Tabakalı Rastgele Örnekleme Practice Questions — KPSS İstatistik

Tabakalı rastgele örnekleme yöntemi ile ilgili olarak;

I. Tabakaların kendi içinde homojen (benzer), tabakalar arasında ise heterojen (farklı) bir yapıda olması tahmin edicilerin varyansını düşürerek etkinliği artırır.
II. Kitledeki her bir birim mutlaka bir tabakaya dahil edilmeli ve hiçbir birim birden fazla tabakada yer almamalıdır.
III. Basit rastgele örneklemeye göre daha etkin sonuçlar elde edebilmek için tabaka ortalamalarının birbirine mümkün olduğunca yakın olması istenir.

yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

Doğru olan ifadeler, tabaka içi homojenlik ile tabakalar arası heterojenliğin etkinliği artırdığını belirten I. öncül ve birimlerin tabakalara tam ve ayrık dağılımını belirten II. öncüldür.

Tabakalı rastgele örneklemede, kitleyi oluşturan alt grupların (tabakaların) kendi içinde benzer birimlerden oluşması (homojenlik) tabaka içi varyansı düşürür. Aynı zamanda bu tabakaların ortalamalarının birbirinden farklı olması (heterojenlik), basit rastgele örneklemeye kıyasla daha düşük bir toplam hata varyansı elde edilmesini sağlar. Ayrıca istatistiksel olarak her kitle birimi mutlaka bir tabakaya atanmalı ve kümelerin kesişimi boş küme olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalandırma ilkesini değerlendiriniz.

I. öncüldeki 'içi homojen, arası heterojen' kuralı doğrudur.

Varyansın düşmesi için tabaka içi varyansların (

S_h^2

) küçük olması istenir.

2

Birimlerin tabakalara atanma kuralını kontrol ediniz.

II. öncüldeki her birimin bir ve yalnız bir tabakada olması kuralı doğrudur.

Bu kural, örnekleme çerçevesinin kitleyi tam olarak kapsamasını ve birimlerin seçilme olasılıklarının doğru hesaplanmasını sağlar.

3

Yöntemin etkinliğini (efficiency) analiz ediniz.

III. öncüldeki tabaka ortalamalarının yakın olması gerektiği ifadesi yanlıştır.

Tabakalı örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre kazancı, tabaka ortalamaları arasındaki farkın (varyansın) büyüklüğünden gelir.

Key Concept

Tabakalı Örnekleme Temel İlkeleri: İçi Homojenlik ve Arası Heterojenlik

Estimated Time:1m 30s

Question 2Question →

Bir araştırmacı, bir ildeki hanehalkı aylık tüketim harcaması ortalamasını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme kullanmayı planlamaktadır. Araştırmacı, kitleyi tabakalara ayırmak için 'Eğitim Düzeyi', 'Hanehalkı Büyüklüğü' ve 'Konut Tipi' gibi farklı yardımcı değişkenleri incelemiş; bu değişkenlere göre oluşturulan grupların kendi içindeki harcama varyanslarını ( $\sigma_h^2$ ) ve gruplar arası harcama farklarını analiz etmiştir.

Tabakalı örneklemede örnekleme hatasını minimize etmek ve tahminin etkinliğini artırmak isteyen bu araştırmacı, tabakaları oluştururken aşağıdaki kriterlerden hangisini temel almalıdır?

Grup içi varyansın (

\sigma_h^2

) en küçük, gruplar arası varyansın ise en büyük olduğu değişkeni seçmelidir.

Grup içi varyansın en büyük, gruplar arası varyansın ise en küçük olduğu değişkeni seçmelidir.

Sadece grup içi varyansın büyüklüğüne bakmalı, gruplar arası farkların minimum düzeyde kalmasını sağlamalıdır.

Değişkenlerin varyansları yerine sadece hanehalkı sayısının (

N

) en fazla olduğu değişkeni tabaka değişkeni olarak belirlemelidir.

Tabaka içi homojenliğin en düşük, tabakalar arası heterojenliğin en düşük olduğu değişkeni tercih etmelidir.

Show answer & explanation

Answer: Grup içi varyansın ( $\sigma_h^2$ ) en küçük, gruplar arası varyansın ise en büyük olduğu değişkeni seçmelidir.

Answer

Araştırmacı, grup içi varyansın en küçük (tabaka içi homojenlik maksimum) ve gruplar arası varyansın en büyük (tabakalar arası heterojenlik maksimum) olduğu değişkeni seçmelidir.

Tabakalı rastgele örneklemede, kitleyi öyle gruplara ayırmalıyız ki her grup (tabaka) kendi içinde birbirine çok benzeyen (homojen) birimlerden oluşsun. Bu durum grup içi varyansın (

\sigma_h^2

) düşük olması demektir. Aynı zamanda, oluşturulan bu grupların birbirlerinden mümkün olduğunca farklı (heterojen) olması gerekir ki toplam varyansın büyük bir kısmı tabakalar arası farklardan kaynaklansın ve örnekleme hatasına dahil olmasın.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalı örneklemenin amacını belirleme

Tahmin edicinin varyansını küçültmek ve etkinliği artırmak.

Tabakalı örneklemede kitledeki heterojenlik kontrol altına alınarak daha hassas tahminler yapılması hedeflenir.

2

Varyans bileşenlerini analiz etme

Toplam varyans = Tabaka içi varyans + Tabakalar arası varyans.

Kitle varyansı sabitken, tabakalar arası fark ne kadar büyük olursa (heterojenlik), tabaka içindeki birimler o kadar benzer (homojen) olur.

3

Homojenlik ve heterojenlik kriterlerini uygulama

Tabaka içi homojenlik (küçük

\sigma_h^2

) ve tabakalar arası heterojenlik (büyük tabaka farkları).

Birimlerin tabaka içinde birbirine benzemesi, örneklemden gelen bilginin kitleyi daha iyi temsil etmesini sağlar.

Key Concept

Tabakalı örneklemede temel ilke: Tabaka içi homojenlik maksimum, tabakalar arası heterojenlik maksimum olmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir araştırma projesinde kitle ortalamasının tahmin edilmesi planlanmaktadır. Aynı örneklem hacmi ( $n$ ) için yapılan ön incelemelerde, Basit Rastgele Örnekleme (BRÖ) kullanıldığında tahmin edicinin varyansı $160$ birim kare, Tabakalı Rastgele Örnekleme (TRÖ) kullanıldığında ise $120$ birim kare olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu örnekleme tasarımı için hesaplanan Tasarım Etkisi ( $Deff$ ) değeri ve BRÖ yerine TRÖ kullanılmasıyla elde edilen hassasiyet kazancı aşağıdakilerden hangisidir?

Deff = 0{}75

; Hassasiyet kazancı

\%25

Deff = 1{}33

; Hassasiyet kazancı

\%33

Deff = 0{}75

; Hassasiyet kazancı

\%75

Deff = 0{}25

; Hassasiyet kazancı

\%75

Deff = 1{}33

; Hassasiyet kaybı

\%33

Show answer & explanation

Answer: $Deff = 0{}75$ ; Hassasiyet kazancı $\%25$

Answer

Tasarım etkisi

Deff = 0{}75

ve hassasiyet kazancı

\%25

olan seçenek doğrudur.

Tasarım etkisi (

Deff

), tabakalı örnekleme varyansının (

120

) basit rastgele örnekleme varyansına (

160

) bölünmesiyle

0{}75

olarak bulunur. Hassasiyet kazancı ise

1 - 0{}75 = 0{}25

yani

\%25

olarak hesaplanır. Bu durum, tabakalı örneklemenin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin olduğunu ve varyansı

\%25

oranında düşürdüğünü gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Tasarım Etkisi (

Deff

) formülünü belirle.

Deff = \frac{Var(\bar{y}_{trö})}{Var(\bar{y}_{brö})}

Tasarım etkisi, karmaşık bir örnekleme tasarımının varyansının, aynı örneklem hacmine sahip basit rastgele örnekleme varyansına oranı olarak tanımlanır.

2

Verilen varyans değerlerini formülde yerine koyarak hesapla.

Deff = \frac{120}{160} = 0{}75

Soruda verilen TRÖ varyansı

120

ve BRÖ varyansı

160

değerleri oranlanarak tasarımın göreli etkinliği ölçülür.

3

Hassasiyet kazancını (gain in precision) hesapla.

Hassasiyet Kazancı

= (1 - Deff) \times 100 = (1 - 0{}75) \times 100 = \%25

Tabakalı örnekleme ile varyansta sağlanan düşüş oranı, BRÖ'ye kıyasla elde edilen hassasiyet artışını temsil eder.

Key Concept

Tasarım Etkisi (Design Effect - Deff) ve Göreli Etkinlik

Question 4Question →

Bir araştırmacı, kitledeki farklı gelir gruplarının tamamını örneklemde temsil etmek ve tahminin standart hatasını düşürmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre tabakalı rastgele örnekleme yöntemi ile ilgili;

I. Her tabakadan (gelir grubundan) birim seçilmesi, kitlenin yapısının örnekleme yansıtılmasını sağlar.
II. Tabaka içi birimlerin birbirine benzer (homojen) olması, tahmin edicilerin varyansını azaltan bir unsurdur.
III. Tabakaların ortalamaları bakımından birbirine çok benzer (homojen) olması, bu yöntemin basit rastgele örneklemeye göre etkinliğini artırır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II numaralı ifadeler tabakalı rastgele örneklemenin temel özelliklerini yansıtırken, III numaralı ifade tabakalar arası heterojenlik ilkesine ters düştüğü için yanlıştır.

Doğru cevapta belirtilen ilk iki öncül tabakalı örneklemenin özüdür. Her tabakadan örnek seçilmesi (I), kitlenin heterojen yapısının tüm yönleriyle örnekleme yansımasını sağlar. Tabaka içi homojenlik (II) ise, her grup içindeki belirsizliği azaltarak genel tahminin varyansını düşürür.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalı örneklemenin temsil özelliğini değerlendirme

I. öncülün doğrulanması

Tabakalı örneklemede kitle

L

sayıda tabakaya bölünür ve her tabakadan

n_h \geq 1

birim seçilir; bu durum tüm alt grupların örneklemde yer almasını garanti eder.

2

Varyans ve homojenlik ilişkisini analiz etme

II. öncülün doğrulanması

Tabakalı ortalamanın varyansı tabaka içi varyanslara (

\sigma_h^2

) bağlıdır. Tabaka içi birimler ne kadar homojense varyans o kadar küçük olur.

3

Yöntem etkinliği ve heterojenlik şartını kontrol etme

III. öncülün elenmesi

Yöntemin basit rastgele örneklemeye göre daha etkin (daha az varyanslı) olması için tabakalar arası heterojenlik (farklılık) yüksek olmalıdır. Tabakalar birbirine benzerse (homojense) tabakalama işlemi anlamlı bir kazanç sağlamaz.

Key Concept

Tabaka içi homojenlik ve tabakalar arası heterojenlik ilkeleri

Estimated Time:1m 30s

Question 5Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin aylık ortalama ulaşım masrafını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi uygulanmıştır. Kurumdaki personel, hizmet sınıflarına göre 'Teknik Hizmetler' ve 'Genel İdare Hizmetleri' olarak iki tabakaya ayrılmıştır. Bu çalışmaya ilişkin kitle büyüklükleri ve tabakalardan elde edilen örneklem ortalamaları aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
Teknik Hizmetler	300	1.800 TL
Genel İdare Hizmetleri	1.200	1.300 TL

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle hesaplanan kitle ortalaması tahmini ( $\bar{y}_{st}$ ) kaç TL'dir?

1.400

1.550

1.600

1.500

1.450

Show answer & explanation

Answer: 1.400

Answer

Tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle hesaplanan kitle ortalaması tahmini 1.400 TL'dir.

Kitle ortalaması tahmini hesaplanırken her tabakanın kitle içindeki ağırlığı (

W_1=0,2

ve

W_2=0,8

) ile kendi ortalamaları çarpılır. Yapılan işlem sonucunda

0,2 \times 1.800 + 0,8 \times 1.300 = 1.400

TL değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesaplayınız.

N = N_1 + N_2 = 300 + 1.200 = 1.500

Tabaka ağırlıklarını hesaplamak için toplam kitle büyüklüğüne ihtiyaç duyulur.

2

Her bir tabaka için tabaka ağırlıklarını (

W_h = N_h/N

) belirleyiniz.

W_1 = 300/1.500 = 0,2

ve

W_2 = 1.200/1.500 = 0,8

Her tabakanın kitle ortalaması üzerindeki nispi etkisini belirlemek için ağırlıklar hesaplanır.

3

Tabakalı kitle ortalaması tahmini formülünü (

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

) uygulayınız.

\bar{y}_{st} = (0,2 \times 1.800) + (0,8 \times 1.300) = 360 + 1.040 = 1.400

Kitle ortalamasının yansız tahmini, tabaka ortalamalarının ağırlıklı toplamıyla bulunur.

Key Concept

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması tahmini, tabaka ortalamalarının ilgili tabaka ağırlıklarıyla (Wh) çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 6Question →

Bir üniversite yönetimi, öğrencilerin kütüphane hizmetlerinden memnuniyet düzeyini belirlemek amacıyla kitleyi akademik alanlarına göre 4 ana tabakaya ayırmıştır. Tabakalardaki öğrenci sayıları ( $N_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Akademik Birim (Tabaka)	Öğrenci Sayısı ( $N_h$ )
Fen Bilimleri	$2.000$
Sosyal Bilimler	$3.000$
Sağlık Bilimleri	$1.500$
Eğitim Bilimleri	$3.500$
Toplam ( $N$ )	$10.000$

Yönetim, toplam $n = 600$ öğrenciden oluşan bir örneklem çekilmesini planlamaktadır. Bu araştırmada Eşit Dağıtım (Equal Allocation) yöntemi kullanılması durumunda, 'Sağlık Bilimleri' tabakasından seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_h$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

90

120

150

180

210

Show answer & explanation

Answer: $150$

Answer

Sağlık Bilimleri tabakasından seçilecek örneklem hacmi 150 birimdir.

Eşit dağıtım yönteminde, toplam örneklem büyüklüğü (

n = 600

) kitledeki tabaka sayısına (

L = 4

) bölünerek her bir tabakadan kaç birim seçileceği belirlenir. Bu durumda her tabakadan seçilecek birim sayısı

600 / 4 = 150

olarak hesaplanır. Bu yöntemde tabakaların kendi büyüklükleri (

N_h

) dikkate alınmaz.

Step-by-Step Solution

1

Toplam örneklem hacmini (

n

) ve tabaka sayısını (

L

) belirleyin.

n = 600

,

L = 4

Eşit dağıtım formülünü uygulamak için gerekli temel değişkenlerdir.

2

Eşit dağıtım (Equal Allocation) formülünü uygulayın.

n_h = \frac{n}{L} = \frac{600}{4} = 150

Eşit dağıtım yönteminde, tabaka büyüklüklerine veya varyanslarına bakılmaksızın her tabakadan eşit sayıda birim seçilir.

3

Verilen tabaka büyüklüklerinin (

N_h

) gerekliliğini kontrol edin.

Tabaka büyüklükleri (

N_h

) eşit dağıtım hesaplamasında kullanılmaz.

Eşit dağıtımda tek belirleyici kriter tabaka sayısıdır; bu nedenle tablodaki sayısal veriler bu yöntem için sonucu değiştirmez.

Key Concept

Eşit dağıtım (Equal Allocation) yönteminde her tabakadan çekilecek örneklem hacmi

n_h = n/L

formülü ile hesaplanır.

Practice More

Aynı verileri kullanarak 'Orantılı Dağıtım' yöntemine göre sonuçları hesaplayarak aradaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 7Question →

Bir kamu kurumunda çalışan toplam $N = 1000$ personelin aylık ortalama harcaması tahmin edilmek istenmektedir. Personel, kıdem durumuna göre iki tabakaya ayrılmış olup tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Personel Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
1 (Kıdemli)	600	400
2 (Kıdemsiz)	400	900

$\%95$ güven düzeyinde ( $Z = 2$ ) ve $2$ birimlik bir hata payı ( $d$ ) ile kitle ortalamasını tahmin edebilmek için "orantılı dağıtım" (proportional allocation) yöntemi kullanıldığında, seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

375

600

365

130

240

Show answer & explanation

Answer: 375

Answer

Toplam örneklem hacmi 375 olarak hesaplanmıştır.

Doğru yanıt olan 375 değeri, orantılı dağıtım formülünde tabaka varyansları (

S_h^2

) ve tabaka ağırlıkları (

W_h

) kullanılarak, sonlu kitle düzeltmesi içeren

n = \frac{\sum W_h S_h^2}{V + \frac{\sum W_h S_h^2}{N}}

eşitliği ile elde edilmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka ağırlıklarının (

W_h = N_h/N

) ve ağırlıklı varyans toplamının hesaplanması

W_1 = 600/1000 = 0,6

ve

W_2 = 400/1000 = 0,4

. Buradan

\sum W_h S_h^2 = (0,6 \times 400) + (0,4 \times 900) = 240 + 360 = 600

bulunur.

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi formülünün pay kısmı bu toplama dayanır.

2

Hata teriminin (

V

) hesaplanması

V = (d/Z)^2 = (2/2)^2 = 1

.

İstenen güven düzeyi ve hata payı arasındaki ilişki bu terimle ifade edilir.

3

Sonlu kitle düzeltmeli örneklem hacmi formülünün uygulanması

n = \frac{\sum W_h S_h^2}{V + \frac{1}{N} \sum W_h S_h^2} = \frac{600}{1 + \frac{600}{1000}} = \frac{600}{1,6} = 375

.

Kitle büyüklüğü sonlu olduğu için paydada

1/N

terimi içeren düzeltme kullanılmalıdır.

Key Concept

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım kullanıldığında örneklem hacmi, tabaka içi varyansların ağırlıklı ortalaması ve kitle büyüklüğüne bağlı olarak belirlenir.

Estimated Time:2m 0s

Question 8Question →

Bir tarım müdürlüğü, bölgesindeki köyleri 'A' ve 'B' olmak üzere iki tabakaya ayırmıştır. Her tabakadaki toplam köy sayısı ( $N_h$ ), seçilen örneklem hacmi ( $n_h$ ) ve sığır sayılarına ilişkin örneklem varyansları ( $s_h^2$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Köy Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem ( $n_h$ )	Örneklem Varyansı ( $s_h^2$ )
A	100	10	100
B	200	20	400

İadesiz tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanıldığına göre, bu bölgedeki toplam sığır sayısı tahmininin standart hatası kaçtır?

900

948,7

3

67,1

450

Show answer & explanation

Answer: 900

Answer

Toplam sığır sayısı tahmininin standart hatası 900'dür.

Kitle toplamının varyans tahmini

\hat{V}(\hat{\tau}_{st}) = \sum N_h^2 \frac{s_h^2}{n_h}(1-f_h)

formülüyle hesaplanır. A tabakası için bu değer

100^2 \times (100/10) \times 0,9 = 90.000

; B tabakası için ise

200^2 \times (400/20) \times 0,9 = 720.000

olarak bulunur. Toplam varyans

810.000

olup, standart hata bu değerin karekökü olan 900'dür.

Step-by-Step Solution

1

A tabakası için kitle toplamına katkı sağlayan varyans bileşenini (

V_A

) hesapla.

V_A = N_1^2 \frac{s_1^2}{n_1} (1 - \frac{n_1}{N_1}) = 100^2 \times \frac{100}{10} \times (1 - 0,1) = 10.000 \times 9 = 90.000

Kitle toplamı varyansı hesaplanırken her tabakanın varyansı, tabaka büyüklüğünün karesiyle ağırlıklandırılır ve iadesiz seçim olduğu için sonlu kitle düzeltme çarpanı (SKD) uygulanır.

2

B tabakası için kitle toplamına katkı sağlayan varyans bileşenini (

V_B

) hesapla.

V_B = N_2^2 \frac{s_2^2}{n_2} (1 - \frac{n_2}{N_2}) = 200^2 \times \frac{400}{20} \times (1 - 0,1) = 40.000 \times 18 = 720.000

Her tabaka bağımsız bir kitle gibi düşünülerek toplam tahmindeki değişkenliğe katkısı hesaplanır.

3

Tabaka varyanslarını toplayarak kitle toplamı varyansını bul ve standart hataya ulaş.

\hat{V}(\hat{\tau}_{st}) = 90.000 + 720.000 = 810.000 \implies S_{\hat{\tau}_{st}} = \sqrt{810.000} = 900

Standart hata, hesaplanan toplam varyansın pozitif kareköküdür.

Key Concept

Tabakalı örneklemede kitle toplamı tahmininin varyansı, her bir tabakanın toplam tahminine olan varyans katkılarının toplamıdır ve tabaka büyüklüğünün karesiyle orantılıdır.

Question 9Question →

Bir kamu kurumu, sunduğu hizmetlerin kalitesini ölçmek amacıyla çalışanlarını kıdem yıllarına göre 4 farklı tabakaya ayırmıştır. Tabakalara ait personel sayıları aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka No	Kıdem Grubu	Personel Sayısı ( $N_h$ )
1	0-5 Yıl	$400$
2	6-10 Yıl	$600$
3	11-15 Yıl	$800$
4	16+ Yıl	$1200$

Kurum yönetimi, toplamda $n = 240$ birimden oluşan bir örneklem çekmeye karar vermiştir. Araştırmada eşit dağıtım (equal allocation) yöntemi kullanılması durumunda, en yüksek personel sayısına sahip olan 4. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_4$ ) kaçtır?

32

48

60

96

120

Show answer & explanation

Answer: $60$

Answer

Eşit dağıtım yöntemi uyarınca 4. tabakadan seçilmesi gereken birim sayısı 60'tır.

Eşit dağıtım (equal allocation) yönteminde, toplam örneklem hacmi (

n

), tabaka sayısı olan

L

'ye eşit olarak paylaştırılır. Bu yöntemde tabakaların kitle içindeki büyüklükleri (

N_h

) veya tabaka varyansları hesaplamaya dahil edilmez. Soru metninde 4 tabaka (

L=4

) ve toplam 240 birimlik bir örneklem (

n=240

) verildiğinden, her tabakadan seçilecek birim sayısı

240 / 4 = 60

olarak bulunur. Dolayısıyla 4. tabaka için de bu değer değişmez.

Step-by-Step Solution

1

Kitledeki toplam tabaka sayısını (

L

) ve hedeflenen toplam örneklem hacmini (

n

) belirleyiniz.

L = 4

ve

n = 240

.

Eşit dağıtım formülünde kullanılan temel değişkenler bunlardır.

2

Eşit dağıtım formülünü (

n_h = \frac{n}{L}

) uygulayınız.

n_h = \frac{240}{4} = 60

.

Eşit dağıtım yönteminde her tabakaya, tabaka büyüklüğünden veya varyansından bağımsız olarak eşit sayıda birim atanır.

Key Concept

Eşit Dağıtım (Equal Allocation)

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir belediye tarafından yürütülen ulaşım memnuniyeti anketinde, kitle ortalamasının tahmini için tabakalı rastgele örnekleme yönteminin etkinliği değerlendirilmektedir. Aynı örneklem büyüklüğü ( $n$ ) kullanıldığında; tabakalı örnekleme ile elde edilen varyans $V(\bar{y}_{st}) = 0,14$ ve basit rastgele örnekleme (BRO) varsayımı altında hesaplanan varyans $V(\bar{y}_{bro}) = 0,20$ olarak bulunmuştur. Buna göre, bu örnekleme tasarımı için hesaplanan tasarım etkisi ( $Deff$ ) ve basit rastgele örneklemeye göre sağlanan hassasiyet kazancı aşağıdakilerden hangisidir?

Deff = 0,70

; Hassasiyet kazancı

\%30

Deff = 1,43

; Hassasiyet kazancı

\%43

Deff = 0,30

; Hassasiyet kazancı

\%70

Deff = 0,70

; Hassasiyet kaybı

\%30

Deff = 0,86

; Hassasiyet kazancı

\%14

Show answer & explanation

Answer: $Deff = 0,70$ ; Hassasiyet kazancı $\%30$

Answer

Tasarım etkisi

Deff = 0,70

ve hassasiyet kazancı

\%30

olarak belirlenmiştir.

Hesaplanan tasarım etkisi (

Deff = 0,70

) 1'den küçük olduğu için tabakalı örnekleme, basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir. Aradaki fark (

1 - 0,70 = 0,30

) ise

\%30

oranında bir hassasiyet kazancı sağlandığını ifade eder.

Step-by-Step Solution

1

Tasarım etkisi (

Deff

) formülünün belirlenmesi

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{bro})}

Tasarım etkisi, mevcut örnekleme yönteminin varyansının basit rastgele örnekleme varyansına olan oranıdır.

2

Verilen varyans değerlerinin formülde yerine yazılması

Deff = \frac{0,14}{0,20} = 0,70

İstatistiksel etkinliği ölçmek için birim varyanslar oranlanır.

3

Hassasiyet kazancının (verimlilik artışı) hesaplanması

Kazanc = 1 - Deff = 1 - 0,70 = 0,30

(

\%30

)

Tasarım etkisinin 1'den ne kadar küçük olduğu, basit rastgele örneklemeye göre ne kadar daha hassas bir tahmin yapıldığını gösterir.

Key Concept

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Örnekleme Etkinliği

Question 11Question →

Bir sanayi bölgesindeki işletmelerin yıllık toplam enerji tüketimlerini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. İşletmeler büyüklüklerine göre "Büyük Ölçekli" ve "Orta Ölçekli" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Bu tabakalara ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Kitle Birim Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Birim Sayısı ( $n_h$ )	Tabaka Ortalaması (MWh) ( $\bar{y}_h$ )	Tabaka Varyansı ( $s_h^2$ )
Büyük Ölçekli	100	10	40	100
Orta Ölçekli	200	20	30	400

Buna göre, bu sanayi bölgesindeki tüm işletmelerin yıllık toplam enerji tüketim tahmini ( $\hat{\tau}_{st}$ ) ve bu tahminin standart hatası ( $S_{\hat{\tau}_{st}}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

10.000

ve

900

10.500

ve

900

10.000

ve

949

10.000

ve

67

10.500

ve

949

Show answer & explanation

Answer: $10.000$ ve $900$

Answer

Kitle toplam tahmini

10.000

MWh, standart hatası ise

900

MWh olarak hesaplanır.

Doğru seçenekte kitle toplamı

\hat{\tau}_{st} = 100(40) + 200(30) = 10.000

olarak; standart hata ise sonlu kitle düzeltme çarpanı ve

N_h^2

katsayıları kullanılarak

S = \sqrt{100^2(0,9)(10) + 200^2(0,9)(20)} = 900

olarak hatasız hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Kitle toplam tahmini hesaplanır.

\hat{\tau}_{st} = \sum N_h \bar{y}_h = (100 \times 40) + (200 \times 30) = 4000 + 6000 = 10.000

Tabakalı örneklemede kitle toplamı, her tabakanın kendi toplam tahminlerinin toplamıdır.

2

Tahminin varyansı için gerekli bileşenler ve sonlu kitle düzeltme çarpanları (SKD) belirlenir.

1-f_1 = 1 - (10/100) = 0,9

ve

1-f_2 = 1 - (20/200) = 0,9

İadesiz seçimde varyans hesaplanırken SKD çarpanı eklenmelidir.

3

Kitle toplam tahmini varyansı (

V(\hat{\tau}_{st})

) hesaplanır.

V(\hat{\tau}_{st}) = \sum N_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{n_h} = 100^2(0,9)\frac{100}{10} + 200^2(0,9)\frac{400}{20} = 90.000 + 720.000 = 810.000

Kitle toplamının varyansı, tabaka ortalamalarının varyanslarının

N_h^2

ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir.

4

Standart hata bulunur.

S_{\hat{\tau}_{st}} = \sqrt{810.000} = 900

Standart hata, varyansın kareköküdür.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Practice More

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması tahmini ile kitle toplam tahmini arasındaki varyans ilişkisini (katsayı olarak

N^2

farkını) pekiştirmek için benzer bir soru çözebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 12Question →

Bir kamu kurumu, üç farklı bölgedeki tarımsal işletmelerin verimliliğini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmaya karar vermiştir. Bölgelere (tabakalara) ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ) ve standart sapma değerleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka (Bölge)	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Bölge (Marmara)	2000	10
2. Bölge (Ege)	3000	20
3. Bölge (İç Anadolu)	5000	4

Toplam örneklem hacmi $n = 500$ olarak belirlendiğine göre, Neyman dağıtımı yöntemine göre Ege Bölgesi'nden (2. Bölge) seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı kaçtır?

100

150

167

300

405

Show answer & explanation

Answer: 300

Answer

Neyman dağıtımı yöntemine göre Ege Bölgesi'nden (2. Bölge) seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı 300'dür.

Neyman dağıtımı yönteminde, her tabakaya ayrılacak örneklem birimi sayısı

n_h = n \times (N_h S_h / \sum N_h S_h)

formülü ile belirlenir. Tablodaki verilerle yapılan hesaplamada, 2. bölge için pay değerinin (

60.000

) toplam pay değerine (

100.000

) oranı

0,6

'dır. Bu oranın toplam örneklem sayısı olan

500

ile çarpımı sonucunda

300

değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Her tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayınız.

1. Bölge:

2000 \times 10 = 20.000

; 2. Bölge:

3000 \times 20 = 60.000

; 3. Bölge:

5000 \times 4 = 20.000

Neyman dağıtımı, tabaka büyüklüğü ile tabaka içi değişkenliğin (standart sapma) çarpımıyla orantılı bir dağıtım yapar.

2

Hesaplanan değerlerin toplamını (

\sum N_h S_h

) bulunuz.

20.000 + 60.000 + 20.000 = 100.000

Bu toplam, her tabakaya düşecek payı belirlemek için payda olarak kullanılacaktır.

3

Neyman dağıtımı formülünü (

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) 2. bölge için uygulayınız.

n_2 = 500 \cdot \frac{60.000}{100.000} = 500 \cdot 0,6 = 300

Toplam örneklem hacmi olan 500 birim, tabakaların ağırlıklı değişkenliklerine göre paylaştırılır.

Key Concept

Neyman dağıtımı, tabakalı örneklemede maliyetlerin eşit olduğu varsayımı altında, tahminleyicinin varyansını minimuma indirmek için örneklemi tabakalara

N_h S_h

değerleriyle orantılı olarak dağıtır.

Hints

1

Neyman dağıtımı yapılırken hem kitle büyüklüğü (

N_h

) hem de standart sapma (

S_h

) dikkate alınır.

2

Önce her bölge için

N_h

ve

S_h

değerlerini çarpın, ardından bu çarpımların toplam içerisindeki oranını bulun.

3

Formül:

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

. Ege Bölgesi için

N_2 S_2 = 60.000

ve toplam

\sum N_h S_h = 100.000

değerlerini kullanın.

Practice More

Maliyet kısıtı eklendiğinde Neyman dağıtımının nasıl 'Optimum Dağıtım'a dönüştüğünü inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 13Question →

Bir araştırmacı, bir ildeki üç farklı mahallede hane halkı aylık harcamalarını incelemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Mahallelerdeki toplam hane sayıları ( $N_h$ ) ve harcamalara ilişkin standart sapma değerleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mahalle ( $h$ )	Hane Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	2000	10
2	3000	20
3	5000	30

Araştırmacı toplamda $n = 460$ hane seçmeye karar verdiğine göre, Neyman dağıtımı (Neyman Allocation) yöntemine göre 2. mahalleden seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) kaçtır?

40

92

120

138

230

Show answer & explanation

Answer: 120

Answer

Neyman dağıtımı yöntemine göre 2. mahalleden seçilmesi gereken hane sayısı 120'dir.

Neyman dağıtımı formülü olan

n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

uygulandığında, 2. mahalle için

460 \times (60.000 / 230.000)

işlemi yapılarak 120 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Her tabaka (mahalle) için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayın.

1. Mahalle:

2000 \times 10 = 20.000

; 2. Mahalle:

3000 \times 20 = 60.000

; 3. Mahalle:

5000 \times 30 = 150.000

.

Neyman dağıtımı formülünün pay kısmında her tabakanın büyüklüğü ile standart sapmasının çarpımı yer alır.

2

Hesaplanan değerlerin toplamını (

\sum N_h S_h

) bulun.

\sum N_h S_h = 20.000 + 60.000 + 150.000 = 230.000

.

Bu toplam, örneklem hacminin tabakalara ağırlıklı olarak dağıtılması için payda değerini oluşturur.

3

Neyman dağıtımı formülünü kullanarak

n_2

değerini hesaplayın:

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

n_2 = 460 \times \frac{60.000}{230.000} = 460 \times \frac{6}{23} = 20 \times 6 = 120

.

2. mahallenin ağırlığı (

60.000 / 230.000

) toplam örneklem hacmi olan 460 ile çarpılarak o mahallenin örneklem büyüklüğü belirlenir.

Key Concept

Neyman Dağıtımı, tabakalı örneklemede örneklem hacmini tabakalara, tabaka büyüklüğü (

N_h

) ve tabaka içi değişkenliğin (

S_h

) çarpımıyla orantılı olarak dağıtır.

Practice More

Neyman dağıtımı ile orantılı dağıtım arasındaki varyans farkını hesaplayarak Neyman dağıtımının neden daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 14Question →

Bir yerel yönetim, sınırları içerisinde bulunan 4 farklı mahalledeki (Tabaka) sosyal hizmet memnuniyetini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmaya karar vermiştir. Mahallelerin nüfus bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Mahalle	Nüfus ( $N_h$ )
Mahalle A	$2.000$
Mahalle B	$4.000$
Mahalle C	$3.000$
Mahalle D	$3.000$
Toplam ( $N$ )	$12.000$

Araştırmacı, toplam örneklem hacmini $n = 360$ olarak belirlemiş ve tabakalara örneklem dağıtımında "Eşit Dağıtım" (Equal Allocation) yöntemini kullanmayı tercih etmiştir. Bu durumda, araştırmacının Mahalle B'den seçmesi gereken örneklem birimi sayısı kaçtır?

60

90

120

180

240

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Eşit dağıtım yöntemine göre Mahalle B'den seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı 90'dır.

Eşit dağıtım (Equal Allocation) yöntemi tercih edildiğinde, her bir tabakadan alınacak örneklem birimi sayısı, toplam örneklem hacminin (

n = 360

) tabaka sayısına (

L = 4

) bölünmesiyle hesaplanır. Bu hesaplama sonucunda (

360 / 4 = 90

) her mahalle için, dolayısıyla Mahalle B için de 90 birim seçilmelidir.

Step-by-Step Solution

1

Kitledeki toplam tabaka sayısının (L) belirlenmesi

L = 4

Soruda Mahalle A, B, C ve D olmak üzere 4 farklı tabaka tanımlanmıştır.

2

Toplam örneklem hacminin (n) belirlenmesi

n = 360

Araştırmacının belirlediği genel örneklem büyüklüğü soruda verilmiştir.

3

Eşit Dağıtım formülünün uygulanması

n_h = \frac{n}{L} = \frac{360}{4} = 90

Eşit dağıtım yönteminde, tabaka büyüklüklerine veya varyanslarına bakılmaksızın her tabakaya eşit sayıda örneklem birimi atanır.

Key Concept

Eşit Dağıtım (Equal Allocation) yönteminde, her bir tabakadan seçilecek örneklem büyüklüğü (

n_h

), toplam örneklem büyüklüğünün (

n

) tabaka sayısına (

L

) bölünmesiyle bulunur ve tabaka nüfuslarından (

N_h

) bağımsızdır.

Estimated Time:1m 15s

Question 15Question →

Bir kamu kurumunda çalışan personelin memnuniyet düzeyini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılacaktır. Kurumdaki personel sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Hizmet Grubu)	Personel Sayısı ( $N_h$ )
İdari Hizmetler	$1200$
Teknik Hizmetler	$600$
Yardımcı Hizmetler	$200$

Toplamda $n = 400$ kişilik bir örneklem seçilmesine karar verildiğine göre, orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanıldığında her tabakadan seçilmesi gereken örneklem büyüklükleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 240, n_2 = 120, n_3 = 40

n_1 = 134, n_2 = 133, n_3 = 133

n_1 = 200, n_2 = 100, n_3 = 100

n_1 = 300, n_2 = 75, n_3 = 25

n_1 = 40, n_2 = 120, n_3 = 240

Show answer & explanation

Answer: $n_1 = 240, n_2 = 120, n_3 = 40$

Answer

n_1 = 240, n_2 = 120, n_3 = 40

olan seçenek doğrudur.

Orantılı dağıtımda her tabakadan seçilecek birim sayısı, o tabakanın kitle içindeki oranıyla doğru orantılıdır. Toplam kitle

2000

, toplam örneklem

400

olduğu için örnekleme oranı

0.2

'dir. İdari Hizmetler için

1200 \times 0.2 = 240

, Teknik Hizmetler için

600 \times 0.2 = 120

ve Yardımcı Hizmetler için

200 \times 0.2 = 40

değerleri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesaplayın.

N = 1200 + 600 + 200 = 2000

Orantılı dağıtım için kitle toplamına ihtiyaç duyulur.

2

Örnekleme kesrini (

f = n/N

) veya her tabakanın ağırlığını (

W_h

) bulun.

f = 400 / 2000 = 0.2

veya

W_1=0.6, W_2=0.3, W_3=0.1

Tabaka örneklem hacmi, tabaka kitle hacminin örnekleme kesri ile çarpımıdır.

3

Her tabaka için örneklem hacmini (

n_h = N_h \times f

) hesaplayın.

n_1 = 1200 \times 0.2 = 240

,

n_2 = 600 \times 0.2 = 120

,

n_3 = 200 \times 0.2 = 40

Orantılı dağıtım formülü uygulanmıştır.

Key Concept

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Practice More

Tabaka varyanslarının (

S_h

) verildiği bir senaryoda Neyman dağıtımını hesaplayarak orantılı dağıtım ile arasındaki farkı gözlemleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 16Question →

Bir ilçedeki kütüphanelerin sahip olduğu toplam kitap sayısını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Kütüphaneler, büyüklüklerine göre "Halk Kütüphaneleri" ve "Okul Kütüphaneleri" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Bu tabakalara ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Örneklem Varyansı ( $s_h^2$ )
Halk Kütüphaneleri	$100$	$10$	$20$
Okul Kütüphaneleri	$50$	$5$	$40$

Buna göre, iadesiz seçim varsayımı altında tahmin edilen kitle toplamının varyansı ( $V(\hat{\tau})$ ) kaçtır?

36.000

40.000

540

18.000

600

Show answer & explanation

Answer: $36.000$

Answer

Tahmin edilen kitle toplamının varyansı

36.000

olarak hesaplanır.

Kitle toplamının varyansı, her tabaka için

V(\hat{\tau}_h) = N_h^2 (1-f_h) \frac{s_h^2}{n_h}

formülüyle hesaplanan değerlerin toplamıdır. Verilen değerlere göre her iki tabaka da

18.000

değerini üreterek toplamda

36.000

sonucuna ulaşılmasını sağlar.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalar için örnekleme kesirlerini (

f_h

) ve sonlu kitle düzeltme çarpanlarını (

1-f_h

) hesaplayınız.

f_1 = 10/100 = 0,1 \rightarrow (1-f_1) = 0,9

ve

f_2 = 5/50 = 0,1 \rightarrow (1-f_2) = 0,9

İadesiz seçimde varyansın doğru tahmin edilmesi için sonlu kitle düzeltme çarpanı gereklidir.

2

Birinci tabaka (Halk Kütüphaneleri) için kitle toplamına katkı sağlayan varyans bileşenini hesaplayınız.

V_1 = N_1^2 \times (1-f_1) \times \frac{s_1^2}{n_1} = 100^2 \times 0,9 \times \frac{20}{10} = 10.000 \times 1,8 = 18.000

Kitle toplamının varyansı, her bir tabakanın ağırlıklı varyanslarının toplamıdır.

3

İkinci tabaka (Okul Kütüphaneleri) için kitle toplamına katkı sağlayan varyans bileşenini hesaplayınız.

V_2 = N_2^2 \times (1-f_2) \times \frac{s_2^2}{n_2} = 50^2 \times 0,9 \times \frac{40}{5} = 2.500 \times 7,2 = 18.000

İkinci tabakanın varyans katkısı da kitle büyüklüğünün karesiyle doğru orantılıdır.

4

Toplam varyansı bulmak için tabaka varyans bileşenlerini toplayınız.

V(\hat{\tau}) = 18.000 + 18.000 = 36.000

Tabakalar birbirinden bağımsız seçildiği için toplam varyans, bileşenlerin toplamına eşittir.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Toplamı Varyansı

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

Bir araştırmacı, toplam $N = 1000$ birimden oluşan bir kitleyi iki tabakaya ayırmıştır. Bu kitleye ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka ( $h$ )	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
1	600	25
2	400	100

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemini kullanmaya karar vermiştir. %95 güven düzeyinde ( $z = 2$ ) hata payının ( $d$ ) en fazla $1$ birim olması hedeflendiğine göre, seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) kaçtır?

161

181

200

220

53

Show answer & explanation

Answer: 181

Answer

Hesaplamalar sonucunda bulunan 180,33 değeri yukarı yuvarlanarak 181 olarak belirlenir.

Orantılı dağıtımda kitle ortalaması tahmini için gereken örneklem hacmi

n = \frac{\sum W_h S_h^2}{V + \frac{1}{N} \sum W_h S_h^2}

formülüyle hesaplanır. Burada

V = 0,25

ve

\sum W_h S_h^2 = 55

değerleri yerine konulduğunda

n \approx 180,33

çıkar ve 181'e tamamlanır.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka ağırlıklarının (

W_h

) hesaplanması

W_1 = 600/1000 = 0,6

ve

W_2 = 400/1000 = 0,4

Tabakalı örneklemede her tabakanın kitledeki temsil oranını belirlemek gerekir.

2

Varyans bileşenlerinin toplamının (

\sum W_h S_h^2

) hesaplanması

(0,6 \times 25) + (0,4 \times 100) = 15 + 40 = 55

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi formülünün pay kısmını oluşturur.

3

Hedeflenen varyans değerinin (

V

) belirlenmesi

V = (d/z)^2 = (1/2)^2 = 0,25

Hata payı ve güven düzeyi kullanılarak tahmin edicinin sahip olması gereken maksimum varyans bulunur.

4

Örneklem hacmi formülünün uygulanması

n = \frac{55}{0,25 + (55/1000)} = \frac{55}{0,305} \approx 180,33

Sonlu kitle düzeltmesi içeren tabakalı örneklem hacmi formülü kullanılır.

5

Sonucun tamsayıya tamamlanması

n = 181

Örneklem hacmi her zaman bir üst tamsayıya yuvarlanır.

Key Concept

Tabakalı örneklemede örneklem hacmi belirlenirken tabaka varyansları, tabaka ağırlıkları ve sonlu kitle düzeltmesi (FPC) bir arada değerlendirilmelidir.

Practice More

Aynı verilerle Neyman dağıtımı kullanıldığında örneklem hacminin nasıl değişeceğini hesaplayarak orantılı dağıtım ile karşılaştırınız.

Estimated Time:2m 0s

Question 18Question →

Bir kamu kurumunda yapılan denetimlerde, işletmelerin yıllık beyan edilen gelirlerinin kitle ortalamasını tahmin etmek için tabakalı rastgele örnekleme kullanılmıştır. Aynı kitle ve örneklem hacmi ( $n$ ) için Basit Rastgele Örnekleme (BRÖ) tahmincisinin varyansı $V(\bar{y}_{brö}) = 400$ birim kare, Tabakalı Rastgele Örnekleme (TRÖ) tahmincisinin varyansı ise $V(\bar{y}_{st}) = 320$ birim kare olarak belirlenmiştir. Buna göre, uygulanan tabakalı örnekleme tasarımının etkinlik düzeyi (Tasarım Etkisi - $Deff$ ) ve bu tasarımın sağladığı hassasiyet kazancı aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Deff = 0,80

;

\%20

hassasiyet kazancı

Deff = 1,25

;

\%25

hassasiyet kaybı

Deff = 0,80

;

\%80

hassasiyet kazancı

Deff = 0,20

;

\%80

hassasiyet kazancı

Deff = 0,40

;

\%60

hassasiyet kazancı

Show answer & explanation

Answer: $Deff = 0,80$ ; $\%20$ hassasiyet kazancı

Answer

Uygulanan tasarımın etkinlik düzeyi

Deff = 0,80

ve sağladığı hassasiyet kazancı

\%20

olarak hesaplanır.

Tasarım etkisi (

Deff

), tabakalı örnekleme varyansının (

320

) basit rastgele örnekleme varyansına (

400

) bölünmesiyle

0,80

olarak bulunur. Hassasiyet kazancı ise bu değerin

1

tamdan farkı olan

0,20

(yani

\%20

) değeridir. Bu durum, tabakalı örneklemenin varyansı

\%20

oranında azalttığını gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Tasarım Etkisi (

Deff

) formülünü belirlemek

Deff = \frac{V(\bar{y}_{st})}{V(\bar{y}_{brö})}

Tasarım etkisi, kullanılan örnekleme yönteminin varyansının, aynı örneklem hacmindeki BRÖ varyansına oranını ifade eder.

2

Verilen varyans değerlerini formüle yerleştirmek

Deff = \frac{320}{400} = 0,80

TRÖ varyansı 320 ve BRÖ varyansı 400 olduğu için bu oran etkinlik düzeyini verir.

3

Hassasiyet kazancını hesaplamak

Kazanç

= (1 - Deff) \times 100 = (1 - 0,80) \times 100 = \%20

Tasarım etkisinin 1'den küçük olması, varyansın düştüğünü ve doğruluğun arttığını gösterir; bu fark kazanç olarak tanımlanır.

Key Concept

Tasarım Etkisi (Design Effect - Deff) ve Etkinlik

Practice More

Eğer

Deff > 1

çıksaydı, seçilen tabakalama değişkeninin tahmin edicinin varyansını artırdığı ve BRÖ'nün daha etkin olduğu sonucuna varılırdı.

Estimated Time:1m 30s

Question 19Question →

Bir araştırma kurumu, iki farklı bölgeden oluşan bir kitlede hanehalkı harcamalarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanacaktır. Çalışmada kullanılacak tabakalara ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )	Birim Gözlem Maliyeti ( $C_h$ )
1. Tabaka	$1000$	$8$	$4$ TL
2. Tabaka	$2000$	$3$	$1$ TL

Toplam örneklem hacmi $n = 200$ olarak belirlendiğine göre, maliyet kısıtı altında optimum dağıtım (Tschuprow-Neyman) yöntemine göre 1. tabakadan seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı ( $n_1$ ) kaçtır?

80

50

114

67

120

Show answer & explanation

Answer: 80

Answer

Optimum dağıtım formülü uygulandığında 1. tabaka için örneklem hacmi 80 olarak hesaplanır.

Verilen tabaka büyüklükleri, standart sapmalar ve birim maliyetler kullanılarak yapılan hesaplamada, 1. tabakanın payı 4000, toplam pay 10000 çıkmaktadır. Bu oran (

0,4

), toplam örneklem hacmi olan 200 ile çarpıldığında 80 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalar için

N_h S_h / \sqrt{C_h}

değerlerini hesaplayınız.

1. Tabaka:

1000 \times 8 / \sqrt{4} = 8000 / 2 = 4000

; 2. Tabaka:

2000 \times 3 / \sqrt{1} = 6000 / 1 = 6000

.

Maliyet kısıtlı optimum dağıtımda tabaka örneklem payları bu değerlerle orantılıdır.

2

Hesaplanan pay değerlerinin toplamını bulunuz.

Toplam =

4000 + 6000 = 10000

.

Genel örneklem hacminin tabakalara dağıtımı için payda değerini oluşturur.

3

1. tabaka için örneklem hacmini (

n_1

) hesaplayınız.

n_1 = 200 \times (4000 / 10000) = 200 \times 0,4 = 80

.

Genel formül olan

n_h = n \times \frac{N_h S_h / \sqrt{C_h}}{\sum N_h S_h / \sqrt{C_h}}

uygulanmıştır.

Key Concept

Maliyet kısıtı altındaki optimum dağıtımda, tabaka örneklem hacmi; tabaka büyüklüğü ve standart sapma ile doğru, birim maliyetin karekökü ile ters orantılıdır.

Practice More

Farklı birim maliyetler altında varyansın nasıl değiştiğini incelemek için toplam bütçe verildiğinde

n

hacminin nasıl hesaplanacağını çalışabilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Bir kamu kurumu, çalışanlarının yeni uygulamaya konulan esnek çalışma sisteminden memnuniyet oranını belirlemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmıştır. Kurumdaki iki farklı hizmet sınıfı (Genel İdare Hizmetleri ve Teknik Hizmetler) tabaka olarak belirlenmiş olup toplanan veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Hizmet Sınıfı	Personel Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Büyüklüğü ( $n_h$ )	Memnun Olan Sayısı ( $a_h$ )
Genel İdare Hizmetleri	$400$	$50$	$10$
Teknik Hizmetler	$600$	$150$	$90$

Buna göre, tüm kurum personeli için esnek çalışma sisteminden memnuniyet oranının tabakalı tahmin edicisi ( $\hat{p}_{st}$ ) değeri kaçtır?

0,40

0,44

0,50

0,36

0,60

Show answer & explanation

Answer: $0,44$

Answer

Esnek çalışma sisteminden memnuniyet oranının tabakalı tahmin edicisi

0,44

olarak hesaplanır.

Doğru değer, tabaka oranlarının (

0,20

ve

0,60

) kendi kitle ağırlıklarıyla (

0,40

ve

0,60

) çarpılıp toplanmasıyla elde edilen

0,44

değeridir.

Step-by-Step Solution

1

Her tabaka için örneklem oranlarını (

\hat{p}_h

) hesaplayın.

Genel İdare için

\hat{p}_1 = 10 / 50 = 0,20

; Teknik Hizmetler için

\hat{p}_2 = 90 / 150 = 0,60

Tabakalı tahmin ediciyi bulmak için öncelikle her bir tabakanın kendi içindeki başarı oranını belirlemek gerekir.

2

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) ve tabaka ağırlıklarını (

W_h

) belirleyin.

N = 400 + 600 = 1000

olup;

W_1 = 400 / 1000 = 0,40

ve

W_2 = 600 / 1000 = 0,60

Tabakalı örneklemede kitle genelini temsil etmek için her tabaka kitle içindeki payı (ağırlığı) oranında işleme dahil edilmelidir.

3

Tabakalı kitle oranı formülünü uygulayın:

\hat{p}_{st} = \sum W_h \hat{p}_h

\hat{p}_{st} = (0,40 \times 0,20) + (0,60 \times 0,60) = 0,08 + 0,36 = 0,44

Tabaka oranlarının kitle ağırlıklarıyla çarpılarak toplanması, kitle oranı için yansız bir tahmin sağlar.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Oranı Tahmini

Estimated Time:1m 30s

Tabakalı Rastgele Örnekleme

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes