Zaman Serileri Analizi Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 6

Question 101Question →

Bir tedarik zinciri yönetiminde, bir depodaki haftalık stok eksilme miktarları durağan bir zaman serisi olarak modellenmek istenmektedir. Verilerin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) üstel olarak sönümlendiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra düştüğü gözlemlenmiştir.

Bu özelliklere dayanarak, seri için sıfır ortalamalı aşağıdaki model tanımlanmıştır:

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Tahmin edilen bu modelde birinci gecikme katsayısı $\phi_1 = 0,8$ olarak elde edilmiştir.

Buna göre, kurulan modelin durağanlık varsayımını sağlaması için $\phi_2$ katsayısının alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

-1 < \phi_2 < 0,2

-1 < \phi_2 < 1

-0,2 < \phi_2 < 1

-1 < \phi_2 < 1,8

0,2 < \phi_2 < 1

Show answer & explanation

Answer: $-1 < \phi_2 < 0,2$

Answer

Kurulan AR(2) modelinin durağan olabilmesi için ikinci gecikme katsayısının (

\phi_2

)

-1 < \phi_2 < 0,2

aralığında olması gerekmektedir.

AR(2) süreçlerinde durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekir. Bunun için üç eşitsizlik sağlanmalıdır:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

. İkinci dereceden otoregresif bir modelde birinci parametre

\phi_1 = 0,8

olarak verildiğinde; birinci koşuldan

\phi_2 < 0,2

ve ikinci koşuldan

\phi_2 < 1,8

üst sınırları bulunur. Üçüncü koşul olan

-1 < \phi_2 < 1

ile birlikte tüm sınırların ortak kesişimi alındığında,

\phi_2

'nin kesinlikle

-1

ile

0,2

değerleri arasında olması gerektiği hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Serinin PACF değerinin 2. gecikmeden sonra kesilmesi ve ACF'nin sönümlenmesi bilgisinden hareketle sürecin AR(2) olduğuna karar verilir.

Modelin

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t

formatında bir ikinci dereceden otoregresif süreç olduğu doğrulanır.

Zaman serisi modellerini tanımlamada ACF ve PACF grafiklerinin özellikleri (kesilme ve sönümlenme davranışları) model derecesini belirleyen temel unsurlardır.

2

AR(2) süreçleri için gerekli olan üç temel durağanlık koşulu yazılır.

Durağanlık üçgeni koşulları: 1)

\phi_1 + \phi_2 < 1

, 2)

\phi_2 - \phi_1 < 1

, 3)

|\phi_2| < 1

Karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalabilmesi için parametrelerin bu eşitsizlik sistemini sağlaması matematiksel bir zorunluluktur.

3

Verilen

\phi_1 = 0,8

değeri, durağanlık eşitsizliklerinde yerine konarak

\phi_2

için teorik sınırlar hesaplanır.

1)

0,8 + \phi_2 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 0,2

2)

\phi_2 - 0,8 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 1,8

3)

-1 < \phi_2 < 1

Elde edilen veriler kullanılarak

\phi_2

parametresinin tek başına kısıtlandığı bölgeler ortaya çıkarılır.

4

Elde edilen üç farklı eşitsizliğin kesişim kümesi (ortak çözüm aralığı) bulunur.

Ortak alt sınır

-1

, ortak üst sınır ise hesaplanan en küçük üst sınır olan

0,2

'dir. Nihai kesişim bölgesi:

-1 < \phi_2 < 0,2

Modelin durağan olabilmesi için tüm koşulların aynı anda (eşzamanlı olarak) sağlanması gerekir.

Key Concept

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları

Question 102Question →

Bir finansal analist, hisse senedi getirilerini modellemek amacıyla zaman serisi analizi yapmaktadır. Serinin durağan olduğunu birim kök testleriyle doğrulayan analist, model tanımlama (identifikasyon) aşamasında örneklem korelogramlarını incelemiştir.

İnceleme sonucunda, hem Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) hem de Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiklerinde istatistiksel olarak anlamlı katsayıların belirli bir gecikmeden sonra aniden sıfıra düşmediğini (kesilmediğini), her iki fonksiyonun da sıfıra doğru üstel ve dalgalı bir şekilde azalarak sönümlendiğini (tailing off) gözlemlemiştir.

Buna göre, Box-Jenkins metodolojisi dikkate alındığında analistin veri üretim süreci için aday olarak belirlemesi gereken en uygun zaman serisi modeli aşağıdakilerden hangisidir?

Otoregresif (AR) model

Hareketli Ortalama (MA) model

Otoregresif Bütünleşik Hareketli Ortalama (ARIMA) model

Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) model

Beyaz Gürültü (White Noise) süreci

Show answer & explanation

Answer: Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) model

Answer

Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) model

Box-Jenkins metodolojisinde, zaman serisi modellerinin tanımlanması korelogramdaki teorik davranışlara dayanır. Saf Otoregresif (AR) modellerde PACF aniden kesilirken, saf Hareketli Ortalama (MA) modellerinde ACF aniden kesilir. Eğer süreçte hem AR hem de MA bileşenleri bir arada bulunuyorsa (ARMA modeli), süreç sonsuz geçmiş değerlere ve şoklara bağımlılık gösterir. Bu nedenle ne ACF ne de PACF belirli bir gecikmede aniden kesilmez (cut-off); her iki fonksiyon da asimptotik olarak sıfıra doğru dalgalı veya üstel bir şekilde sönümlenir (tailing off). Seri durağan olduğu için modele 'I' (fark alma) parametresini eklemeye gerek yoktur.

Step-by-Step Solution

1

Serinin durağanlık durumunu değerlendirme

Soru kökünde serinin durağan olduğu belirtilmiştir.

Durağanlık, modelin Bütünleşik (I) bir yapıya, yani fark alma işlemine ihtiyacı olup olmadığını (ARIMA vs ARMA) belirlemek için ön koşuldur.

2

ACF grafiğinin davranışını analiz etme

ACF'nin aniden kesilmediği (cut-off olmadığı) ve sönümlendiği (tailing off) görülmüştür.

ACF aniden kesilseydi sürecin saf bir Hareketli Ortalama (MA) modeli olduğu düşünülürdü.

3

PACF grafiğinin davranışını analiz etme

PACF'nin de aniden kesilmediği ve sönümlendiği görülmüştür.

PACF aniden kesilseydi sürecin saf bir Otoregresif (AR) model olduğu düşünülürdü.

4

Kombine teorik davranışı eşleştirme

Hem ACF hem de PACF'nin sönümlenme davranışı göstermesi ARMA modeline işaret eder.

Box-Jenkins metodolojisine göre karma modellere (ARMA) ait otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları sonsuz bir hafızaya sahipmiş gibi davranır ve aniden kesilmezler.

Key Concept

Zaman serilerinde model belirleme (Box-Jenkins Metodolojisinde ACF ve PACF teorik kalıpları)

Question 103Question →

Tarım Kredi Kooperatifleri, bir bölgedeki aylık gübre talebini (ton) öngörmek için bir zaman serisi modeli kullanmaktadır. Son dört aya ait gerçekleşen talep ( $Y_t$ ) ve modelin öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Ay ( $t$ )	Gerçekleşen Talep ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	50	52
2	60	56
3	40	46
4	70	62

Buna göre, bu modelin Ortalama Mutlak Hata (MAE) ve Hata Kareler Ortalaması (MSE) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

5 ve 30

1 ve 30

20 ve 120

5 ve 120

6,67 ve 40

Show answer & explanation

Answer: 5 ve 30

Answer

Modelin Ortalama Mutlak Hata (MAE) değeri 5, Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri ise 30'dur.

Hata değerleri (

e_t = Y_t - F_t

) sırasıyla -2, 4, -6 ve 8 olarak hesaplanır. Ortalama Mutlak Hata (MAE) için hataların mutlak değerleri toplanıp gözlem sayısına bölünür:

(2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20 / 4 = 5

. Hata Kareler Ortalaması (MSE) için ise hataların kareleri toplanıp gözlem sayısına bölünür:

(4 + 16 + 36 + 64) / 4 = 120 / 4 = 30

. Doğru ikili 5 ve 30'dur.

Step-by-Step Solution

1

Her dönem için hata (

e_t = Y_t - F_t

) değerlerinin hesaplanması

e_1 = -2

,

e_2 = 4

,

e_3 = -6

,

e_4 = 8

olarak bulunmuştur.

MAE ve MSE formüllerinde kullanılmak üzere öngörü sapmalarının (hataların) belirlenmesi gerekir.

2

Ortalama Mutlak Hata (MAE) hesaplanması

Mutlak hatalar toplamı

(|-2| + |4| + |-6| + |8| = 2 + 4 + 6 + 8 = 20)

gözlem sayısına (4) bölünerek MAE =

20 / 4 = 5

bulunmuştur.

MAE, hataların mutlak değerlerinin aritmetik ortalamasını ifade eder.

3

Hata Kareler Ortalaması (MSE) hesaplanması

Hata kareleri toplamı

((-2)^2 + 4^2 + (-6)^2 + 8^2 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120)

gözlem sayısına (4) bölünerek MSE =

120 / 4 = 30

bulunmuştur.

MSE, hataların karesel değerlerinin aritmetik ortalamasını ifade eder.

Key Concept

Öngörü Hata Ölçütlerinin Hesaplanması

Question 104Question →

Bir kamu kurumunun aylık bütçe harcamalarını ( $Y_t$ ) modellemek isteyen bir istatistikçi, gecikme operatörü $L$ ve beyaz gürültü serisi $\epsilon_t$ olmak üzere aşağıdaki modeli kurmuştur:

(1 - 1,1L + 0,3L^2)Y_t = (1 + 0,4L)\epsilon_t

Bu modelin durağanlık (stationarity) ve tersine çevrilebilirlik (invertibility) durumları hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model hem durağandır hem de tersine çevrilebilirdir.

Model durağandır ancak tersine çevrilebilir değildir.

Model tersine çevrilebilirdir ancak durağan değildir.

Model ne durağandır ne de tersine çevrilebilirdir.

Modelin durağanlığı

\epsilon_t

teriminin katsayısı olan

0,4

değerine bağlıdır.

Show answer & explanation

Answer: Model hem durağandır hem de tersine çevrilebilirdir.

Answer

Verilen ARMA(2,1) modeli, karakteristik kökleri birim çember dışında kaldığı için hem durağandır hem de tersine çevrilebilirdir.

Modelin durağanlık durumu AR kısmına (

1 - 1,1L + 0,3L^2

) bakılarak belirlenir. Bu denklemin kökleri

2

ve

1,67

olup her ikisi de 1'den büyük olduğu için model durağandır. Tersine çevrilebilirlik durumu ise MA kısmına (

1 + 0,4L

) bakılarak belirlenir. Bu denklemin kökü

-2,5

olup mutlak değeri 1'den büyük olduğu için model aynı zamanda tersine çevrilebilirdir.

Step-by-Step Solution

1

Otoregresif (AR) kısmın karakteristik denklemini kurun ve köklerini bulun.

1 - 1,1L + 0,3L^2 = 0

denkleminin kökleri

L_1 = 2

ve

L_2 = 1,66...

olarak bulunur.

Bir zaman serisinin durağan olması için AR kısmının karakteristik köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (

|L| > 1

) olması gerekir.

2

Hareketli ortalama (MA) kısmın karakteristik denklemini kurun ve kökünü bulun.

1 + 0,4L = 0 \Rightarrow L = -2,5

olarak bulunur.

Bir zaman serisinin tersine çevrilebilir olması için MA kısmının karakteristik köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (

|L| > 1

) olması gerekir.

3

Bulunan kökleri durağanlık ve tersine çevrilebilirlik kriterleri ile karşılaştırın.

|2| > 1

,

|1,67| > 1

(Durağan) ve

|-2,5| > 1

(Tersine çevrilebilir).

Tüm kökler birim çemberin dışında yer aldığı için model her iki özelliği de taşımaktadır.

Key Concept

ARMA modellerinde durağanlık AR parametrelerine, tersine çevrilebilirlik ise MA parametrelerine ve bu parametrelerden türetilen karakteristik köklerin birim çember ile ilişkisine bağlıdır.

Question 105Question →

Zaman serilerinin klasik ayrıştırma (decomposition) yönteminde kullanılan bileşenlerin özellikleri ve model yapıları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

Mevsimsel hareketler, bir yıl veya daha kısa süreli sabit periyotlarla tekrarlanan düzenli dalgalanmaları temsil eder.

Döngüsel hareketler, periyot uzunluğu değişkenlik gösterebilen ve genellikle iş çevrimlerine bağlı olarak birkaç yılı kapsayan dalgalanmalardır.

Toplanabilir model varsayımı altında, düzensiz bileşen (

I_t

) orijinal gözlem birimiyle aynı ölçü birimine sahiptir.

Çarpımsal modelde, mevsimsel dalgalanmaların genliği trend değerinden bağımsız olarak sabit kalır.

Düzensiz hareketler, serinin sistematik olmayan ve önceden belirlenemeyen rassal (random) kısmını oluşturur.

Show answer & explanation

Answer: Çarpımsal modelde, mevsimsel dalgalanmaların genliği trend değerinden bağımsız olarak sabit kalır.

Answer

Çarpımsal modelde mevsimsel dalgalanmaların genliğinin trend değerinden bağımsız olarak sabit kaldığını belirten ifade yanlıştır.

Çarpımsal modelde (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

), mevsimsel bileşen (

S_t

) serinin trend seviyesine bağlı bir oran olarak etki eder. Bu nedenle, serinin trendi (genel seviyesi) yükseldikçe mevsimsel dalgalanmaların mutlak büyüklüğü (genliği) de artar. Dalgalanmaların trendden bağımsız olarak sabit bir genişlikte kalması durumu toplanabilir modelin bir özelliğidir.

Step-by-Step Solution

1

Zaman serisi modellerinin (toplanabilir ve çarpımsal) temel farkını belirleyin.

Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) bileşenler birbirinden bağımsızdır. Çarpımsal modelde (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

) ise bileşenler oransal olarak birbirine bağlıdır.

Model yapısı, mevsimselliğin trend ile olan ilişkisini belirler.

2

Çarpımsal modelde mevsimsel bileşenin (

S_t

) davranışını analiz edin.

Çarpımsal modelde

S_t

bir oran (indeks) olarak çalışır. Örneğin

S_t = 1,10

ise bu, o dönemde serinin trend değerinin %110'u kadar (yani %10 fazlası) bir değer alacağını gösterir.

Genlik (dalgalanma boyutu),

T_t

arttıkça mutlak değer olarak büyür.

3

Yanlış olan önermeyi tespit edin.

Mevsimsel dalgalanmaların genliğinin trendden bağımsız ve sabit olduğu model 'Toplanabilir Model'dir; 'Çarpımsal Model' değildir.

Tanımların model varsayımları ile eşleşmesi gerekir.

Key Concept

Zaman Serisi Modellerinde Mevsimsellik ve Trend İlişkisi

Alternative Method

Grafiksel yöntemle: Bir zaman serisi grafiğinde zaman ilerledikçe dalgalanmaların 'huni' şeklinde genişlediği görülüyorsa bu çarpımsal, dalgalanma genişliği değişmiyorsa toplanabilir yapıyı işaret eder.

Estimated Time:1m 30s

Question 106Question →

Zaman serilerinin klasik ayrıştırma (decomposition) analizinde, seriyi etkileyen öngörülemeyen şokları ve rastgelelikleri ifade eden düzensiz (tesadüfi) bileşen, seçilen modelin yapısına bağlı olarak belirli bir teorik referans değeri etrafında dalgalanma gösterir.

Bir kamu kurumu uzmanı, işsizlik oranlarını toplanabilir (additive) model ile, perakende satış hacimlerini ise çarpımsal (multiplicative) model ile ayrıştırarak her iki seri için de düzensiz bileşen değerlerini ( $I_t$ ) elde etmiştir.

Buna göre, analistin elde ettiği düzensiz bileşenlerin teorik olarak etrafında dalgalanması beklenen (etkilerinin nötr olduğu) ortalama değerler, toplanabilir ve çarpımsal modeller için sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru ifade edilmiştir?

Toplanabilir modelde

0

, çarpımsal modelde

1

Toplanabilir modelde

1

, çarpımsal modelde

0

Her iki modelde de

0

Her iki modelde de

1

Toplanabilir modelde

0

, çarpımsal modelde serinin ortalaması (

\bar{Y}

)

Show answer & explanation

Answer: Toplanabilir modelde $0$ , çarpımsal modelde $1$

Answer

Toplanabilir modelde

0

, çarpımsal modelde

1

Klasik ayrıştırma yönteminde bileşenlerin seriye nötr (etkisiz) kaldığı referans noktaları, ilgili matematiksel işlemlerin etkisiz elemanlarına dayanır. Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) düzensiz bileşenin etkisinin sıfırlanması için beklenen değeri 0 olmalıdır. Çarpımsal modelde ise (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

) düzensiz bileşenin diğer bileşenleri oransal olarak büyütmemesi veya küçültmemesi için beklenen değeri 1 (veya endeks cinsinden %100) olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Toplanabilir modelin yapısını ve düzensiz bileşenin matematiksel rolünü belirleme

Toplanabilir modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

), düzensiz bileşenin (

I_t

) modele net bir yön vermemesi için teorik ortalamasının 0 olması gerekir.

Toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır; böylece şoklar zaman içinde birbirini sönümleyerek serinin ana eğilimini bozmaz.

2

Çarpımsal modelin yapısını ve düzensiz bileşenin matematiksel rolünü belirleme

Çarpımsal modelde (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

), düzensiz bileşenin (

I_t

) diğer bileşenlerin büyüklüğünü sistematik olarak değiştirmemesi için ortalamasının 1 (veya oransal olarak %100) olması gerekir.

Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir; hata terimi 1'in altına ve üstüne dalgalanarak oransal şokları temsil eder.

3

İki modelin sonuçlarını birleştirerek doğru ifadeyi seçme

Toplanabilir model için 0, çarpımsal model için 1 değerleri sırasıyla elde edilir.

Zaman serisi ayrıştırmasında hata terimlerinin nötrlük varsayımı bunu gerektirir.

Key Concept

Zaman Serilerinde Klasik Ayrıştırma Modelleri ve Düzensiz Bileşen Varsayımları

Estimated Time:1m 0s

Question 107Question →

Bir telekomünikasyon ağ uzmanı, bir sunucu sistemindeki anlık gecikme süresi sapmalarını modellemek amacıyla $q$ . dereceden bir hareketli ortalama, $MA(q)$ , modeli kurmuştur.

Bu modelin teorik özellikleri, Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) davranışları ile tersinirlik (invertibility) koşulu dikkate alındığında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

ACF

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, PACF sönümlenerek azalır; modelin tersinir olabilmesi için karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır.

PACF

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, ACF sönümlenerek azalır; modelin tersinir olabilmesi için serinin varyansının zamana göre sabit kalması yeterlidir.

MA(q)

modelleri yapıları gereği her zaman tersinirdir; ancak durağan olabilmeleri için hareketli ortalama polinomunun köklerinin birim çemberin içinde yer alması zorunludur.

Modelin durağan ve tersinir olabilmesi için serinin ardışık olarak

q

defa farkının alınması gerekir; bu işlemden sonra ACF grafiği

q

. gecikmede maksimum değere ulaşır.

ACF grafiğindeki kesilme noktası serideki mevsimsel hareketleri, PACF ise döngüsel hareketleri yansıtır; tersinirlik koşulunun sağlanması serinin bu bileşenlerden arındırılmasına bağlıdır.

Show answer & explanation

Answer: ACF $q$ . gecikmeden sonra sıfıra kesilirken, PACF sönümlenerek azalır; modelin tersinir olabilmesi için karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır.

Answer

MA(q)

modelinde Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra sıfıra kesilir, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) sönümlenir ve tersinirlik için karakteristik denklem kökleri birim çemberin dışında olmalıdır.

MA(q)

modelinin en belirgin teorik özelliği, Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF)

q

. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) asimptotik olarak sönümlenmesidir. Ayrıca, bu modelin sonsuz geçmişe dayalı eşdeğer bir

AR

modeline çevrilebilmesi (tersinirlik koşulu) için hareketli ortalama polinomunun karakteristik denklem köklerinin birim çemberin dışında yer alması gerekmektedir.

Step-by-Step Solution

1

MA(q)

modelinde durağanlık ve tersinirlik koşullarını analiz etmek.

MA(q)

modelleri sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin toplamı olduğundan yapıları gereği her zaman durağandır. Bir

MA

modelinin sonsuz dereceli bir

AR

modeline dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için karakteristik denklem köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması (birim çemberin dışında olması) zorunludur.

Durağanlık ve tersinirlik kavramları zaman serisi analizinde sıkça karıştırılır;

MA

her zaman durağan,

AR

her zaman tersinirdir.

2

MA(q)

modelinin ACF ve PACF grafiklerindeki teorik davranışını belirlemek.

MA(q)

modelinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilirken, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) sonsuza doğru sönümlenerek azalır.

Model derecelerinin (q) belirlenmesinde ACF grafiğindeki kesilme noktası kritik bir referanstır.

Key Concept

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Teorik Özellikleri, ACF/PACF Davranışları ve Tersinirlik Koşulu

Question 108Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), bir sanayi dalındaki aylık üretim endeksi verilerini öngörmek için kullandığı bir zaman serisi modelinin performansını analiz etmektedir. Aşağıdaki tabloda, son dört döneme ait gerçekleşen ( $Y_t$ ) ve öngörülen ( $F_t$ ) değerler verilmiştir:

Dönem ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörülen ( $F_t$ )
1	20	22
2	24	22
3	22	25
4	26	23

Buna göre, bu öngörü modelinin Ortalama Karesel Hatası (MSE) kaçtır?

6.5

2.5

26.0

2.55

8.67

Show answer & explanation

Answer: 6.5

Answer

Öngörü modeline ait Ortalama Karesel Hata (MSE) değeri 6.5 olarak hesaplanmıştır.

Dört dönemlik veride her bir döneme ait gerçekleşen ve öngörülen değerler arasındaki farkların (hataların) kareleri alındığında sırasıyla 4, 4, 9 ve 9 değerleri elde edilir. Bu karelerin toplamı olan 26 değerinin gözlem sayısı olan 4'e bölünmesiyle Ortalama Karesel Hata 6.5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Her dönem için hata terimlerini (

e_t = Y_t - F_t

) hesaplayın.

e_1 = 20-22 = -2

;

e_2 = 24-22 = 2

;

e_3 = 22-25 = -3

;

e_4 = 26-23 = 3

MSE hesaplamasının temel bileşeni olan tahmin hatalarını bulmak gerekir.

2

Hata terimlerinin karelerini (

e_t^2

) hesaplayın ve toplayın.

\sum e_t^2 = (-2)^2 + 2^2 + (-3)^2 + 3^2 = 4 + 4 + 9 + 9 = 26

MSE, hataların karelerinin toplamı üzerinden hesaplanır.

3

Hata kareleri toplamını gözlem sayısına (

n=4

) bölün.

MSE = \frac{26}{4} = 6.5

Hata karelerinin ortalamasını alarak modelin genel hata düzeyini belirlemek gerekir.

Key Concept

Ortalama Karesel Hata (MSE), tahmin hatalarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 109Question →

Bir klimatolog, belirli bir coğrafi bölgedeki aylık ortalama rüzgâr hızlarını temsil eden durağan bir zaman serisini Box-Jenkins metodolojisi kullanarak modellemek istemektedir.

Seriye ait korelogram grafikleri incelendiğinde;
- Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ilk iki gecikmede (lag 1 ve lag 2) istatistiksel olarak anlamlı olduğu ve 3. gecikmeden itibaren aniden güven sınırları içine girerek kesildiği (cut-off),
- Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise üstel bir azalış göstererek yavaş yavaş sıfıra yaklaştığı (tailing-off)
gözlemlenmiştir.

Bu bulgulara göre, klimatoloğun tanımlama (identifikasyon) aşamasında seçmesi gereken en uygun teorik model aşağıdakilerden hangisidir?

İkinci dereceden hareketli ortalama modeli (MA(2))

İkinci dereceden otoregresif model (AR(2))

Birinci dereceden otoregresif hareketli ortalama modeli (ARMA(1,1))

İkinci dereceden otoregresif hareketli ortalama modeli (ARMA(2,2))

Birinci dereceden bütünleşik, ikinci dereceden hareketli ortalama modeli (ARIMA(0,1,2))

Show answer & explanation

Answer: İkinci dereceden hareketli ortalama modeli (MA(2))

Answer

Doğru yanıt, İkinci dereceden hareketli ortalama modelidir (MA(2)).

Zaman serilerinde Box-Jenkins metodolojisine göre model tanımlanırken ACF ve PACF'nin davranışlarına bakılır. Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) q'uncu gecikmeden sonra aniden kesilmesi (cut-off) ve Kısmi Otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) yavaş yavaş sönümlenmesi (tailing-off), q'uncu dereceden hareketli ortalama sürecinin (MA(q)) karakteristik özelliğidir. Senaryoda ACF 2. gecikmeden sonra kesildiği için model MA(2)'dir. Ayrıca seri durağan olduğundan fark alma derecesi 0'dır.

Step-by-Step Solution

1

Serinin durağanlık durumunu değerlendirmek

Seri durağan olduğu için ARIMA(p,d,q) modelinde fark alma derecesi d=0 olmalıdır.

Durağan serilerde bütünleşik (I) bileşen bulunmaz, doğrudan ARMA(p,q) modelleri kullanılır.

2

Otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) davranışını incelemek

ACF'nin ilk iki gecikmede anlamlı olup sonra kesilmesi (cut-off), sürecin hareketli ortalama (MA) bileşeninin derecesini (q=2) verir.

Saf MA(q) süreçlerinde ACF grafiği q gecikmesi sonrasında teorik olarak istatistiksel anlamlılığını yitirerek sıfır kabul edilir.

3

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) davranışını incelemek

PACF'nin üstel olarak azalarak sönümlenmesi (tailing-off), süreçte otoregresif (AR) bileşenin olmadığını veya MA sürecinin bir yansıması olduğunu doğrular.

Saf MA süreçlerinde PACF aniden kesilmez, gecikme arttıkça sönümlenme eğilimi gösterir.

Key Concept

Box-Jenkins metodolojisinde ACF ve PACF grafikleri kullanılarak AR(p), MA(q) ve ARMA(p,q) modellerinin tanımlanması

Question 110Question →

Bir finans uzmanı, bir bankanın aylık mevduat faiz oranlarındaki ( $Y_t$ ) değişimleri analiz etmektedir. Uzman, seriyi ortalamadan arındırdıktan sonra aşağıdaki ARMA(1,1) modelini kurmuştur:

(1 - 0,7L)Y_t = (1 + 0,4L)\epsilon_t

Burada $L$ gecikme operatörünü, $\epsilon_t$ ise beyaz gürültü serisini ifade etmektedir. Bu modelin özellikleri dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik şartlarını sağlamaktadır.

Süreç durağandır ancak tersine çevrilebilirlik şartını sağlamamaktadır.

Süreç tersine çevrilebilirdir ancak durağanlık şartını sağlamamaktadır.

Serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) birinci gecikmeden sonra kesilme özelliği gösterir.

Serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) birinci gecikmeden sonra kesilme özelliği gösterir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik şartlarını sağlamaktadır.

Answer

Modelin katsayıları birim çemberin dışında kalan köklere karşılık geldiği için süreç hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik şartlarını sağlamaktadır.

Verilen ARMA(1,1) modelinde durağanlık şartı AR katsayısı olan

\phi = 0,7

değerinin mutlak değerce 1'den küçük olmasına (

|0,7| < 1

) bağlıdır ve bu sağlanmaktadır. Tersine çevrilebilirlik şartı ise MA katsayısı olan

\theta = -0,4

(model

1 - \theta L

formunda yazıldığında) değerinin mutlak değerce 1'den küçük olmasına (

|-0,4| < 1

) bağlıdır ve bu da sağlanmaktadır. Dolayısıyla süreç hem durağan hem de tersine çevrilebilirdir.

Step-by-Step Solution

1

Durağanlık kontrolü için AR polinimunun köklerini incele.

Φ(L) = 1 - 0,7L = 0 \Rightarrow L = 1/0,7 \approx 1,43

.

Kökün mutlak değeri 1'den büyük (

|1,43| > 1

) olduğu için süreç durağandır.

2

Tersine çevrilebilirlik kontrolü için MA polinimunun köklerini incele.

Θ(L) = 1 + 0,4L = 0 \Rightarrow L = -1/0,4 = -2,5

.

Kökün mutlak değeri 1'den büyük (

|-2,5| > 1

) olduğu için süreç tersine çevrilebilirdir.

3

ACF ve PACF davranışını değerlendir.

Hem ACF hem de PACF geometrik olarak sönümlenir.

Karma ARMA(p,q) modellerinde ne ACF ne de PACF belirli bir gecikmeden sonra kesilmez; her ikisi de sönümlenme eğilimi gösterir.

Key Concept

ARMA modellerinde durağanlık AR parametrelerine, tersine çevrilebilirlik ise MA parametrelerine bağlıdır.

Practice More

ARMA(2,1) modellerinde durağanlık için katsayılar arasındaki eşitsizlikleri (Schur-Cohn kriterleri) inceleyen sorulara göz atabilirsiniz.

Alternative Method

Katsayıların mutlak değerini kontrol etmek yerine polinomların köklerini (

L

değerlerini) bularak bunların birim çemberin dışında kalıp kalmadığına bakılabilir.

\Phi(L)=0

kökü

1,43 > 1

(durağan) ve

\Theta(L)=0

kökü

|-2,5| > 1

(tersine çevrilebilir) sonuçlarını verir.

Estimated Time:1m 30s

Question 111Question →

Bir kamu iktisadi teşebbüsünün (KİT) 120 aylık reel üretim endeksi ( $Y_t$ ) verileri kullanılarak serinin durağanlık özellikleri incelenmektedir. Bu amaçla, seriye sabit terimli ve doğrusal trendli Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testi uygulanmış ve aşağıdaki regresyon sonuçları elde edilmiştir:

\Delta Y_t = 4,20 + 0,15t - 0,12 Y_{t-1} + 0,25 \Delta Y_{t-1} + \epsilon_t

$Y_{t-1}$ katsayısının standart hatası $0,05$ olarak hesaplanmıştır. %5 anlamlılık düzeyinde trendli model için Dickey-Fuller kritik tablo değeri $\tau_{\tau} = -3,41$ olduğuna göre, serinin durağanlığı ve izlenmesi gereken yöntem hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Seri birim kök içermektedir, durağan değildir ve durağanlaştırılması için birinci farkı alınmalıdır.

Hesaplanan t-istatistiği mutlak değerce kritik değerden büyük olduğu için seri durağandır.

Seri trend durağan (TS) özellik göstermektedir, dolayısıyla fark alma işlemine gerek yoktur.

Test istatistiği -3,00 olarak hesaplandığı için seri %5 anlamlılık düzeyinde durağandır.

Seride otokorelasyon sorunu olduğu için Dickey-Fuller testi sonuçları geçersizdir.

Show answer & explanation

Answer: Seri birim kök içermektedir, durağan değildir ve durağanlaştırılması için birinci farkı alınmalıdır.

Answer

Seri birim kök içermektedir, durağan değildir ve birinci farkı alınarak durağanlaştırılmalıdır.

ADF test istatistiği

\tau = \frac{-0,12}{0,05} = -2,40

olarak hesaplanır. %5 anlamlılık düzeyinde

-2,40 > -3,41

olduğu için

H_0: \delta = 0

(birim kök vardır) hipotezi reddedilemez. Bu durum serinin düzeyde durağan olmadığını, yani birim kök içerdiğini gösterir. Bu tür seriler fark-durağan (difference stationary) süreçler olup, durağan hale getirilmek için fark alma işlemi uygulanmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

ADF test istatistiğini (tau) hesaplayınız.

tau = -0,12 / 0,05 = -2,40

Birim kök testinde test istatistiği, gecikmeli düzey teriminin katsayısının kendi standart hatasına bölünmesiyle elde edilir.

2

Hesaplanan istatistiği kritik tablo değeri ile karşılaştırınız.

-2,40 > -3,41

Dickey-Fuller testinde yokluk hipotezi (H0: Birim kök vardır) hesaplanan değer kritik değerden küçük olduğunda reddedilir.

3

Hipotez testini sonuçlandırınız.

H0 reddedilemez.

-2,40 değeri ret bölgesinde (-3,41'in solunda) kalmadığı için birim kökün varlığı kabul edilir.

4

İstatistiki sonucu uygulama adımına dökünüz.

Seri durağan değildir, fark-durağan (DS) süreçtir.

Düzey değerinde durağan olmayan ve stokastik trend içeren seriler fark alınarak durağanlaştırılır.

Key Concept

Birim Kök Testi ve Durağanlık Kararı

Estimated Time:2m 0s

Question 112Question →

Zaman serileri analizinde Box-Jenkins metodolojisinin model tanımlama (identification) aşamasında, durağan bir serinin hangi süreci takip ettiğini belirlemek için otokorelasyon ( $ACF$ ) ve kısmi otokorelasyon ( $PACF$ ) fonksiyonlarının davranışları incelenir.

Buna göre, $ACF$ ve $PACF$ fonksiyonlarının teorik davranışları ile ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi doğrudur?

AR(p)

süreci için

ACF

fonksiyonu

p

. gecikmeden sonra kesilme (cut-off) özelliği gösterir.

MA(1)

süreci için

PACF

fonksiyonu birinci gecikmeden sonra kesilme (cut-off) özelliği gösterir.

MA(q)

süreci için

ACF

fonksiyonu

q

. gecikmeden sonra kesilme (cut-off) özelliği gösterirken,

PACF

fonksiyonu azalarak sıfıra yaklaşma (tailing off) özelliği gösterir.

ARMA(p, q)

süreci için hem

ACF

hem de

PACF

fonksiyonları belirli bir gecikmeden sonra aniden kesilir.

Durağan olmayan bir zaman serisinde

ACF

değerleri gecikme sayısı arttıkça çok hızlı bir şekilde sıfıra sönümlenir.

Show answer & explanation

Answer: $MA(q)$ süreci için $ACF$ fonksiyonu $q$ . gecikmeden sonra kesilme (cut-off) özelliği gösterirken, $PACF$ fonksiyonu azalarak sıfıra yaklaşma (tailing off) özelliği gösterir.

Answer

Doğru ifade,

MA(q)

süreci için

ACF

fonksiyonunun

q

. gecikmeden sonra kesildiği,

PACF

fonksiyonunun ise azalarak sıfıra yaklaştığı seçenektir.

Hareketli ortalama (

MA(q)

) süreçlerinin teorik özelliği gereği, otokorelasyon fonksiyonu (

ACF

) modelin derecesi olan

q

gecikmesinden sonra aniden sıfıra düşer (kesilir). Buna karşılık, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (

PACF

) ise gecikme sayısı arttıkça geometrik veya sinüzoidal bir biçimde azalarak sıfıra yaklaşır (sönümlenir).

Step-by-Step Solution

1

Otoregresif (

AR

) ve Hareketli Ortalama (

MA

) süreçlerinin temel karakteristiklerini karşılaştırınız.

AR(p)

modellerinde

PACF

kesilirken (

ACF

sönümlenir),

MA(q)

modellerinde

ACF

kesilir (

PACF

sönümlenir).

Box-Jenkins metodolojisinde model derecesini belirlemek için kullanılan en temel kural budur.

2

ARMA

ve durağan olmayan süreçlerin davranışlarını değerlendiriniz.

ARMA

modellerinde her iki fonksiyon da sönümlenir; durağan olmayan serilerde

ACF

çok yavaş azalır.

Model tanımlama aşamasında karmaşık modelleri basit modellerden ayırmak için bu farklar kullanılır.

3

Verilen seçenekler arasından teorik olarak doğru olan tek eşleşmeyi seçiniz.

MA(q)

süreci için sunulan özellikler teorik beklentilerle tam olarak örtüşmektedir.

MA(q)

sürecinde

ACF

değerleri

k > q

için tam olarak sıfırdır (istatistiksel anlamda kesilir).

Key Concept

Model Tanımlama (Identification): ACF ve PACF Davranışları

Practice More

Box-Jenkins yönteminde durağan olmayan bir serinin durağanlaştırılması için uygulanan fark alma işleminin

ACF

grafiği üzerindeki etkisini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 113Question →

Box-Jenkins (ARIMA) metodolojisi kullanılarak durağan bir zaman serisinin modellenmesi amaçlanmaktadır. Elde edilen korelogram incelendiğinde; serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ilk üç gecikmede istatistiksel olarak anlamlı değerler aldığı ve dördüncü gecikmeden itibaren aniden sıfıra düşerek kesildiği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise üstel bir şekilde azalarak sönümlendiği tespit edilmiştir.

Buna göre, özellikleri verilen bu zaman serisi için tanımlanması gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

MA(3)

(Üçüncü dereceden hareketli ortalama)

AR(3)

(Üçüncü dereceden otoregresif)

ARMA(3,3)

(Üçüncü dereceden otoregresif ve hareketli ortalama)

ARIMA(3,1,0)

(Birinci dereceden farkı alınmış üçüncü dereceden otoregresif)

SARIMA(0,0,0)(0,0,3)_{12}

(Üçüncü dereceden mevsimsel hareketli ortalama)

Show answer & explanation

Answer: $MA(3)$ (Üçüncü dereceden hareketli ortalama)

Answer

Modelin doğru tanımı

MA(3)

yani üçüncü dereceden hareketli ortalama sürecidir.

Zaman serileri analizinde Box-Jenkins yöntemine göre, bir

MA(q)

(Hareketli Ortalama) modelinde otokorelasyon fonksiyonu (ACF)

q

. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamsız hale gelir yani aniden kesilir. Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise asimptotik olarak azalarak sıfıra yaklaşır (sönümlenir). Soruda verilen senaryoda ACF 3. gecikmeden sonra kesildiği ve PACF sönümlendiği için seriye uygun olan süreç

MA(3)

modelidir.

Step-by-Step Solution

1

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) davranışını analiz et

ACF 3. gecikmeden sonra kesilmektedir.

ACF'nin belirli bir q gecikmesinden sonra aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi), seride q dereceli bir Hareketli Ortalama (MA) bileşeni olduğuna işaret eder. Bu durumda q=3'tür.

2

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) davranışını analiz et

PACF üstel olarak azalarak sönümlenmektedir.

PACF'nin sönümlenmesi, modelde belirgin bir Otoregresif (AR) bileşen kesilmesi olmadığını ve birinci adımda bulunan MA yapısının modelin temel karakteri olduğunu doğrular.

3

Durağanlık durumunu değerlendir ve modeli birleştir

Seri durağan olduğu için bütünleşik (I) derece d=0'dır ve elde edilen model

MA(3)

'tür.

AR ve fark alma bileşeni olmayan, sadece ilk üç gecikmedeki hataların ağırlıklı ortalamasıyla açıklanan yapı

MA(3)

modelidir.

Key Concept

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinin Korelogram Özellikleri

Question 114Question →

Bir araştırmacı, 2010-2025 yılları arasındaki aylık Reel Efektif Döviz Kuru ( $REDK_t$ ) serisinin durağanlık özelliklerini belirlemek amacıyla Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) testi uygulamıştır. Test modeline hem sabit terim hem de doğrusal trend bileşenleri dahil edilmiştir. Analiz sonucunda elde edilen $\tau$ (tau) test istatistiği $-2,18$ olarak hesaplanmış; MacKinnon %5 kritik değeri ise $-3,45$ olarak belirlenmiştir.

Buna göre, %5 anlamlılık düzeyinde serinin durağanlığı ve izlenmesi gereken yöntem hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez; seri birim kök içermektedir ve birinci farkı alınmalıdır.

Test istatistiği mutlak değerce kritik değerden küçük olduğu için seri seviye değerinde durağandır ve doğrudan analizlerde kullanılabilir.

Seri trend durağan (TS) bir süreç özelliği göstermektedir; bu nedenle fark almak yerine seriden sadece deterministik trend arındırılmalıdır.

Elde edilen sonuçlara göre seri durağan değildir; ancak serinin durağanlaşması için doğrudan ikinci farkının alınması gerekir.

ADF testi sonuçları serinin otokorelasyon yapısını dikkate almadığı için geçersizdir; sadece ACF ve PACF grafiklerine göre karar verilmelidir.

Show answer & explanation

Answer: Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez; seri birim kök içermektedir ve birinci farkı alınmalıdır.

Answer

Hesaplanan test istatistiği kritik değerden büyük olduğu için yokluk hipotezi reddedilemez; seri birim kök içermektedir ve birinci farkı alınmalıdır.

Birim kök testlerinde (ADF gibi), hesaplanan t-istatistiği MacKinnon kritik değerinden büyük olduğunda (örneğin

-2,18 > -3,45

), 'seride birim kök vardır' şeklindeki yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilemez. Bu durum serinin durağan olmadığını gösterir. Durağan olmayan bir seriyi durağan hale getirmek için genellikle uygulanan işlem serinin birinci farkının (

ΔY_t = Y_t - Y_{t-1}

) alınmasıdır.

Step-by-Step Solution

1

Hipotezlerin kurulması

H_0: \delta = 0

(Birim kök vardır / Seri durağan değildir) ve

H_1: \delta < 0

(Birim kök yoktur / Seri durağandır)

Birim kök testlerinde temel mantık, serinin geçmiş değerinin katsayısının bir olup olmadığını test etmektir.

2

Test istatistiği ve kritik değerin karşılaştırılması

-2,18 > -3,45

Hesaplanan

\tau

istatistiği, kritik değerin sağında (red bölgesinin dışında) kalmaktadır. Mutlak değerce incelediğimizde

2,18 < 3,45

olduğu görülür.

3

Karar ve sonuç

H_0

reddedilemez. Seri farkı alındığında durağanlaşan (DS) bir süreçtir.

Birim kök içeren seriler durağan değildir ve genellikle birinci farkları alınarak durağan hale getirilirler.

Key Concept

Birim Kök Testi Hipotez Kararı

Practice More

Birim kök testi sonuçlarına göre serinin farkı alındıktan sonra durağanlığın ACF/PACF grafikleriyle nasıl teyit edildiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 115Question →

Bir kamu strateji biriminde, ithalat verilerindeki kısa vadeli rassal şokların etkisini modellemek isteyen bir uzman, zaman serisi analizi yapmaktadır. Uzman, serinin durağan olduğunu tespit etmiş ve yaptığı incelemeler sonucunda otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile kısmi otokorelasyon fonksiyonuna (PACF) dair şu bulguları elde etmiştir:

Gecikme ( $k$ )	ACF ( $\rho_k$ )	PACF ( $\phi_{kk}$ )
1	0,55	0,55
2	0,25	-0,18
3	0,02	0,08
4	-0,01	-0,04

Bu verilere dayanarak oluşturulan model ve Hareketli Ortalama ( $MA$ ) modellerinin genel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Model

MA(2)

yapısındadır ve katsayı değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir (invertible) olması için katsayılar belirli kısıtları sağlamalıdır.

Tablodaki ACF değerlerinin 2. gecikmeden sonra sıfıra yaklaşması, serinin

AR(2)

yapısında olduğunu ve durağanlık için karakteristik köklerin birim çember dışında kalması gerektiğini gösterir.

ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi modelin

MA(1)

olduğunu gösterir ve bu modeller yapısal olarak her zaman hem durağan hem de tersinirdir.

Oluşturulan

MA(2)

modeli, hata terimlerinin bir fonksiyonu olduğu için katsayılar ne olursa olsun her zaman hem durağan hem de tersinir olma özelliğine sahiptir.

PACF fonksiyonu sönümlenerek devam ettiği için seride mevsimsel birim kök mevcuttur ve fark alma işlemi yapılmadan Hareketli Ortalama modeli kurulamaz.

Show answer & explanation

Answer: Model $MA(2)$ yapısındadır ve katsayı değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır; ancak modelin tersinir (invertible) olması için katsayılar belirli kısıtları sağlamalıdır.

Answer

Model MA(2) yapısındadır; her zaman durağandır ancak tersinirlik için katsayılar belirli koşulları sağlamalıdır.

Verilen tabloda otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra çok yakın değerlere düşmesi (kesilmesi), serinin

MA(2)

modeliyle uyumlu olduğunu gösterir. Hareketli Ortalama (MA) modelleri, hata terimlerinin sonlu bir toplamı oldukları için katsayı değerleri ne olursa olsun her zaman durağandırlar. Ancak, bu modellerin tersinir (invertible) olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çember dışında kalması, yani katsayıların belirli sınır değerleri içinde olması zorunludur.

Step-by-Step Solution

1

ACF ve PACF grafik davranışlarını analiz et.

ACF 2. gecikmede kesiliyor (

\rho_k \approx 0

for

k>2

), PACF sönümleniyor.

MA(q) modellerinde ACF, q gecikmesinden sonra kesilir; PACF ise sönümlenir.

2

Model derecesini belirle.

Model

MA(2)

'dir.

ACF'nin kesildiği gecikme sayısı modelin derecesini (

q

) verir.

3

MA modellerinin durağanlık ve tersinirlik koşullarını değerlendir.

MA modelleri daima durağandır (

stationary

), ancak tersinirlik (

invertibility

) için katsayı kısıtları (

|\theta| < 1

vb.) gerekir.

MA modelleri beyaz gürültü serilerinin sonlu bir doğrusal bileşimi olduğu için her zaman durağandır; tersinirlik ise geçmiş değerlerin bugünkü değerler cinsinden yazılabilmesi için gereklidir.

Key Concept

Hareketli Ortalama (MA) modellerinde model derecesi ACF'nin kesildiği noktaya göre belirlenir; bu modeller her zaman durağan olup tersinirlik katsayılara bağlıdır.

Practice More

MA(1) ve MA(2) modelleri için tersinirlik koşullarını (katsayı kısıtlarını) incelemek pekiştirici olacaktır.

Estimated Time:1m 30s

Question 116Question →

Bir kamu kurumu bünyesinde çalışan istatistik uzmanı, Türkiye'nin son 15 yılına ait aylık konut satış verilerini analiz etmektedir. Zaman serisi grafiği incelendiğinde, seride belirgin bir artış trendi gözlemlenmiş; ayrıca mevsimsel dalgalanmaların şiddetinin (genliğinin) zaman ilerledikçe ve trend değerleri yükseldikçe buna paralel olarak genişlediği tespit edilmiştir.

Buna göre, bu zaman serisinin klasik ayrıştırma (decomposition) yöntemiyle analizinde tercih edilmesi gereken model yapısı ve bileşenlerin özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Mevsimsel dalgalanmaların şiddeti trend seviyesiyle orantılı olarak değiştiği için çarpımsal model tercih edilmeli ve bu modelde mevsimsel bileşen değerleri 1 etrafında dalgalanmalıdır.

Mevsimsel dalgalanmaların genliği zaman içinde değişim gösterdiği için toplanabilir model kullanılmalı ve mevsimsel etkilerin toplamı her zaman sıfıra eşit olmalıdır.

Çarpımsal modelde hata terimi olan düzensiz bileşen (

I_t

), serideki diğer tüm etkilerden arındırıldıktan sonra kalan kısmın farkı olarak hesaplanır ve beklenen değeri her zaman 0'dır.

Mevsimsel hareketler periyodik olarak bir yıldan daha uzun süreli ekonomik dalgalanmaları kapsarken, döngüsel hareketler sabit bir takvim yılı içerisinde tamamlanan değişimlerdir.

Düzensiz hareketler (tesadüfi bileşen), serideki trend ve mevsimsellikten arındırılmış verilerin 12 aylık hareketli ortalaması alınarak tahmin edilen deterministik bir bileşendir.

Show answer & explanation

Answer: Mevsimsel dalgalanmaların şiddeti trend seviyesiyle orantılı olarak değiştiği için çarpımsal model tercih edilmeli ve bu modelde mevsimsel bileşen değerleri 1 etrafında dalgalanmalıdır.

Answer

Mevsimsel dalgalanmaların şiddeti trend seviyesiyle orantılı olarak değiştiği için çarpımsal model tercih edilmeli ve bu modelde mevsimsel bileşen değerleri 1 etrafında dalgalanmalıdır.

Zaman serilerinde mevsimsel dalgalanmaların büyüklüğü trendin seviyesine bağlı olarak değişiyorsa (yani trend arttıkça dalga boyu büyüyorsa), bu durum değişkenler arasında çarpımsal bir ilişki olduğunu gösterir. Çarpımsal modelde (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

) mevsimsel etkiler oransal olarak ifade edilir ve bu nedenle indekslerin ortalaması 1 olur.

Step-by-Step Solution

1

Serinin grafiksel özelliklerini analiz etme

Trendin artmasıyla birlikte mevsimsel dalgalanmaların genliğinin (genişliğinin) arttığı görülmüştür.

Zaman serisi modellerinde (toplanabilir vs çarpımsal) seçim yapabilmek için mevsimsel etkinin trendle olan ilişkisine bakılır.

2

Model tipine karar verme

Çarpımsal model (

Y_t = T_t \times S_t \times C_t \times I_t

) seçilmelidir.

Eğer mevsimsel dalgalanmalar trendden bağımsız ve sabit olsaydı toplanabilir model seçilirdi; ancak orantılı artış çarpımsal yapıyı işaret eder.

3

Bileşen özelliklerini doğrulama

Çarpımsal modelde mevsimsel indekslerin (S) ve düzensiz bileşenin (I) beklenen değerinin/ortalamasının 1 olduğu teyit edilir.

Toplanabilir modelde etkiler mutlak büyüklükte (toplam 0), çarpımsal modelde ise oransaldır (ortalama 1).

Key Concept

Zaman Serilerinde Toplanabilir ve Çarpımsal Ayrıştırma Kararı

Hints

1

Serideki dalgalanmaların 'genliği' (tepe ve çukur arasındaki mesafe) trend çizgisi yükseldikçe artıyor mu yoksa sabit mi kalıyor?

Practice More

Çarpımsal modeli toplanabilir modele dönüştürmek için kullanılan logaritmik dönüşüm yöntemini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 117Question →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen sertifikalı tohum desteği programına yapılan aylık başvuru sayıları basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemi ile takip edilmektedir. Düzeltme katsayısının ( $\alpha$ ) 0,2 olduğu bu modelde, Nisan ayı için yapılan öngörü ( $F_{\text{Nisan}}$ ) 1500 adet, gerçekleşen başvuru sayısı ( $A_{\text{Nisan}}$ ) ise 1700 adet olarak kaydedilmiştir.

Veriler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Ay	Gerçekleşen ( $A_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
Nisan	1700	1500
Mayıs	1600	?
Haziran	-	?

Buna göre, modelin Haziran ayı için üreteceği öngörü değeri ( $F_{\text{Haziran}}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

1528

1540

1552

1580

1600

Show answer & explanation

Answer: 1552

Answer

Haziran ayı için öngörülen değer 1552 adettir.

Basit üstel düzeltme yöntemi,

F_{t+1} = F_t + \alpha(A_t - F_t)

formülü ile çalışır. Nisan ayı verileriyle Mayıs ayı tahmini

1500 + 0,2(1700 - 1500) = 1540

olarak bulunur. Ardından bu değer ve Mayıs ayı gerçekleşen değeri (

1600

) kullanılarak Haziran tahmini

1540 + 0,2(1600 - 1540) = 1552

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Mayıs ayı öngörü değerini (

F_{\text{Mayıs}}

) hesaplamak için Nisan verilerini formüle yerleştirin.

F_{\text{Mayıs}} = 1500 + 0,2 \times (1700 - 1500) = 1540

Basit üstel düzeltmede bir sonraki dönemin öngörüsü, mevcut dönemin öngörüsü ile gerçekleşen değer arasındaki hatanın düzeltme katsayısı ile ağırlıklandırılmasıyla bulunur.

2

Haziran ayı öngörü değerini (

F_{\text{Haziran}}

) hesaplamak için Mayıs ayı öngörüsü ve Mayıs ayı gerçekleşen değerini kullanın.

F_{\text{Haziran}} = 1540 + 0,2 \times (1600 - 1540) = 1540 + 12 = 1552

Haziran tahmini, Mayıs ayında gerçekleşen 1600 değeri ve Mayıs ayı için daha önce hesaplanan 1540 öngörüsü kullanılarak güncellenir.

Key Concept

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

Question 118Question →

Bir kamu kurumu tarafından takip edilen aylık konut satış verileri ( $Y_t$ ) üzerinde yapılan analizler sonucunda, serinin durağanlaştırılması ve modellenmesi için aşağıdaki fark denklemi elde edilmiştir:

(1 - 0.75B)(1 - B)(1 - B^{12}) Y_t = (1 - 0.40B^{12}) \epsilon_t

Burada $B$ geri kaydırma (backshift) operatörünü ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü (white noise) sürecini ifade etmektedir. Buna göre, bu modelin SARIMA $(p,d,q)(P,D,Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(0,1,1)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,1)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,0,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,0,1)_{12}

Show answer & explanation

Answer: $\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}$

Answer

Modelin doğru gösterimi

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

şeklindedir.

Verilen fark denkleminde

(1 - 0.75B)

terimi mevsimsel olmayan AR(1) bileşenini (

p=1

),

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan birinci dereceden fark almayı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi mevsimsel birinci dereceden fark almayı (

D=1

) ve sağ taraftaki

(1 - 0.40B^{12})

terimi mevsimsel MA(1) bileşenini (

Q=1

) temsil etmektedir. Diğer bileşenler (mevsimsel olmayan MA ve mevsimsel AR) denklemde yer almadığı için dereceleri 0'dır. Periyot aylık veri olduğu için

s=12

olarak belirtilir.

Step-by-Step Solution

1

Mevsimsel olmayan otoregresif (

p

) bileşeni belirle.

p = 1

Sol taraftaki

(1 - 0.75B)

terimi, birinci dereceden mevsimsel olmayan otoregresif bileşeni ifade eder.

2

Fark alma (

d

ve

D

) derecelerini belirle.

d = 1

ve

D = 1

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi ise aylık veriler için mevsimsel farkı (

D=1

) temsil eder.

3

Mevsimsel hareketli ortalama (

Q

) bileşenini belirle.

Q = 1

Eşitliğin sağ tarafındaki

(1 - 0.40B^{12})

terimi, mevsimsel gecikmeye sahip bir hareketli ortalama bileşenidir.

4

Eksik olan parametreleri (0 olanlar) kontrol et.

q = 0

ve

P = 0

Denklemde mevsimsel olmayan MA terimi (

\theta B

) ve mevsimsel AR terimi (

\Phi B^{12}

) bulunmamaktadır.

Key Concept

SARIMA model parametrelerinin fark denkleminden tanımlanması

Estimated Time:1m 30s

Question 119Question →

T.C. Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı, Ankara-İstanbul hattındaki aylık Yüksek Hızlı Tren (YHT) yolcu sayılarını düzeltmek ve gelecek dönem tahminleri oluşturmak için basit üstel düzeltme (simple exponential smoothing) yöntemini kullanmaktadır. Ocak ayı için yapılan yolcu sayısı tahmini ( $F_{Ocak}$ ) $240.000$ kişi, gerçekleşen yolcu sayısı ( $Y_{Ocak}$ ) ise $260.000$ kişi olarak kaydedilmiştir. Düzeltme katsayısının (smoothing constant) $\alpha = 0,25$ olduğu varsayıldığında, Şubat ayı için öngörülen yolcu sayısı ( $F_{Şubat}$ ) kaçtır?

245.000

255.000

250.000

240.000

260.000

Show answer & explanation

Answer: 245.000

Answer

Şubat ayı için öngörülen yolcu sayısı 245.000 kişidir.

Basit üstel düzeltme yönteminde bir sonraki dönemin öngörüsü, mevcut dönemin gerçekleşen değeri ile mevcut dönemin öngörüsünün ağırlıklı ortalamasıdır. Hesaplama

0,25 \times 260.000 + 0,75 \times 240.000

şeklinde yapıldığında

245.000

değerine ulaşılır; bu durum son gözlemin %25, geçmiş bilgilerin ise %75 oranında yeni tahmine yansıdığını gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Basit üstel düzeltme formülünü tanımla.

F_{t+1} = \alpha Y_t + (1 - \alpha) F_t

Yöntem, yeni tahminin eski tahmin ile son gözlemin ağırlıklı ortalaması olduğu varsayımına dayanır.

2

Ocak ayı verilerini ve düzeltme katsayısını formüle yerleştir.

F_{Şubat} = 0,25 \times 260.000 + (1 - 0,25) \times 240.000

Soruda verilen

\alpha=0,25

,

Y_{Ocak}=260.000

ve

F_{Ocak}=240.000

değerleri hesaplama için gereklidir.

3

Ağırlıklı bileşenleri hesapla.

65.000 + 180.000

Gerçekleşen değerin etkisini (

65.000

) ve mevcut tahminin korunma payını (

180.000

) ayrı ayrı belirlemek için.

4

Bileşenleri toplayarak nihai tahmini bul.

245.000

Şubat ayı için düzeltilmiş öngörüye ulaşmak için.

Key Concept

Basit Üstel Düzeltme (Simple Exponential Smoothing)

Hints

1

Yeni tahminin, eski tahmin ile son gerçekleşen değerin arasında bir yerde olması gerektiğini unutmayın.

2

Formülde

\alpha

katsayısını her zaman 'gerçekleşen' değer ile çarpmanız gerekir.

Estimated Time:1m 30s

Question 120Question →

Bir tarım ekonomisti, Türkiye'deki aylık çiğ süt üretim miktarını ( $Y_t$ ) analiz etmek amacıyla aşağıdaki gecikme operatörü ( $B$ ) formundaki denklemi elde etmiştir:

(1 - 0,7B)(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - 0,5B^{12})\epsilon_t

Buna göre, araştırmacının tahmin ettiği modelin $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(0,1,1)(1,1,0)_{12}

\text{SARIMA}(1,0,0)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,1)(0,1,1)_{12}

\text{SARIMA}(1,1,0)(1,1,0)_{12}

Show answer & explanation

Answer: $\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}$

Answer

Doğru cevap

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

yapısındaki modeldir.

Verilen denklemde

(1 - 0,7B)

terimi mevsimsel olmayan bir AR(1) sürecini (

p=1

),

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan birinci farkı (

d=1

),

(1 - B^{12})

terimi mevsimsel birinci farkı (

D=1

) ve eşitliğin sağındaki

(1 - 0,5B^{12})

terimi mevsimsel bir MA(1) sürecini (

Q=1

) temsil eder. Bu bileşenler birleştirildiğinde

\text{SARIMA}(1,1,0)(0,1,1)_{12}

yapısı elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Otoregresif (AR) bileşenlerin belirlenmesi

p=1

ve

P=0

Sol taraftaki

(1 - 0,7B)

terimi mevsimsel olmayan birinci derece AR sürecini ifade eder. Mevsimsel bir AR (

B^{12}

içeren çarpım) terimi bulunmamaktadır.

2

Fark alma (Entegrasyon) derecelerinin belirlenmesi

d=1

ve

D=1

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan farkı,

(1-B^{12})

terimi ise aylık veriler için 12 periyotluk mevsimsel farkı temsil eder.

3

Hareketli Ortalama (MA) bileşenlerinin belirlenmesi

q=0

ve

Q=1

Eşitliğin sağ tarafında hata terimi

\epsilon_t

ile çarpım durumunda olan

(1 - 0,5B^{12})

terimi mevsimsel MA sürecidir. Mevsimsel olmayan bir MA terimi yoktur.

4

Mevsimsel periyodun belirlenmesi

s=12

Mevsimsel operatörlerdeki gecikme değeri

12

olduğu için periyot aylık bazdadır.

Key Concept

SARIMA modellerinde operatör gösterimi ve parametre eşleştirme

Zaman Serileri Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept