Tabakalı Rastgele Örnekleme Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 4

Question 61Question →

Bir yerleşim yerindeki hanehalklarının haftalık ortalama ekmek tüketimini tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi uygulanmıştır. Yerleşim yeri "Kentsel" ve "Kırsal" olmak üzere iki tabakaya ayrılmış olup verilere aşağıdaki tabloda yer verilmiştir:

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Tabaka Ortalaması ( $\bar{y}_h$ )
Kentsel	800	25
Kırsal	200	40

Buna göre, tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle tahmin edilen kitle ortalaması kaçtır?

28

32,5

37

25

40

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Tahmin edilen kitle ortalaması 28'dir.

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması, her tabakanın ortalamasının o tabakanın kitledeki ağırlığı (

N_h/N

) ile çarpılıp toplanmasıyla bulunur. Bu soruda kentsel tabakanın ağırlığı 0,8 ve kırsal tabakanın ağırlığı 0,2'dir.

(0,8 \times 25) + (0,2 \times 40)

işlemi sonucunda 28 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam kitle büyüklüğünü (

N

) hesaplayınız.

N = N_1 + N_2 = 800 + 200 = 1000

Tabaka ağırlıklarını hesaplamak için toplam kitle hacmine ihtiyaç vardır.

2

Tabaka ağırlıklarını (

W_h = N_h / N

) belirleyiniz.

W_1 = 800 / 1000 = 0,8

ve

W_2 = 200 / 1000 = 0,2

Her tabakanın kitle içindeki temsil oranını belirlemek için ağırlıklar hesaplanmalıdır.

3

Tabakalı kitle ortalaması formülünü (

\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h

) uygulayınız.

\bar{y}_{st} = (0,8 \times 25) + (0,2 \times 40) = 20 + 8 = 28

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması, tabaka ortalamalarının ağırlıklı toplamıdır.

Key Concept

Tabakalı rastgele örneklemede kitle ortalaması tahmini, tabaka ortalamalarının kitledeki tabaka ağırlıklarıyla çarpılması sonucu elde edilen ağırlıklı ortalamadır.

Practice More

Tabaka büyüklükleri birbirine eşit olsaydı (örneğin 500-500), tahmin edilen ortalama kaç olurdu?

Estimated Time:45s

Question 62Question →

Bir kamu bankası müfettişliği, 5 farklı bölge koordinatörlüğünde (Marmara, Ege, İç Anadolu, Akdeniz ve Güneydoğu Anadolu) görevli müfettiş yardımcılarının hazırladıkları raporların kalitesini incelemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Araştırma için toplam örneklem hacmi $n = 250$ olarak belirlenmiştir. Kurum, her bir bölgeden eşit sayıda örneklem birimi seçilmesini öngören "Eşit Dağıtım" (Equal Allocation) yöntemini benimsemiştir. Buna göre, Akdeniz Bölge Koordinatörlüğü'nden örnekleme seçilmesi gereken müfettiş yardımcısı sayısı kaçtır?

50

250

5

125

25

Show answer & explanation

Answer: 50

Answer

Her bir bölge koordinatörlüğünden seçilmesi gereken müfettiş yardımcısı sayısı 50'dir.

Eşit dağıtım (Equal Allocation) yönteminde, toplam örneklem hacmi (

n

), tabaka sayısına (

L

) eşit olarak paylaştırılır. Soruda verilen

n = 250

birimlik toplam hacim, 5 farklı bölgeye (tabakaya) paylaştırıldığında her bir bölgeden

250 / 5 = 50

birim seçilmesi gerektiği sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen parametrelerin tespit edilmesi

Toplam örneklem hacmi

n = 250

ve tabaka (bölge) sayısı

L = 5

olarak belirlenir.

Hesaplama için gerekli olan toplam birim sayısı ve grup sayısını netleştirmek gerekir.

2

Eşit dağıtım formülünün uygulanması

n_h = \frac{n}{L} = \frac{250}{5} = 50

Eşit dağıtım yönteminde her tabakadan (h), toplam örneklem hacminin tabaka sayısına oranı kadar birim seçilir.

Key Concept

Eşit Dağıtım (Equal Allocation)

Question 63Question →

Bir araştırmacı, kitle hacmi $N = 600$ olan bir ana kütleyi iki tabakaya ayırmıştır. Toplam $n = 100$ birimlik bir örneklem hacminin Neyman dağıtımı yöntemi kullanılarak tabakalara paylaştırılması planlanmaktadır.

Tabakalara ait bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	400	2
2	200	6

Bu bilgilere göre, 2. tabakaya tahsis edilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

33

40

50

60

70

Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Neyman dağıtımı formülüne göre 2. tabaka için hesaplanan örneklem hacmi 60 birimdir.

Neyman dağıtımı, örneklem hacminin tabakalara

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülüyle dağıtılmasını sağlar. Bu soruda 2. tabaka için pay değeri

200 \times 6 = 1200

, toplam payda değeri ise

800 + 1200 = 2000

olarak hesaplanır.

100

birimlik örneklem bu orana göre dağıtıldığında

60

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Her bir tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayınız.

1. Tabaka:

400 \times 2 = 800

; 2. Tabaka:

200 \times 6 = 1200

Neyman dağıtımında tabaka ağırlıkları hem birim sayısı hem de standart sapma ile belirlenir.

2

Tabaka ağırlıklarının toplamını (

\sum N_h S_h

) bulunuz.

800 + 1200 = 2000

Genel örneklem hacminin dağıtılacağı toplam payda değerini belirlemek gerekir.

3

2. tabaka için Neyman dağıtımı formülünü (

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum N_h S_h}

) uygulayınız.

n_2 = 100 \times \frac{1200}{2000} = 100 \times 0,6 = 60

Toplam örneklem hacmi, tabakanın kitle içindeki ağırlıklı payı oranında tahsis edilir.

Key Concept

Neyman Dağıtımı

Practice More

Aynı verilerle varyansı minimize eden 'Optimum Dağıtım' için maliyetlerin dahil edildiği senaryoları inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Önce tabakaların ağırlık oranları belirlenebilir:

w_1 = 800/2000 = 0,4

ve

w_2 = 1200/2000 = 0,6

. Daha sonra toplam örneklem bu oranlarla çarpılır:

100 \times 0,6 = 60

.

Estimated Time:45s

Question 64Question →

Bir halk kütüphanesinde kayıtlı toplam $N = 1000$ üyenin aylık ortalama kitap ödünç alma sayısını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanılacaktır. Kütüphane üyeleri 'çocuk' ve 'yetişkin' olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Bu tabakalara ilişkin kitle büyüklükleri ve ön çalışmadan elde edilen varyans değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
Çocuklar	400	70
Yetişkinler	600	120

%95 güven düzeyinde ( $z = 2$ ) ve $d = 2$ birim hata payı ile kitle ortalamasını tahmin etmek için orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemine göre seçilmesi gereken toplam örneklem hacmi ( $n$ ) kaçtır?

91

100

87

25

167

Show answer & explanation

Answer: 91

Answer

Orantılı dağıtım altında %95 güven düzeyinde ve 2 birim hata payı ile tahmin yapabilmek için seçilmesi gereken örneklem hacmi 91 birimdir.

Orantılı dağıtım yönteminde kitle ortalamasının tahmini için gereken örneklem hacmi hesaplanırken, tabaka ağırlıklı varyanslar toplamı (

100

) kullanılır. Güven katsayısı (

z=2

) ve hata payı (

d=2

) değerleri formüle yerleştirildiğinde düzeltilmemiş hacim

100

olarak bulunur. Kitle sonlu (

N=1000

) olduğu için yapılan düzeltme sonucunda örneklem hacmi

91

olarak kesinleşir.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesaplayınız.

W_1 = 400/1000 = 0,4

ve

W_2 = 600/1000 = 0,6

Tabakalı örneklemede her tabakanın kitle içindeki temsil oranı belirlenmelidir.

2

Tabaka ağırlıklı varyanslar toplamını (ortalama varyansı) hesaplayınız.

\sum W_h S_h^2 = (0,4 \times 70) + (0,6 \times 120) = 28 + 72 = 100

Orantılı dağıtım formülündeki temel varyans bileşenidir.

3

Sonlu kitle düzeltmesi (SKD) öncesi başlangıç örneklem hacmini (

n_0

) bulunuz.

n_0 = \frac{z^2 \sum W_h S_h^2}{d^2} = \frac{2^2 \times 100}{2^2} = 100

Sonsuz kitle varsayımı altındaki örneklem ihtiyacını belirler.

4

Nihai örneklem hacmini (

n

) SKD uygulayarak hesaplayınız.

n = \frac{n_0}{1 + (n_0/N)} = \frac{100}{1 + (100/1000)} = \frac{100}{1,1} \approx 90,9 \rightarrow 91

Kitle sonlu olduğunda örneklem hacmi kitle büyüklüğüne göre düzeltilmelidir.

Key Concept

Tabakalı Örneklemede Orantılı Dağıtım ile Örneklem Hacmi Belirleme

Estimated Time:1m 30s

Question 65Question →

İstatistiksel araştırmalarda kitleyi alt gruplara ayırarak yapılan örnekleme işlemlerinde sıklıkla başvurulan tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle ilgili;

I. Oluşturulan tabakaların kendi içinde homojen (benzer), tabakalar arasında ise heterojen (farklı) olması sağlanmalıdır.
II. Kitlede yer alan her bir gözlem birimi, mutlaka bir tabakada yer almalı ve birden fazla tabakaya dahil edilmemelidir.
III. Tabakalar, kitlenin tamamını kapsayacak şekilde (hiçbir birim dışarıda kalmadan) belirlenmelidir.

ifadelerinden hangileri bu yöntemin uygulanmasında uyulması gereken temel prensiplerdendir?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: I, II ve III

Answer

Verilen üç ifade de tabakalı rastgele örneklemenin temel özelliklerindendir.

Tabakalı rastgele örneklemede temel amaç, kitleyi kendi içinde benzer (homojen) ancak birbirlerinden farklı (heterojen) alt gruplara ayırarak her gruptan temsilci seçmektir. Bu süreçte kitlenin tüm birimleri mutlaka bir tabakaya dahil edilmeli ve hiçbir birim birden fazla tabakada sayılmamalıdır (ayrıklık ve tam kapsayıcılık). Bu nedenle her üç öncül de yöntemin temel direklerini oluşturur.

Step-by-Step Solution

1

Tabaka oluşturma kriterlerinin analizi.

Tabakaların kendi içinde benzer (homojen), birbirlerine göre ise farklı (heterojen) olması gerektiği sonucuna varıldı.

Tabakalı örneklemede varyansı azaltmanın ve tahmin hassasiyetini artırmanın temel yolu tabaka içi homojenliği sağlamaktır.

2

Kitle birimlerinin tabakalara atanma kuralının incelenmesi.

Her birimin bir ve yalnız bir tabakada yer alması gerektiği tespit edildi.

Birimlerin birden fazla tabakada yer alması veya hiçbir tabakaya dahil edilmemesi, kitle parametrelerinin yanlı tahmin edilmesine yol açar.

3

Kapsayıcılık ilkesinin değerlendirilmesi.

Tabakaların birleşiminin ana kitleyi tam olarak oluşturması gerektiği doğrulandı.

Örnekleme çerçevesinin kitleyi tam temsil edebilmesi için tüm birimlerin tabakalanma sürecine dahil edilmesi zorunludur.

Key Concept

Tabakalı örneklemede tabaka içi homojenlik, tabakalar arası heterojenlik ve kitlenin ayrık-kapsayıcı alt gruplara bölünmesi.

Question 66Question →

Bir araştırmacı, ilgilendiği kitleyi büyüklükleri $N_1 = 4000$ , $N_2 = 4000$ ve $N_3 = 2000$ olan $L=3$ tabakaya ayırmıştır. Önceki çalışmalardan elde edilen bilgilere göre, tabaka varyansları sırasıyla $S_1^2 = 100$ , $S_2^2 = 100$ ve $S_3^2 = 400$ olarak tahmin edilmektedir.

Araştırmacı $n = 300$ birimlik toplam örneklem hacmini eşit dağıtım (equal allocation) yöntemiyle tabakalara dağıtmaya karar vermiştir.

Buna göre, araştırmanın örneklem tasarımı ve sonuçları dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Eşit dağıtım yöntemi sonucunda her bir tabakadan seçilecek örneklem hacmi 100 birimdir.

Kitle ortalamasının yansız bir şekilde tahmin edilebilmesi için, tabakalardan elde edilen örneklem ortalamalarının basit aritmetik ortalaması yerine tabaka ağırlıkları (

W_h

) kullanılarak hesaplanması gerekir.

Verilen kitle büyüklükleri ve varyanslar dikkate alındığında, bu problemde eşit dağıtım yöntemi ile Neyman dağıtımı tamamen aynı tabaka örneklem hacimlerini verir.

Araştırmacı eşit dağıtım yerine orantılı dağıtım (proportional allocation) kullansaydı, üçüncü tabakadan seçeceği örneklem hacmi 120 olurdu.

Üçüncü tabakanın örnekleme kesri (

f_3

), birinci ve ikinci tabakaların örnekleme kesirlerinden (

f_1

ve

f_2

) daha büyüktür.

Show answer & explanation

Answer: Araştırmacı eşit dağıtım yerine orantılı dağıtım (proportional allocation) kullansaydı, üçüncü tabakadan seçeceği örneklem hacmi 120 olurdu.

Answer

Eşit dağıtım yerine orantılı dağıtım kullanıldığında üçüncü tabakadan seçilecek örneklem hacminin 120 olacağını iddia eden ifade yanlıştır; doğru değer 60 olmalıdır.

Orantılı dağıtım (proportional allocation) yönteminde bir tabakadan çekilecek örneklem hacmi, o tabakanın kitledeki ağırlığıyla orantılı olarak belirlenir. Formülü

n_h = n \times (N_h/N)

şeklindedir. Üçüncü tabakanın kitle büyüklüğü

N_3 = 2000

ve toplam kitle büyüklüğü

N = 10000

'dir. Orantılı dağıtım yapılsaydı üçüncü tabakadan seçilecek örneklem hacmi

n_3 = 300 \times (2000/10000) = 60

olmalıydı. Verilen ifadede bu değerin 120 olduğu iddia edilmiştir; 120 değeri birinci ve ikinci tabakalara ait orantılı dağıtım hacmidir (

300 \times 0.4 = 120

). Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

Eşit dağıtım yöntemi ile her tabaka için örneklem hacmi hesaplanır.

n_h = n/L = 300/3 = 100

birim.

Eşit dağıtımda toplam örneklem hacmi tabaka sayısına eşit olarak bölünür.

2

Neyman dağıtımı için

N_h S_h

değerleri hesaplanarak karşılaştırma yapılır.

S_1=10, S_2=10, S_3=20

. Çarpımlar:

N_1 S_1 = 4000 \times 10 = 40000

,

N_2 S_2 = 4000 \times 10 = 40000

,

N_3 S_3 = 2000 \times 20 = 40000

. Tüm çarpımlar eşit olduğu için Neyman dağıtımı da

100, 100, 100

sonucunu verir.

Seçeneklerdeki Neyman dağıtımı iddiasının doğruluğunu test etmek.

3

Orantılı dağıtım (proportional allocation) kullanıldığında üçüncü tabakadan alınacak örneklem hacmi hesaplanır.

n_3 = n \times (N_3/N) = 300 \times (2000/10000) = 300 \times 0.2 = 60

birim.

Yanlış olan seçeneği matematiksel olarak ispatlamak.

4

Örnekleme kesirleri hesaplanarak karşılaştırılır.

f_1 = f_2 = 100/4000 = 0.025

iken

f_3 = 100/2000 = 0.05

'tir. Dolayısıyla

f_3 > f_1

.

Seçeneklerde yer alan örnekleme kesri iddiasının doğruluğunu test etmek.

Key Concept

Eşit Dağıtım, Orantılı Dağıtım ve Neyman Dağıtımı Karşılaştırması

Question 67Question →

Bir araştırmacı, kitle genelinde yapacağı sosyo-ekonomik bir araştırmada basit rastgele örnekleme (BRÖ) ile tabakalı rastgele örnekleme (TRÖ) tasarımlarının istatistiksel etkinliklerini karşılaştırmakta ve örneklem tasarımında kullanılacak temel ilkeleri değerlendirmektedir.

Araştırmacı, tasarım süreciyle ilgili aşağıdaki çıkarımları yapmıştır:

I. Kitle toplam varyansı sabit kalmak koşuluyla, tabakalandırma sonucunda elde edilen tabakalar arası varyansın tabaka içi varyanslara göre nispi olarak daha büyük olması, TRÖ'nün BRÖ'ye kıyasla sağladığı etkinlik kazancını (tasarım etkisinin $1$ 'den küçük olma derecesini) doğrudan artırır.
II. Etkin bir tabakalı örneklem tasarımı elde edebilmek için, oluşturulacak tabakaların kendi içinde olabildiğince heterojen, tabakalar arasında ise olabildiğince homojen bir yapı sergilemesi temel optimizasyon kuralıdır.
III. Araştırmada kullanılacak örnekleme birimlerinin (örn. hanehalkı) özellikleri ile verinin fiilen derleneceği gözlem birimlerinin (örn. hane içindeki bireyler) özellikleri farklılaştığında, tabakalandırma işleminin gözlem birimleri üzerinden değil, örnekleme çerçevesinde yer alan örnekleme birimleri üzerinden yapılması teknik bir zorunluluktur.
IV. Tabakalı rastgele örneklemenin tahmin edici varyansını (standart hatayı) düşüren temel mekanizması; çerçeve eksikliği, cevapsızlık ve ölçüm hataları gibi örnekleme dışı hataların tabakalara ayrılarak elimine edilmesidir.

Buna göre, araştırmacının çıkarımlarından hangileri istatistiksel olarak kesinlikle doğrudur?

Yalnız I

I ve II

I ve III

II ve IV

I, III ve IV

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

Doğru seçenek yalnızca birinci ve üçüncü öncüllerin yer aldığı ifadedir.

Birinci öncül doğrudur çünkü kitle varyansı (

S^2

), tabaka içi varyans ile tabakalar arası varyansın toplamına eşittir. Tabakalar arası varyansın büyük olması, tabaka içi varyansın küçük olmasını gerektirir ki bu da tabakalı örneklemede varyansı doğrudan küçülterek etkinliği (tasarım etkisini) artırır. Üçüncü öncül doğrudur çünkü tabakalandırma işlemi, örneklem seçilmeden önce örnekleme çerçevesi üzerinden yapılır. Çerçevede yalnızca örnekleme birimleri (örneğin haneler) yer aldığından, tabakalandırma gözlem birimlerine (bireylere) göre değil örnekleme birimlerine göre yapılmak zorundadır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci öncülün ANOVA varyans parçalanışı prensibiyle değerlendirilmesi

Toplam varyans (

S^2

), tabaka içi (

S_W^2

) ve tabakalar arası (

S_B^2

) varyansların toplamıdır. Toplam varyans sabitken tabakalar arası varyansın artması, tabaka içi varyansın azalması demektir. Tabakalı örneklemede varyans büyük ölçüde tabaka içi varyansa bağlı olduğundan, bu durum tahminin varyansını düşürür ve etkinliği artırır. I numaralı öncül doğrudur.

Tabakalı örneklemede etkinlik, doğrudan tabaka içi varyansın minimizasyonuna dayanır.

2

İkinci öncüldeki homojenlik ve heterojenlik kavramlarının analizi

Tabakalı örneklemede temel kural, tabakaların 'kendi içlerinde olabildiğince homojen', 'birbirleri arasında ise olabildiğince heterojen' olmasıdır. Öncül bu ilkeyi tamamen ters vermiştir. II numaralı öncül yanlıştır.

Homojenliğin yanlış boyutlarda kurgulanması tahminin varyansını düşürmez, aksine artırabilir.

3

Üçüncü öncüldeki örnekleme ve gözlem birimi ayrımının çerçeveyle ilişkisinin incelenmesi

Örneklem seçimi, örnekleme birimlerinin listelendiği çerçeve üzerinden yapılır. Seçim öncesinde çerçevede yalnızca örnekleme birimlerine ait yardımcı bilgiler bulunur. Dolayısıyla tabakalandırma gözlem birimlerine (birey) göre değil, mecburen çerçevedeki örnekleme birimlerine (hanehalkı) göre yapılmalıdır. III numaralı öncül doğrudur.

Örneklem tasarımı teorisinde tabakalandırma, veri derleme aşamasından önce, çerçeve aşamasında gerçekleştirilir.

4

Dördüncü öncüldeki hata türlerinin ayrıştırılması

Tabakalandırma işlemi yalnızca rastlantısal seçimden kaynaklanan 'örnekleme hatasını (varyansı)' minimize eder. Çerçeve hatası veya ölçüm hatası gibi 'örnekleme dışı hatalar' örneklem tasarımı (tabakalandırma) ile elimine edilemez. IV numaralı öncül yanlıştır.

Örnekleme tasarımı ölçüm araçlarının veya çerçevenin kusurlarını düzeltmez, yalnızca tahmindeki istatistiksel dalgalanmayı daraltır.

5

Doğru öncüllerin sentezi ve sonucun belirlenmesi

Yalnızca I ve III numaralı öncüller teorik olarak kesinlikle doğrudur.

Doğru istatistiksel değerlendirmeleri içeren ifadeler bir araya getirilmiştir.

Key Concept

Tabakalı Örnekleme Tasarımının Teorik İlkeleri ve Etkinliği

Question 68Question →

Bir araştırmacı, bir bölgedeki işletmelerin yıllık Ar-Ge harcamalarını tahmin etmek amacıyla kitleyi işletme büyüklüklerine (küçük, orta, büyük) göre alt gruplara ayırmış ve her gruptan bağımsız olarak basit rastgele örnekleme (BRÖ) yöntemiyle işletmeler seçerek tasarımını kurgulamıştır.

Tabakalı rastgele örnekleme olarak adlandırılan bu tasarımın teorik özellikleri ve varyans yapısı dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?

I. Kitle toplam varyansı sabit kabul edildiğinde tabakalandırma işleminin temel amacı; "tabaka içi varyanslar" bileşenini minimize edip, "tabakalar arası varyans" bileşenini maksimize ederek tahmin edicinin varyansını küçültmektir.
II. Orantılı dağıtım uygulandığında, tabakalı örnekleme tahmin edicisinin varyansının aynı hacimli BRÖ varyansından her zaman küçük veya ona eşit olmasını sağlayan temel teorik mekanizma; kitledeki "tabakalar arası varyans" bileşeninin örnekleme hatası hesabından tamamen izole edilmesidir.
III. Araştırma tasarımı gereği kitle alt gruplara bölündüğü için, bu yöntemde birinci aşama örnekleme birimi "tabaka", gözlem birimi ise "işletme" olarak tanımlanır; bu ayrımın yapılması örnekleme hatası ile çerçeve hatası gibi örnekleme dışı hataların birbirine karıştırılmasını engeller.
IV. Tabakaların kendi içlerinde olabildiğince heterojen (değişkenliği yüksek), tabakalar arasında ise ortalamalar açısından olabildiğince homojen (benzer) olacak şekilde oluşturulması, tasarım etkisi ( $deff$ ) değerini küçülterek BRÖ'ye göre etkinliği artırır.

I ve IV

I ve II

II ve III

I, II ve III

I, III ve IV

Show answer & explanation

Answer: I ve II

Answer

I ve II

I ve II numaralı öncüller tabakalı örneklemenin varyans yapısını doğru tanımlamaktadır. Kitle toplam varyansı, 'tabaka içi' ve 'tabakalar arası' varyansların toplamına eşittir. Örnekleme hatası yalnızca tabaka içi varyanslardan kaynaklandığı için, bu varyansın minimize edilmesi (homojenlik) matematiksel olarak tabakalar arası varyansın maksimize edilmesiyle mümkündür (I. öncül). Bu izole etme işlemi, özellikle orantılı dağıtımda tasarımın basit rastgele örneklemeden daha etkin olmasının yegane teorik sebebidir (II. öncül).

Step-by-Step Solution

1

I. öncülün teorik varyans ayrışımı açısından değerlendirilmesi.

Tabakalandırmada toplam kitle varyansı sabitken, tabaka içi varyansların minimize edilmesi, matematiksel bir zorunluluk olarak tabakalar arası varyansın maksimize edilmesini gerektirir. Bu durum tahminin standart hatasını düşürür. İfade doğrudur.

Tabakalı örneklemede varyansın nasıl düşürüldüğüne dair matematiksel ilişkiyi analiz etmek.

2

II. öncülün varyans analizi çerçevesinde incelenmesi.

Orantılı dağıtımda basit rastgele örneklemeye göre elde edilen etkinlik kazancının temel sebebi, varyans formülünden tabakalar arası varyans bileşeninin tamamen izole edilmesidir. İfade doğrudur.

Tasarım etkisinin mekanizmasını teorik düzeyde kanıtlamak.

3

III. öncüldeki örnekleme birimi kavramının test edilmesi.

Tabakalı örneklemede tabaka bir alt kitledir, hiçbir zaman örnekleme birimi olamaz. Örnekleme birimi doğrudan tabakadan seçilen elemanlardır (işletme). İfade yanlıştır.

Örnekleme birimi ve kitle alt grubu kavramlarının ayrımını netleştirmek.

4

IV. öncüldeki tabaka oluşturma ilkelerinin kontrol edilmesi.

Tabakalar kendi içinde homojen, tabakalar arasında heterojen olmalıdır. Öncülde bu kural tamamen ters verilmiş olup, küme örneklemesi ilkeleri tanımlanmıştır. İfade yanlıştır.

Farklı örnekleme tasarımlarına ait homojenlik ve heterojenlik varsayımlarını ayırt etmek.

Key Concept

Tabakalı Örneklemede Varyans Ayrışımı ve Homojenlik İlkeleri

Estimated Time:2m 0s

Question 69Question →

Çok şubeli bir perakende zincirinin insan kaynakları departmanı, çalışanların aylık performans prim ortalamasını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek için çalışan listesi üzerinden tabakalı rastgele örnekleme tasarımı yapacaktır. Tabakalama değişkeni olarak dört farklı alternatif üzerinde durulmaktadır. Geçmiş verilere dayanılarak yapılan bir ön analizde, her bir alternatif için hesaplanan tabaka içi varyansların ortalaması ve tabaka ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarını ifade eden tabakalar arası varyans değerleri yaklaşık olarak aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir:

Alternatif	Tabaka İçi Varyans	Tabakalar Arası Varyans
I	120	25
II	30	115
III	75	70
IV	135	10

Tabaka oluşturma ilkeleri dikkate alındığında, kitle ortalaması tahminleyicisinin varyansını ( $V(\bar{y}_{st})$ ) minimize etmek için hangi alternatifin seçilmesi en uygundur ve bu seçimin temel teorik gerekçesi nedir?

Alternatif II seçilmelidir. Çünkü tabakalı örneklemede yüksek etkinlik elde etmek için tabakaların kendi içinde olabildiğince benzer (homojen), tabaka ortalamalarının ise birbirinden olabildiğince farklı (heterojen) olması amaçlanır.

Alternatif I seçilmelidir. Çünkü tabakaların kendi içlerinde kitlenin tüm çeşitliliğini barındıracak kadar çeşitli (heterojen) olması, örneklemin kitleyi temsil yeteneğini maksimize eder.

Alternatif III seçilmelidir. Çünkü varyans bileşenlerinin dengeli dağılması, hem tabaka içi hem de tabakalar arası homojenliği aynı anda sağlayarak tahmin edicinin kesinlikle yansız olmasını garanti eder.

Alternatif IV seçilmelidir. Çünkü tabakalar arası varyansın minimum olması, farklı tabakaların birbirine çok benzemesini sağlar ve böylece tabakalandırma işlemi kitle varyansını doğrudan sıfıra yaklaştırır.

Alternatif II seçilmelidir. Çünkü tabaka içi varyansın düşük olması, birimlerin seçiminde uygulanacak iadesiz basit rastgele örneklemede sonlu kitle düzeltme çarpanının (SKD) ihmal edilebilmesine olanak tanır.

Show answer & explanation

Answer: Alternatif II seçilmelidir. Çünkü tabakalı örneklemede yüksek etkinlik elde etmek için tabakaların kendi içinde olabildiğince benzer (homojen), tabaka ortalamalarının ise birbirinden olabildiğince farklı (heterojen) olması amaçlanır.

Answer

Kitle ortalaması tahminleyicisinin varyansını minimize etmek için Alternatif II seçilmelidir; çünkü etkin bir tabakalama için tabaka içi varyansların düşük (homojen), tabakalar arası varyansın ise yüksek (heterojen) olması gerekir.

Doğru yanıt, tabaka içi varyansın en düşük ve tabakalar arası varyansın en yüksek olduğu durumu ifade eden seçenektir. Tabakalı rastgele örneklemede kitle ortalamasının varyansı (

V(\bar{y}_{st})

), temelde tabakaların kendi içlerindeki varyanslarının ağırlıklı bir fonksiyonudur. Bu nedenle, örnekleme hatasını (varyansı) en aza indirmek için tabakaların kendi içinde birbirine çok benzeyen (homojen) birimlerden oluşması, tabakaların ise birbirinden belirgin şekilde farklı (heterojen) olması gerekir. Tabloda bu ilkeye en uygun veriler (Tabaka İçi: 30, Tabakalar Arası: 115) Alternatif II'ye aittir.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalı örneklemenin temel ilkesini hatırlama.

Tabakalı örneklemede amaç, kitleyi kendi içinde birbirine benzeyen (homojen) alt gruplara ayırmaktır.

Varyans formülünde tabakaların kendi içindeki varyanslarının (

S_h^2

) ağırlıklı toplamı yer aldığından, içi homojen tabakalar toplam örnekleme hatasını düşürür.

2

Tabaka içi ve tabakalar arası varyans ilişkisini analiz etme.

Kitlenin toplam varyansı sabit kabul edildiğinde, tabaka içi varyansın (homojenlik) minimize edilmesi, matematiksel olarak tabaka ortalamaları arasındaki varyansın (heterojenlik) maksimize edilmesini gerektirir.

Tabakalar arası farklılıkların büyük olması, kitledeki değişkenliğin büyük kısmının tabakalama ile kontrol altına alındığını gösterir.

3

Tablodaki alternatifleri değerlendirme.

Tabloda tabaka içi varyansı en düşük (30) ve buna bağlı olarak tabakalar arası varyansı en yüksek (115) olan seçenek Alternatif II'dir.

En yüksek istatistiksel etkinlik ve en düşük tahminleyici varyansı bu alternatif ile elde edilir.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Homojenlik ve Heterojenlik İlkeleri

Question 70Question →

Bir kargo şirketi, filosunda bulunan dağıtım araçlarının aylık toplam bakım masrafını tahmin etmek amacıyla araçları "Hafif Ticari" ve "Ağır Vasıta" olmak üzere iki tabakaya ayırarak tabakalı rastgele örnekleme yapmıştır.

Bu araçların kitle büyüklükleri, örneklem hacimleri ve örneklemden elde edilen bakım masrafı varyansları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Araç Tipi	Kitledeki Araç Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Örneklem Varyansı ( $s_h^2$ )
1	Hafif Ticari	$100$	$20$	$400$
2	Ağır Vasıta	$50$	$10$	$500$

Buna göre, filodaki tüm araçların aylık toplam bakım masrafı tahmininin varyansı ( $V(\hat{\tau}_{st})$ ) kaçtır?

325.000

3.600

260.000

70

56

Show answer & explanation

Answer: $260.000$

Answer

Filodaki tüm araçların aylık toplam bakım masrafı tahmininin varyansı

260.000

'dir.

Kitle toplamının tahmininin varyansı hesaplanırken her bir tabakanın varyans katkısı

N_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}

formülü ile bulunur. Tabaka 1 için bu değer

10.000 \times 0,8 \times 20 = 160.000

, Tabaka 2 için

2.500 \times 0,8 \times 50 = 100.000

'dir. Toplam varyans bu iki değerin toplamı olan

260.000

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalı rastgele örneklemede kitle toplamının varyans formülünü yazma.

V(\hat{\tau}_{st}) = \sum_{h=1}^L N_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}

Kitle toplamı varyansında, her tabakanın kitledeki gerçek ağırlığını yansıtmak için tabaka büyüklüğünün karesi (

N_h^2

) kullanılır ve iadesiz seçim yapıldığı için sonlu kitle düzeltme çarpanı (SKD) eklenir.

2

Hafif Ticari (Tabaka 1) araçlar için varyans katkısını hesaplama.

100^2 \times \left(1 - \frac{20}{100}\right) \times \frac{400}{20} = 10.000 \times 0,8 \times 20 = 160.000

Birinci tabakanın kitle toplam varyansına olan katkısını belirlemek.

3

Ağır Vasıta (Tabaka 2) araçlar için varyans katkısını hesaplama.

50^2 \times \left(1 - \frac{10}{50}\right) \times \frac{500}{10} = 2.500 \times 0,8 \times 50 = 100.000

İkinci tabakanın kitle toplam varyansına olan katkısını belirlemek.

4

Tabakaların varyans katkılarını toplayarak genel kitle toplamı varyansını bulma.

160.000 + 100.000 = 260.000

Tabakalı örneklemede kitle toplamının varyansı, bağımsız her bir tabakanın varyans katkılarının toplamına eşittir.

Key Concept

Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Question 71Question →

Bir otel zinciri, müşteri memnuniyetini ölçmek amacıyla tesislerindeki odaları hizmet seviyelerine göre üç tabakaya ayırmıştır. Tabakalara ait oda sayıları ( $N_h$ ) ve pilot çalışmadan elde edilen standart sapma değerleri ( $S_h$ ) aşağıda verilmiştir:

Tabaka	Oda Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Tabaka (Standart Odalar)	2000	1
2. Tabaka (Süit Odalar)	1200	5
3. Tabaka (Villalar)	800	15

Bu araştırma için toplam $n = 210$ hacminde bir örneklem seçilecektir.

Buna göre, örneklem hacminin tabakalara dağıtımında orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanıldığında, tabakalardan seçilecek örneklem hacimleri ( $n_1, n_2, n_3$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

105, \ 63, \ 42

21, \ 63, \ 126

42, \ 63, \ 105

70, \ 70, \ 70

10, \ 50, \ 150

Show answer & explanation

Answer: $105, \ 63, \ 42$

Answer

Orantılı dağıtım yöntemiyle hesaplanan örneklem hacimleri sırasıyla 105, 63 ve 42'dir.

Doğru cevap, orantılı dağıtım formülü olan

n_h = n \cdot \frac{N_h}{N}

eşitliğinin her bir tabaka için sırasıyla uygulanmasıyla elde edilen

105, \ 63, \ 42

değerlerini içeren seçenektir. Bu yöntemde örneklem, tabakaların kitle içindeki ağırlıklarına (

W_h

) orantılı olarak ve varyanslardan bağımsız şekilde dağıtılır.

Step-by-Step Solution

1

Kitledeki toplam eleman sayısını (

N

) hesapla.

N = \sum N_h = 2000 + 1200 + 800 = 4000

oda.

Orantılı dağıtımda her tabakanın kitle içindeki oranını (ağırlığını) bulmak için toplam kitle büyüklüğüne ihtiyaç vardır.

2

Her tabakanın ağırlığını (

W_h = \frac{N_h}{N}

) hesapla.

W_1 = \frac{2000}{4000} = 0.5

,

W_2 = \frac{1200}{4000} = 0.3

,

W_3 = \frac{800}{4000} = 0.2

Tabakalardan seçilecek eleman sayısı, o tabakanın kitledeki ağırlığıyla doğru orantılı olmalıdır.

3

Orantılı dağıtım formülünü (

n_h = n \cdot W_h

) uygulayarak örneklem hacimlerini belirle.

n_1 = 210 \cdot 0.5 = 105

,

n_2 = 210 \cdot 0.3 = 63

,

n_3 = 210 \cdot 0.2 = 42

Toplam

210

birimlik örneklem, her bir tabakanın ağırlığına göre paylaştırılarak orantılı dağıtım tamamlanır.

Key Concept

Orantılı Dağıtım (Proportional Allocation)

Question 72Question →

Sanayi ve Teknoloji Bakanlığı, iki farklı organize sanayi bölgesinde (OSB) faaliyet gösteren işletmelerin "yerli üretim sertifikası"na sahip olma oranını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi uygulamıştır.

Araştırma kapsamında elde edilen kitle ve örneklem bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

OSB (Tabaka)	Toplam İşletme ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Sertifikalı İşletme Sayısı ( $a_h$ )
1. OSB	1000	200	20
2. OSB	1000	250	50

Not: Geniş örneklem varsayımı geçerlidir (varyans tahminleyicisinin paydasında $n_h - 1$ yerine $n_h$ kullanılacaktır).

Buna göre, iki OSB genelindeki yerli üretim sertifikasına sahip işletme oranının varyans tahmini, $v(p_{st})$ , aşağıdakilerden hangisidir?

0,0002100

0,0002725

0,0004200

0,0005450

0,0008400

Show answer & explanation

Answer: 0,0002100

Answer

0,0002100

Tabakalı rastgele örneklemede kitle oranının varyans tahmini,

v(p_{st}) = \sum W_h^2 (1 - f_h) \frac{p_h q_h}{n_h}

formülü ile hesaplanır. İlk olarak tabaka ağırlıkları

W_1 = W_2 = 0,5

olarak bulunur. Birinci tabaka için varyans katkısı:

(0,5)^2 \times (1 - 0,20) \times \frac{0,10 \times 0,90}{200} = 0,00009

'dur. İkinci tabaka için varyans katkısı:

(0,5)^2 \times (1 - 0,25) \times \frac{0,20 \times 0,80}{250} = 0,00012

'dir. Bu iki değerin toplamı genel oran varyans tahminini (0,00021) verir.

Step-by-Step Solution

1

Kitle büyüklüğünü (

N

) ve tabaka ağırlıklarını (

W_h

) belirle.

N = 1000 + 1000 = 2000

.

W_1 = 1000/2000 = 0,5

ve

W_2 = 1000/2000 = 0,5

.

Tabakalı örneklemede genel oran tahmini ve varyansı, tabaka ağırlıkları ile ağırlıklandırılarak bulunur.

2

Her tabaka için örneklem oranlarını (

p_h

) ve

q_h

değerlerini hesapla.

1. OSB:

p_1 = 20/200 = 0,10

,

q_1 = 0,90

. 2. OSB:

p_2 = 50/250 = 0,20

,

q_2 = 0,80

.

Tabaka içi varyans tahmini

p_h \times q_h

çarpımına dayanır.

3

Her tabaka için sonlu kitle düzeltme çarpanlarını (SKD) hesapla.

1. OSB:

f_1 = 200/1000 = 0,20 \Rightarrow 1-f_1 = 0,80

. 2. OSB:

f_2 = 250/1000 = 0,25 \Rightarrow 1-f_2 = 0,75

.

Örneklem fraksiyonları (

n_h/N_h

) %5'ten büyük olduğu için SKD mutlaka kullanılmalıdır.

4

Tabakalı oran varyansı tahmin formülünü uygula:

v(p_{st}) = \sum W_h^2 (1 - f_h) \frac{p_h q_h}{n_h}

v(p_{st}) = (0,5)^2 (0,80) \frac{(0,10)(0,90)}{200} + (0,5)^2 (0,75) \frac{(0,20)(0,80)}{250}

= 0,25 \times 0,80 \times 0,00045 + 0,25 \times 0,75 \times 0,00064

= 0,00009 + 0,00012 = 0,00021

Genel kitle oranının varyansı, her tabakanın ağırlığının karesi, SKD'si ve tabaka içi varyansının çarpımlarının toplamıdır.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Oran Tahmininin Varyansı

Estimated Time:2m 30s

Question 73Question →

Bir belediye, ilçesindeki mahallelerde günlük üretilen ortalama katı atık miktarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Mahalleler, nüfus yoğunluklarına göre üç farklı tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ilişkin mahalle sayıları ( $N_h$ ) ve günlük katı atık miktarına ait standart sapmalar ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Nüfus Yoğunluğu	Mahalle Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ , ton)
1	Düşük	400	6
2	Orta	400	3
3	Yüksek	200	12

Belediye, toplam $n = 140$ mahalleden oluşan bir örneklem seçecektir.

Buna göre, Orta Yoğunluklu (2. Tabaka) mahallelerden seçilecek örneklem hacmi ( $n_2$ ) Neyman dağıtımına göre kaçtır?

11

20

28

47

56

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Doğru yanıt 28'dir. 2. Tabakadan Neyman dağıtımına göre 28 mahalle seçilmelidir.

Neyman dağıtımında her tabakadan seçilecek örneklem hacmi, o tabakanın kitledeki büyüklüğü (

N_h

) ve kendi içindeki değişkenliği (

S_h

) ile doğru orantılı olarak belirlenir. Toplam ağırlık

\sum N_h S_h = 6000

olarak bulunur. 2. Tabaka için pay

N_2 S_2 = 1200

'dür. Formül uygulandığında

n_2 = 140 \times (1200 / 6000) = 28

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Her bir tabaka için büyüklük ile standart sapma çarpımlarını (

N_h \times S_h

) hesaplama.

N_1 S_1 = 400 \times 6 = 2400

N_2 S_2 = 400 \times 3 = 1200

N_3 S_3 = 200 \times 12 = 2400

Neyman dağıtımında her tabakanın alacağı payı belirleyen temel ağırlık faktörlerini bulmak için.

2

Tabaka ağırlık faktörlerinin toplamını (

\sum N_h S_h

) bulma.

\sum N_h S_h = 2400 + 1200 + 2400 = 6000

Örneklem dağıtım oranının paydasını (toplam ağırlığı) oluşturmak için.

3

2. Tabaka için Neyman dağıtımı formülünü (

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum N_h S_h}

) uygulama.

n_2 = 140 \times \frac{1200}{6000} = 140 \times \frac{1}{5} = 28

Örneklem hacmini tabakanın kitledeki payı ve değişkenliğine göre optimize ederek dağıtmak için.

Key Concept

Neyman Dağıtımı

Estimated Time:1m 30s

Question 74Question →

Bir orman bölge müdürlüğü yetkilisi, sorumluluk sahasındaki çam ağaçlarının ortalama gövde çapını tahmin etmek için bir envanter çalışması yürütmektedir. Ormanlık alan, ağaçların yaş sınıflarına göre üç farklı alt bölgeye (tabakaya) ayrılarak tabakalı rastgele örnekleme tasarımı kullanılmıştır.

Araştırmanın veri analizi aşamasında, bu tabakalı örnekleme tasarımının basit rastgele örneklemeye göre tasarım etkisi ( $Deff$ ) $0,64$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, uygulanan örnekleme tasarımının etkinliği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Tabakaların kendi içinde heterojen, tabakalar arasında homojen olacak şekilde oluşturulması, basit rastgele örneklemeye göre

\%64

'lük bir etkinlik kaybına yol açmıştır.

Tasarım etkisinin

0,64

olması, tabakalı örneklemeyle tahmin edilen parametre değerinin, basit rastgele örneklemeyle elde edilecek istatistik değerinden

\%64

daha küçük olduğunu ifade eder.

Tabakalı örnekleme tasarımı basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir ve basit rastgele örnekleme varyansına kıyasla

\%36

oranında bir hassasiyet kazancı (varyans azalışı) sağlamıştır.

Tasarım etkisinin

1

'den küçük çıkması, kitle ortalaması tahmininde tabaka ağırlıklarının ihmal edildiğini ve varyansın yapay olarak

\%36

düşük hesaplandığını gösterir.

Tabakalı örnekleme tasarımı basit rastgele örneklemeye kıyasla örnekleme hatasını değiştirmemiş, ancak örnekleme dışı hatalarda

\%36

'lık bir azalma meydana getirmiştir.

Show answer & explanation

Answer: Tabakalı örnekleme tasarımı basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir ve basit rastgele örnekleme varyansına kıyasla $\%36$ oranında bir hassasiyet kazancı (varyans azalışı) sağlamıştır.

Answer

Tabakalı örnekleme tasarımının daha etkin olduğunu ve varyansta %36 oranında bir hassasiyet kazancı sağlandığını belirten seçenektir.

Doğru cevap, tasarım etkisinin (Deff)

1

'den küçük olmasının daha yüksek etkinlik anlamına geldiğini ve varyanstaki bu azalmanın hassasiyet kazancı olduğunu belirten ifadedir.

Deff = 0,64

olması, tabakalı örnekleme varyansının basit rastgele örnekleme varyansına oranının

0,64

olduğunu gösterir. Bu durumda varyans

1 - 0,64 = 0,36

yani

\%36

oranında azalmıştır ve hassasiyet kazancı sağlanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Tasarım etkisinin (Deff) formülünü ve mantığını hatırlamak.

Deff = \frac{V(\text{Tabakalı})}{V(\text{BRO})}

Bir örnekleme tasarımının etkinliğini ölçmek için o tasarımın varyansı ile aynı hacimdeki Basit Rastgele Örneklemenin varyansı oranlanır.

2

Deff değerini yorumlayarak etkinlik yönünü belirlemek.

Deff = 0,64 < 1

olduğundan, tabakalı örnekleme tasarımı basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir (daha az varyansa sahiptir).

Tasarım etkisinin

1

'den küçük olması, söz konusu tasarımın varyansı düşürmede başarılı olduğunu kanıtlar.

3

Hassasiyet kazancını (varyans azalış oranını) hesaplamak.

Kazanç

= 1 - Deff = 1 - 0,64 = 0,36

(

\%36

).

Basit rastgele örneklemeye göre ne kadarlık bir varyans azalması elde edildiği,

1 - Deff

formülüyle oransal olarak tespit edilir.

Key Concept

Tasarım Etkisi (Design Effect - Deff) ve Etkinlik

Question 75Question →

Bir kamu kurumu, ülke genelindeki sivil toplum kuruluşlarını (STK) yıllık faaliyet bütçelerine göre Yüksek, Orta ve Düşük bütçeli olmak üzere üç tabakaya ayırarak bir mali denetim planlamaktadır. Toplam $N = 9000$ STK'nın bulunduğu bu kitlede;
- Orta bütçeli STK sayısının, Yüksek bütçeli STK sayısının $2$ katı,
- Düşük bütçeli STK sayısının ise Yüksek bütçeli STK sayısının $3$ katı olduğu belirlenmiştir.

Yapılan ön çalışmalarda, tabakalardaki bütçe harcamalarına ilişkin standart sapmalar sırasıyla $S_1 = 40$ , $S_2 = 30$ ve $S_3 = 10$ (bin TL) olarak hesaplanmıştır.

Kurum, denetim maliyetlerini göz önünde bulundurarak toplam $n = 600$ birimlik bir örneklem seçecektir. Yönetim, her tabakanın kitledeki ağırlığını doğrudan yansıtacak şekilde orantılı dağıtım yönteminin kullanılmasına karar vermiştir.

Buna göre; Yüksek ( $n_1$ ), Orta ( $n_2$ ) ve Düşük ( $n_3$ ) bütçeli tabakalardan seçilmesi gereken örneklem hacimleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

n_1 = 100, \ n_2 = 200, \ n_3 = 300

n_1 = 185, \ n_2 = 277, \ n_3 = 138

n_1 = 200, \ n_2 = 200, \ n_3 = 200

n_1 = 300, \ n_2 = 225, \ n_3 = 75

n_1 = 300, \ n_2 = 200, \ n_3 = 100

Show answer & explanation

Answer: $n_1 = 100, \ n_2 = 200, \ n_3 = 300$

Answer

Doğru cevap, sırasıyla 100, 200 ve 300 örneklem hacimlerinin bulunduğu seçenektir.

Orantılı dağıtımda örneklem hacimleri formülü

n_h = n \times \frac{N_h}{N}

şeklindedir. Soruda

N = 9000

ve

N_1 + 2N_1 + 3N_1 = 9000

eşitliğinden tabaka hacimleri sırasıyla

1500

,

3000

ve

4500

olarak bulunur. Formül uygulandığında

n_1 = 600 \times \frac{1500}{9000} = 100

,

n_2 = 600 \times \frac{3000}{9000} = 200

ve

n_3 = 600 \times \frac{4500}{9000} = 300

değerlerine ulaşılır. Soruda verilen standart sapmalar yanıltıcı (distraktör) bilgi olup hesaplamaya katılmaz.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalardaki kitle eleman sayılarını (

N_h

) veren denklemi kurmak ve çözmek.

N_1 = 1500

,

N_2 = 3000

,

N_3 = 4500

bulunur.

Soru metninde

N_2 = 2N_1

ve

N_3 = 3N_1

ile

N = 9000

eşitlikleri verilmiştir.

N_1 + 2N_1 + 3N_1 = 6N_1 = 9000

işleminden

N_1 = 1500

elde edilir.

2

Orantılı dağıtım formülünü hatırlamak ve tabaka ağırlıklarını hesaplamak.

W_1 = 1/6

,

W_2 = 2/6

,

W_3 = 3/6

.

Orantılı dağıtımda, her tabakadan seçilecek örneklem hacmi, o tabakanın kitle içindeki ağırlığı (

W_h = N_h / N

) ile orantılıdır. Standart sapmalar (

S_h

) bu yöntemde kullanılmaz.

3

Her tabaka için orantılı örneklem hacimlerini (

n_h

) hesaplamak.

n_1 = 100

,

n_2 = 200

,

n_3 = 300

.

n_1 = 600 \times (1500/9000) = 100

,

n_2 = 600 \times (3000/9000) = 200

ve

n_3 = 600 \times (4500/9000) = 300

işlemleri ile toplam 600 hacim dağıtılır.

Key Concept

Tabakalı örneklemede orantılı dağıtım, sadece tabakaların kitle içindeki eleman sayılarının oranlarını dikkate alır. Standart sapma, varyans veya maliyet gibi unsurlar hesaba katılmaz.

Question 76Question →

Bir ulusal araştırma kurumu, üç farklı coğrafi bölgedeki hanelerin aylık gıda harcamalarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini uygulayacaktır. Tabakalara (bölgelere) ilişkin hane sayıları ( $N_h$ ) ve harcama tutarlarının standart sapmaları ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Bölge)	Hane Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Bölge	500	10
2. Bölge	300	20
3. Bölge	200	25

Araştırmada toplam $n = 160$ hanelik bir örneklem seçilecektir. Başlangıçta örneklem hacminin tabakalara dağıtımı için orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanılması planlanmış, ancak daha sonra tabaka içi varyansların farklılığı dikkate alınarak Neyman dağıtımı yönteminin uygulanmasına karar verilmiştir.

Buna göre, dağıtım yöntemi orantılı dağıtımdan Neyman dağıtımına çevrildiğinde, 2. Bölge'den seçilecek örneklem hacmindeki değişim ve Neyman dağıtımına göre 3. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi aşağıdakilerden hangisinde doğru sırayla verilmiştir?

12 artar, 50

Değişmez, 32

10 artar, 73

12 artar, 32

12 azalır, 50

Show answer & explanation

Answer: 12 artar, 50

Answer

Dağıtım yöntemi değiştirildiğinde 2. Bölge'nin örneklem hacmi 12 artar, 3. Bölge'nin Neyman dağıtımına göre örneklem hacmi ise 50 olur.

Orantılı dağıtıma göre 2. Bölge'ye düşen örneklem hacmi

160 \times (300/1000) = 48

'dir. Neyman dağıtımına göre dağıtım ağırlıkları

N_h S_h

çarpımları ile hesaplanır. Çarpımlar sırasıyla 5000, 6000 ve 5000 olup toplam

\sum N_h S_h = 16000

'dir. Buna göre 2. Bölge'nin yeni örneklem hacmi

160 \times (6000/16000) = 60

olur ve hacim

60 - 48 = 12

artar. 3. Bölge'nin Neyman dağıtımına göre örneklem hacmi ise

160 \times (5000/16000) = 50

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kitle büyüklüğünü (

N

) ve 2. Bölge için orantılı dağıtım örneklem hacmini hesaplamak.

N = 500 + 300 + 200 = 1000

. 2. Bölge orantılı dağıtım hacmi:

n_{2,orant\i l\i} = 160 \times \frac{300}{1000} = 48

.

Değişimi bulmak için öncelikle orantılı dağıtımdaki ilk örneklem hacmi belirlenmelidir.

2

Neyman dağıtımı için tabaka ağırlıklarını (

N_h S_h

) ve ağırlıklar toplamını hesaplamak.

N_1 S_1 = 5000

,

N_2 S_2 = 6000

,

N_3 S_3 = 5000

. Toplam:

\sum N_h S_h = 16000

.

Neyman dağıtımı formülünün pay ve payda değerlerini elde etmek için gereklidir.

3

2. Bölge için Neyman dağıtımı hacmini hesaplayıp değişimi bulmak.

n_{2,Neyman} = 160 \times \frac{6000}{16000} = 60

. Değişim:

60 - 48 = 12

artar.

Sorunun ilk aşamasında istenen değişim miktarını ve yönünü tespit etmek.

4

3. Bölge için Neyman dağıtımı hacmini hesaplamak.

n_{3,Neyman} = 160 \times \frac{5000}{16000} = 50

.

Sorunun ikinci aşamasında doğrudan istenen Neyman dağıtımı sonucunu bulmak.

Key Concept

Orantılı Dağıtım ve Neyman Dağıtımı Karşılaştırması

Question 77Question →

Bir büyükşehir belediyesi, hizmet bölgesindeki hanelerin aylık ortalama su tüketim miktarını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Araştırmanın örnekleme tasarımından sorumlu istatistikçi, tahminin varyansını en aza indirerek en yüksek etkinliği sağlamak için kitleyi alt gruplara ayırırken belirli bir ilkeye dikkat edilmesi gerektiğini belirtmiştir.

Buna göre, tabakalı rastgele örneklemede tahminin etkinliğini en üst düzeye çıkarmak için tabaka oluşturma sürecinde uyulması gereken temel ilke aşağıdakilerden hangisidir?

Tabaka içindeki birimlerin su tüketimi bakımından birbirine olabildiğince benzer (homojen), tabakalar arası farklılıkların ise olabildiğince büyük (heterojen) olması sağlanmalıdır.

Tabaka içindeki birimlerin kitleyi temsil edecek şekilde kendi içinde olabildiğince farklı (heterojen), tabakalar arası özelliklerin ise birbirine benzer (homojen) olması sağlanmalıdır.

Örnekleme çerçevesindeki birimlerin rastgele seçilebilmesi için her bir tabakanın tüm evrenin tam bir minyatürü yapısında, kendi içinde maksimum varyansa sahip olması sağlanmalıdır.

Tabaka içi varyanslar ile tabakalar arası varyansların birbirine eşit kılınarak örnekleme hatasının tüm kitleye homojen bir biçimde dağıtılması sağlanmalıdır.

İncelenen değişken olan su tüketimi ile arasında doğrusal hiçbir ilişki bulunmayan bağımsız bir kriter seçilerek, tabakalar arasında yansızlığın korunması sağlanmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Tabaka içindeki birimlerin su tüketimi bakımından birbirine olabildiğince benzer (homojen), tabakalar arası farklılıkların ise olabildiğince büyük (heterojen) olması sağlanmalıdır.

Answer

Tabaka içindeki birimlerin birbirine olabildiğince benzer (homojen), tabakalar arası farklılıkların ise olabildiğince büyük (heterojen) olması gerektiği seçenektir.

Tabakalı rastgele örneklemede tahminin etkinliği (varyansın küçüklüğü), tabakalar oluşturulurken grupların kendi içlerinde olabildiğince benzer (düşük varyanslı / homojen) olmalarına bağlıdır. Tabaka içi varyanslar ne kadar küçük olursa, o tabakayı temsil etmek için çekilecek örneklem o kadar az hataya sahip olur. Kitledeki toplam değişimin (varyansın) büyük bir kısmı tabakalar arasındaki farklılıklarla (heterojenlik) açıklanabildiğinde örnekleme en yüksek etkinliğe ulaşır.

Step-by-Step Solution

1

Tabakalı örneklemede varyans minimizasyonu mantığının hatırlanması

Tahminleyicinin varyansının büyük ölçüde tabaka içi varyanslara bağlı olduğu sonucuna ulaşılır.

Genel örneklem varyansı hesaplanırken, tabakalar arası varyans tahminleyicinin varyans formülünden dışlanmış olur; geriye sadece tabaka içi varyansların ağırlıklı ortalaması kalır.

2

Tabaka içi ve tabakalar arası varyans ilişkisinin kurulması

Tabaka içi varyansın (homojenlik) minimize edilmesi, tabakalar arası varyansın (heterojenlik) ise maksimize edilmesi gerektiği kuralı uygulanır.

Tabaka içindeki birimler ne kadar benzerse (homojen), o tabakadan çekilen küçük bir örneklem bile tabakayı o kadar yüksek hassasiyetle temsil eder.

3

Seçeneklerin bu kural bağlamında değerlendirilmesi

İçi homojen, arası heterojen kuralını doğru tanımlayan tek bir ifade olduğu tespit edilir.

Diğer seçenekler ya küme örneklemesi kuralını tanımlamakta ya da istatistiksel dayanaktan yoksun varyans eşitleme/ilgisiz değişken kullanma gibi hatalı fikirler sunmaktadır.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Varyans ve Homojenlik-Heterojenlik İlkesi

Question 78Question →

Bir enerji dağıtım şirketi, abonelerinin "akıllı elektrik sayacı" kullanım oranını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi uygulamaktadır. Aboneler "Mesken" ve "Ticarethane" olmak üzere iki tabakaya ayrılmıştır. Bu tabakalara ilişkin kitle ve örneklem bilgileri aşağıda verilmiştir:

Tabaka	Toplam Abone Sayısı ( $N_h$ )	Örneklem Hacmi ( $n_h$ )	Akıllı Sayaç Kullanan Sayısı ( $a_h$ )
Mesken	7000	400	80
Ticarethane	3000	100	60

Buna göre, enerji şirketinin tüm aboneleri için akıllı elektrik sayacı kullanım oranının tabakalı rastgele örnekleme tahmin edicisi ( $p_{st}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,28

0,304

0,32

0,40

0,48

Show answer & explanation

Answer: 0,32

Answer

Kitle oranının tabakalı rastgele örnekleme tahmin edicisi 0,32'dir.

Tabakalı rastgele örneklemede kitle oranının nokta tahmini (

p_{st}

), her bir tabakadaki örneklem oranlarının (

p_h

) tabaka ağırlıkları (

W_h

) ile çarpılarak toplanmasıyla elde edilir. Öncelikle her tabakanın kitledeki ağırlığı (

W_h = N_h / N

) hesaplanır: Mesken için ağırlık

7000/10000 = 0,7

, Ticarethane için ağırlık

3000/10000 = 0,3

'tür. Sonra tabaka oranları bulunur: Mesken tabakasında

p_1 = 80/400 = 0,20

ve Ticarethane tabakasında

p_2 = 60/100 = 0,60

'dır. Tahmin edici formülü

p_{st} = W_1 p_1 + W_2 p_2

uygulanarak

(0,7 \times 0,20) + (0,3 \times 0,60) = 0,14 + 0,18 = 0,32

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Toplam kitle hacmini (

N

) ve her tabakanın kitle içindeki ağırlığını (

W_h = N_h / N

) hesaplayınız.

N = 7000 + 3000 = 10000

. Mesken ağırlığı

W_1 = 7000/10000 = 0,7

. Ticarethane ağırlığı

W_2 = 3000/10000 = 0,3

.

Tabakalı tahmin edicide her tabakanın sonucu, o tabakanın kitledeki gerçek ağırlığı ile orantılı olarak genel tahmine yansıtılmalıdır.

2

Her tabaka için örneklem oranlarını (

p_h = a_h / n_h

) hesaplayınız.

Mesken oranı

p_1 = 80 / 400 = 0,20

. Ticarethane oranı

p_2 = 60 / 100 = 0,60

.

Tabaka oranları, o tabakayı temsil eden alt örneklemlerden elde edilen kitle oranı tahminleridir.

3

Tabaka ağırlıkları ile tabaka oranlarını çarparak kitle oranı tahminini (

p_{st} = \sum W_h p_h

) bulunuz.

p_{st} = (0,7 \times 0,20) + (0,3 \times 0,60) = 0,14 + 0,18 = 0,32

.

Bu işlem, kitledeki alt grupların büyüklük farklılıklarını düzelterek tüm kitle için yansız bir tahmin elde edilmesini sağlar.

Key Concept

Tabakalı Rastgele Örneklemede Oran Tahmini (

p_{st}

)

Question 79Question →

Bir araştırmacı, kitle büyüklüğü $N = 1.000$ olan bir popülasyonu üç farklı tabakaya ayırmış ve tabakalara ilişkin bazı temel özellikleri hesaplamıştır.

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Kitle Varyansı ( $S_h^2$ )
1	400	9
2	500	16
3	100	64

Araştırmacı, bu kitle üzerinden $n = 180$ birimlik bir örneklem çekmeyi planlamaktadır.

Eğer araştırmacı örneklem hacminin tabakalara dağıtımında orantılı dağıtım yerine Neyman dağıtımı kullanmaya karar verirse, 3. tabakadan (Tabaka 3) seçilecek örneklem hacminde nasıl bir değişim meydana gelir?

18 azalır

18 artar

36 artar

46 artar

78 artar

Show answer & explanation

Answer: 18 artar

Answer

18 artar.

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi salt kitle büyüklüklerine göre paylaştırılır ve 3. tabaka için

180 \times (100 / 1000) = 18

olarak hesaplanır. Neyman dağıtımında ise varyansların karekökü olan standart sapmalar sürece dahil edilir. Standart sapmalar sırasıyla 3, 4 ve 8'dir. Ağırlıklı varyasyonlar (

N_h S_h

) sırasıyla 1200, 2000 ve 800 olur. Toplamları 4000'dir. 3. tabaka için Neyman dağıtımı

180 \times (800 / 4000) = 36

birim olarak elde edilir. Buna göre, örneklem hacmi

36 - 18 = 18

birim artmış olur.

Step-by-Step Solution

1

3. tabaka için orantılı dağıtıma göre örneklem hacmini hesapla.

n_{3(Orantılı)} = n \times \frac{N_3}{N} = 180 \times \frac{100}{1000} = 18

birim.

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi sadece tabaka büyüklüklerine (

N_h

) göre paylaştırılır.

2

Her tabakanın standart sapmasını (

S_h

) hesapla ve

N_h \times S_h

çarpımlarını bul.

Tabaka 1:

S_1 = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 400 \times 3 = 1200

Tabaka 2:

S_2 = \sqrt{16} = 4 \Rightarrow 500 \times 4 = 2000

Tabaka 3:

S_3 = \sqrt{64} = 8 \Rightarrow 100 \times 8 = 800

Neyman dağıtım formülünde tabaka varyansı (

S_h^2

) değil, standart sapması (

S_h

) kullanılır.

3

Neyman dağıtımı formülünün paydası için

\sum N_h S_h

toplamını hesapla.

\sum N_h S_h = 1200 + 2000 + 800 = 4000

Neyman dağıtımında, her bir tabakanın kitle ağırlığı ve değişkenliğinin bileşkesine göre paylaştırma yapılır.

4

3. tabaka için Neyman dağıtımına göre örneklem hacmini hesapla.

n_{3(Neyman)} = n \times \frac{N_3 S_3}{\sum N_h S_h} = 180 \times \frac{800}{4000} = 180 \times 0.2 = 36

birim.

Formüle veriler yerleştirilerek bu tabakanın varyasyonu da dikkate alan örneklem hacmine ulaşılır.

5

İki dağıtım yöntemi arasındaki değişimi bul.

36 - 18 = +18

(18 birim artar).

Soru, orantılı dağıtımdan Neyman dağıtımına geçişteki örneklem hacmi değişimini sormaktadır.

Key Concept

Neyman ve Orantılı Dağıtım Arasındaki Farklılıklar

Question 80Question →

Çalışma ve Sosyal Güvenlik Bakanlığı, imalat sektöründeki işçilerin haftalık ortalama çalışma sürelerini tahmin etmek amacıyla işletme büyüklüklerine (mikro, küçük, orta, büyük) göre tabakalı rastgele örnekleme tasarımı uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda, tabakalı örnekleme ile elde edilen kitle ortalaması tahmininin varyansı $1,8$ olarak hesaplanmıştır. Araştırmacılar, eğer aynı örneklem hacmiyle basit rastgele örnekleme kullanılsaydı varyansın $2,4$ olacağını belirlemiştir.

Buna göre, araştırmanın tasarım etkisi ( $deff$ ) kaçtır ve bu sonuç tabakaların yapısı ile tasarımın etkinliği hakkında ne ifade eder?

deff = 0,75

'tir. Tasarım basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir; bu durum tabakaların kendi içinde homojen, kendi aralarında heterojen olduğunu gösterir.

deff = 1,33

'tür. Tasarım basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir; bu durum tabakaların kendi içinde heterojen, kendi aralarında homojen olduğunu gösterir.

deff = 0,75

'tir. Tasarım basit rastgele örneklemeye göre daha az etkindir; tasarım etkisinin

1

'den küçük olması varyansın arttığını ifade eder.

deff = 0,75

'tir. Tasarım basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir; bu durum tabakaların kendi içinde heterojen, kendi aralarında homojen olduğunu gösterir.

deff = 0,60

'tır. Varyanstaki azalma, kitle ortalaması hesaplanırken tabaka ağırlıklarının ihmal edilip basit aritmetik ortalama alınmasından kaynaklanır.

Show answer & explanation

Answer: $deff = 0,75$ 'tir. Tasarım basit rastgele örneklemeye göre daha etkindir; bu durum tabakaların kendi içinde homojen, kendi aralarında heterojen olduğunu gösterir.

Answer

Tasarım etkisi (deff) 0,75'tir ve bu durum tabakalı örneklemenin daha etkin olduğunu, tabakaların kendi içinde homojen, kendi aralarında heterojen bir yapıda oluşturulduğunu gösterir.

Tasarım etkisi (

deff

), kullanılan karmaşık örnekleme tasarımının (bu soruda tabakalı rastgele örnekleme) varyansının, aynı örneklem hacmindeki basit rastgele örneklemenin varyansına oranıdır. Soruda verilen değerlere göre

deff = \frac{1,8}{2,4} = 0,75

olarak hesaplanır. Bulunan değerin

1

'den küçük olması, tabakalı tasarımın varyansı düşürdüğünü, dolayısıyla basit rastgele örneklemeye kıyasla daha etkin olduğunu gösterir. Tabakalı örneklemede bu yüksek etkinliğin sağlanabilmesi için tabakaların 'kendi içinde homojen (birbirine benzer)' ve 'kendi aralarında heterojen (birbirinden farklı)' olacak şekilde yapılandırılmış olması gerekir.

Step-by-Step Solution

1

Tasarım etkisi (deff) formülünü belirleme.

deff = \frac{V_{st}(\bar{y})}{V_{srs}(\bar{y})}

Bir örnekleme tasarımının basit rastgele örneklemeye göre etkinliğini karşılaştırmak için ilgili tasarımın varyansının basit rastgele örneklemenin varyansına oranı kullanılır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak matematiksel hesabı yapma.

deff = \frac{1,8}{2,4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0,75

Tabakalı örnekleme varyansı paya, basit rastgele örnekleme varyansı paydaya yazılarak tasarım etkisi hesaplanır.

3

Bulunan deff değerini ve bu sonuca yol açan tabaka yapısını istatistiksel olarak yorumlama.

deff < 1

olduğundan tabakalı tasarım daha etkindir. Bu etkinlik, tabakaların kendi içinde homojen (benzer çalışma süreleri) ve kendi aralarında heterojen (farklı çalışma süreleri) olmasından kaynaklanır.

Varyansın düşmesi ve etkinliğin artması, sadece oluşturulan tabakaların doğru prensiple (içi homojen, arası heterojen) yapılandırılması sayesinde elde edilebilir.

Key Concept

Tasarım Etkisi (Design Effect) ve Tabakalı Örneklemenin Etkinliği

Estimated Time:1m 30s

Tabakalı Rastgele Örnekleme

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes