hesaplamasında (

0<x<2

ve

0<y<1

), fonksiyonun integrali

2k/3

olarak bulunur. Bu değerin 1'e eşitlenmesiyle

k = 3/2

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Normalizasyon koşulunu yazın.

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} kxy^2 \, dx \, dy = 1

Sürekli rastgele değişkenler için toplam olasılığın (tüm uzaydaki integralin) 1'e eşit olması gerekir.

2

x

değişkenine göre iç integrali hesaplayın.

\int_{0}^{2} kxy^2 \, dx = k y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = k y^2 (2 - 0) = 2ky^2

x

integralinin sınırları 0 ile 2 arasındadır.

3

y

değişkenine göre dış integrali hesaplayın.

\int_{0}^{1} 2ky^2 \, dy = 2k \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2k \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{2k}{3}

y

integralinin sınırları 0 ile 1 arasındadır.

4

Elde edilen sonucu 1'e eşitleyerek

k

değerini bulun.

\frac{2k}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{2}

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımı gereği integral sonucu 1 olmalıdır.

Key Concept

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) toplam integralinin 1'e eşit olma zorunluluğu (Normalizasyon).

Hints

1

Bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için tüm bölge üzerindeki integrali 1 olmalıdır.

2

İntegrali hesaplarken

x

için 0'dan 2'ye,

y

için 0'dan 1'e kadar olan sınırları kullanın.

Practice More

Benzer bir soruyu üçgensel bir bölge (örneğin

0 < x < y < 1

) için çözerek sınırların integrale etkisini pekiştirebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 84Question →

Bir kamu kurumunun performans denetimi sırasında, iki farklı şube müdürlüğünün aylık raporlama sayıları $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri olarak tanımlanmıştır. Veri analizi sonucunda bu iki değişken arasındaki kovaryans değerinin sıfır ( $Cov(X, Y) = 0$ ) olduğu tespit edilmiştir. Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenleri hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Değişkenler birbirinden bağımsızdır.

Değişkenlerin çarpımının beklenen değeri sıfıra eşittir.

Değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının farkına eşittir.

Değişkenlerin korelasyon katsayısı tam pozitif bir değere sahiptir.

Show answer & explanation

Answer: Değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

Answer

Kovaryansın sıfır olması, değişkenler arasında doğrusal bir ilişkinin bulunmadığı anlamına gelir.

Doğrusal bir ilişkinin olmaması seçeneği doğrudur çünkü kovaryans ve korelasyon katsayıları, değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü ölçer. Kovaryans sıfır olduğunda, bu değişkenler arasında herhangi bir lineer bağımlılık kalmadığı kesinleşir.

Step-by-Step Solution

1

Kovaryans ve korelasyon arasındaki ilişkiyi belirle.

\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

formülüne göre

Cov(X, Y) = 0

ise

\rho_{XY} = 0

olur.

Kovaryansın sıfır olması, değişkenlerin korelasyonunun da sıfır olduğunu gösterir.

2

Kovaryansın sıfır olmasının istatistiksel anlamını yorumla.

Korelasyonun sıfır olması, değişkenler arasında 'doğrusal' bir bağın olmadığını ifade eder.

Kovaryans ve korelasyon yalnızca doğrusal ilişkileri ölçer; değişkenler arasında doğrusal olmayan (örneğin karesel) bir ilişki olsa dahi kovaryans sıfır çıkabilir.

3

Kovaryans ve bağımsızlık arasındaki farkı değerlendir.

Bağımsızlık \implies Kovaryans = 0

önermesi doğruyken,

Kovaryans = 0 \implies Bağımsızlık

önermesi her zaman doğru değildir.

İstatistiksel bağımsızlık daha güçlü bir koşuldur ve her türlü ilişkiyi kapsar; kovaryans ise sadece lineer ilişkiyi temsil eder.

Key Concept

Kovaryansın sıfır olması sadece lineer (doğrusal) bağımsızlığı ifade eder.

Question 85Question →

Bir araştırmada incelenen $X$ ve $Y$ kesikli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$X \setminus Y$	$-1$	$0$	$1$
$-1$	$1/8$	$0$	$1/8$
$0$	$0$	$1/2$	$0$
$1$	$1/8$	$0$	$1/8$

Bu olasılık dağılımına göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki ilişkiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Kovaryansları sıfır olduğu için

X

ve

Y

değişkenleri birbirinden kesinlikle bağımsızdır.

Değişkenler bağımlı olduğu için

E[XY] \neq E[X]E[Y]

eşitsizliği geçerlidir.

Kovaryansları sıfır olmasına rağmen,

X

ve

Y

değişkenleri bağımlıdır.

X

ve

Y

bağımlı değişkenler olduğundan

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)

eşitliği sağlanmaz.

X

ve

Y

'nin marjinal olasılıkları toplamı

1

olduğu için aralarındaki kovaryans pozitiftir.

Show answer & explanation

Answer: Kovaryansları sıfır olmasına rağmen, $X$ ve $Y$ değişkenleri bağımlıdır.

Answer

Kovaryansları sıfır olmasına rağmen,

X

ve

Y

değişkenleri bağımlıdır.

Verilen ortak olasılık tablosunda

E[X] = 0

,

E[Y] = 0

ve

E[XY] = 0

olduğu için

Cov(X,Y) = 0

olarak hesaplanır. Ancak

P(X=0, Y=0) = 1/2

olasılığı, marjinal olasılıkların çarpımı olan

P(X=0) \cdot P(Y=0) = 1/4

'e eşit değildir. Bu durum, aralarında doğrusal ilişki (kovaryans) olmamasına rağmen değişkenlerin birbirine bağımlı olduğunu kanıtlar.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

'nin marjinal olasılık dağılımlarını ve beklenen değerlerini bulmak.

P(X=-1) = 1/4

,

P(X=0) = 1/2

,

P(X=1) = 1/4

olarak hesaplanır. Buradan

E[X] = (-1)(1/4) + (0)(1/2) + (1)(1/4) = 0

bulunur. Simetriden dolayı

E[Y] = 0

'dır.

Kovaryans formülünde kullanılacak olan bireysel beklenen değerlerin hesaplanması zorunludur.

2

Ortak beklenen değer olan

E[XY]

değerini hesaplamak.

E[XY] = (-1)(-1)(1/8) + (-1)(1)(1/8) + (1)(-1)(1/8) + (1)(1)(1/8) = 1/8 - 1/8 - 1/8 + 1/8 = 0

bulunur.

Kovaryans formülü

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

eşitliğine dayanır.

3

Kovaryansı hesaplamak.

Cov(X,Y) = 0 - (0)(0) = 0

elde edilir.

Kovaryans değeri iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin varlığını kontrol etmemizi sağlar.

4

Değişkenlerin bağımsızlık koşulunu kontrol etmek.

Bağımsızlık için her

x,y

değeri için

P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)

olmalıdır. Ancak

P(X=0, Y=0) = 1/2

iken,

P(X=0)P(Y=0) = (1/2)(1/2) = 1/4

olur.

1/2 \neq 1/4

olduğundan değişkenler bağımlıdır.

Sıfır kovaryans bağımsızlığı garanti etmediği için olasılık çarpımları üzerinden kontrol yapılması gerekir.

Key Concept

İki rastgele değişken bağımsızsa kovaryansları her zaman sıfırdır; ancak kovaryansın sıfır olması bu değişkenlerin bağımsız olduğunu garanti etmez (sadece aralarında doğrusal bir ilişki olmadığını gösterir).

Alternative Method

Bağımsızlık testi için uç noktalardaki olasılıklara da bakılabilir. Örneğin;

P(X=1, Y=1) = 1/8

iken,

P(X=1)P(Y=1) = (1/4)(1/4) = 1/16

'dır. Eşitlik sağlanmadığı için değişkenler en başından bağımlı olarak nitelendirilebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 86Question →

Bir meteoroloji kurumu, belirli bir bölgedeki rüzgar hızının Doğu-Batı yönündeki dalgalanmasını ( $X$ ) ve Kuzey-Güney yönündeki dalgalanmasını ( $Y$ ) ölçeklendirilmiş birimlerle analiz etmektedir. Yapılan analiz sonucunda $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur:

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu modele göre $X$ ve $Y$ değişkenlerinin özellikleri ve aralarındaki ilişki dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Değişkenlerin ortak beklenen değeri

E[XY] = 0

ve marjinal beklenen değerleri sıfır olduğundan aralarındaki kovaryans sıfırdır ve bu özellik değişkenlerin kesinlikle bağımsız olduğunu kanıtlar.

X

ve

Y

'nin değer alabileceği bölge dikdörtgensel bir alan (çarpım uzayı) oluşturmadığı için değişkenler bağımlıdır, ancak dağılımın simetrisinden dolayı aralarındaki kovaryans sıfırdır.

Dairesel alan üzerindeki

(x, y)

noktalarının oluşturduğu olaylar birbirinden ayrık kümelere denk geldiği için

X

ve

Y

değişkenleri olasılık teorisi gereği bağımsızdır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu alan üzerinde sabit (

\frac{1}{\pi}

) bir değere sahip olduğundan,

X

ve

Y

'nin marjinal fonksiyonlarının toplamı her noktada sabittir ve bu durum bağımsızlığı sağlar.

X

ve

Y

'nin beklenen değerleri için

E[XY] = E[X]E[Y]

eşitliği sağlandığından, rastgele değişkenlerin beklenen değer doğrusal özellikleri gereği

X

ve

Y

bağımsızdır.

Show answer & explanation

Answer: $X$ ve $Y$ 'nin değer alabileceği bölge dikdörtgensel bir alan (çarpım uzayı) oluşturmadığı için değişkenler bağımlıdır, ancak dağılımın simetrisinden dolayı aralarındaki kovaryans sıfırdır.

Answer

Ortak destek kümesinin dairesel (dikdörtgensel olmayan) yapısından dolayı değişkenler bağımlıdır; ancak merkeze göre simetrik olmaları nedeniyle kovaryansları sıfıra eşittir.

Sürekli rastgele değişkenlerde bağımsızlığın sağlanması için gerekli ön şartlardan ilki, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesinin (domain) bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım bölgesi) oluşturmasıdır. Sorudaki

x^2 + y^2 \leq 1

bölgesi daireseldir; dolayısıyla örneğin

x=1

olduğunda

y

sadece

0

olabilir, yani değişkenler birbirinin alabileceği değer aralıklarını kısıtlar. Bu durum

X

ve

Y

'nin kesinlikle bağımlı olduğunu kanıtlar. Buna karşın, dairesel bölgenin merkeze göre simetrik olması nedeniyle

E[X]

,

E[Y]

ve ortak beklenen değer

E[XY]

sıfıra eşittir. Bu değerler

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülünde yerine konulduğunda kovaryans sıfır çıkar. Bu klasik teorem, kovaryansın sadece doğrusal ilişkiyi ölçtüğünü ve bağımlı değişkenlerin de sıfır kovaryansa sahip olabileceğini ispatlar.

Step-by-Step Solution

1

Destek kümesinin (tanım bölgesi) şeklini ve bağımsızlık üzerindeki etkisini incelemek.

Tanım bölgesi

x^2 + y^2 \leq 1

eşitsizliğiyle verilen bir dairedir.

Sürekli iki değişkenin bağımsız olabilmesi için destek kümelerinin sınırlarının birbirine bağlı olmaması (dikdörtgensel kartezyen çarpım olması) gerekir; dairesel sınır bağımlılığı doğrudan kanıtlar.

2

X

ve

Y

'nin marjinal beklenen değerlerini hesaplamak.

f(x,y)

orijine göre simetrik olduğundan, tek fonksiyonların integrali sıfır olur ve

E[X] = 0

,

E[Y] = 0

bulunur.

Kovaryans formülünde kullanılacak

E[X]

ve

E[Y]

temel değerlerini elde etmek.

3

Ortak beklenen değer

E[XY]

değerini hesaplamak.

x \cdot y \cdot f(x,y)

fonksiyonu dairesel simetrik bölgede integre edildiğinde sonuç yine

0

çıkar (

E[XY]=0

).

Kovaryans denkleminde yerine koyulacak ortak moment değerini bulmak.

4

Elde edilen verilerle kovaryans değerini formüle yerleştirmek.

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - (0 \cdot 0) = 0

olarak bulunur.

Değişkenlerin hem bağımlı olduğunu hem de sıfır kovaryansa sahip olduğunu matematiksel olarak doğrulamak.

Key Concept

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlığı Garanti Etmemesi ve Destek Kümesinin Rolü

Question 87Question →

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = \begin{cases} x + y, & 0 \le x \le 1 \text{ ve } 0 \le y \le 1 \\\\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X, Y)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-\frac{1}{144}

0

\frac{1}{144}

\frac{1}{12}

\frac{1}{3}

Show answer & explanation

Answer: $-\frac{1}{144}$

Answer

Doğru cevap

-\frac{1}{144}

olmalıdır.

Kovaryans hesaplaması

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülüne dayanır. İlgili entegraller hesaplandığında; ortak moment

E[XY] = \frac{1}{3}

, marjinal beklenen değerler olan

E[X]

ve

E[Y]

ise

\frac{7}{12}

bulunur. Bu sonuçlar formülde yerine konulduğunda

\frac{48}{144} - \frac{49}{144}

işlemiyle

-\frac{1}{144}

doğru yanıtına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

X

ve

Y

'nin ortak beklenen değeri olan

E[XY]

değerini hesaplayın.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^1 xy(x+y) dx dy = \int_0^1 \int_0^1 (x^2y + xy^2) dx dy = \int_0^1 (\frac{y}{3} + \frac{y^2}{2}) dy = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

Kovaryans hesabı formülündeki eksilen terimi (ortak momenti) bulmak için tanımlı aralıkta çift katlı integral alınır.

2

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_X(x)

'i bulun.

f_X(x) = \int_0^1 (x+y) dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{y=1} = x + \frac{1}{2}

X

'in beklenen değerini hesaplayabilmek için

Y

'ye göre integrasyon yaparak diğer değişkeni yok etmek gerekir.

3

E[X]

ve simetriden

E[Y]

marjinal beklenen değerlerini hesaplayın.

E[X] = \int_0^1 x(x+\frac{1}{2}) dx = \int_0^1 (x^2 + \frac{x}{2}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

.

f(x,y)

simetrik olduğundan

E[Y] = \frac{7}{12}

olur.

Kovaryans formülünde çıkan terim olan marjinal beklentilerin çarpımını elde etmek için gereklidir.

4

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

temel kovaryans formülünü uygulayın.

Cov(X,Y) = \frac{1}{3} - \left(\frac{7}{12} \times \frac{7}{12}\right) = \frac{48}{144} - \frac{49}{144} = -\frac{1}{144}

Ortak moment ile marjinal momentlerin çarpımı arasındaki fark değişkenlerin birbirlerine olan doğrusal bağımlılığını (kovaryansını) ölçer.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişken için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan marjinal yoğunluk fonksiyonlarının türetilmesi ve temel kovaryans formülünün (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) uygulanması.

Question 88Question →

Sürekli

X

ve

Y

rastgele değişkenleri, aşağıdaki tanımlı bölge üzerinde bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre,

X

ve

Y

rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans,

Cov(X,Y)

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0

\frac{4}{225}

\frac{2}{75}

\frac{4}{9}

-\frac{4}{225}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{225}$

Answer

Kovaryans değeri

\frac{4}{225}

olmalıdır.

Kovaryans,

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

genel formülü ile hesaplanır. Ortak yoğunluk fonksiyonu

0 < x < y < 1

üçgensel bölgesinde tanımlı olduğundan, çift katlı integrallerde iç integral

x

üzerinden

0

'dan

y

'ye, dış integral ise

y

üzerinden

0

'dan

1

'e alınmalıdır. Gerekli integraller hesaplandığında

E[XY] = \frac{4}{9}

,

E[X] = \frac{8}{15}

ve

E[Y] = \frac{4}{5}

bulunur. Bu değerler formülde yerine konulduğunda

\frac{4}{9} - \left(\frac{8}{15} \cdot \frac{4}{5}\right) = \frac{100 - 96}{225} = \frac{4}{225}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Ortak beklenen değer olan

E[XY]

'yi çift katlı integral kullanarak hesaplayın.

E[XY] = \int_0^1 \int_0^y (xy)(8xy) \,dx\,dy = \int_0^1 8y^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y \,dy = \frac{8}{3} \int_0^1 y^5 \,dy = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{9}

Kovaryans formülünün (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) temel bileşenlerinden birini bulmak için.

2

X

rastgele değişkeninin beklenen değeri olan

E[X]

'i hesaplayın.

E[X] = \int_0^1 \int_0^y x(8xy) \,dx\,dy = \int_0^1 8y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y \,dy = \frac{8}{3} \int_0^1 y^4 \,dy = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{15}

Değişkenlerin bireysel beklenen değerlerinin çarpımını bulabilmek için.

3

Y

rastgele değişkeninin beklenen değeri olan

E[Y]

'yi hesaplayın.

E[Y] = \int_0^1 \int_0^y y(8xy) \,dx\,dy = \int_0^1 8y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y \,dy = 4 \int_0^1 y^4 \,dy = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

Kovaryans formülündeki ikinci marjinal beklenti değerini elde etmek için.

4

Bulunan değerleri kovaryans formülünde yerine koyun.

Cov(X,Y) = \frac{4}{9} - \left(\frac{8}{15} \cdot \frac{4}{5}\right) = \frac{4}{9} - \frac{32}{75} = \frac{100 - 96}{225} = \frac{4}{225}

İki değişkenin birlikte ne kadar değiştiklerini gösteren nihai ölçüyü hesaplamak için.

Key Concept

Sürekli iki değişkenli dağılımlarda ortak beklenen değer, marjinal beklentiler ve kovaryans hesabı

Alternative Method

E[X]

ve

E[Y]

değerleri, önce

f_Y(y) = \int_0^y 8xy \,dx = 4y^3

(

0 < y < 1

) ve

f_X(x) = \int_x^1 8xy \,dy = 4x(1-x^2)

(

0 < x < 1

) marjinal yoğunluk fonksiyonları bulunarak tek katlı integraller üzerinden de hesaplanabilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 89Question →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$U = \frac{X}{Y}$ ve $V = Y$ değişken dönüşümleri tanımlanmıştır.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $g(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

g(u,v) = 8uv^3, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1

g(u,v) = 8uv^2, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1

g(u,v) = 8uv, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1

g(u,v) = 8uv^3, \quad 0 < u < v < 1

g(u,v) = 8uv^2, \quad 0 < u < v < 1

Show answer & explanation

Answer: $g(u,v) = 8uv^3, \quad 0 < u < 1 \text{ ve } 0 < v < 1$

Answer

g(u,v) = 8uv^3

yoğunluk fonksiyonuna ve

0 < u < 1

ile

0 < v < 1

sınırlarına sahip olan seçenektir.

Doğru seçenekte, ters dönüşüm formülleri (

x=uv, y=v

) doğru tespit edilmiş, Jakobiyen determinantı

|J|=v

olarak hesaplanıp yerine konmuş (

8(uv)(v) \cdot v = 8uv^3

) ve orijinal sınırlar (

0<x<y<1

) üzerinden yeni sınırlar (

0<u<1, 0<v<1

) tam ve eksiksiz bir şekilde belirlenmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Eski değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etme

Y = V

ve

X = UV

Değişken dönüşümü yapabilmek için ters dönüşüm denklemlerini elde etmemiz gerekir.

2

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama

J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = v

.

V=Y>0

olduğu için mutlak değeri

|J| = v

olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun dönüşümünde, alan/hacim değişimini düzeltmek için Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpmak gerekir.

3

Yeni ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu

g(u,v)

elde etme

g(u,v) = f(uv, v) \cdot |J| = 8(uv)(v) \cdot v = 8uv^3

Orijinal fonksiyonda

x

ve

y

yerine eşdeğerlerini yazıp mutlak Jakobiyen değeri ile çarparız.

4

Yeni değişkenler için tanım aralığını (sınırları) bulma

Orijinal

0 < x < y < 1

eşitsizliğinde değişkenleri yerine yazarsak

0 < uv < v < 1

elde edilir. Eşitsizliği

v

(

v > 0

) değerine bölersek

0 < u < 1

bulunur. Ayrıca

v < 1

olduğundan, son sınırlar

0 < u < 1

ve

0 < v < 1

olarak belirlenir.

Dönüşüm sonrasında yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu bölgeyi belirlememiz gerekir.

Key Concept

Değişken Dönüşümleri ve Jakobiyen Yöntemi

Question 90Question →

Bir sistemin iki farklı bileşeninin çalışma sürelerini temsil eden $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 3x, & 0 < y < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ , $0 < y < 1$ aralığı için aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{3}{2}(1 - y^2)

3y^2

\frac{3}{2}y^2

\frac{3}{2}

3y(1 - y)

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{2}(1 - y^2)$

Answer

\frac{3}{2}(1 - y^2)

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

x

üzerinden integrali alınmalıdır.

0 < y < x < 1

eşitsizliğinden, belirli bir

y

değeri için

x

'in alt sınırı

y

, üst sınırı ise

1

'dir. Bu nedenle

\int_{y}^{1} 3x \, dx

işlemi yapılarak

\frac{3}{2}(1 - y^2)

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Y

'nin marjinal dağılımını bulmak için integrasyon değişkenini ve sınırlarını belirleme

İntegral

x

değişkenine göre alınmalıdır. Eşitsizlikten (

0 < y < x < 1

), sabit bir

y

değeri için

x

'in sınırları alt sınır

y

ve üst sınır

1

olacak şekilde belirlenir.

Y

'nin marjinal yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

, ortak yoğunluk fonksiyonunun tüm

x

değerleri üzerinden integrali alınarak bulunur.

2

Belirlenen sınırlar ile integrali hesaplama

f_Y(y) = \int_{y}^{1} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{y}^{1}

Sürekli rastgele değişkenler için marjinal olasılık fonksiyonu tanımının uygulanması.

3

İntegral sonucunu değerlendirme

f_Y(y) = \frac{3(1)^2}{2} - \frac{3(y)^2}{2} = \frac{3}{2}(1 - y^2)

Sınır değerlerinin yerine konularak cebirsel ifadenin sadeleştirilmesi.

Key Concept

Sürekli çok değişkenli dağılımlarda ortak yoğunluk fonksiyonundan tek değişkene göre integral alarak marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun elde edilmesi.

Question 91Question →

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = \frac{1}{2}$ verildiğinde $X$ 'in koşullu beklenen değeri olan $E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right]$ kaçtır?

\frac{1}{9}

\frac{1}{6}

\frac{1}{3}

\frac{4}{9}

\frac{8}{15}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{3}$

Answer

Doğru değer

\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Koşullu beklenen değer bulunurken, öncelikle Y'nin verilen değerdeki marjinal olasılık yoğunluğu (

f_Y(1/2) = 1/2

) bulunur. Ardından

f(x, 1/2)

ortak olasılığı bu marjinal değere bölünerek koşullu olasılık fonksiyonu olan

8x

elde edilir. Son olarak

x

ile çarpılarak

0

'dan

1/2

'ye kadar integre edildiğinde sonuç

\frac{1}{3}

çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y)

bulmak.

f_Y(y) = \int_{0}^{y} 8xy \, dx = 4y \left[x^2\right]_0^y = 4y^3

(

0 < y < 1

için).

Koşullu yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için Y'nin marjinal dağılımına ihtiyaç vardır.

2

Y = \frac{1}{2}

için marjinal yoğunluk değerini hesaplamak.

f_Y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{2}

.

Koşullu olasılık formülünde paydayı belirlemek için bu marjinal değere ihtiyaç vardır.

3

X

'in

Y = \frac{1}{2}

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_{X|Y}\left(x \Big| \frac{1}{2}\right)

bulmak.

f_{X|Y}\left(x \Big| \frac{1}{2}\right) = \frac{f(x, 1/2)}{f_Y(1/2)} = \frac{8x(1/2)}{1/2} = 8x

(

0 < x < \frac{1}{2}

için).

Koşullu beklenen değeri hesaplamak için

X

'in bu koşul altındaki dağılım kuralı ve yeni tanım aralığı bilinmelidir.

4

E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right]

değerini integral yardımıyla hesaplamak.

E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right] = \int_{0}^{1/2} x (8x) \, dx = \int_{0}^{1/2} 8x^2 \, dx = \left[ \frac{8x^3}{3} \right]_0^{1/2} = \frac{8(1/8)}{3} = \frac{1}{3}

.

Koşullu beklenen değer, değişkenin kendisi (

x

) ile koşullu yoğunluk fonksiyonunun koşul sınırları içinde integre edilmesiyle bulunur.

Key Concept

Koşullu Beklenen Değer ve Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Question 92Question →

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \end{bmatrix}$ rastgele vektörü, iki değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu dağılıma ait ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ aşağıda verilmiştir:

\boldsymbol{\mu} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Buna göre, $X_2 = 3$ olduğu bilindiğinde $X_1$ rastgele değişkeninin koşullu dağılımı ( $X_1 | X_2 = 3$ ) aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: Seçeneklerde $N(\mu; \sigma^2)$ gösterimi kullanılmıştır.)

N(4{}5; 6{}75)

N(4{}5; 8)

N(3; 9)

N(5{}25; 6{}75)

N(4{}5; 9)

Show answer & explanation

Answer: $N(4{}5; 6{}75)$

Answer

Ortalaması 4,5 ve varyansı 6,75 olan N(4,5; 6,75) dağılımı

İki değişkenli normal dağılımda

X_1

'in

X_2

'ye göre koşullu dağılımı da normal dağılımdır. Koşullu beklenen değer formülü

E(X_1|X_2=x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(x_2 - \mu_2)

ve koşullu varyans formülü

Var(X_1|X_2=x_2) = \sigma_{11} - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{22}}

kullanıldığında ortalama 4,5 ve varyans 6,75 olarak doğru şekilde bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Matrislerden gerekli parametreleri belirleme

\mu_1 = 3

,

\mu_2 = 1

,

\sigma_{11} = 9

,

\sigma_{22} = 4

ve

\sigma_{12} = 3

bulunur.

Koşullu dağılım formüllerini uygulamak için marjinal ortalama, varyans ve kovaryans değerlerine ihtiyaç vardır.

2

Koşullu beklenen değeri hesaplama

E(X_1 | X_2 = 3) = 3 + \frac{3}{4}(3 - 1) = 3 + \frac{6}{4} = 4{}5

elde edilir.

İki değişkenli normal dağılımda

E(X_1 | X_2 = x_2) = \mu_1 + \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{22}}(x_2 - \mu_2)

formülü geçerlidir.

3

Koşullu varyansı hesaplama

Var(X_1 | X_2 = 3) = 9 - \frac{3^2}{4} = 9 - 2{}25 = 6{}75

elde edilir.

İki değişkenli normal dağılımda koşullu varyans

Var(X_1 | X_2 = x_2) = \sigma_{11} - \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{22}}

formülü ile hesaplanır.

4

Sonucu birleştirme

Dağılım parametreleri yerine konarak

N(4{}5; 6{}75)

olarak belirlenir.

Normal dağılımın parametreleri ortalama ve varyans olduğu için elde edilen değerler ilgili alanlara yazılır.

Key Concept

İki Değişkenli Normal Dağılımda Koşullu Dağılım

Question 93Question →

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} x + \frac{3}{2}y^2, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = \frac{1}{2}$ olduğu bilindiğinde $X$ 'in $\frac{1}{2}$ 'den büyük olma olasılığı kaçtır?

\frac{5}{14}

\frac{9}{16}

\frac{5}{8}

\frac{9}{14}

\frac{11}{16}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{9}{14}$

Answer

Doğru olasılık değeri

\frac{9}{14}

'tür.

Koşullu olasılık dağılımı

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

formülüyle hesaplanır. Soru bizden

Y=1/2

için

X

'in koşullu olasılığını istemektedir.

f_Y(1/2)

değeri

7/8

olarak bulunur. Yerine konulduğunda

X

'in koşullu yoğunluk fonksiyonu

(8x+3)/7

çıkar.

X > 1/2

koşulu için bu fonksiyonun

1/2

'den

1

'e kadar integrali alındığında sonuç

\frac{9}{14}

olur.

Step-by-Step Solution

1

Y

rastgele değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y)

'yi bulmak için, ortak yoğunluk fonksiyonunun

x

'e göre integralini alın.

f_Y(y) = \int_0^1 \left(x + \frac{3}{2}y^2\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}y^2 x \right]_0^1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}y^2

Koşullu yoğunluk fonksiyonunu tanımlamak için paydada

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

Bulunan marjinal yoğunluk fonksiyonunda

Y = 1/2

değerini yerine yazarak payda için gerekli sabiti hesaplayın.

f_Y(1/2) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{7}{8}

Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu belirli bir

Y

değeri (

Y=1/2

) için oluşturulacaktır.

3

Y = 1/2

verildiğinde

X

'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_{X|Y=1/2}(x)

oluşturun.

f_{X|Y=1/2}(x) = \frac{f(x, 1/2)}{f_Y(1/2)} = \frac{x + \frac{3}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{8}{7}\left(x + \frac{3}{8}\right) = \frac{8x + 3}{7}

İstenilen olasılığı hesaplayabilmek için

X

'in bu özel duruma ait güncellenmiş dağılımına sahip olmalıyız.

4

X

'in

1/2

'den büyük olma olasılığını bulmak için koşullu yoğunluk fonksiyonunun

1/2

ile

1

sınırları arasında integralini alın.

P(X > 1/2 | Y = 1/2) = \int_{1/2}^1 \frac{8x + 3}{7} dx = \frac{1}{7} \left[ 4x^2 + 3x \right]_{1/2}^1 = \frac{1}{7} \left( (4+3) - \left(1+\frac{3}{2}\right) \right) = \frac{1}{7} \left( 7 - 2.5 \right) = \frac{4.5}{7} = \frac{9}{14}

Sürekli rastgele değişkenlerde bir aralıktaki olasılık, olasılık yoğunluk fonksiyonunun o aralıktaki belirli integrali ile bulunur.

Key Concept

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Koşullu Yoğunluk Fonksiyonu ve Olasılık Hesabı

Question 94Question →

$\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T$ rastgele vektörü, üç değişkenli normal dağılıma sahiptir. Bu dağılımın beklenen değer vektörü $\boldsymbol{\mu} = (1, -1, 2)^T$ ve varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ 'nın elemanları;

$\text{Var}(X_1) = 4$ , $\text{Var}(X_2) = 2$ , $\text{Var}(X_3) = 3$
$\text{Cov}(X_1, X_2) = 1$
$\text{Cov}(X_1, X_3) = -1$
$\text{Cov}(X_2, X_3) = 0$

olarak bilinmektedir.

Buna göre, $Y = X_1 - 2X_2 + X_3$ biçiminde tanımlanan $Y$ rastgele değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

N(5, 15)

N(5, 7)

N(5, 9)

N(2, 9)

N(5, 35)

Show answer & explanation

Answer: $N(5, 9)$

Answer

Beklenen değeri 5 ve varyansı 9 olan

N(5, 9)

dağılımıdır.

Çok değişkenli normal rastgele vektörlerin lineer kombinasyonları da normal dağılır. Doğrusal operatör kuralları gereğince beklenen değer

E(Y) = E(X_1) - 2E(X_2) + E(X_3) = 1 - 2(-1) + 2 = 5

olarak bulunur. Varyans hesaplamasında ise varyanslar katsayıların karesi ile, kovaryanslar ise değişkenlerin katsayılarının çarpımının iki katı ile ağırlıklandırılır:

Var(Y) = 1^2(4) + (-2)^2(2) + 1^2(3) + 2(1)(-2)(1) + 2(1)(1)(-1) + 2(-2)(1)(0) = 4 + 8 + 3 - 4 - 2 = 9

elde edilir. Bu durum,

Y

'nin dağılımının

N(5, 9)

olduğunu gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Çok değişkenli normal dağılımın lineer kombinasyonunun dağılım türünü belirlemek.

Y

rastgele değişkeni de normal dağılıma sahiptir.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip vektörlerin her türlü lineer kombinasyonu tek değişkenli normal dağılım sergiler.

2

Y

'nin beklenen değerini, beklenti operatörünün doğrusallık özelliğini kullanarak hesaplamak.

E(Y) = 1 - 2(-1) + 2 = 5

E(aX_1 + bX_2 + cX_3) = aE(X_1) + bE(X_2) + cE(X_3)

formülü gereğince katsayılar dikkate alınarak toplama yapılır.

3

Y

'nin varyansını çok değişkenli varyans kurallarına göre hesaplamak.

Var(Y) = 4 + 4(2) + 3 - 4(1) - 2(1) + 0 = 9

Var(aX_1 + bX_2 + cX_3) = a^2Var(X_1) + b^2Var(X_2) + c^2Var(X_3) + 2abCov(X_1,X_2) + 2acCov(X_1,X_3) + 2bcCov(X_2,X_3)

eşitliği uygulanır.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Lineer Dönüşümler

Estimated Time:1m 30s

Question 95Question →

Bir ekonomist, belirli bir emtianın günlük fiyat değişim yönü ( $X$ ) ile piyasadaki spekülatif işlem hacmi durumu ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi olasılıksal olarak modellemiştir.
Modelde $X$ rastgele değişkeni; fiyat düşüşü için $-1$ , fiyatın sabit kalması için $0$ , fiyat artışı için $1$ değerlerini almaktadır. $Y$ rastgele değişkeni ise; normal hacim için $0$ , yüksek hacim için $1$ değerlerini almaktadır.

Aşağıdaki tabloda, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin birlikte aldıkları değerlere ait ortak olasılık dağılımı verilmiştir:

$X$ \ $Y$	$0$	$1$
$-1$	$0$	$\frac{1}{4}$
$0$	$\frac{1}{2}$	$0$
$1$	$0$	$\frac{1}{4}$

Buna göre, $X$ ve $Y$ değişkenlerinin kovaryansı ( $Cov(X, Y)$ ) ve birbirlerine göre bağımsızlık durumu aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Cov(X, Y) = 0

'dır ve değişkenler birbirinden bağımsızdır.

Cov(X, Y) = 0

'dır ve değişkenler birbirine bağımlıdır.

Cov(X, Y) = \frac{1}{4}

'tür ve değişkenler birbirine bağımlıdır.

Cov(X, Y) = \frac{1}{2}

'dir ve değişkenler birbirinden bağımsızdır.

Cov(X, Y) = -\frac{1}{4}

'tür ve değişkenler birbirine bağımlıdır.

Show answer & explanation

Answer: $Cov(X, Y) = 0$ 'dır ve değişkenler birbirine bağımlıdır.

Answer

Kovaryans değeri sıfırdır (

Cov(X, Y) = 0

), ancak marjinal olasılıkların çarpımı ortak olasılıklara eşit olmadığı için değişkenler birbirine bağımlıdır.

Kovaryans hesaplamak için temel formül

Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

kullanılır. Tablodaki verilerle

E[X] = 0

,

E[Y] = 1/2

ve

E[XY] = (-1)(1)(1/4) + (0)(0)(1/2) + (1)(1)(1/4) = 0

bulunur. Değerler yerine konulduğunda kovaryansın sıfır olduğu görülür. Bağımsızlık sınaması için ise her

(x, y)

çiftinde

P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)

kuralı geçerli olmalıdır. Örneğin

(0, 0)

durumu için ortak olasılık

1/2

iken, marjinal olasılıkların çarpımı

(1/2) \cdot (1/2) = 1/4

'tür.

1/2 \neq 1/4

olduğu için değişkenler bağımlıdır.

Step-by-Step Solution

1

Marjinal olasılıkların ve beklenen değerlerin (

E[X]

ve

E[Y]

) hesaplanması

E[X] = 0

ve

E[Y] = \frac{1}{2}

Kovaryans hesaplamasında

E[X]

ve

E[Y]

marjinal beklenen değerlerine ihtiyaç vardır.

E[X] = (-1)\frac{1}{4} + (0)\frac{1}{2} + (1)\frac{1}{4} = 0

ve

E[Y] = (0)\frac{1}{2} + (1)(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}

olarak bulunur.

2

X \cdot Y

çarpımının beklenen değerinin (

E[XY]

) hesaplanması

E[XY] = (-1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}) + (0 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2}) + (1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{4} = 0

Kovaryans formülünün (

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

) birinci bileşenini bulmak için, değişkenlerin birlikte aldığı her bir değer çiftinin olasılıkla çarpılıp toplanması gerekir.

3

Kovaryans değerinin bulunması

Cov(X, Y) = 0 - (0 \cdot \frac{1}{2}) = 0

Hesaplanan beklenen değerler temel kovaryans formülünde yerine konularak iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin miktarı ve yönü belirlenir.

4

Değişkenlerin bağımsızlık durumunun kontrol edilmesi

P(X=0, Y=0) = \frac{1}{2}

iken marjinal çarpım

P(X=0) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

'tür.

\frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}

olduğundan değişkenler bağımlıdır.

Kovaryansın sıfır çıkması bağımsızlığı garanti etmez (sadece doğrusal ilişki olmadığını gösterir). Kesin karar için ortak olasılık tablosundan seçilen bir durumun, marjinal olasılıkların çarpımına eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Key Concept

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlık Anlamına Gelmemesi ve Kovaryans Hesaplaması

Question 96Question →

Bir finansal risk analizi modelinde, bir yatırım portföyünün piyasa dalgalanmalarına karşı duyarlılığını ölçen $X$ ve piyasa oynaklık endeksini temsil eden $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak (eşanlı) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 15x^2y, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu modelde, Toplam Varyans Kuralı (Law of Total Variance) bağlamında portföyün risk bileşenleri incelenmektedir.

Buna göre, $X$ 'in $Y=y$ verildiğindeki koşullu varyansı $Var(X|Y=y)$ ile $X$ 'in toplam varyansının koşullu varyanslar yardımıyla hesaplanan bileşeni $E[Var(X|Y)]$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

\frac{3}{80}y^2

ve

\frac{3}{112}

\frac{3}{5}y^2

ve

\frac{3}{7}

\frac{3}{80}

ve

\frac{3}{80}

\frac{17}{448}

ve

\frac{17}{448}

\frac{3}{4}y

ve

\frac{5}{8}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{80}y^2$ ve $\frac{3}{112}$

Answer

Modelde

X

'in

Y=y

verildiğindeki koşullu varyansı

\frac{3}{80}y^2

ve bu koşullu varyansın beklenen değeri

\frac{3}{112}

olarak bulunur.

Çözüm iki temel aşamadan oluşmaktadır. İlk olarak

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = 5y^4

bulunur. Ardından koşullu PDF

f_{X|Y}(x|y) = \frac{3x^2}{y^3}

türetilir. Birinci ve ikinci koşullu momentler yardımıyla

Var(X|Y=y) = \frac{3}{5}y^2 - (\frac{3}{4}y)^2 = \frac{3}{80}y^2

değerine ulaşılır. İkinci aşamada ise, Toplam Varyans Kuralı'nın ilgili bileşeni olan

E[Var(X|Y)]

, az önce bulunan varyansın

Y

üzerinden entegre edilmesiyle

E[\frac{3}{80}Y^2] = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 \cdot 5y^4 \, dy = \frac{3}{112}

olarak neticelendirilir.

Step-by-Step Solution

1

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_Y(y)

) integrasyon ile bulunması.

f_Y(y) = \int_0^y 15x^2y \, dx = 15y \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^y = 5y^4 \quad (0 < y < 1)

.

Koşullu dağılım formülünde paydayı oluşturmak ve beklenti hesaplarında kullanmak içindir.

2

X

'in

Y=y

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_{X|Y}(x|y)

) elde edilmesi.

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{15x^2y}{5y^4} = \frac{3x^2}{y^3} \quad (0 < x < y)

.

Koşullu beklenen değerleri türetebilmek için

Y

'ye bağlı koşullu PDF gereklidir.

3

Koşullu birinci ve ikinci momentlerin (

E[X|Y=y]

ve

E[X^2|Y=y]

) hesaplanması.

E[X|Y=y] = \int_0^y x \frac{3x^2}{y^3} \, dx = \frac{3}{y^3}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^y = \frac{3}{4}y

ve

E[X^2|Y=y] = \int_0^y x^2 \frac{3x^2}{y^3} \, dx = \frac{3}{y^3}\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^y = \frac{3}{5}y^2

.

Varyans hesabında kullanılacak moment bileşenlerini belirlemek içindir.

4

Koşullu varyansın (

Var(X|Y=y)

) varyans formülüyle elde edilmesi.

Var(X|Y=y) = E[X^2|Y=y] - (E[X|Y=y])^2 = \frac{3}{5}y^2 - \left(\frac{3}{4}y\right)^2 = \left(\frac{3}{5} - \frac{9}{16}\right)y^2 = \frac{48 - 45}{80}y^2 = \frac{3}{80}y^2

.

Sorunun ilk aşamasındaki istenen hedef fonksiyonu hesaplamak içindir.

5

Koşullu varyansın beklenen değerinin (

E[Var(X|Y)]

)

Y

'nin marjinal dağılımı kullanılarak çözülmesi.

E[Var(X|Y)] = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 \cdot f_Y(y) \, dy = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 (5y^4) \, dy = \frac{15}{80} \int_0^1 y^6 \, dy = \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{112}

.

Toplam varyans kuralının bir parçası olan, koşullu varyansın beklentisini (ikinci isteneni) bulmak içindir.

Key Concept

Koşullu Beklenen Değer, Koşullu Varyans ve Toplam Varyans Kuralı

Question 97Question →

Bir İl Göç İdaresi Müdürlüğü'ne yapılan ikamet izni başvurularının sonuçları dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır:

- Onaylananlar ( $O_1$ ), %40 oranında,
- Eksik Evrak / Bekleyenler ( $O_2$ ), %30 oranında,
- Reddedilenler ( $O_3$ ), %20 oranında,
- İptal Edilenler ( $O_4$ ), %10 oranında.

Rastgele seçilen $n=200$ başvuru inceleniyor ve bu kategorilere düşen başvuru sayıları sırasıyla $X_1, X_2, X_3, X_4$ rastgele değişkenleri ile gösteriliyor.

İdare, süreç analizi için iki yeni performans değişkeni tanımlamıştır:
$Y = X_1 - X_2$ (Onaylananlar ile Bekleyenler arasındaki fark)
$Z = X_2 + X_3$ (Bekleyenler ve Reddedilenlerin toplamı)

Buna göre, $Y$ ve $Z$ değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(Y, Z)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

-94

-88

-70

-42

-14

Show answer & explanation

Answer: -70

Answer

Doğru cevap -70'tir.

Multinomiyal dağılımda

Var(X_i) = n p_i (1-p_i)

ve

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

temel özelliklerdir. Öğrencinin

Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3)

ifadesini kovaryansın bilineerlik özelliği ile

Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3)

şeklinde doğru açması gerekmektedir. Değerler yerine konduğunda:

(-24) + (-16) - 42 - (-12) = -70

işlemine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Dağılımın türünü ve parametrelerini belirle.

Bu durum,

n=200

ve olasılıkları sırasıyla

p_1=0.4, p_2=0.3, p_3=0.2, p_4=0.1

olan bir Multinomiyal dağılımdır.

Her bir deneme (başvuru) dört ayrık ve bağımlı sonuçtan birine sahiptir.

2

Multinomiyal dağılım için varyans ve kovaryans formüllerini yaz.

Marjinal varyans

Var(X_i) = n p_i (1-p_i)

ve iki farklı kategori arasındaki kovaryans

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

şeklindedir.

Multinomiyal dağılımda toplam deneme sayısı sabit olduğu için kategoriler arasında negatif bir bağımlılık vardır.

3

İstenen

Cov(Y, Z)

ifadesini doğrusal özellikler kullanarak aç.

Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Cov(X_2, X_2) - Cov(X_2, X_3)

elde edilir.

Kovaryansın bilineerlik (iki doğrusallık) özelliği,

Cov(aX+bY, cW+dZ)

şeklindeki ifadelerin dağıtılmasına izin verir. Not:

Cov(X_2, X_2) = Var(X_2)

'dir.

4

Açılımdaki her bir terimi formülleri kullanarak hesapla.

Cov(X_1, X_2) = -200(0.4)(0.3) = -24

Cov(X_1, X_3) = -200(0.4)(0.2) = -16

Var(X_2) = 200(0.3)(1-0.3) = 200(0.3)(0.7) = 42

Cov(X_2, X_3) = -200(0.3)(0.2) = -12

Adım 2'de belirlenen formüllere Adım 1'deki parametreler yerleştirilmiştir.

5

Bulunan değerleri Adım 3'teki açılımda yerine koy ve sonucu hesapla.

Cov(Y, Z) = (-24) + (-16) - 42 - (-12) = -40 - 42 + 12 = -70

bulunur.

Bütün bileşenlerin cebirsel olarak doğru işaretlerle toplanması gereklidir.

Key Concept

Multinomiyal Dağılımda Beklenen Değer, Varyans ve Kovaryans

Question 98Question →

Bir sunucu sisteminde işlenen iki aşamalı bir görevin birinci aşamasının tamamlanma süresi $X$ saat ve her iki aşamanın toplam tamamlanma süresi $Y$ saat olmak üzere, bu sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, $Cov(X,Y)$ , aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{36}

-\frac{1}{36}

0

\frac{1}{4}

\frac{5}{18}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{36}$

Answer

İşlemler sonucunda doğru kovaryans değeri

\frac{1}{36}

olarak bulunur.

Kovaryans hesabı standart olarak

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

formülü ile yapılır. Verilen sınırlar (

0 < x < y < 1

) dikkate alınarak

E[XY] = \frac{1}{4}

hesaplanır. Marjinal yoğunluk fonksiyonları kullanılarak

E[X] = \frac{1}{3}

ve

E[Y] = \frac{2}{3}

bulunur. Bu değerler formülde yerine konulduğunda

\frac{1}{4} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}) = \frac{1}{36}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Ortak beklenen değerin (

E[XY]

) sınır koşulları dikkate alınarak hesaplanması

E[XY] = \int_0^1 \int_0^y xy(2) dx dy = \int_0^1 y [x^2]_0^y dy = \int_0^1 y^3 dy = \frac{1}{4}

Kovaryans formülündeki ilk terim olan

E[XY]

değerini bulmak için

0 < x < y < 1

sınırları üzerinden integral alınmalıdır.

2

X

'in marjinal dağılımı ve beklenen değerinin (

E[X]

) bulunması

f_X(x) = \int_x^1 2 dy = 2(1-x)

. Ardından,

E[X] = \int_0^1 x(2-2x) dx = [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}

Kovaryans için gereken

E[X]

değerini bulmak amacıyla, önce

Y

'ye göre integral alınarak marjinal fonksiyon bulunmalı, sonra beklenen değer hesaplanmalıdır.

3

Y

'nin marjinal dağılımı ve beklenen değerinin (

E[Y]

) bulunması

f_Y(y) = \int_0^y 2 dx = 2y

. Ardından,

E[Y] = \int_0^1 y(2y) dy = [\frac{2y^3}{3}]_0^1 = \frac{2}{3}

Aynı şekilde

E[Y]

değerini bulmak için,

X

'e göre sınırları (

0

ile

y

arası) dahilinde integral alınarak marjinal fonksiyon ve beklenen değer elde edilmelidir.

4

Kovaryansın formül kullanılarak elde edilmesi

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{4} - \frac{2}{9} = \frac{1}{36}

Bulunan tüm beklenen değerler

Cov(X,Y)

formülünde yerine konularak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sürekli Çok Değişkenli Dağılımlarda Ortak Beklenen Değer ve Kovaryans Hesaplaması

Question 99Question →

Bir finansal modellemede, bir varlığın günlük minimum fiyat dalgalanması $X$ ve maksimum fiyat dalgalanması $Y$ rassal değişkenleri ile ifade edilmektedir. Bu iki değişkenin birlikte oluşturduğu iki boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x,y)$ , sadece $0 \leq x \leq y \leq 2$ eşitsizliklerinin sağlandığı bölgede pozitif değerler üretmektedir.

Bu finansal rassal değişkenler göz önüne alındığında, aşağıdaki yargılardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Eğer bu değişkenler arasındaki kovaryans sıfır (

Cov(X,Y) = 0

) çıkarsa,

X

ve

Y

'nin kesinlikle bağımsız olduğu kanıtlanmış olur.

Değişkenler bağımsız olmasalar bile, çarpımlarının beklenen değeri her durumda marjinal beklenen değerlerinin çarpımına (

E[X \cdot Y] = E[X] \cdot E[Y]

) eşittir.

X

değişkeninin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için,

f(x,y)

fonksiyonu

y

değişkenine göre değil,

x

değişkenine göre integre edilmelidir.

x

ve

y

değerlerinin sınırları birbirine bağımlı bir yapı sergilediği için (tanım bölgesi dikdörtgensel olmadığından),

X

ve

Y

rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olamaz.

Verilen bu yapı içerisinde,

Y

'nin belirli bir değerine karşılık hesaplanacak koşullu beklenen değer

E[X|Y=y]

, her zaman sabit bir sayıya eşittir.

Show answer & explanation

Answer: $x$ ve $y$ değerlerinin sınırları birbirine bağımlı bir yapı sergilediği için (tanım bölgesi dikdörtgensel olmadığından), $X$ ve $Y$ rassal değişkenleri birbirinden bağımsız olamaz.

Answer

X

ve

Y

'nin tanımlı olduğu destek kümesi

y=x

doğrusuyla sınırlandırılmış üçgensel bir bölgedir. Sınırların birbirine bağlı olması (dikdörtgensel olmaması) nedeniyle değişkenler bağımsız olamaz.

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsız olabilmesi için hem

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğinin sağlanması hem de ortak destek kümesinin eksenlere paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) şeklinde olması zorunludur. Verilen problemde

0 \leq x \leq y \leq 2

bölgesi bir üçgen belirtir; yani

x

'in alabileceği değerler

y

'nin aldığı değere bağlıdır. Bu sınır bağımlılığı matematiksel olarak

X

ve

Y

'nin kesinlikle bağımsız olamayacağını gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesini geometrik olarak analiz etmek.

Destek kümesi

S = \{(x,y) : 0 \leq x \leq y \leq 2\}

şeklinde verilmiştir. Bu bölge

x=0

,

y=2

ve

y=x

doğruları ile sınırlanmış dik üçgen biçiminde bir alandır.

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsızlığı, yalnızca fonksiyonun formülüyle değil, aynı zamanda fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesinin) yapısıyla da doğrudan ilişkilidir.

2

Sürekli değişkenlerde bağımsızlık için gereken destek kümesi şartını uygulamak.

Bağımsız değişkenlerin ortak destek kümesi, marjinal destek kümelerinin kartezyen çarpımı olmalıdır (

S_X \times S_Y

). Bu da eksenlere paralel bir dikdörtgen oluşturmalıdır.

x

'in sınırları

y

'ye bağlı (

x \leq y

) olduğundan, üçgensel olan bu bölge kartezyen çarpım kuralına uymaz.

f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)

eşitliğinin bölgenin tamamında sağlanabilmesi için bölgenin dikdörtgensel olması geometrik bir zorunluluktur.

3

Seçeneklerdeki diğer istatistiksel yargıları temel kavramlarla çürütmek.

Sıfır kovaryansın doğrudan bağımsızlık anlamına gelmeyeceği, bağımlı değişkenlerde beklenen değer çarpımının ayrılamayacağı ve marjinal fonksiyon bulunurken integralin zıt değişkene göre alındığı hatırlanarak hatalı seçenekler elenir.

Çok değişkenli analizdeki temel teorik özellikler ve matematiksel işlemler kesinlik ifadelerine (her zaman, daima vb.) karşı test edilmelidir.

Key Concept

Sürekli Rastgele Değişkenlerde Bağımsızlık ve Destek Kümesi Şartı

Alternative Method

Destek kümesinin geometrik analizi pratik ve hızlı bir yöntemdir. Ancak zamanın olduğu durumlarda, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun

x

'e ve

y

'ye göre integralleri alınarak

f_X(x)

ve

f_Y(y)

hesaplanıp,

f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)

olduğu doğrudan matematiksel denklem üzerinden de gösterilebilir.

Estimated Time:1m 0s

Question 100Question →

Endüstriyel bir süreçte, bir ürünün üç farklı kalite göstergesi $Y_1, Y_2$ ve $Y_3$ rassal değişkenleriyle modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak dağılımının, varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan çok değişkenli normal dağılıma uyduğu bilinmektedir:

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}

Sürecin genel performansını değerlendirmek amacıyla $W = 2Y_1 - Y_2 + Y_3$ şeklinde yeni bir indeks tanımlanmıştır. Ayrıca, kalite kontrol aşamasında ilk iki göstergenin değerleri bilindiğinde, üçüncü göstergenin belirsizliğini ölçmek için $Y_3$ 'ün $Y_1$ ve $Y_2$ 'ye göre koşullu varyansının hesaplanması gerekmektedir.

Buna göre, $W$ indeksinin varyansı ile $Y_3$ 'ün koşullu varyansı ( $Var(Y_3 | Y_1, Y_2)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

9

ve

\frac{5}{2}

23

ve

5

9

ve

\frac{15}{2}

11

ve

\frac{5}{2}

1

ve

\frac{5}{2}

Show answer & explanation

Answer: $9$ ve $\frac{5}{2}$

Answer

W

indeksinin varyansı

9

ve koşullu varyans

\frac{5}{2}

olarak bulunur.

Doğru cevap, çok değişkenli normal dağılımın temel özelliklerini eksiksiz uygular. Birinci değer olan

W

indeksinin varyansı,

\mathbf{a}^T = (2, -1, 1)

olmak üzere

Var(W) = \mathbf{a}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a}

matris çarpımıyla veya doğrudan varyans özellikleri kullanılarak

9

olarak hesaplanır. İkinci değer olan koşullu varyans ise, varyans-kovaryans matrisinin uygun şekilde bloklara parçalanmasıyla elde edilen

\boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21}

formülünün uygulanmasıyla

5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

W

indeksinin varyansını hesaplama

Var(W) = 9

W

bir lineer kombinasyondur.

\mathbf{a}^T = (2, -1, 1)

olmak üzere,

Var(W) = \mathbf{a}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a}

formülü kullanılır. Matris çarpımı yapıldığında

Var(W) = 4(2^2) + 2(-1)^2 + 5(1^2) + 2(2)(2)(-1) + 2(-1)(2)(1) + 2(1)(-1)(1) = 16 + 2 + 5 - 8 - 4 - 2 = 9

elde edilir.

2

Koşullu varyans için matrisleri parçalama

\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

,

\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix}

,

\boldsymbol{\Sigma}_{11} = 5

Y_3

'ün

(Y_1, Y_2)

'ye göre koşullu varyansı için genel formül

Var(Y_3 | Y_1, Y_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21}

şeklindedir. İşlem için matris ilgili alt matrislere bölünür.

3

Koşullu varyansı hesaplama

Var(Y_3 | Y_1, Y_2) = \frac{5}{2}

Öncelikle

\boldsymbol{\Sigma}_{22}

matrisinin tersi alınır:

\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix}

. Formülde yerine konulduğunda

\boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{5}{2}

bulunur. Sonuç olarak

5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}

elde edilir.

Key Concept

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Lineer Dönüşümler ve Koşullu Dağılımlar

Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes