Simpleks Yöntemi Practice Questions — KPSS İstatistik

Bir maksimizasyon problemine ait başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm (RHS)
$s_1$	2	4	1	0	12
$s_2$	3	2	0	1	12
$Z$	-5	-10	0	0	0

Buna göre, simpleks algoritmasının ilk iterasyonu tamamlandığında amaç fonksiyonunun ( $Z$ ) değeri aşağıdakilerden hangisi olur?

12

20

30

60

120

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

İlk iterasyon sonunda amaç fonksiyonunun (Z) değeri 30 olur.

Simpleks yönteminde maksimizasyon problemleri için Z satırındaki en negatif katsayı sisteme girecek değişkeni (anahtar sütun) belirler. Burada -10 katsayısı ile

x_2

sisteme girer. Oran testi yapıldığında (

12/4=3

ve

12/2=6

) en küçük oran olan 3 ile

s_1

değişkeni sistemden çıkar. Yeni iterasyonda Z değeri

0 - (-10 \times 3) = 30

olarak güncellenir.

Step-by-Step Solution

1

Anahtar sütunun belirlenmesi

Sisteme girecek değişken

x_2

olarak seçilir.

Maksimizasyon probleminde Z satırındaki en negatif katsayı (-10), sisteme girecek değişkeni belirler.

2

Oran testi ile anahtar satırın belirlenmesi

s_1

değişkeni sistemden çıkar.

Çözüm değerlerinin anahtar sütun katsayılarına oranı (

12/4 = 3

ve

12/2 = 6

) incelendiğinde, en küçük pozitif oran olan 3 değeri

s_1

satırına aittir.

3

Yeni Z değerinin hesaplanması

Yeni

Z = 30

.

Simpleks tablosu satır işlemleri sonucunda yeni Z değeri; mevcut Z değeri ile (sisteme giren değişkenin katsayısı

\times

oran testinin sonucu) çarpımının farkı alınarak hesaplanır:

0 - (-10 \times 3) = 30

.

Key Concept

Simpleks Yönteminde İterasyon ve Pivot İşlemleri

Question 2Question →

Doğrusal programlama modellerinin çözümünde kullanılan simpleks yönteminde, bir maksimizasyon problemi için oluşturulan başlangıç tablosu şu şekildedir:

Temel Değişkenler	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$Z$	-4	-6	0	0	0
$s_1$	1	3	1	0	18
$s_2$	2	1	0	1	16

Bu tabloya göre, yapılacak ilk iterasyonda çözüme girecek (temel değişken olacak) ve çözümden çıkacak (temel dışı kalacak) değişkenler aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Giren:

x_2

, Çıkan:

s_1

Giren:

x_2

, Çıkan:

s_2

Giren:

x_1

, Çıkan:

s_2

Giren:

x_1

, Çıkan:

s_1

Giren:

s_1

, Çıkan:

x_2

Show answer & explanation

Answer: Giren: $x_2$ , Çıkan: $s_1$

Answer

Çözüme giren değişken

x_2

, çözümden çıkan değişken ise

s_1

olmalıdır.

Maksimizasyon probleminde giren değişken, amaç fonksiyonu satırındaki en küçük negatif katsayıya sahip olan değişkendir (-6 katsayısıyla

x_2

). Çıkan değişken ise, sağ yan değerlerin anahtar sütun katsayılarına oranlanmasıyla bulunan en küçük pozitif oranlı satırın değişkenidir (18/3 = 6 oranıyla

s_1

).

Step-by-Step Solution

1

Giren değişkenin (anahtar sütun) belirlenmesi

x_2

değişkeni (katsayısı -6)

Maksimizasyon problemlerinde

Z

satırındaki en küçük negatif katsayıya sahip değişken çözüme girer.

2

Oran testinin yapılması

s_1

satırı için 18/3 = 6;

s_2

satırı için 16/1 = 16

Çözüm (RHS) sütunundaki değerler, anahtar sütundaki pozitif katsayılara bölünerek oranlar bulunur.

3

Çıkan değişkenin (anahtar satır) belirlenmesi

s_1

değişkeni

Oran testi sonucunda elde edilen en küçük pozitif oran (6), çözümden çıkacak olan temel değişkeni belirler.

Key Concept

Simpleks yönteminde pivot seçimi kuralları (en küçük negatif katsayı ve en küçük pozitif oran).

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

Bir doğrusal programlama maksimizasyon probleminde, başlangıç simpleks tablosu düzenlenmiş ve $x_2$ değişkeni "temele giren değişken" (anahtar sütun) olarak belirlenmiştir. Tablonun kısıtlar kısmına ait katsayılar ve çözüm değerleri aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm (Sağ Yan)
$s_1$	$1$	$2$	$1$	$0$	$10$
$s_2$	$2$	$1$	$0$	$1$	$8$

Bu bilgilere göre, simpleks algoritmasının "oran testi" (minimum ratio test) kuralı uygulandığında temelden çıkacak değişken (anahtar satır) aşağıdakilerden hangisidir?

s_1

s_2

x_1

x_2

Z

Show answer & explanation

Answer: $s_1$

Answer

Temelden çıkacak değişken

s_1

değişkenidir.

Temele giren değişken

x_2

olarak belirlendiğinde, bu sütundaki katsayılar ile çözüm değerleri arasındaki oranlar incelenir.

s_1

satırı için oran

10/2=5

,

s_2

satırı için ise

8/1=8

değerini alır. Simpleks kuralı gereği en küçük pozitif orana sahip olan satır anahtar satırdır ve o satırdaki temel değişken (

s_1

) temelden çıkar.

Step-by-Step Solution

1

Temele giren değişken olan

x_2

sütunundaki kısıt katsayılarını belirleyin.

s_1

satırı için katsayı

2

,

s_2

satırı için katsayı

1

olarak belirlenmiştir.

Oran testi yalnızca temele giren değişkenin sütunundaki katsayılar üzerinden yapılır.

2

Çözüm (Sağ Yan) sütunundaki değerleri, karşılık gelen

x_2

katsayılarına bölerek oranları hesaplayın.

s_1

satırı için

10 / 2 = 5

ve

s_2

satırı için

8 / 1 = 8

sonuçları elde edilir.

Oran testi, kısıtların sınırlarını ihlal etmeden temele girebilecek maksimum değeri bulmayı sağlar.

3

Hesaplanan pozitif oranlar arasından en küçük olanı seçin.

5 < 8

olduğu için en küçük oran

s_1

satırına aittir.

Simpleks yönteminde en küçük oran testini sağlayan satır, temelden çıkacak değişkeni ve anahtar satırı belirler.

Key Concept

Simpleks yönteminde temelden çıkacak değişken, temele giren değişkenin katsayılarına göre yapılan minimum oran testi ile belirlenir.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Bir doğrusal programlama maksimizasyon problemine ait başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$s_1$	$1$	$2$	$1$	$0$	$10$
$s_2$	$2$	$1$	$0$	$1$	$12$
$Z$	$-5$	$-2$	$0$	$0$	$0$

Bu tabloya göre, yapılacak ilk iterasyon sonucunda temele giren $x_1$ değişkeninin yeni tablodaki değeri aşağıdakilerden hangisidir?

2

5

6

10

12

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İlk iterasyon sonucunda

x_1

değişkeninin değeri 6 olur.

Doğru yanıt olan 6 değeri, Simpleks algoritmasının anahtar satır güncelleme kuralına dayanır.

Z

satırındaki

-5

değeri nedeniyle

x_1

değişkeni temele girer. Oran testi yapıldığında (

12/2 = 6 < 10/1 = 10

), ikinci satırın anahtar satır olduğu görülür. Anahtar eleman

2

olduğundan, yeni satır oluşturulurken eski çözüm değeri olan

12

bu elemana bölünür ve sonuç

6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Anahtar sütunu (temele giren değişkeni) belirle.

x_1

sütunu anahtar sütundur.

Maksimizasyon probleminde

Z

satırındaki en küçük (en büyük negatif) katsayı

-5

olduğu için

x_1

temele girer.

2

Oran testi yaparak anahtar satırı (temelden çıkan değişkeni) belirle.

s_2

satırı anahtar satırdır.

Çözüm değerlerinin anahtar sütun değerlerine oranı:

10/1 = 10

ve

12/2 = 6

dır. En küçük pozitif oran 6 olduğu için ikinci satır seçilir.

3

Yeni tablodaki satır değerlerini hesapla.

12 / 2 = 6

.

Yeni tablodaki anahtar satır değerleri, eski satır değerlerinin anahtar elemana (

2

) bölünmesiyle elde edilir.

Key Concept

Simpleks yönteminde anahtar satırın güncellenmesi ve değişken değerlerinin hesaplanması.

Hints

1

Önce

Z

satırına bakarak hangi değişkenin temele gireceğini belirleyin.

2

Çözüm sütunundaki değerleri anahtar sütundaki değerlere bölerek oran testi yapın ve en küçük olanı seçin.

3

Seçilen satırdaki çözüm değerini, o satır ve sütunun kesişimindeki sayıya (anahtar eleman) bölün.

Practice More

Aynı tablodaki ilk iterasyon sonunda amaç fonksiyonu

Z

değerinin kaç olacağını hesaplamayı deneyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 5Question →

Aşağıda bir maksimizasyon modelinin çözümünde elde edilen başlangıç simpleks tablosu sunulmaktadır:

Temel Değişkenler	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm (RHS)
$s_1$	$1$	$2$	$1$	$0$	$10$
$s_2$	$3$	$1$	$0$	$1$	$15$
$Z$	$-5$	$-8$	$0$	$0$	$0$

Bu tablo üzerinde bir simpleks iterasyonu uygulandığında, oluşan yeni tablodaki amaç fonksiyonu ( $Z$ ) değeri aşağıdakilerden hangisi olur?

10

25

40

80

120

Show answer & explanation

Answer: $40$

Answer

İlk iterasyon sonunda amaç fonksiyonu değeri 40 olarak hesaplanır.

Maksimizasyon problemlerinde, amaç fonksiyonu satırında en negatif değere sahip değişken (

x_2

,

-8

) anahtar sütunu oluşturur. Oran testi yapıldığında (

10/2=5

ve

15/1=15

), en küçük oran 5 olduğundan pivot eleman 2 olarak bulunur. Birinci iterasyon sonunda yeni

Z

değeri, başlangıçtaki

Z

değerinden giren değişkenin katsayısı ile oran sonucunun çarpımının çıkarılmasıyla (

0 - (-8 \times 5) = 40

) elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Anahtar sütun belirlenir.

x_2

sütunu anahtar sütundur.

Maksimizasyon probleminde

Z

satırındaki en negatif katsayı (

-8

) temele girecek değişkeni belirler.

2

Oran testi ile anahtar satır belirlenir.

s_1

satırı anahtar satırdır.

s_1

için

10 / 2 = 5

ve

s_2

için

15 / 1 = 15

oranları bulunur. En küçük pozitif oran (5) anahtar satırı belirler.

3

Pivot eleman belirlenir.

Pivot eleman

2

'dir.

Anahtar sütun ve anahtar satırın kesişim noktasındaki değer pivot elemandır.

4

Yeni amaç fonksiyonu (

Z

) değeri hesaplanır.

40

Yeni

Z

değeri = Eski

Z

değeri - (Giren sütun katsayısı

\times

Yeni Pivot Satırı RHS değeri) formülüyle bulunur:

0 - (-8 \times (10 / 2)) = 40

.

Key Concept

Simpleks Yöntemi İterasyon Adımları

Practice More

Aynı tabloyu kullanarak ikinci iterasyon sonunda

x_1

değişkeninin değerini hesaplamayı deneyiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 6Question →

Bir üretim işletmesinin kâr maksimizasyonu problemi için hazırlanan başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$Z$	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm (RHS)
$Z$	$1$	$-50$	$-35$	$0$	$0$	$0$
$s_1$	$0$	$2$	$3$	$1$	$0$	$120$
$s_2$	$0$	$4$	$1$	$0$	$1$	$160$

Simpleks algoritması kurallarına göre, bu tablodaki 'temele girecek değişken' (anahtar sütun) aşağıdakilerden hangisidir?

x_1

x_2

s_1

s_2

Z

Show answer & explanation

Answer: $x_1$

Answer

Temele giren değişken

x_1

olarak belirlenir.

x_1

değişkeni, amaç fonksiyonu (

Z

) satırında

-50

ile en negatif katsayıya sahip olan değişkendir. Maksimizasyon problemlerinde basit simpleks kuralı gereği, amaç satırındaki katsayılar arasında en küçük (mutlak değerce en büyük negatif) olan sütun anahtar sütun olarak seçilir ve bu sütundaki değişken temele girer.

Step-by-Step Solution

1

Problemin türü ve amaç satırı katsayıları incelenir.

Problem bir maksimizasyon problemidir ve

Z

satırındaki katsayılar

-50

ve

-35

'dir.

Simpleks yönteminde iterasyona başlamak için anahtar sütunun belirlenmesi gerekir.

2

Amaç satırındaki en negatif (en küçük) katsayı belirlenir.

-50 < -35

olduğu için en negatif katsayı

-50

olarak bulunur.

Maksimizasyon problemlerinde en negatif katsayı, amaç fonksiyonunu en hızlı artıracak değişkeni gösterir.

3

Belirlenen katsayıya karşılık gelen değişken seçilir.

-50

katsayısına karşılık gelen

x_1

değişkeni 'temele giren değişken' olur.

Anahtar sütun seçimi bu kurala göre yapılır.

Key Concept

Simpleks yönteminde maksimizasyon amaçlı modellerde temele giren değişkenin belirlenmesi

Estimated Time:45s

Question 7Question →

Bir doğrusal programlama maksimizasyon problemine ait başlangıç simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel Değişkenler	$Z$	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$Z$	$1$	$-4$	$-7$	$0$	$0$	$0$
$s_1$	$0$	$2$	$1$	$1$	$0$	$10$
$s_2$	$0$	$3$	$2$	$0$	$1$	$18$

Bu tabloya göre, simpleks yönteminin ilk iterasyonunda temele girecek değişken (anahtar sütun) aşağıdakilerden hangisidir?

x_2

x_1

s_1

s_2

Z

Show answer & explanation

Answer: $x_2$

Answer

Temele girecek değişken

x_2

olarak belirlenir.

Maksimizasyon problemlerinde simpleks algoritması uygulanırken,

Z

satırındaki temel olmayan değişkenlerin katsayıları incelenir. Bu katsayılar arasından en küçük (yani negatif yönde en büyük) olan değer anahtar sütunu belirler. Verilen tabloda

x_1

değişkeninin katsayısı

-4

ve

x_2

değişkeninin katsayısı

-7

olduğundan,

-7 < -4

kuralı gereği

x_2

değişkeni temele girer.

Step-by-Step Solution

1

Amaç fonksiyonu satırındaki (

Z

satırı) katsayıları kontrol et.

x_1

katsayısı:

-4

,

x_2

katsayısı:

-7

.

Maksimizasyon problemlerinde temele girecek değişken bu katsayılara göre seçilir.

2

En küçük (en büyük negatif) katsayıyı belirle.

-7 < -4

olduğu için en küçük değer

-7

'dir.

Simpleks yönteminde kârı en hızlı artıracak değişken, negatif katsayısı en büyük olandır.

3

Anahtar sütunu seç.

x_2

değişkeni anahtar sütun olarak belirlenir.

-7

katsayısı

x_2

sütununa aittir.

Key Concept

Simpleks yönteminde maksimizasyon problemleri için temele girecek değişkenin (anahtar sütun) seçimi.

Estimated Time:45s

Question 8Question →

Bir işletmenin kâr maksimizasyonu amacıyla kurduğu doğrusal programlama modelinin başlangıç simpleks tablosu aşağıda sunulmuştur:

Temel Değişkenler	$Z$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$s_1$	$s_2$	Sağ Taraf
$Z$	1	-4	-6	-2	0	0	0
$s_1$	0	1	2	1	1	0	8
$s_2$	0	3	1	2	0	1	15

Buna göre, Simpleks algoritması kuralları çerçevesinde ilk iterasyonda temele giren değişken (anahtar sütun) aşağıdakilerden hangisidir?

x_2

x_1

x_3

s_1

s_2

Show answer & explanation

Answer: $x_2$

Answer

İlk iterasyonda temele giren değişken

x_2

olmalıdır.

Doğrusal programlama maksimizasyon problemlerinde Simpleks tablosu okunurken, amaç fonksiyonu satırında (

Z

satırı) negatif katsayısı bulunan temel dışı değişkenlerden en küçük olanı (mutlak değerce en büyüğü) temele giren değişken (anahtar sütun) olarak seçilir. Tabloda

x_1

için

-4

,

x_2

için

-6

ve

x_3

için

-2

değerleri görülmektedir. En küçük değer

-6

olduğu için

x_2

değişkeni temele girer.

Step-by-Step Solution

1

Amaç fonksiyonu (

Z

) satırındaki katsayıları inceleyin.

Katsayılar:

x_1: -4

,

x_2: -6

,

x_3: -2

,

s_1: 0

,

s_2: 0

.

Maksimizasyon problemlerinde en yüksek kâr artışını sağlayacak değişkeni bulmak için

Z

satırına bakılır.

2

Z

satırındaki en küçük negatif katsayıyı belirleyin.

-6

değeri en küçük katsayıdır.

Mutlak değerce en büyük olan negatif katsayı, birim başına amaç fonksiyonu değerini en çok artıran değişkeni gösterir.

3

Seçilen katsayının hangi değişkene ait olduğunu bulun.

-6

katsayısı

x_2

sütununda yer almaktadır.

Seçilen sütun anahtar sütun olarak adlandırılır ve bu sütunun temsil ettiği değişken temele giren değişkendir.

Key Concept

Simpleks yönteminde anahtar sütun (temele giren değişken) seçimi, maksimizasyon problemlerinde amaç fonksiyonu satırındaki en küçük negatif katsayılı değişkenin belirlenmesi esasına dayanır.

Estimated Time:45s

Question 9Question →

Bir işletmenin kârını maksimize etmek amacıyla kurduğu, tüm kısıtları " $\leq$ " şeklinde olan bir doğrusal programlama modelinin optimal simpleks tablosu aşağıda verilmiştir. Başlangıç modelinde $s_1$ ve $s_2$ sırasıyla birinci ve ikinci kısıtların aylak (gevşek) değişkenlerini temsil etmektedir.

Temel Değişken	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$x_2$	$0$	$1$	$1$	$-1$	$10$
$x_1$	$1$	$0$	$-1$	$2$	$20$
$Z_j - C_j$	$0$	$0$	$3$	$4$	$240$

Buna göre, bu modelin başlangıç amaç fonksiyonundaki $c_1$ ( $x_1$ 'in katsayısı) ve $c_2$ ( $x_2$ 'nin katsayısı) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

7

ve

10

10

ve

7

3

ve

4

-1

ve

5

10

ve

4

Show answer & explanation

Answer: $7$ ve $10$

Answer

c_1

değeri

7

,

c_2

değeri

10

'dur.

Doğru cevap

7

ve

10

'dur. Simpleks yönteminin temel teorisine göre, başlangıçta birim matris altında olan aylak değişkenlerin optimal tablodaki konumları bize ters matrisi (

B^{-1}

) ve gölge fiyatları (

y

) verir.

B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

ve

y = (3, 4)

'tür. Temel değişkenler tablodaki sırasıyla

x_2

ve

x_1

olduğu için

c_B = (c_2, c_1)

olur.

y = c_B \cdot B^{-1}

formülünden kurulan denklem sistemi çözüldüğünde

c_1 = 7

ve

c_2 = 10

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Optimal tablodan ters temel matrisi (

B^{-1}

) ve gölge fiyatlar vektörünü (

y

) belirleyin.

Aylak değişkenler olan

s_1

ve

s_2

'nin altındaki değerler

B^{-1}

matrisini verir:

B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

. Aynı sütunların

Z_j - C_j

satırındaki değerleri gölge fiyatlarıdır:

y = (3, 4)

.

Simpleks yönteminin matrisyel gösteriminde, başlangıçta birim matris oluşturan aylak değişkenlerin optimal tablodaki katsayıları doğrudan

B^{-1}

'i, amaç satırındaki değerleri ise dual çözüm değerlerini (

y

) gösterir.

2

Temel değişken vektörünü (

c_B

) tablodaki sıraya göre tanımlayın.

Tabloda 1. satırda

x_2

, 2. satırda

x_1

bulunmaktadır. Bu nedenle

c_B

vektörü

(c_2, c_1)

şeklindedir.

Matris çarpımlarında sıralama esastır. Hangi değişken hangi satırda temel değişkense, amaç fonksiyonundaki katsayısı da o sırada yazılmalıdır.

3

y = c_B \cdot B^{-1}

temel ilişkisini kullanarak denklem sistemini kurun.

(3, 4) = (c_2, c_1) \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

eşitliği yazılır.

Optimal çözümde gölge fiyatlar vektörü (

y

), temel değişkenlerin amaç fonksiyonu katsayıları (

c_B

) ile ters temel matrisin (

B^{-1}

) çarpımına eşittir.

4

Oluşan denklem sistemini çözerek

c_1

ve

c_2

değerlerini bulun.

Denklemler:

c_2 - c_1 = 3

ve

-c_2 + 2c_1 = 4

. Taraf tarafa toplandığında

c_1 = 7

bulunur. İlk denklemde yerine konduğunda

c_2 - 7 = 3 \Rightarrow c_2 = 10

elde edilir.

Doğrusal denklem sistemi çözülerek orijinal amaç fonksiyonundaki

x_1

ve

x_2

katsayılarına ulaşılır.

Key Concept

Simpleks Tablosunda Matrisyel İlişkiler ve Gölge Fiyatlar

Question 10Question →

Bir maksimizasyon problemi için oluşturulan doğrusal programlama modelinin çözümü sırasında elde edilen ara simpleks tablosu aşağıda verilmiştir:

Temel	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$s_1$	$s_2$	$s_3$	Çözüm
$Z$	$-5$	$0$	$-8$	$4$	$0$	$0$	$200$
$x_2$	$2$	$1$	$-3$	$1$	$0$	$0$	$15$
$s_2$	$4$	$0$	$2$	$-2$	$1$	$0$	$12$
$s_3$	$-1$	$0$	$4$	$3$	$0$	$1$	$28$

Buna göre, standart simpleks algoritması kurallarına uygun olarak yapılacak bir sonraki iterasyon sonucunda elde edilecek yeni tabloda; amaç fonksiyonu ( $Z$ ) değeri ile $s_3$ temel değişkeninin çözüm (RHS) değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

248

ve

4

215

ve

31

160

ve

48

256

ve

0

248

ve

16

Show answer & explanation

Answer: $248$ ve $4$

Answer

Yeni tabloda amaç fonksiyonu değeri 248,

s_3

değişkeninin çözüm değeri ise 4 olacaktır.

Verilen tabloda

Z

satırındaki en küçük değer

-8

olduğu için anahtar sütun

x_3

'tür. Oran testinde negatifler atlanarak pozitif katsayılara bölme işlemi yapılır (

12/2=6

ve

28/4=7

). Minimum oran olan 6,

s_2

satırına ait olduğundan pivot eleman

2

'dir. Satır operasyonları uygulandığında yeni

Z

değeri

200 + (-(-8) \times 6) = 248

ve yeni

s_3

değeri

28 - 4 \times 6 = 4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Anahtar sütunu (giren değişkeni) belirleme.

Z

satırında en negatif değere sahip katsayı

-8

olduğundan,

x_3

giren değişkendir.

Maksimizasyon problemlerinde, amaca en fazla katkıyı sağlayacak değişken

Z

satırındaki en negatif (veya

C_j - Z_j

satırında en pozitif) katsayıya sahip değişkendir.

2

Anahtar satırı (çıkan değişkeni) belirleme.

Pozitif pivot sütun elemanları için oran testi yapılır:

x_2

satırı için

15 / (-3)

(negatif, dikkate alınmaz),

s_2

satırı için

12 / 2 = 6

,

s_3

satırı için

28 / 4 = 7

. En küçük oran 6 olduğundan

s_2

çıkan değişkendir. Pivot eleman 2'dir.

Çözüm alanının dışına çıkmamak (uygunluğu korumak) için, oranı en küçük olan temel değişken çözümden çıkarılır.

3

Yeni amaç fonksiyonu (

Z

) değerini hesaplama.

Yeni

Z

satırı işlemi:

Y_Z = E_Z - (-8) \times (Yeni Pivot Satırı)

. Çözüm değeri:

200 - (-8) \times (12 / 2) = 200 + 48 = 248

.

Pivot elemana göre satır işlemleri yapılarak

x_3

'ün

Z

satırındaki katsayısı sıfırlanmalıdır.

4

Yeni

s_3

satırının çözüm değerini hesaplama.

Yeni

s_3

satırı = Eski

s_3

satırı

- 4 \times (Yeni Pivot Satırı)

. Çözüm değeri:

28 - 4 \times (12 / 2) = 28 - 24 = 4

.

Temel değişkenlerin kendi sütunlarında birim matris formunu koruması için diğer satırlardaki değerler satır operasyonlarıyla sıfırlanır.

Key Concept

Simpleks tablosunda iterasyon adımları ve satır operasyonları

Alternative Method

Yeni tablodaki Z değerini tam matris işlemi yapmadan pratik olarak bulmak için şu formül kullanılabilir: Yeni Z = Mevcut Z + (Çıkan Değişkenin Oranı × |Giren Değişkenin Z Katsayısı|). Bu tabloda giren değişken x3 (katsayısı -8), çıkan değişken s2 (oranı 6) olduğundan, Yeni Z = 200 + (6 × |-8|) = 248 bulunur.

Estimated Time:3m 0s

Question 11Question →

Bir kamu kurumu, iki farklı hizmet bölgesine ( $x_1$ ve $x_2$ ) tahsis edeceği kaynakların maksimizasyonu için bir doğrusal programlama modeli kurmuş ve simpleks yöntemiyle aşağıdaki optimal tabloya ulaşmıştır:

Temel Değişkenler	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	Çözüm
$x_2$	$0$	$1$	$3/2$	$-1/2$	$3/2$
$x_1$	$1$	$0$	$-1/2$	$1/2$	$5/2$
$Z$	$0$	$0$	$3$	$0$	$12$

Tabloda $s_1$ ve $s_2$ gevşek (aylak) değişkenleri, $Z$ ise amaç fonksiyonu satırını ( $Z_j - C_j$ formatında) göstermektedir.

Kurum yöneticisi, mevcut plandan farklı ancak aynı maksimum faydayı sağlayan alternatif bir hizmet dağılım planı olup olmadığını analiz etmek istemektedir.

Buna göre, alternatif optimal çözüme geçiş yapıldığında, $x_2$ hizmet bölgesine ayrılacak miktar (yeni $x_2$ değeri) aşağıdakilerden hangisi olur?

0

3/2

5/2

4

5

Show answer & explanation

Answer: $4$

Answer

Alternatif optimal çözümde

x_2

hizmet bölgesine ayrılacak yeni miktar

4

olur.

Alternatif optimal çözümün tespit edilebilmesi için

Z

satırında (

Z_j - C_j

) temel dışı olup değeri

0

olan değişkene bakılır. Bu değişken

s_2

'dir ve temele girmelidir. Oran testi yapıldığında,

x_2

satırındaki

s_2

sütunu değeri (

-1/2

) negatif olduğu için oran testine katılmaz.

x_1

satırı için oran

(5/2) / (1/2) = 5

olur. Bu durumda temelden

x_1

çıkar ve pivot eleman

1/2

olarak belirlenir. Yeni

s_2

satırının çözüm değeri

5/2 \times 2 = 5

olur.

x_2

'nin yeni değerini bulmak için satır işlemi yapılır: Yeni

x_2

Çözüm

= 3/2 - (-1/2) \times 5 = 3/2 + 5/2 = 4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Alternatif çözüm için temele girecek değişkeni belirle.

Temele giren değişken

s_2

'dir.

Optimal tabloda

Z

satırındaki katsayıların tümü

\geq 0

'dır. Ancak temel olmayan

s_2

değişkeninin

Z

satırındaki katsayısı

0

'dır. Bu durum alternatif bir optimal çözümün varlığını gösterir.

2

Oran testi ile temelden çıkacak değişkeni ve pivot elemanı bul.

Çıkan değişken

x_1

, pivot eleman

1/2

'dir.

Oran testi, Çözüm değerlerinin giren değişken sütunundaki pozitif elemanlara bölünmesiyle yapılır.

x_2

satırı için katsayı (

-1/2

) negatif olduğundan dikkate alınmaz.

x_1

satırı için oran:

(5/2) / (1/2) = 5

'tir. Tek pozitif oran

x_1

satırında olduğundan

x_1

çıkar.

3

Yeni tablo için temele giren

s_2

satırının çözüm değerini hesapla.

Yeni

s_2

satırı çözüm değeri

5

'tir.

Yeni satır değerleri, eski satır değerlerinin pivot elemana bölünmesiyle bulunur.

(5/2) / (1/2) = 5/2 \times 2/1 = 5

.

4

Yeni tabloda

x_2

satırının güncel çözüm değerini hesapla.

Yeni

x_2

değeri

4

'tür.

Yeni satır = Eski satır - (Giren sütundaki kesişim elemanı

\times

Yeni pivot satırı) formülü uygulanır. Yeni

x_2

Çözüm =

3/2 - (-1/2) \times 5 = 3/2 + 5/2 = 8/2 = 4

.

Key Concept

Simpleks Yönteminde Alternatif Optimal Çözüm ve Tablo Güncelleme

Question 12Question →

Bir doğrusal programlama probleminin simpleks yöntemiyle çözüm sürecinde elde edilen bir ara tabloda, amaca en fazla katkıyı sağlayacak giren değişken $x_1$ olarak belirlenmiştir. Bu değişkene ait anahtar sütundaki katsayılar sırasıyla $s_1$ , $s_2$ ve $s_3$ satırlarında $-2$ , $0$ ve $3$ olarak bulunmuştur. İlgili satırların çözüm (sağ taraf) sabitleri ise sırasıyla $10$ , $15$ ve $12$ 'dir.

Buna göre, oran testi (minimum oran kuralı) uygulaması ve temelden çıkacak değişkenin belirlenmesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Yalnızca pozitif katsayılar dikkate alındığından oran testi sadece

s_3

satırı için yapılır ve çıkan değişken

s_3

olarak belirlenir.

Tüm oranlar cebirsel olarak karşılaştırıldığından,

10/(-2) = -5

en küçük değer kabul edilir ve çıkan değişken

s_1

olur.

Katsayıların mutlak değerleri üzerinden işlem yapıldığından, sıfıra bölme hariç tutularak

|10/(-2)| = 5

ile

12/3 = 4

oranları karşılaştırılır ve çıkan değişken

s_3

olur.

Anahtar sütunda negatif ve sıfır değerleri bir arada bulunduğundan oran testi yapılamaz ve problemin sınırsız çözüme sahip olduğu sonucuna varılır.

Sağ taraf sabitleri sırasıyla katsayılara bölünür, ancak sıfıra bölme işlemi belirsizlik yarattığından iterasyon durdurularak mevcut çözüm optimal kabul edilir.

Show answer & explanation

Answer: Yalnızca pozitif katsayılar dikkate alındığından oran testi sadece $s_3$ satırı için yapılır ve çıkan değişken $s_3$ olarak belirlenir.

Answer

Yalnızca pozitif katsayılar dikkate alındığından oran testi sadece

s_3

satırı için yapılır ve çıkan değişken

s_3

olarak belirlenir.

Simpleks yönteminde, temelden çıkacak değişkeni belirlemek için yapılan oran testinde (minimum oran kuralı), sağ taraf sabitleri *yalnızca* anahtar sütundaki kesinlikle pozitif (sıfırdan büyük) katsayılara bölünür. Negatif ve sıfır olan katsayılar oran testine dahil edilmez ve bu satırlar çıkan değişken olamazlar. Verilen senaryoda sadece

s_3

satırındaki katsayı (

3

) pozitif olduğundan, bölme işlemi sadece bu satır için gerçekleştirilir (

12/3 = 4

). Hesaplanabilen tek geçerli oran bu olduğu için, minimum oran kuralı gereği çıkan değişken doğrudan

s_3

olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

Anahtar sütundaki katsayıların işaretlerini analiz et.

s_1

satırı için

-2

(negatif),

s_2

satırı için

0

(sıfır),

s_3

satırı için

3

(pozitif).

Oran testine hangi satırların dahil edileceğini belirlemek için katsayıların sıfırdan büyük olup olmadığı kontrol edilmelidir.

2

Uygun satırlar için oran testini (Sağ Taraf Sabiti / Katsayı) uygula.

s_1

ve

s_2

satırları katsayıları

\leq 0

olduğu için elenir. Sadece

s_3

satırı için hesaplama yapılır:

12 / 3 = 4

.

Temel değişkenlerin negatif değer almasını önlemek için sadece pozitif katsayılara bölme işlemi yapılır.

3

Hesaplanan pozitif oranlar arasından en küçük olanı seçerek çıkan değişkeni belirle.

Tek pozitif oran

s_3

satırına ait olduğundan (

4

), minimum oran bu satırdadır ve çıkan değişken

s_3

olur.

Minimum oran kuralı, yeni çözümü kısıtlara uygun (feasible) bölgede tutmak için gereklidir.

Key Concept

Simpleks Yönteminde Oran Testi (Minimum Oran Kuralı)

Question 13Question →

Endüstriyel bir sürecin performansını en üst düzeye çıkarmayı hedefleyen bir doğrusal modelin çözüm adımlarından birinde aşağıdaki ara tablo elde edilmiştir:

Temel	$Z$	$x_1$	$x_2$	$s_1$	$s_2$	$s_3$	Çözüm
$s_1$	$0$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$0$	$28$
$x_2$	$0$	$2$	$1$	$0$	$1$	$0$	$10$
$s_3$	$0$	$3$	$0$	$0$	$0$	$1$	$18$
$Z$	$1$	$-6$	$0$	$0$	$5$	$0$	$50$

Standart simpleks algoritması kuralları işletilerek tablonun güncellenmesi gerekmektedir.

Buna göre, bir sonraki aşamaya geçildiğinde (yeni tablo oluşturulduğunda), $Z$ hedef fonksiyonu ile $s_3$ temel değişkeninin alacağı yeni değerler sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

86

ve

0

110

ve

-12

20

ve

33

80

ve

3

92

ve

-3

Show answer & explanation

Answer: $80$ ve $3$

Answer

Hedef fonksiyonu (

Z

)

80

,

s_3

temel değişkeni ise

3

değerini alacaktır.

Enbüyükleme modelinde

Z

satırındaki en negatif katsayı (

-6

)

x_1

'e aittir, bu nedenle anahtar sütun

x_1

'dir. Oran testi uygulandığında pozitif değerler için oranlar hesaplanır (

28/4=7

,

10/2=5

,

18/3=6

). En küçük oran

5

olduğu için

x_2

satırı temelden çıkar. Pivot eleman

2

'dir. Yeni pivot satırının (

x_1

) çözüm değeri

10/2=5

olur. Gauss-Jordan yok etme yöntemiyle

Z

satırı güncellendiğinde

50 - (-6) \times 5 = 80

elde edilir.

s_3

satırı güncellendiğinde ise

18 - 3 \times 5 = 3

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Anahtar sütunun (giren değişkenin) belirlenmesi

Enbüyükleme problemi olduğu için

Z

satırında en negatif katsayıya sahip olan

x_1

sütunu (

-6

) anahtar sütundur.

Simpleks algoritmasında amaca en büyük katkıyı sağlayacak olan değişken temele alınır.

2

Oran testi ile anahtar satırın (çıkan değişkenin) belirlenmesi

Çözüm sütunu değerleri

x_1

sütunundaki pozitif katsayılara bölünür:

s_1

için

28/4=7

,

x_2

için

10/2=5

,

s_3

için

18/3=6

. En küçük oran

5

olduğundan

x_2

satırı anahtar satırdır. Kesişimdeki

2

değeri pivot elemandır.

Çözümün uygunluk alanından çıkmaması (negatif değer almaması) için en küçük pozitif oranı veren değişken temelden çıkarılır.

3

Yeni pivot satırının oluşturulması

Temele giren

x_1

satırının yeni çözüm değeri, eski

x_2

satırının çözüm değerinin pivot elemana bölünmesiyle elde edilir:

10 / 2 = 5

.

Giren değişkenin temel değişken olması için kendi sütununda

1

katsayısına sahip olması gerekir.

4

Z

ve

s_3

satırlarının yeni değerlerinin hesaplanması

Yeni

Z

çözümü

= 50 - (-6) \times 5 = 80

. Yeni

s_3

çözümü

= 18 - 3 \times 5 = 3

olarak hesaplanır.

Anahtar sütundaki diğer katsayıların sıfırlanması için temel Gauss-Jordan yok etme operasyonları uygulanır.

Key Concept

Simpleks tablosunda iterasyon adımları, oran testi ve Gauss-Jordan satır operasyonları

Estimated Time:2m 30s

Simpleks Yöntemi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes