Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

203 questions

Bir ziraat mühendisi, mısır üretiminde verimliliği optimize etmek amacıyla 3 farklı tohum türü ( $A$ faktörü) ve 4 farklı sulama rejimi ( $B$ faktörü) belirlemiştir. Araştırmacı, bu iki faktörün tüm kombinasyonlarını içeren tam faktöriyel bir deney tasarımı kurguladığına göre, Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda etkileşim etkisine ( $A \times B$ ) ait serbestlik derecesi ( $sd$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Etkileşim etkisinin serbestlik derecesi 6 olarak hesaplanır.

Faktöriyel deney tasarımlarında, iki faktör arasındaki etkileşim etkisinin serbestlik derecesi, her bir faktörün kendi serbestlik derecelerinin çarpımıdır.

A

faktörü için

3-1=2

B

faktörü için

4-1=3

değerleri çarpıldığında

2 \times 3 = 6

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

A

faktörünün serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_A = 3 - 1 = 2

Bir faktörün serbestlik derecesi, seviye sayısından 1 çıkarılarak bulunur.

B

faktörünün serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_B = 4 - 1 = 3

İkinci faktör için de seviye sayısı olan 4'ten 1 çıkarılır.

Etkileşim etkisinin (

A \times B

) serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_{A \times B} = 2 \times 3 = 6

İki faktörlü bir tasarımda etkileşim etkisinin serbestlik derecesi, bu faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

Faktöriyel Tasarımlarda Serbestlik Derecesi Hesaplama

Practice More

Aynı tasarımda hata teriminin serbestlik derecesini hesaplamak için her hücredeki tekrar sayısını bilmeniz gerektiğini unutmayın.

Estimated Time:45s

Question 162Question →

Bir kamu kurumunda personelin verimlilik puanları üzerinde 'Çalışma Modeli' ( $A$ faktörü: $3$ seviye) ve 'Hizmet İçi Eğitim' ( $B$ faktörü: $2$ seviye) değişkenlerinin etkisi araştırılmaktadır. Her bir alt grup (hücre) için $5$ personelin verimliliği ölçülmüştür. Elde edilen verilerle oluşturulan İki Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)
Çalışma Modeli ( $A$ )	$2$
Hizmet İçi Eğitim ( $B$ )	$1$
Etkileşim ( $A \times B$ )	$?$
Hata	$24$
Genel	$29$

Buna göre, tablodaki etkileşim ( $A \times B$ ) etkisine ait serbestlik derecesi ( $?$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1

2

5

6

24

Show answer & explanation

Answer: $2$

Answer

Etkileşim etkisine ait serbestlik derecesi 2'dir.

İki yönlü varyans analizinde etkileşim etkisine (

A \times B

) ait serbestlik derecesi, birinci faktörün serbestlik derecesi (

a-1

) ile ikinci faktörün serbestlik derecesinin (

b-1

) çarpımıdır. Soruda verilen verilere göre

(3-1) \times (2-1) = 2

sonucu elde edilir. Ayrıca ANOVA tablosundaki diğer SD değerlerinin toplamı (

2 + 1 + ? + 24 = 29

) incelendiğinde de eksik değerin 2 olduğu doğrulanabilir.

Step-by-Step Solution

Faktörlerin seviye sayılarını belirle

a = 3

(Çalışma Modeli) ve

b = 2

(Hizmet İçi Eğitim)

Serbestlik derecesi hesaplamak için her bir faktörün kaç farklı kategoride incelendiğini bilmek gerekir.

Etkileşim etkisi serbestlik derecesi formülünü uygula

SD_{AB} = (a - 1) \times (b - 1)

İki yönlü ANOVA'da etkileşim teriminin serbestlik derecesi, ana etkilerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Hesaplamayı tamamla

(3 - 1) \times (2 - 1) = 2 \times 1 = 2

Belirlenen seviye sayıları formülde yerine koyularak sonuç elde edilir.

Key Concept

İki Yönlü ANOVA Serbestlik Derecesi Hesaplama

Estimated Time:45s

Question 163Question →

Bir gıda mühendisi, üç farklı pişirme sıcaklığı ( $A$ faktörü) ve beş farklı saklama süresinin ( $B$ faktörü) bisküvilerin gevreklik puanı üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla iki faktörlü faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Deneydeki her bir faktör kombinasyonu için 2 adet gözlem (tekerrür) yapılmıştır.

Deneydeki faktörlere ilişkin seviyeler aşağıda verilmiştir:

Faktör	Seviye Sayısı
Pişirme Sıcaklığı ( $A$ )	3
Saklama Süresi ( $B$ )	5

Buna göre, bu deney için hazırlanan varyans analizi (ANOVA) tablosunda etkileşim etkisine ( $A \times B$ ) ait serbestlik derecesi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Etkileşim etkisine (

A \times B

) ait serbestlik derecesi 8'dir.

İstatistiksel deney tasarımında, iki faktörlü bir varyans analizinde etkileşim etkisine (

A \times B

) ait serbestlik derecesi (

sd_{AB}

), birinci faktörün serbestlik derecesi (

a-1

) ile ikinci faktörün serbestlik derecesinin (

b-1

) çarpımıdır. Soruda verilen değerlere göre;

A

faktörü için

3-1=2

B

faktörü için

5-1=4

olduğundan, etkileşim serbestlik derecesi

2 \times 4 = 8

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Faktörlerin serbestlik derecelerini hesaplayın.

sd_A = a - 1 = 3 - 1 = 2

sd_B = b - 1 = 5 - 1 = 4

Varyans analizinde ana faktörlerin serbestlik derecesi, seviye sayısının bir eksiğidir.

Etkileşim etkisinin serbestlik derecesini hesaplayın.

sd_{AB} = (a-1) \times (b-1) = 2 \times 4 = 8

İki faktörlü faktöriyel tasarımlarda etkileşim serbestlik derecesi, ilgili faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

İki faktörlü faktöriyel deney tasarımlarında etkileşim etkisi (

A \times B

) için serbestlik derecesi, her bir faktörün serbestlik derecelerinin çarpımı yoluyla elde edilir.

Estimated Time:45s

Question 164Question →

Bir beslenme uzmanı, üç farklı diyet programının ( $k=3$ ) bireylerin vücut kitle indeksi (VKI) üzerindeki etkisini incelemektedir. Uygulama sonunda elde edilen verilerin analizinde, bireylerin programa başlamadan önceki "başlangıç VKI" değerlerinin sonuçlar üzerindeki etkisini kontrol altına almak amacıyla Kovaryans Analizi (ANCOVA) kullanılmasına karar verilmiştir.

Buna göre, bu araştırmada ANCOVA kullanılmasının temel istatistiksel amacı aşağıdakilerden hangisidir?

Bağımlı değişkendeki hata varyansını azaltarak testin istatistiksel gücünü artırmak ve grup ortalamalarını ortak değişkene göre düzeltmek

Sadece başlangıç VKI değerleri ile diyet programları arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve şiddetini belirlemek

Gruplar arası varyansların homojenliğini sağlayarak post-hoc (çoklu karşılaştırma) testlerine olan ihtiyacı ortadan kaldırmak

Diyet programlarının etkisini dışarıda bırakarak sadece başlangıç VKI değerlerinin regresyon katsayısını hesaplamak

Hata serbestlik derecesini artırarak

F

istatistiğinin anlamlı çıkma olasılığını en üst düzeye çıkarmak

Show answer & explanation

Answer: Bağımlı değişkendeki hata varyansını azaltarak testin istatistiksel gücünü artırmak ve grup ortalamalarını ortak değişkene göre düzeltmek

Answer

ANCOVA'nın temel amacı, hata varyansını azaltarak testin gücünü artırmak ve grup ortalamalarını ortak değişkene göre düzeltmektir.

Doğru cevapta belirtildiği üzere, ANCOVA'nın temel işlevi bağımlı değişkendeki (Son VKI) varyansın bir kısmını ortak değişkenle (Başlangıç VKI) açıklayarak hata varyansını düşürmek ve gruplar arası karşılaştırmayı daha adil kılan 'düzeltilmiş ortalamaları' hesaplamaktır.

Step-by-Step Solution

Değişken rollerini belirleme

Bağımlı Değişken: Son VKI, Faktör: Diyet Programları, Ortak Değişken (Covariate): Başlangıç VKI.

Analiz yönteminin mantığını kavramak için hangi değişkenin neyi etkilediği belirlenmelidir.

ANCOVA mekanizmasını analiz etme

ANCOVA, varyans analizi (ANOVA) ile regresyon analizini birleştirir.

Ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrusal etkisi modelden çıkarılır.

İstatistiksel sonucu yorumlama

Hata kareler toplamı (

SSE

) küçülür, bu da

F

değerinin hassasiyetini artırır ve ortalamalar başlangıç değerlerine göre eşitlenmiş (düzeltilmiş) hale gelir.

Dışsal değişkenlerin etkisi arındırıldığında, diyet programlarının gerçek etkisi daha net görülür.

Key Concept

ANCOVA'nın Amacı ve Mekanizması

Practice More

ANCOVA varsayımlarından 'regresyon eğimlerinin homojenliği' konusunu gözden geçirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 165Question →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen projede, üç farklı bölge müdürlüğündeki personelin ortalama dosya sonuçlandırma süreleri Tek Yönlü Varyans Analizi ( $ANOVA$ ) ile karşılaştırılmıştır. Analiz sonucunda elde edilen $p$ değeri $0,01$ olarak hesaplanmış ve $\%5$ anlamlılık düzeyinde gruplar arası farkın istatistiksel olarak anlamlı olduğu sonucuna varılmıştır.

Buna göre, hangi bölge müdürlükleri arasındaki farkın anlamlı olduğunu ve hangi müdürlüğün en kısa sürede dosya sonuçlandırdığını saptamak için yapılması gereken işlem aşağıdakilerden hangisidir?

Modelin açıklayıcılığını ölçmek için belirleme katsayısının (

R^2

) hesaplanması

Gözlemler arasında otokorelasyon olup olmadığını anlamak için Durbin-Watson testinin uygulanması

Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinin uygulanması

Değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü belirlemek için Ki-Kare bağımsızlık testinin yapılması

Verilerin varyans homojenliğini sağlamak amacıyla logaritmik dönüşüm uygulanması

Show answer & explanation

Answer: Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinin uygulanması

Answer

Varyans analizi (ANOVA) sonucunda gruplar arası fark anlamlı bulunduğunda, bu farkın kaynağını saptamak için Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri uygulanmalıdır.

Varyans analizinde (ANOVA)

F

testinin anlamlı çıkması (yokluk hipotezinin reddedilmesi), tüm grup ortalamalarının birbirine eşit olmadığını ifade eder. Ancak bu genel sonuç, hangi gruplar arasında anlamlı bir fark olduğunu belirtmez. Bu farkların kaynağını, yani hangi ikili kombinasyonların birbirinden farklı olduğunu saptamak için 'Post-hoc' (analiz sonrası) testleri olan Tukey, Scheffe, Bonferroni veya LSD gibi yöntemler kullanılmalıdır.

Step-by-Step Solution

ANOVA sonucunun değerlendirilmesi

p = 0,01 < 0,05

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir.

Yokluk hipotezinin reddedilmesi, en az bir grup ortalamasının diğerlerinden farklı olduğunu gösterir.

Analiz sonrası (follow-up) yöntemin belirlenmesi

Çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilir.

ANOVA sadece genel bir fark olup olmadığını söyler; hangi spesifik grupların (örneğin Müdürlük A ve Müdürlük B) farklı olduğunu post-hoc testleri gösterir.

Key Concept

ANOVA Sonrası Çoklu Karşılaştırma Karar Süreci

Estimated Time:45s

Question 166Question →

Bir kamu kurumunda üç farklı birimin hizmet hızları Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) ile karşılaştırılmış ve gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunmuştur ( $p < 0,05$ ). Hangi birimlerin ortalamaları arasındaki farkın bu anlamlılığa neden olduğunu belirlemek amacıyla yapılması gereken işlem aşağıdakilerden hangisidir?

Çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinin uygulanması

Değişkenler arası korelasyon katsayılarının hesaplanması

Ki-kare (

\chi^2

) bağımsızlık testinin uygulanması

ANOVA testinin daha düşük bir anlamlılık düzeyinde (

\alpha

) tekrarlanması

Sadece grupların aritmetik ortalama ve standart sapmalarının raporlanması

Show answer & explanation

Answer: Çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerinin uygulanması

Answer

ANOVA sonucunda saptanan anlamlı farkın kaynağını bulmak için çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri uygulanmalıdır.

Varyans Analizi (ANOVA) sonucunda sıfır hipotezi (

H_0

) reddedildiğinde (

p < 0,05

), bu durum gruplardan en az birinin diğerlerinden farklı olduğunu gösterir. Ancak ANOVA, hangi grubun hangi gruptan farklı olduğu bilgisini vermez. Bu farkın hangi grup veya gruplar arasındaki ikili karşılaştırmalardan kaynaklandığını bilimsel olarak ortaya koymak için çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri (Tukey HSD, Scheffe, Bonferroni, LSD vb.) uygulanması zorunludur.

Step-by-Step Solution

Varyans analizi (ANOVA) sonuçlarını incelemek

H_0

hipotezinin reddedilmesi (

p < 0,05

)

Gruplar arasında en az bir farklılık olduğunu teyit etmek için ANOVA anlamlılık değeri kontrol edilir.

Anlamlı farkın yerini sorgulamak

Hangi grupların birbirinden farklı olduğunun bilinmemesi

ANOVA genel bir testtir (omni-bus); farkın hangi ikililer arasında olduğunu doğrudan söylemez.

Çoklu karşılaştırma testine karar vermek

Post-hoc testlerinin (Tukey, Scheffe, LSD vb.) uygulanması

Grupları ikili kombinasyonlar halinde karşılaştırarak istatistiksel farkın kaynağını belirlemek için bu testler tasarlanmıştır.

Key Concept

ANOVA sonrası farkın kaynağını belirleme (Post-Hoc mantığı)

Estimated Time:45s

Question 167Question →

Bir ziraat mühendisi, iki farklı gübre tipinin ( $A$ faktörü: $3$ seviye) ve dört farklı sulama miktarının ( $B$ faktörü: $4$ seviye) mısır verimi üzerindeki etkilerini incelemektedir. Araştırmacı, her bir deneme kombinasyonu için $2$ adet gözlem yaparak iki yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır.

Buna göre, bu analizde etkileşim ( $A \times B$ ) etkisine ait serbestlik derecesi ( $sd$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Etkileşim (

A \times B

) etkisine ait serbestlik derecesi 6'dır.

İki yönlü varyans analizinde etkileşim etkisine (

A \times B

) ait serbestlik derecesi, her bir ana faktörün serbestlik derecelerinin çarpımı yoluyla bulunur.

A

faktörünün

3

seviyesi olduğu için

sd_A = 3-1=2

B

faktörünün

4

seviyesi olduğu için

sd_B = 4-1=3

olur. Bu durumda etkileşim serbestlik derecesi

2 \times 3 = 6

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Faktörlerin serbestlik derecelerini hesaplayın.

sd_A = 3 - 1 = 2

sd_B = 4 - 1 = 3

Varyans analizinde bir faktörün serbestlik derecesi, o faktörün seviye sayısından bir çıkarılarak bulunur.

Etkileşim etkisinin serbestlik derecesi formülünü uygulayın.

sd_{AB} = sd_A \times sd_B = 2 \times 3 = 6

İki yönlü ANOVA'da etkileşim teriminin serbestlik derecesi, etkileşime giren faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

İki yönlü ANOVA'da etkileşim serbestlik derecesi hesabı

Hints

Önce

A

B

faktörlerinin kendi serbestlik derecelerini bulun.

Bir faktörün serbestlik derecesi 'seviye sayısı - 1' formülüyle hesaplanır.

Practice More

Aynı veri seti için hata (error) serbestlik derecesini hesaplamayı deneyin.

Alternative Method

Toplam serbestlik derecesinden (

N-1

), ana faktörlerin ve hata teriminin serbestlik derecelerini çıkararak da etkileşim derecesine ulaşılabilir:

23 - (2 + 3 + 12) = 6

Estimated Time:45s

Question 168Question →

Bir eğitim araştırmacısı, 4 farklı öğretim yöntemi ile 3 farklı sınıf düzeyinin öğrencilerin matematik başarı puanları üzerindeki etkisini incelemektedir. Yapılan iki yönlü varyans analizi sonucunda elde edilen tablonun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )
Öğretim Yöntemi ( $A$ )	$3$	$45$	$15$
Sınıf Düzeyi ( $B$ )	$2$	$30$	$15$
Etkileşim ( $A \times B$ )	$?$	$36$	$6$
Hata	$12$	$60$	$5$
Genel	$23$	$171$

Bu tabloya göre, **etkileşim etkisine ( $A \times B$ )** ait serbestlik derecesi ( $sd$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Etkileşim etkisine ait serbestlik derecesi 6'dır.

İki yönlü varyans analizi tablosunda, bir varyans kaynağının Kareler Ortalaması (

KO

), o kaynağa ait Kareler Toplamının (

KT

) Serbestlik Derecesine (

sd

) bölünmesiyle elde edilir. Soruda verilen tabloda etkileşim etkisi için

KT = 36

KO = 6

değerleri mevcuttur. Buradan

sd = 36 / 6 = 6

sonucu elde edilir. Ayrıca, etkileşim serbestlik derecesi ana faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımı (

3 \times 2 = 6

) olarak da hesaplanabilir.

Step-by-Step Solution

ANOVA tablosundaki verileri tanımlayın.

Etkileşim (

A \times B

) satırında Kareler Toplamı (

KT

)

36

ve Kareler Ortalaması (

KO

)

6

olarak verilmiştir.

Serbestlik derecesini hesaplamak için ilgili varyans kaynağının KT ve KO değerlerine ihtiyaç duyulur.

Kareler Ortalaması ile Serbestlik Derecesi arasındaki ilişkiyi kullanın.

KO = \frac{KT}{sd} \Rightarrow sd = \frac{KT}{KO}

Varyans analizinde her bir varyans kaynağının ortalama karesi, kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapın.

sd_{A \times B} = \frac{36}{6} = 6

Tablodaki veriler arasındaki matematiksel tutarlılığı sağlayarak eksik değeri bulmak için.

Hesaplamayı faktör serbestlik dereceleri üzerinden doğrulayın.

sd_{A \times B} = (sd_A) \times (sd_B) = 3 \times 2 = 6

İki yönlü ANOVA'da etkileşim teriminin serbestlik derecesi, temel faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

Key Concept

İki Yönlü ANOVA'da Serbestlik Derecesi İlişkileri

Estimated Time:45s

Question 169Question →

Bir eğitim uzmanı, dört farklı öğretim yönteminin ( $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ ) öğrencilerin başarı puanları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda elde edilen ANOVA tablosu aşağıdadır:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $sd$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )	$F$
Gruplar Arası	$3$	$180$	$60$	$5,00$
Gruplar İçi (Hata)	$36$	$432$	$12$
Genel	$39$	$612$

Anlamlılık düzeyi $\alpha = 0,05$ için $F$ tablo kritik değeri $F_{(3, 36)} = 2,87$ olarak belirlenmiştir.

Hesaplanan $F$ değeri kritik değerden büyük olduğuna göre ( $5,00 > 2,87$ ), hangi öğretim yöntemlerinin birbirinden farklı olduğunu belirlemek için bu aşamadan sonra yapılması gereken işlem aşağıdakilerden hangisidir?

Gruplar arası ikili karşılaştırmalar yapmak için Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerini uygulamak

Gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulunamadığı için analizi sonlandırıp sıfır hipotezini (

H_0

) kabul etmek

Öğretim yöntemleri ile başarı puanları arasındaki korelasyon katsayısını (

r

) hesaplayarak ilişkinin yönünü belirlemek

Tüm gruplar için ayrı ayrı normallik testi (Shapiro-Wilk) yaparak varsayımların sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek

Bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) sorunu olup olmadığını incelemek

Show answer & explanation

Answer: Gruplar arası ikili karşılaştırmalar yapmak için Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerini uygulamak

Answer

Gruplar arası farkın kaynağını belirlemek amacıyla Tukey, Scheffe veya Bonferroni gibi çoklu karşılaştırma (post-hoc) testleri uygulanmalıdır.

Varyans analizi (ANOVA) sonucunda sıfır hipotezi reddedildiğinde, bu durum grupların tamamının birbirine eşit olmadığını, en az bir grup ortalamasının diğerlerinden farklı olduğunu gösterir. Ancak ANOVA testi bu farkın hangi gruplardan kaynaklandığı bilgisini vermez. Bu spesifik farkları (ikili karşılaştırmaları) hata payını kontrol altında tutarak belirlemek için Tukey, Scheffe, Bonferroni veya LSD gibi 'Post-Hoc' (deney sonrası) testlerin uygulanması zorunludur.

Step-by-Step Solution

Hesaplanan

F

değeri ile tablo kritik değerini karşılaştırın.

F_{hesap} = 5,00 > F_{tablo} = 2,87

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir.

Sıfır hipotezinin reddedilmesi, grupların ortalamaları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğunu kanıtlar.

ANOVA sonucunun genel anlamlılığını yorumlayın.

Gruplar arasında 'en az bir' farklılık mevcuttur.

ANOVA testi genel bir testtir (omnibus test); hangi grupların birbirinden farklı olduğunu doğrudan söylemez.

İleri analize (Post-Hoc) karar verin.

Çoklu karşılaştırma testleri (Tukey, Scheffe vb.) seçilmelidir.

Farkın hangi spesifik grup çiftleri (örneğin

Y_1

ile

Y_2

arası) arasında olduğunu saptamak için bu testler gereklidir.

Key Concept

ANOVA sonrası anlamlılık durumunda farkın kaynağını bulmak için Çoklu Karşılaştırma (Post-Hoc) testleri uygulanır.

Estimated Time:45s

Question 170Question →

İstatistiksel deney tasarımlarında, Grek-Latin Karesi tasarımının varyans analizi (ANOVA) modelinde hata (artık) terimine ait serbestlik derecesinin sıfırdan büyük ( $sd_{hata} > 0$ ) olması, modelin geçerli bir şekilde test edilebilmesi için bir zorunluluktur. Buna göre, Grek-Latin Karesi Deney Tasarımı'nda hata serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması için gereken minimum faktör seviyesi ( $p$ ) kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Grek-Latin Karesi Deney Tasarımı'nda hata serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması için gereken minimum faktör seviyesi 4'tür.

Doğru yanıt olan 4 değeri, Grek-Latin Karesi hata serbestlik derecesi formülü olan

(p-1)(p-3)

ifadesinde yerine konulduğunda

3 \times 1 = 3

sonucunu vererek hata payının oluşmasını sağlayan en küçük tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

Grek-Latin Karesi için hata serbestlik derecesi formülünü belirle.

sd_{hata} = (p-1)(p-3)

Grek-Latin karesinde üç bloklama faktörü (satır, sütun, Grek harfi) ve bir muamele faktörü bulunduğu için toplam serbestlik derecesinden her biri

(p-1)

olan bu dört kaynağın çıkarılması gerekir.

Hata serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olma şartını uygula.

(p-1)(p-3) > 0

ANOVA tablosunda F testi yapabilmek için paydada yer alan hata serbestlik derecesinin sıfırdan büyük olması zorunludur.

Eşitsizliği sağlayan en küçük

p

tam sayısını bul.

p=4

p=3

için

2 \times 0 = 0

olur.

p=4

için

3 \times 1 = 3

olur. Dolayısıyla anlamlılık testi yapılabilecek en küçük tasarım seviyesi 4'tür.

Key Concept

Grek-Latin Karesi serbestlik derecesi hesaplamaları ve tasarım kısıtları.

Hints

Grek-Latin karesi tasarımı, Latin karesine Grek harfleriyle temsil edilen üçüncü bir bloklama faktörü eklenmiş halidir.

Hata serbestlik derecesi formülünü

(p-1)(p-3)

olarak hatırlayın.

p=3

değerini formülde yerine koyduğunuzda sonucun kaç çıktığını kontrol edin.

Practice More

Farklı

p

değerleri için Grek-Latin karesi ANOVA tablosundaki Toplam Serbestlik Derecesi ve Hata Serbestlik Derecesi oranlarını karşılaştırarak tasarımın etkinliğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 171Question →

Varyans Analizi ( $ANOVA$ ) tekniklerinin geçerli sonuçlar üretebilmesi için hata terimlerinin belirli özelliklere sahip olması beklenir. Bu bağlamda, grupların varyanslarının birbirine eşit olup olmadığını (homojenlik) belirlemek amacıyla başvurulan temel test aşağıdakilerden hangisidir?

Shapiro-Wilk Testi

Levene Testi

Durbin-Watson Testi

Kruskal-Wallis Testi

Dickey-Fuller Testi

Show answer & explanation

Answer: Levene Testi

Answer

Varyans Analizinde varyansların homojenliğini test etmek için Levene Testi kullanılır.

Varyans Analizinin (ANOVA) temel varsayımlarından biri olan varyansların homojenliği, grupların hata terimlerinin varyanslarının (

\sigma^2

) birbirine eşit olduğunu ifade eder. Levene Testi, bu eşitliğin istatistiksel olarak bozulup bozulmadığını denetleyen standart bir araçtır.

Step-by-Step Solution

Varyans Analizi varsayımlarını tanımla.

ANOVA

için temel varsayımlar; gözlemlerin bağımsızlığı, hataların normal dağılımı ve grup varyanslarının homojenliğidir.

Analizin matematiksel modelinin (

y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij}

) geçerli olması için bu şartlar gereklidir.

Varyans homojenliği (homoscedasticity) varsayımı için kullanılan testleri belirle.

Bu varsayım için literatürde en sık Levene testi ve Bartlett testi önerilmektedir.

Levene testi, normallikten sapmalara karşı Bartlett testinden daha dirençli (robust) olduğu için modern istatistik paketlerinde önceliklidir.

Key Concept

Varyansların Homojenliği Varsayımı

Hints

ANOVA'da varyansların eşitliği varsayımına 'homojenlik' denir.

Normallik için Shapiro-Wilk kullanılırken, varyans eşitliği için L harfi ile başlayan test yaygındır.

Varyansların homojenliğini test etmek için modern yazılımların varsayılan olarak sunduğu Levene testini hatırla.

Practice More

Varyans homojenliği varsayımı sağlanmadığında ANOVA yerine Welch ANOVA veya Kruskal-Wallis testlerinin hangi durumlarda tercih edildiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 172Question →

Bir teknoloji firması, $4$ farklı web tarayıcısının (işlem) sayfa yükleme hızlarını karşılaştırmak amacıyla bir deney tasarlamıştır. İnternet bağlantı hızının sonuçlar üzerindeki etkisini kontrol altına almak için $5$ farklı bağlantı hızı 'blok' olarak belirlenmiştir. Yapılan varyans analizi (ANOVA) sonucunda elde edilen tablonun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi ( $SD$ )	Kareler Toplamı ( $KT$ )	Kareler Ortalaması ( $KO$ )
İşlemler (Tarayıcılar)	$3$	$150$	$50$
Bloklar (Bağlantı Hızı)	$4$	$80$	$20$
Hata	?	$120$	?
Genel	$19$	$350$

Bu verilere göre, tarayıcılar arasındaki farkın anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ -istatistiği değeri kaçtır?

5,00

2,50

7,94

2,00

12,00

Show answer & explanation

Answer: 5,00

Answer

Tarayıcılar arasındaki farkı test etmek için kullanılan

F

-istatistiği değeri

5,00

olarak hesaplanır.

Verilen tabloda işlemlerin kareler ortalaması (

KO

)

50

olarak verilmiştir. Hata serbestlik derecesi

19 - 3 - 4 = 12

olarak hesaplanır. Buradan hata kareler ortalaması

120 / 12 = 10

bulunur.

F

istatistiği ise işlemlerin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranı olan

50 / 10 = 5,00

değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

Hata kaynağına ait serbestlik derecesini (

SD

) hesaplayınız.

SD_{Hata} = SD_{Genel} - SD_{İşlem} - SD_{Blok} = 19 - 3 - 4 = 12

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında hata serbestlik derecesi, genel serbestlik derecesinden işlem ve blok serbestlik derecelerinin çıkarılmasıyla bulunur.

Hata Kareler Ortalamasını (

KO

) hesaplayınız.

KO_{Hata} = KT_{Hata} / SD_{Hata} = 120 / 12 = 10

Kareler ortalaması, ilgili kaynağın kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

İşlemler (Tarayıcılar) için

F

-istatistiğini hesaplayınız.

F_{İşlem} = KO_{İşlem} / KO_{Hata} = 50 / 10 = 5,00

Varyans analizinde temel hipotezi test etmek için kullanılan

F

değeri, işlemler varyansının hata varyansına oranıdır.

Key Concept

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında ANOVA Tablosu ve F-İstatistiği Hesaplama

Estimated Time:45s

Question 173Question →

Bir tekstil fabrikasında 4 farklı dokuma makinesinin ( $n=4$ ) günlük üretim miktarları karşılaştırılmak istenmektedir. Üretim miktarı üzerinde etkili olabileceği düşünülen 'operatör tecrübesi' ve 'hammadde kalitesi' gibi iki farklı dış değişkenin etkisini kontrol altına almak amacıyla Latin Karesi Deney Tasarımı uygulanmıştır. Bu deney düzeneğinde hata (artık) terimine ait serbestlik derecesi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Hata serbestlik derecesi 6 olarak hesaplanır.

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda hata (error) serbestlik derecesi

(n-1)(n-2)

formülü ile bulunur.

n=4

seviyeli bir tasarımda bu hesaplama

(4-1) \times (4-2) = 3 \times 2 = 6

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Deneydeki seviye sayısını (

n

) belirleyin.

n = 4

Soruda 4 farklı dokuma makinesi olduğu ve Latin Karesi tasarımı kullanıldığı belirtilmiştir.

Latin Karesi Deney Tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünü hatırlayın.

SD_{hata} = (n-1)(n-2)

Latin Karesi'nde toplam serbestlik derecesinden satır, sütun ve uygulama serbestlik dereceleri çıkarıldığında kalan pay hata terimine aittir.

n = 4

değerini formülde yerine koyarak hesaplamayı yapın.

(4-1) \times (4-2) = 3 \times 2 = 6

Matematiksel işlemi sonuçlandırmak için.

Key Concept

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda serbestlik derecesi hesaplamaları

Estimated Time:45s

Question 174Question →

Kesirli (fractional) faktöriyel deney tasarımlarında, sınırlı sayıda deney birimi kullanılması nedeniyle bazı ana etkilerin yüksek dereceli etkileşimlerle çakışması ve bu etkilerin birbirinden bağımsız olarak tahmin edilemez hale gelmesi durumuna ne ad verilir?

Bloklama

Karıştırma (Confounding)

Rastgeleleştirme

Tekrarlama (Replikasyon)

Kovaryans Analizi

Show answer & explanation

Answer: Karıştırma (Confounding)

Answer

Karıştırma (Confounding)

Karıştırma (Confounding) veya çakıştırma işlemi, özellikle kesirli faktöriyel tasarımlarda sınırlı deney birimi nedeniyle bazı etkilerin (örneğin bir ana etki ile yüksek dereceli bir etkileşimin) matematiksel olarak birbirinden ayrılamaz hale gelmesi durumunu tanımlayan temel kavramdır.

Step-by-Step Solution

Kesirli faktöriyel tasarımın temel amacını belirle.

Tam faktöriyel tasarımdaki çok sayıda deneme birimi yerine, maliyeti düşürmek için daha az deneme birimi ile çalışmak.

Kesirli tasarımlar, tam tasarımların bir alt kümesidir.

Deney birimi sayısının azaltılmasının sonucunu analiz et.

Tüm etkilerin (ana etkiler ve etkileşimler) birbirinden bağımsız (ortogonal) olarak tahmin edilmesi imkansız hale gelir.

Deney birimi sayısı, tahmin edilecek parametre sayısından az olduğunda bilgi kaybı yaşanır.

Etkilerin birbiriyle çakışması durumuna karşılık gelen teknik terimi tanımla.

Bazı etkiler 'alias' (takma isim) haline gelir ve bu duruma 'Karıştırma' (Confounding) denir.

Bir etkinin hesaplanan değeri, aslında karıştığı diğer etkilerin de toplamını içerir.

Key Concept

Kesirli Faktöriyel Tasarımlarda Karıştırma ve Alias Yapısı

Question 175Question →

Bir tıbbi araştırma laboratuvarında 5 farklı analiz yönteminin ( $n=5$ ) hassasiyeti test edilmektedir. Ölçümler üzerinde etkili olabileceği öngörülen "laboratuvar teknisyeni" ve "cihaz modeli" değişkenlerini kontrol altına almak amacıyla Latin Karesi Deney Tasarımı planlanmıştır. Bu deney tasarımına göre, varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata (artık) terimine ait serbestlik derecesi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda 5 uygulama (

n=5

) için hata serbestlik derecesi 12'dir.

Latin Karesi Deney Tasarımı'nda satır, sütun ve uygulama sayıları birbirine eşittir (

n

). Hata serbestlik derecesi, toplam serbestlik derecesinden (

n^2-1

) satır (

n-1

), sütun (

n-1

) ve uygulama (

n-1

) serbestlik derecelerinin çıkarılmasıyla elde edilen

(n-1)(n-2)

formülüyle hesaplanır.

n=5

için

(5-1)(5-2) = 12

olur.

Step-by-Step Solution

Deney tasarımındaki birim (uygulama) sayısını belirle.

n = 5

olduğu soruda verilmiştir.

Hesaplamalar deneyin boyutu olan

n

değeri üzerinden yapılır.

Latin Karesi Deney Tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünü uygula.

sd_{hata} = (n - 1)(n - 2)

Latin Karesi düzeninde iki blok faktörü ve bir uygulama faktörü için serbestlik dereceleri çıkarıldıktan sonra kalan pay hatayı verir.

Değerleri formülde yerine koyarak hesapla.

(5 - 1) \times (5 - 2) = 4 \times 3 = 12

Hata serbestlik derecesinin sayısal değerini bulmak için işlem tamamlanır.

Key Concept

Latin Karesi Tasarımı Serbestlik Derecesi

Hints

Hata serbestlik derecesi için

n

değerine bağlı özel bir formül kullanmalısın.

Formülde

n

değerinden hem 1 hem de 2 çıkarıp bu sonuçları çarpman gerekiyor.

Practice More

Farklı

n

değerleri (örneğin

n=4

veya

n=6

) için de hata serbestlik derecelerini hesaplayarak pratik yapabilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 176Question →

Bir eğitim teknolojileri uzmanı, $4$ farklı öğrenme yazılımının öğrencilerin matematik başarısı üzerindeki etkisini incelemektedir. Toplam $32$ öğrenci, her bir yazılım grubuna $8$ öğrenci düşecek şekilde rastgele atanmıştır. Bu çalışma için hazırlanan Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda "Hata" (Gruplar İçi) serbestlik derecesi ( $sd$ ) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 28

Answer

Hata (Gruplar İçi) serbestlik derecesi 28'dir.

Tek Yönlü Varyans Analizi'nde (ANOVA) hata kaynağına ait serbestlik derecesi, toplam örneklem büyüklüğünden (

n

) grup sayısının (

k

) çıkarılmasıyla (

n - k

) hesaplanır. Soruda verilen

32

toplam öğrenci sayısından

4

olan grup sayısı çıkarıldığında

32 - 4 = 28

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Verilen bilgileri tanımlayın.

Grup sayısı

k = 4

, Toplam öğrenci sayısı

n = 32

ANOVA serbestlik derecesi hesaplamaları için grup sayısı ve toplam gözlem sayısı gereklidir.

Hata (Gruplar İçi) serbestlik derecesi formülünü belirleyin.

sd_{hata} = n - k

Tek yönlü varyans analizinde hata serbestlik derecesi, toplam gözlem sayısından grup sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

Hesaplamayı gerçekleştirin.

32 - 4 = 28

Verilen değerler formülde yerine koyulmuştur.

Key Concept

ANOVA Serbestlik Derecesi Hesaplama

Hints

ANOVA tablosundaki serbestlik dereceleri toplamının (

sd_{toplam} = sd_{gruplararası} + sd_{hata}

) her zaman

n-1

olduğuna dikkat edin.

Hata serbestlik derecesi, her bir grubun kendi içindeki serbestlik derecelerinin (

n_i - 1

) toplamına da eşittir.

Practice More

Gruplar arası serbestlik derecesi ile hata serbestlik derecesi arasındaki temel farkları gözden geçirin.

Estimated Time:45s

Question 177Question →

Varyans Analizi ( $ANOVA$ ) tekniklerinin geçerli sonuçlar üretebilmesi için verilerin belirli matematiksel ve istatistiksel varsayımları karşılaması gerekmektedir. Örnekleme dahil edilen bir birimin değerinin, diğer birimlerin değerlerini hiçbir şekilde etkilemediği ve her bir gözlemin ana kütleden rastgele seçildiği varsayımı aşağıdakilerden hangisidir?

Hataların normal dağılım göstermesi

Grupların varyanslarının homojen olması

Gözlemlerin (hataların) bağımsızlığı

Örneklem hacimlerinin (

n

) mutlaka eşit olması

Bağımlı değişkenin kategorik (nitel) olması

Show answer & explanation

Answer: Gözlemlerin (hataların) bağımsızlığı

Answer

Gözlemlerin (hataların) bağımsızlığı

Gözlemlerin bağımsızlığı varsayımı, deneydeki bir birime ait ölçümün diğer birimlere ait ölçümlerden bağımsız olduğunu ve hata terimleri arasında bir korelasyon bulunmadığını garanti eder. Bu,

ANOVA

'nın en temel ve ihlal edildiğinde sonuçları en çok saptıran varsayımıdır.

Step-by-Step Solution

Soru kökündeki anahtar ifadeleri belirleyin.

"Birimin değerinin diğerlerini etkilememesi" ve "rastgele seçim" ifadeleri tespit edildi.

Sorunun hangi istatistiksel kavramı tanımladığını anlamak için anahtar kelimeler kritiktir.

Belirlenen ifadeleri

ANOVA

varsayımları ile eşleştirin.

Gözlemlerin birbirinden etkilenmemesi durumu doğrudan "Bağımsızlık" (

Independence

) varsayımı ile örtüşmektedir.

İstatistiksel tanımlar, varsayımların sınırlarını belirler.

Key Concept

Bağımsızlık Varsayımları

Estimated Time:45s

Question 178Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen kumaşların su iticilik özelliği üzerinde 5 farklı kumaş türü ( $A$ faktörü) ile 2 farklı apre (bitim) işleminin ( $B$ faktörü) etkisi araştırılmaktadır. Araştırmada tam faktöriyel (full factorial) bir deney tasarımı kullanılarak her bir faktör seviyesinin tüm olası kombinasyonları test edilecektir. Buna göre, bu deney tasarımında test edilmesi gereken toplam muamele (deney koşulu) sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Toplam muamele (deney koşulu) sayısı 10'dur.

Faktöriyel deney tasarımlarında, incelenen her bir faktörün tüm seviyeleri diğer faktörlerin tüm seviyeleri ile birleştirilerek deney koşulları oluşturulur. Bu araştırmada 5 farklı kumaş türü ve 2 farklı apre işlemi olduğuna göre, toplam muamele sayısı

5 \times 2 = 10

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Faktörlerin seviye sayılarını belirleyin.

Kumaş türü (

A

faktörü) = 5 seviye, Apre işlemi (

B

faktörü) = 2 seviye.

Tam faktöriyel tasarımda toplam muamele sayısını hesaplamak için her bir faktörün kaç farklı düzeye sahip olduğunu bilmek gerekir.

Çarpma kuralını uygulayarak toplam kombinasyon sayısını hesaplayın.

5 \times 2 = 10

Tam faktöriyel bir deneyde, bir faktörün her bir seviyesi diğer faktörün tüm seviyeleri ile eşleştirilir; dolayısıyla toplam deney koşulu sayısı seviye sayılarının çarpımına eşittir.

Key Concept

Tam faktöriyel deneylerde toplam muamele (deney koşulu) sayısının hesaplanması

Alternative Method

Kombinasyonları bir matris veya ağaç diyagramı üzerinde listeleyerek her bir kumaş türü için 2 farklı apre işleminin uygulanacağını (

5 \times 2

) görselleştirebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Question 179Question →

Bir araştırmacı, deney birimlerindeki değişkenliği üç farklı yönden kontrol altına almak amacıyla $p=4$ seviyeli bir Grek-Latin Karesi Deney Tasarımı uygulamıştır. Buna göre, bu deney tasarımı için oluşturulacak varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata (artık) terimine ait serbestlik derecesi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Hata serbestlik derecesi 3'tür.

Grek-Latin Karesi tasarımında toplam

p^2

gözlem bulunur. Serbestlik dereceleri; Satırlar için

p-1

, Sütunlar için

p-1

, Grek Harfleri için

p-1

ve Muameleler için

p-1

şeklindedir. Toplam serbestlik derecesinden (

p^2-1

) bu dört faktörün toplamı (

4(p-1)

) çıkarıldığında hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

olarak bulunur.

p=4

durumunda

(3)(1)=3

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

Parametre seviyesini belirle.

p = 4

Soruda tasarımın

p=4

seviyeli olduğu belirtilmiştir.

Grek-Latin Karesi için hata serbestlik derecesi (

sd_{hata}

) formülünü uygula.

sd_{hata} = (p-1)(p-3)

Grek-Latin karesinde üç yönlü kısıtlama (satır, sütun, Grek harfleri) ve bir muamele faktörü bulunduğu için hata serbestlik derecesi bu formülle bulunur.

Değeri formülde yerine koyarak hesapla.

(4-1) \times (4-3) = 3 \times 1 = 3

Basit aritmetik işlem sonucunda hata payına düşen serbestlik derecesi elde edilir.

Key Concept

Grek-Latin Karesi serbestlik derecesi dağılımı

Practice More

Aynı tasarımda

p=3

olması durumunda hata serbestlik derecesinin 0 olacağını ve tasarımın bu seviyede hata payı bırakmadığını fark ediniz.

Alternative Method

Toplam serbestlik derecesinden (

15

), bilinen tüm faktörlerin (Satır=3, Sütun=3, Grek=3, Muamele=3) toplamı olan 12'yi çıkararak doğrudan 3 sonucuna ulaşılabilir.

Estimated Time:45s

Question 180Question →

Varyans analizi ( $ANOVA$ ) uygulamalarında, deneye dahil edilen birimlerin veya yapılan gözlemlerin birbirinden etkilenmemesi, bir gözlemin değerinin diğerini belirlememesi ve hata terimleri arasında bir korelasyonun bulunmaması kuralı aşağıdaki varsayımlardan hangisini ifade etmektedir?

Bağımsızlık

Normallik

Varyansların homojenliği

Hataların toplanabilirliği

Ortalamaların eşitliği

Show answer & explanation

Answer: Bağımsızlık

Answer

Gözlemlerin birbirinden etkilenmemesi ve hata terimleri arasında ilişki olmaması 'Bağımsızlık' varsayımıdır.

Bağımsızlık varsayımı, deneye katılan her bir birimin değerinin diğer birimlerin değerlerinden tamamen bağımsız olduğunu ve hata terimleri arasında otokorelasyon bulunmadığını şart koşar. Bu,

ANOVA

sonuçlarının geçerliliği için en kritik varsayımlardan biridir.

Step-by-Step Solution

ANOVA varsayımlarını hatırla.

Temel varsayımlar; bağımsızlık, normallik ve varyansların homojenliğidir.

Soruda verilen tanımın hangi kavramla eşleştiğini bulmak için temel tanımlar bilinmelidir.

Verilen tanımı analiz et.

Gözlemlerin birbirinden etkilenmemesi durumu, istatistiksel olarak 'bağımsızlık' (independence) terimine karşılık gelir.

Özellikle zaman serisi olmayan kesit verilerinde birimlerin rastgele seçilmesi bu varsayımı sağlar.

Key Concept

Varyans Analizi Varsayımları - Bağımsızlık

Practice More

Varyans homojenliği varsayımının ihlal edildiği durumlarda hangi alternatif testlerin (örn. Welch ANOVA) kullanılabileceğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

PreviousPage 9 / 11Next

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution