Şebeke Analizi Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir kamu kurumunda yürütülecek olan bilgi işlem altyapı projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri (gün cinsinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	5
B	-	4
C	A	6
D	A, B	4
E	C, D	5

Buna göre projenin toplam tamamlanma süresi ve D faaliyetinin toplam bolluğu (total float) aşağıdakilerden hangisidir?

16 gün; 2 gün

16 gün; 0 gün

14 gün; 2 gün

16 gün; 3 gün

15 gün; 1 gün

Show answer & explanation

Answer: 16 gün; 2 gün

Answer

Projenin toplam süresi 16 gün, D faaliyetinin toplam bolluğu 2 gündür.

Yapılan ileri geçiş hesaplamalarına göre projenin en uzun yolu olan A-C-E yolu 16 gün sürmektedir. D faaliyeti ise en erken 5. günde başlayıp 9. günde bitebilirken, kendisinden sonraki E faaliyetini geciktirmemesi için en geç 11. günde bitmelidir. Bu aradaki 2 günlük fark (11-9=2) D faaliyetinin bolluğudur.

Step-by-Step Solution

1

İleri geçiş (Forward Pass) hesaplaması yapılarak en erken başlama (ES) ve en erken bitiş (EF) zamanları bulunur.

ES(A)=0, EF(A)=5; ES(B)=0, EF(B)=4; ES(C)=5, EF(C)=11; ES(D)=max(5,4)=5, EF(D)=9; ES(E)=max(11,9)=11, EF(E)=16.

Projenin toplam süresini belirlemek için her faaliyetin tamamlanabileceği en erken zaman hesaplanmalıdır.

2

Geri geçiş (Backward Pass) hesaplaması yapılarak en geç başlama (LS) ve en geç bitiş (LF) zamanları bulunur.

LF(E)=16, LS(E)=11; LF(C)=11, LS(C)=5; LF(D)=11, LS(D)=7; LF(A)=min(5,7)=5, LS(A)=0; LF(B)=7, LS(B)=3.

Faaliyetlerin bolluk değerlerini bulmak için projenin bitiş tarihinden geriye doğru hesaplama yapılmalıdır.

3

D faaliyetinin toplam bolluğu hesaplanır.

Bolluk(D) = LS(D) - ES(D) = 7 - 5 = 2 gün (veya LF(D) - EF(D) = 11 - 9 = 2 gün).

Toplam bolluk, bir faaliyetin projeyi geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini gösterir.

Key Concept

Kritik Yol Yöntemi (CPM) ile proje süresi en uzun yol üzerinden belirlenir ve kritik yol üzerinde olmayan faaliyetlerin bolluk (float) değerleri mevcuttur.

Estimated Time:2m 0s

Question 2Question →

Bir şebeke modelinde düğümler arasındaki birim akış maliyetleri ( $c_{ij}$ ), yay kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) ve düğümlerin arz/talep değerleri ( $b_i$ ) aşağıda sunulmuştur. Pozitif $b_i$ değerleri arzı, negatif $b_i$ değerleri ise talebi temsil etmektedir.

Yay $(i, j)$	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
$(1, 3)$	$2$	$6$
$(1, 4)$	$8$	$10$
$(2, 3)$	$4$	$8$
$(2, 4)$	$6$	$5$
$(3, 4)$	$1$	$4$

Düğüm Arz/Talep Dengesi:
- Düğüm $1$ : $+10$
- Düğüm $2$ : $+5$
- Düğüm $3$ : $-8$
- Düğüm $4$ : $-7$

Buna göre, şebekedeki tüm talebi karşılayan ve toplam maliyeti minimize eden optimal akış planında toplam maliyet kaç birimdir?

63

67

70

74

81

Show answer & explanation

Answer: 67

Answer

Optimal çözümde toplam maliyet 67 birimdir.

Optimal çözümde, maliyeti en düşük olan

(1, 3)

yayı 6 birim kapasitesine kadar doldurulur. Düğüm 1'den kalan 4 birim

(1, 4)

yayına aktarılır. Düğüm 2'den gelen 5 birim ise, doğrudan

(2, 4)

üzerinden gitmek yerine

(2, 3)

ve ardından

(3, 4)

aktarma yayını kullanarak Düğüm 4'e ulaştırılır; çünkü

4+1 < 6

birim maliyet avantajı sağlar. Bu konfigürasyonda tüm arz-talep dengeleri sağlanır ve toplam maliyet

12 + 32 + 20 + 3 = 67

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Akış korunum denklemlerini ve kısıtları belirleyin.

Düğüm 1:

x_{13} + x_{14} = 10

; Düğüm 2:

x_{23} + x_{24} = 5

; Düğüm 3:

x_{13} + x_{23} - x_{34} = 8

; Düğüm 4:

x_{14} + x_{24} + x_{34} = 7

. Kapasiteler:

x_{13} \leq 6

,

x_{24} \leq 5

,

x_{34} \leq 4

.

Minimum maliyetli akış problemlerinde her düğümde giren ve çıkan akışın arz/talep dengesine eşit olması gerekir.

2

Düşük maliyetli yollara öncelik vererek akışı dağıtın.

En ucuz yay olan

(1, 3)

için

x_{13} = 6

(kapasite sınırı). Bu durumda Düğüm 1'in kalan 4 birim arzı mecburen

(1, 4)

üzerinden gönderilir (

x_{14} = 4

).

Maliyet minimizasyonu için önce en düşük birim maliyetli kapasiteler doldurulur.

3

Diğer arz düğümünden (Düğüm 2) gelen akışı optimize edin.

Düğüm 2'den 5 birim arz vardır. Eğer 5 birimin tamamı

(2, 3)

üzerinden gönderilirse (

x_{23}=5

), Düğüm 3'te toplam

6+5=11

birim birikir. Düğüm 3'ün talebi 8 olduğu için kalan 3 birim

(3, 4)

üzerinden Düğüm 4'e aktarılır (

x_{34}=3

). Bu durumda

x_{24}=0

olur.

(2, 3) + (3, 4)

yolunun toplam maliyeti (

4+1=5

), doğrudan

(2, 4)

yayının maliyetinden (

6

) daha düşüktür.

4

Toplam maliyeti (

Z

) hesaplayın.

Z = (6 \times 2) + (4 \times 8) + (5 \times 4) + (0 \times 6) + (3 \times 1) = 12 + 32 + 20 + 0 + 3 = 67

.

Belirlenen optimal akış miktarları ile birim maliyetlerin çarpımlarının toplamı toplam maliyeti verir.

Key Concept

Minimum Maliyetli Akış Problemi ve Kapasite Kısıtlı Şebeke Optimizasyonu

Question 3Question →

Bir kamu yatırım projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış süreleri ile maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
A	-	$5$	$4$	$2.000$	$2.400$
B	A	$6$	$4$	$3.000$	$3.600$
C	A	$8$	$5$	$4.000$	$4.600$
D	B, C	$4$	$3$	$1.500$	$1.900$

Projenin normal süresini $2$ hafta kısaltarak toplam süreyi $15$ haftaya indirmek için katlanılması gereken minimum ek maliyet kaç TL'dir?

400

200

600

800

500

Show answer & explanation

Answer: $400$

Answer

Projenin süresini 15 haftaya indirmek için gereken minimum ek maliyet 400 TL'dir.

Doğru cevap, projenin kritik yolu olan A-C-D (

17

hafta) üzerindeki en düşük maliyet eğimine sahip C faaliyetinin (

200

TL/hafta)

2

hafta boyunca hızlandırılmasıyla elde edilen

400

TL'dir. Bu işlem sonunda proje süresi

15

haftaya iner ve her iki yol da kritik hale gelir.

Step-by-Step Solution

1

Faaliyetlerin maliyet eğimlerini (hızlandırma maliyetlerini) hesaplayın.

M_A = 400

,

M_B = 300

,

M_C = 200

,

M_D = 400

TL/hafta.

Hangi faaliyetin daha ekonomik hızlandırılabileceğini belirlemek için birim zaman maliyeti gereklidir.

2

Projedeki yolları ve kritik yolu belirleyin.

Yol 1: A-B-D (

5+6+4=15

hafta); Yol 2: A-C-D (

5+8+4=17

hafta). Kritik Yol: A-C-D.

Proje süresini kısaltmak için öncelikle kritik yol üzerindeki faaliyetler hızlandırılmalıdır.

3

Kritik yol üzerinde en düşük maliyetli faaliyeti seçerek hızlandırma yapın.

C faaliyeti en düşük eğime (

200

TL) sahiptir. C'yi

2

hafta hızlandırmak maliyeti

2 \times 200 = 400

TL artırır.

Proje süresini 17'den 15'e indirmek için kritik yol 2 hafta kısaltılmalıdır.

4

Yeni süreleri kontrol edin.

A-C-D yolu

15

haftaya düşer. A-B-D zaten

15

haftadır. Hedef süreye minimum maliyetle ulaşılmıştır.

Kısaltma sonrası diğer yolların kritik hale gelip gelmediği kontrol edilmelidir.

Key Concept

Proje çökertme işleminde sadece kritik yol üzerindeki faaliyetler, en düşük maliyet eğiminden başlanarak hızlandırılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 4Question →

Dört düğümden (1, 2, 3, 4) oluşan bir şebeke modelinde düğümler arası birim akış maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve yay kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Yay (i, j)	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
(1, 2)	3	8
(1, 3)	5	6
(2, 3)	1	5
(2, 4)	7	6
(3, 4)	2	10

Şebekede düğüm 1'in arzı 10 birim ( $b_1 = 10$ ) ve düğüm 4'ün talebi 10 birimdir ( $b_4 = -10$ ). Düğüm 2 ve 3 ise aktarma (transshipment) düğümleridir.

Buna göre, toplam 10 birimlik akışın hedeflenen düğüme ulaştırılması için gereken toplam minimum maliyet kaç birimdir?

60

65

70

80

82

Show answer & explanation

Answer: 65

Answer

Toplam minimum maliyet 65 birimdir.

65 birimlik sonuç, en düşük birim maliyete sahip 1-2-3-4 rotasından kapasite sınırı olan 5 birimin, ardından kalan 5 birimin ise bir sonraki en ucuz seçenek olan 1-3-4 rotasından geçirilmesiyle (5*6 + 5*7) elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Şebekedeki olası rotaları ve birim maliyetlerini belirle.

1-2-3-4: 3+1+2=6; 1-3-4: 5+2=7; 1-2-4: 3+7=10.

Minimum maliyetli akış için en ucuz yolların önceliklendirilmesi gerekir.

2

En ucuz yol olan 1-2-3-4 rotasının kapasitesini kontrol et ve akışı ata.

Kapasite = min(u12=8, u23=5, u34=10) = 5 birim. Maliyet: 5 x 6 = 30.

(2, 3) yayının kapasitesi 5 birim olduğu için bu rotadan en fazla 5 birim geçebilir.

3

Kalan 5 birimlik akış için bir sonraki en ucuz yolu belirle ve kapasiteyi kontrol et.

Sıradaki yol 1-3-4 (Maliyet: 7). Kapasite = min(u13=6, u34_kalan=10-5=5) = 5 birim. Maliyet: 5 x 7 = 35.

(3, 4) yayının kalan kapasitesi ve (1, 3) yayının kapasitesi 5 birime izin vermektedir.

4

Toplam maliyeti hesapla.

30 + 35 = 65.

Tüm arz (10 birim) en ekonomik rotalar üzerinden dağıtılmıştır.

Key Concept

Minimum maliyetli akış problemlerinde, akışın birim maliyeti en düşük olan yollar üzerinden kapasite kısıtları dahilinde atanması temel esastır.

Question 5Question →

Yöneylem araştırmasında şebeke (ağ) modelleri, sistemlerin grafiksel gösterimi ve optimizasyonu için temel araçlardır. $n$ adet düğüme ( $node$ ) sahip bir şebeke modeli göz önüne alındığında, bu şebekenin tüm düğümlerini birbirine bağlayan ancak içerisinde herhangi bir kapalı yol (çevrim) bulundurmayan alt şebeke yapısı 'yayılan ağaç' ( $spanning \ tree$ ) olarak adlandırılır.

Buna göre, 'yayılan ağaç' kavramı ile ilgili aşağıda verilen ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

Şebekedeki tüm düğümleri kapsamalı ve toplamda

n-1

adet yay içermelidir.

Şebekedeki tüm düğümleri kapsamalı ve en az bir adet kapalı çevrim barındırmalıdır.

Sadece kaynak (

source

) ve hedef (

sink

) düğümler arasındaki en kısa yay dizisinden oluşmalıdır.

Şebekedeki toplam yay sayısı, düğüm sayısına (

n

) eşit veya daha fazla olmalıdır.

Yayların kapasiteleri, şebekedeki akışın yönüne göre her zaman eşit ve sabit olmalıdır.

Show answer & explanation

Answer: Şebekedeki tüm düğümleri kapsamalı ve toplamda $n-1$ adet yay içermelidir.

Answer

Şebekedeki tüm düğümleri kapsamalı ve toplamda

n-1

adet yay içermelidir.

Yayılan ağaç, graf teorisinde

n

adet düğümü olan bir grafiğin, tüm düğümleri kapsayan ve çevrim içermeyen alt grafıdır. Bu yapının sürekliliği ve çevrimsizliği sağlaması için gerekli olan yay sayısı matematiksel bir zorunluluk olarak tam olarak

n-1

adettir.

Step-by-Step Solution

1

Şebeke bileşenlerini tanımlama

n

adet düğüm ve bu düğümleri bağlayan yaylar belirlenir.

Temel şebeke yapısının anlaşılması için gereklidir.

2

Ağaç (

tree

) özelliğini uygulama

Yapının çevrim (

cycle

) içermemesi gerektiği kuralı hatırlanır.

Graf teorisinde ağaçların temel karakteristiği çevrimsiz olmalarıdır.

3

Bağlılık (

connectivity

) şartını sağlama

Tüm

n

düğümün birbirine bağlı olması sağlanır.

Yayılan (

spanning

) özelliği tüm düğümlerin dahil edilmesini gerektirir.

4

Yay sayısını hesaplama

n

düğümü çevrim oluşturmadan bağlamak için gereken minimum ve maksimum yay sayısı

n-1

olarak bulunur.

Matematiksel olarak

n

düğümlü bağlı ve çevrimsiz bir grafik tam olarak

n-1

ayrıta sahiptir.

Key Concept

Yayılan ağaç, bir şebekedeki tüm düğümleri en az sayıda yayla birbirine bağlayan ve kapalı çevrim içermeyen yapıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 6Question →

Bir kamu kurumunun yürüttüğü altyapı projesine ait faaliyet bilgileri, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış süreleri ile maliyetleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Faaliyet	Öncül Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
A	-	$4$	$2$	$2.000$	$2.400$
B	A	$5$	$3$	$3.000$	$3.600$
C	A	$7$	$4$	$4.000$	$4.450$
D	B, C	$2$	$1$	$1.500$	$2.000$

Buna göre, projenin toplam süresini $11$ haftaya indirmek için yapılması gereken minimum ek maliyet artışı kaç TL'dir?

200

300

400

450

600

Show answer & explanation

Answer: $300$

Answer

Projenin süresini 11 haftaya indirmek için kritik yol üzerindeki en düşük maliyet eğimine sahip C faaliyetinin 2 hafta hızlandırılması gerekir, bu da 300 TL ek maliyet oluşturur.

Hesaplanan maliyet eğimlerine göre C faaliyeti haftalık 150 TL ile en ekonomik hızlandırma seçeneğidir. Projenin mevcut süresi 13 haftadır (A-C-D yolu) ve hedef 11 haftadır. 2 haftalık farkı kapatmak için C faaliyeti 2 hafta hızlandırıldığında 300 TL ek maliyet oluşur ve bu sırada diğer yol (A-B-D) da 11 hafta olduğundan süre daha fazla düşürülemez (yeni bir kritik yol oluşur).

Step-by-Step Solution

1

Faaliyetlerin haftalık maliyet eğimlerini (Maliyet / Zaman) hesaplayınız.

A: 200 TL, B: 300 TL, C: 150 TL, D: 500 TL.

Hızlandırma kararında maliyeti en az artıracak faaliyetin seçilmesi gerekir.

2

Projedeki tüm yolları ve mevcut proje süresini belirleyiniz.

Yol 1 (A-B-D): 4 + 5 + 2 = 11 hafta; Yol 2 (A-C-D): 4 + 7 + 2 = 13 hafta.

En uzun yol kritik yoldur ve proje süresini belirler.

3

Kritik yolu (A-C-D) hedef süre olan 11 haftaya indirmek için faaliyet seçimi yapınız.

Kritik yoldaki faaliyetler A (200), C (150) ve D (500) arasından en ucuzu C'dir.

C faaliyetinin maliyet eğimi (150 TL/hafta) diğerlerinden düşüktür.

4

Seçilen faaliyeti gerekli süre kadar hızlandırıp toplam maliyeti hesaplayınız.

C faaliyeti 2 hafta kısaltılırsa (7'den 5'e), toplam süre 11 hafta olur. Ek maliyet: 2 * 150 = 300 TL.

13 haftalık süreyi 11 haftaya indirmek için 2 haftalık bir hızlandırma gereklidir.

Key Concept

Zaman-maliyet takas analizinde (project crashing), toplam süre kritik yol üzerindeki faaliyetler en düşük maliyet eğiminden başlanarak kısaltılarak düşürülür.

Estimated Time:2m 0s

Question 7Question →

Bir lojistik ağında merkez depo olan $1$ numaralı düğümden, teslimat noktası olan $6$ numaralı düğüme en kısa mesafe üzerinden sevkiyat yapılacaktır. Düğümler arasındaki bağlantılar ve bu bağlantıların mesafeleri (birim cinsinden) aşağıda verilmiştir:

Başlangıç Düğümü	Bitiş Düğümü	Mesafe (Birim)
1	2	4
1	3	3
2	3	2
2	4	5
3	4	3
3	5	6
4	5	1
4	6	5
5	6	2

Buna göre, $1$ numaralı düğümden $6$ numaralı düğüme giden en kısa yolun toplam mesafesi kaç birimdir?

8

9

11

12

14

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

En kısa yolun toplam mesafesi 9 birimdir.

Yapılan adım adım analizde (Dijkstra yaklaşımı), 1-3 (

3

), 3-4 (

3

), 4-5 (

1

) ve 5-6 (

2

) yayları takip edildiğinde toplam mesafenin

3+3+1+2=9

birim olduğu görülür. Diğer tüm kombinasyonlar (örneğin düğüm 2 üzerinden gitmek veya 4'ten 6'ya doğrudan atlamak) daha yüksek toplam maliyet/mesafe üretmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Başlangıç düğümünden (1) komşu düğümlere olan mesafeleri belirleme

Düğüm 2 için mesafe 4, Düğüm 3 için mesafe 3 birimdir.

Dijkstra algoritması mantığına göre başlangıç noktasından çevreye yayılınır.

2

Düğüm 3 üzerinden Düğüm 4'e geçişi değerlendirme

Düğüm 4'e 1-3-4 yoluyla

3 + 3 = 6

birimle ulaşılır.

1-2-4 yolu

4 + 5 = 9

birim olduğundan, 1-3-4 yolu daha avantajlıdır.

3

Düğüm 4 üzerinden Düğüm 5'e geçişi değerlendirme

Düğüm 5'e 1-3-4-5 yoluyla

6 + 1 = 7

birimle ulaşılır.

Doğrudan 1-3-5 yolu

3 + 6 = 9

birim olduğundan, 4 numaralı düğüm üzerinden geçmek yolu kısaltır.

4

Düğüm 5 üzerinden hedef Düğüm 6'ya ulaşma

Düğüm 6'ya 1-3-4-5-6 yoluyla

7 + 2 = 9

birimle ulaşılır.

Alternatif olan 1-3-4-6 yolu

6 + 5 = 11

birim olduğundan, 9 birimlik yol en kısa çözümdür.

Key Concept

En kısa yol problemlerinde (Dijkstra algoritması vb.) her bir düğüm için kalıcı etiketler oluşturulurken, o düğüme gelen tüm alternatif yollar kıyaslanmalı ve en küçük değer seçilmelidir.

Hints

1

Şebeke üzerinde her düğüme ulaşmak için mümkün olan en küçük toplam değerleri not ederek ilerleyin.

2

Düğüm 4'e ulaştığınızda (toplam 6 birim), Düğüm 6'ya gitmek için 4-6 yayını mı yoksa 4-5-6 güzergahını mı kullanmanın daha kısa olacağını karşılaştırın.

3

En kısa güzergah 1-3-4-5-6 şeklindedir; bu yolun üzerindeki tüm rakamları toplayın.

Practice More

Benzer bir şebekede 'Maksimum Akış' miktarını hesaplamayı deneyerek kapasite kısıtlarını pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Şebekeyi küçük bir ağ olduğu için deneme-yanılma (inspection) yöntemiyle tüm yolları listeleyerek de çözebilirsiniz: 1-2-4-6 (14), 1-2-4-5-6 (12), 1-3-4-6 (11), 1-3-5-6 (11), 1-3-4-5-6 (9).

Estimated Time:1m 30s

Question 8Question →

Bir kamu yatırım projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış (çökertme) süreleri ile maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
A	-	4	3	5.000	7.000
B	A	6	4	8.000	11.000
C	A	5	3	6.000	9.000
D	B, C	3	2	4.000	5.500

Buna göre, projenin toplam süresini 11 haftaya düşürebilmek için katlanılması gereken minimum ek maliyet kaç TL'dir?

1.500

3.000

3.500

4.500

5.000

Show answer & explanation

Answer: 3.000

Answer

Projenin süresini 11 haftaya indirmek için gereken minimum ek maliyet 3.000 TL'dir.

Doğru yanıt olan 3.000 TL seçeneği, projenin çökertme analizi ilkelerine dayanır. İlk adımda kritik yol olan A-B-D (13 hafta) üzerindeki en ucuz faaliyetlerden biri (B veya D, her ikisi de 1.500 TL) seçilir. Bu seçim sonrası A-C-D yolu da 12 haftaya düşerek kritik hale gelir. İkinci adımda her iki yolu da ortaklaşa kısaltan D faaliyeti (veya daha önce seçilmediyse B ve C'nin ortak noktaları) üzerinden gidilerek toplamda 3.000 TL ek maliyetle 11 haftaya ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Her faaliyet için haftalık maliyet eğimini (birim hızlandırma maliyeti) hesapla.

A: 2.000 TL, B: 1.500 TL, C: 1.500 TL, D: 1.500 TL.

Hızlandırma kararlarında en düşük maliyet eğimine sahip faaliyetler tercih edilmelidir.

2

Başlangıçtaki tüm yolları ve sürelerini belirle.

Yol 1: A-B-D =

4+6+3=13

hafta (Kritik Yol). Yol 2: A-C-D =

4+5+3=12

hafta.

Hızlandırma işleminin kritik yol üzerindeki faaliyetlere uygulanması gerekir.

3

Proje süresini 13 haftadan 12 haftaya düşürmek için kritik yol (A-B-D) üzerindeki en ucuz faaliyeti seç.

Maliyet eğimi 1.500 TL olan B veya D faaliyetinden biri seçilir. Örneğin B faaliyetini 1 hafta hızlandıralım. Yeni süreler: A-B-D = 12, A-C-D = 12.

Kritik yol üzerindeki en düşük maliyetli seçenekler B ve D'dir.

4

Proje süresini 12 haftadan 11 haftaya düşürmek için her iki kritik yolu da kısaltacak en ucuz seçeneği belirle.

Ortak faaliyet D'yi hızlandırmak (1.500 TL), A'yı hızlandırmaktan (2.000 TL) veya B ve C'yi beraber hızlandırmaktan (3.000 TL) daha ucuzdur. D'yi 1 hafta hızlandıralım. Yeni süreler: A-B-D = 11, A-C-D = 11.

D faaliyeti her iki yolun da düğüm noktası olduğu için tek başına hızlandırılması her iki yolu da kısaltır.

5

Toplam ek maliyeti topla.

1.500 (B) + 1.500 (D) = 3.000

TL.

Hızlandırma adımlarının toplam maliyeti nihai ek maliyeti verir.

Key Concept

Hızlandırma (Çökertme) analizinde her zaman kritik yol üzerindeki maliyet eğimi en düşük olan faaliyet seçilir; birden fazla kritik yol varsa, tüm yolları aynı anda kısaltacak en ucuz kombinasyon tercih edilmelidir.

Question 9Question →

Bir kamu hizmet binasının restorasyon projesi kapsamında yürütülecek faaliyetlere ilişkin öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış süreler ile maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Faaliyet	Öncel	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
$A$	-	$4$	$3$	$10.000$	$10.500$
$B$	$A$	$4$	$3$	$15.000$	$15.800$
$C$	$A$	$3$	$2$	$12.000$	$12.600$
$D$	$C$	$5$	$3$	$18.000$	$18.600$
$E$	$B$	$2$	$1$	$8.000$	$9.000$

Proje yönetiminin, projenin toplam tamamlanma süresini $1$ hafta kısaltmak istemesi durumunda katlanılması gereken minimum ek maliyet kaç TL'dir?

300

500

600

800

1.000

Show answer & explanation

Answer: $300$

Answer

Projenin kritik yolu üzerindeki faaliyetlerden maliyet eğimi en düşük olan faaliyetin hızlandırılması gerekir; bu durumda en uygun seçenek haftalık

300

TL ek maliyet ile

D

faaliyetidir.

Doğru yanıt olan seçenek, projenin kritik yolu olan

A-C-D

güzergahı üzerindeki faaliyetlerden birim hızlandırma maliyeti (

300

TL) en az olan faaliyetin seçilmesini ifade eder.

D

faaliyetinin maliyet eğimi

(18.600 - 18.000) / (5 - 3) = 300

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Her bir faaliyet için maliyet eğimini hesaplayınız.

A: 500

,

B: 800

,

C: 600

,

D: 300

,

E: 1000

TL/hafta.

Hızlandırma kararı verilirken birim zaman başına düşen ek maliyetlerin bilinmesi gerekir.

2

Projenin tüm yollarını ve toplam sürelerini belirleyerek kritik yolu saptayınız.

1. Yol (

A-B-E

):

4+4+2 = 10

hafta. 2. Yol (

A-C-D

):

4+3+5 = 12

hafta.

Sadece kritik yol üzerindeki faaliyetlerin hızlandırılması toplam proje süresini kısaltır.

3

Kritik yol (

A-C-D

) üzerindeki faaliyetlerin maliyet eğimlerini karşılaştırınız.

A (500)

,

C (600)

,

D (300)

arasından en düşüğü

D

faaliyetidir.

Minimum ek maliyetle süreyi kısaltmak için en düşük eğime sahip kritik faaliyet seçilmelidir.

Key Concept

Maliyet Eğimi ve Kritik Yol Hızlandırma

Alternative Method

Toplam proje maliyetini her bir durum için hesaplayarak (Normal Maliyet + Hızlandırma Maliyeti) karşılaştırma yapabilirsiniz. Ancak maliyet eğimi yöntemi çok daha hızlı sonuç verir.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir kamu projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Hafta)
A	-	$3$
B	-	$5$
C	A	$4$
D	A, B	$2$
E	C, D	$6$
F	B	$7$
G	E, F	$3$

Kritik Yol Yöntemi (CPM) prensiplerine göre, projenin tamamlanma süresi dikkate alındığında F faaliyetinin toplam bolluk (total float) süresi kaç haftadır?

0

1

2

3

4

Show answer & explanation

Answer: $1$

Answer

F faaliyetinin toplam bolluk süresi

1

haftadır.

İleri geçiş hesaplamalarına göre projenin kritik yolu A-C-E-G ve B-D-E-G güzergahları olup toplam süre

16

haftadır. F faaliyeti ise B'den sonra başlar (

ES=5

) ve

7

hafta sürer (

EF=12

). Proje bitişinden (

16

) G'nin süresi (

3

) çıkarıldığında F'nin en geç bitiş zamanı (

LF=13

) bulunur. Aradaki fark (

13-12=1

) toplam bolluğu verir.

Step-by-Step Solution

1

İleri doğru hesaplama yaparak her faaliyetin en erken başlama (ES) ve en erken bitiş (EF) zamanlarını belirleyin.

A: ES=

0

, EF=

3

; B: ES=

0

, EF=

5

; C: ES=

3

, EF=

7

; D: ES=Max(

3,5

)=

5

, EF=

7

; E: ES=Max(

7,7

)=

7

, EF=

13

; F: ES=

5

, EF=

12

; G: ES=Max(

13,12

)=

13

, EF=

16

.

Projenin toplam süresini ve faaliyetlerin erken zamanlarını bulmak için ileri geçiş gereklidir.

2

Projenin toplam süresini belirleyin ve geriye doğru hesaplama yaparak en geç başlama (LS) ve en geç bitiş (LF) zamanlarını bulun.

Proje süresi=

16

hafta. G: LF=

16

, LS=

13

; E: LF=

13

, LS=

7

; F: LF=

13

, LS=

6

.

Bolluk sürelerini hesaplayabilmek için faaliyetlerin en geç tamamlanabileceği zamanları bilmek gerekir.

3

F faaliyeti için toplam bolluk süresini (

TF = LS - ES

veya

TF = LF - EF

) hesaplayın.

TF_F = 6 - 5 = 1

veya

TF_F = 13 - 12 = 1

.

Toplam bolluk, bir faaliyetin proje bitiş süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini gösterir.

Key Concept

CPM analizinde toplam bolluk (total float), bir faaliyetin en geç başlama zamanı ile en erken başlama zamanı arasındaki farktır.

Practice More

Kritik yol üzerindeki faaliyetlerin bolluk sürelerinin neden daima sıfır olduğunu düşünerek ağ yapısını tekrar inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 0s

Question 11Question →

Bir kamu lojistik merkezi inşaat projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış (çökertme) süreleri ile maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
A	-	$4$	$3$	$5.000$	$8.000$
B	A	$6$	$4$	$8.000$	$12.000$
C	A	$5$	$3$	$6.000$	$9.000$
D	B	$4$	$2$	$4.000$	$7.000$
E	C, D	$3$	$2$	$3.000$	$5.500$

Bu projenin normal süresini $14$ haftaya indirmenin minimum toplam ek maliyeti kaç TL'dir?

4.500

5.000

5.500

6.000

7.500

Show answer & explanation

Answer: $5.000$

Answer

Projenin normal süresini

14

haftaya indirmenin minimum ek maliyeti

5.000

TL'dir.

Doğru yanıt olan

5.000

TL, öncelikle kritik yolun (A-B-D-E,

17

hafta) belirlenmesi ve ardından bu yol üzerindeki en düşük maliyetli faaliyetlerin (D faaliyetinden

2

hafta, B faaliyetinden

1

hafta) seçilmesiyle elde edilen minimum ek maliyeti temsil eder.

Step-by-Step Solution

1

Kritik yolun ve proje süresinin belirlenmesi

Kritik Yol: A-B-D-E, Süre:

4 + 6 + 4 + 3 = 17

hafta. Diğer yol: A-C-E (

12

hafta).

Hızlandırma işleminin projenin toplam süresini kısaltabilmesi için kritik faaliyetler üzerinden yapılması gerekir.

2

Faaliyetlerin maliyet eğimlerinin (birim hızlandırma maliyeti) hesaplanması

A:

3.000

, B:

2.000

, C:

1.500

, D:

1.500

, E:

2.500

TL/hafta.

Maliyet Eğimi = (Hızlandırılmış Maliyet - Normal Maliyet) / (Normal Süre - Hızlandırılmış Süre) formülü ile bulunur.

3

Projenin

17

haftadan

15

haftaya indirilmesi (

2

hafta kısaltma)

En düşük maliyetli kritik faaliyet D (

1.500

TL). D faaliyetini

2

hafta hızlandırırız. Ek Maliyet:

2 \times 1.500 = 3.000

TL.

Kritik yol üzerindeki faaliyetler arasında en ekonomik olanı seçmek toplam maliyeti minimize eder.

4

Projenin

15

haftadan

14

haftaya indirilmesi (

1

hafta kısaltma)

D'nin kapasitesi dolmuştur. Kalan kritik faaliyetler (A, B, E) arasında en ucuzu B (

2.000

TL). B'yi

1

hafta hızlandırırız. Ek Maliyet:

1 \times 2.000 = 2.000

TL.

Toplam

3

hafta kısaltma hedefine ulaşmak için bir sonraki en ucuz kritik faaliyet seçilir.

5

Toplam ek maliyetin toplanması

3.000 + 2.000 = 5.000

TL.

Yapılan tüm hızlandırma adımlarının maliyetleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Proje çökertme işleminde, toplam maliyet artışını en düşük seviyede tutmak için her adımda kritik yol üzerindeki maliyet eğimi en küçük olan faaliyet seçilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 12Question →

Bir kamu yatırım projesinin tamamlanması için gerekli olan faaliyetler, bu faaliyetler arasındaki öncelik ilişkileri ve maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Normal Süre (Hafta)	Hızlandırılmış Süre (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Hızlandırılmış Maliyet (TL)
A	-	6	4	4.000	5.200
B	A	5	3	3.000	4.000
C	-	8	6	5.000	6.600
D	C	4	3	2.500	3.200
E	B, D	2	1	1.500	2.000

Buna göre, projenin toplam süresini 1 hafta kısaltmak (hızlandırmak) için katlanılması gereken minimum ek maliyet kaç TL'dir?

500

600

700

800

1.200

Show answer & explanation

Answer: 500

Answer

Proje süresini 1 hafta kısaltmak için en düşük ek maliyet 500 TL'dir.

Proje süresini kısaltmak için öncelikle kritik yol (C-D-E) belirlenmiştir. Bu yol üzerindeki faaliyetlerden (C, D, E) maliyet eğimi en düşük olan faaliyetin seçilmesi maliyet minimizasyonu açısından zorunludur. E faaliyetinin maliyet eğimi 500 TL/hafta olarak hesaplandığından ve bu değer kritik yoldaki en düşük değer olduğundan doğru cevap 500 TL'dir.

Step-by-Step Solution

1

Kritik yolu belirleyin.

Projedeki yollar ve süreleri:
- Yol 1: A-B-E

\rightarrow 6 + 5 + 2 = 13

hafta
- Yol 2: C-D-E

\rightarrow 8 + 4 + 2 = 14

hafta
Kritik yol, en uzun süreli yol olan C-D-E yoludur ve süresi

14

haftadır.

Hızlandırma işlemi sadece kritik yol üzerindeki faaliyetler üzerinden yapıldığında toplam proje süresi kısalır.

2

Faaliyetlerin maliyet eğimlerini (haftalık hızlandırma maliyeti) hesaplayın.

Maliyet Eğimi =

\frac{Hızlandırılmış Maliyet - Normal Maliyet}{Normal Süre - Hızlandırılmış Süre}

- A:

(5.200 - 4.000) / (6 - 4) = 600

TL/hafta
- B:

(4.000 - 3.000) / (5 - 3) = 500

TL/hafta
- C:

(6.600 - 5.000) / (8 - 6) = 800

TL/hafta
- D:

(3.200 - 2.500) / (4 - 3) = 700

TL/hafta
- E:

(2.000 - 1.500) / (2 - 1) = 500

TL/hafta

Hızlandırma kararı verilirken her bir faaliyetin birim zaman başına maliyet artışının bilinmesi gerekir.

3

Kritik yol üzerindeki en ekonomik hızlandırma seçeneğini belirleyin.

Kritik yol (C-D-E) üzerindeki faaliyetlerin maliyet eğimleri:
- C:

800

TL
- D:

700

TL
- E:

500

TL
En düşük maliyetli faaliyet

500

TL ile E faaliyetidir.

Proje süresini kısaltırken toplam maliyet artışını minimumda tutmak için maliyet eğimi en küçük olan kritik faaliyet seçilir.

4

Hızlandırma sonrası durumu kontrol edin.

E faaliyeti 1 hafta hızlandırıldığında:
- Yol 1 (A-B-E):

6 + 5 + 1 = 12

hafta
- Yol 2 (C-D-E):

8 + 4 + 1 = 13

hafta
Proje süresi 14 haftadan 13 haftaya düşmüştür ve ek maliyet

500

TL olmuştur.

Hızlandırma sonucunda yeni kritik yolların oluşup oluşmadığı veya hedeflenen süreye ulaşılıp ulaşılmadığı doğrulanmalıdır.

Key Concept

Proje Çökertme (Project Crashing) ve Maliyet Eğimi Analizi

Alternative Method

Tüm yolların süreleri tek tek hesaplanıp, hızlandırma yapılacak faaliyetlerin her iki yol üzerindeki etkisi kıyaslanarak da gidilebilir. E faaliyeti her iki yolun sonunda ortak olduğu için hızlandırılması her iki yolu da kısaltır ve maliyet açısından en avantajlıdır.

Estimated Time:2m 0s

Question 13Question →

Şebeke (ağ) analizi terminolojisinde; bir şebekede belirli bir başlangıç düğümünden başlayarak ayrıtların yönlerini (ok işaretlerini) takip etmek suretiyle bir başka düğüme kadar uzanan, hiçbir düğüm ve ayrıtın tekrar etmediği diziye ne ad verilir?

Yol

Zincir

Çevrim

Kesit

Kapasite

Show answer & explanation

Answer: Yol

Answer

Şebeke modellerinde yönleri takip eden ve düğüm tekrarı içermeyen açık dizi 'Yol' (Path) olarak adlandırılır.

Doğru cevap olan Yol, şebeke teorisinde ayrıtların (yayların) yönleri izlenerek bir düğümden diğerine gidilen ve hiçbir düğümün üzerinden birden fazla geçilmeyen dizidir. Tanımdaki 'yönleri takip etmek' ifadesi bu kavramı belirleyici kılan temel unsurdur.

Step-by-Step Solution

1

Dizinin yapısal özelliklerini analiz edin.

Dizi belirli bir başlangıç düğümünden bitiş düğümüne uzanmaktadır (açık dizi).

Şebeke elemanlarının nasıl bir araya geldiğini anlamak için başlangıç ve bitiş noktaları incelenmelidir.

2

Ayrıtların (yayların) yön kısıtını değerlendirin.

Dizi oluşturulurken ok yönlerinin (yönlü ayrıtların) takip edilmesi zorunluluğu vardır.

Yönlü şebekelerde 'yol' ve 'zincir' kavramları arasındaki temel fark yön takibidir.

3

Düğüm tekrarı ve kapalılık durumunu kontrol edin.

Hiçbir düğüm tekrar etmemekte ve başlangıca dönülmemektedir.

Bu durum yapının bir 'çevrim' olmadığını, basit bir dizi olduğunu kanıtlar.

4

Kavramları eşleştirin.

Yön takibi yapılan açık dizi 'Yol' kavramına karşılık gelir.

Yöneylem araştırması literatüründe bu tanım 'Path' (Yol) teriminin standart karşılığıdır.

Key Concept

Yol ve Zincir Ayrımı

Hints

1

Şebekedeki ok işaretlerinin yönlerine uymanız gerekip gerekmediğine dikkat edin.

2

Eğer okların yönü önemli olmasaydı bu yapıya 'zincir' denirdi; ancak burada yönler takip ediliyor.

3

Bir nehirdeki suyun akış yönünü takip eden bir rotayı düşünün; suyun tersine gidemezsiniz.

Practice More

Bağlantılı şebeke ve ağaç (tree) yapıları arasındaki ayrıt sayısı farklarını incelemek bu konuyu pekiştirmenize yardımcı olacaktır.

Estimated Time:45s

Question 14Question →

Bir belediyenin park düzenleme projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	$4$
B	A	$3$
C	A	$5$
D	B, C	$2$
E	C	$4$
F	D, E	$1$

Buna göre, projenin tamamlanması için gereken en kısa süre (kritik yol süresi) kaç gündür?

10

12

13

14

19

Show answer & explanation

Answer: $14$

Answer

Projenin kritik yol süresi

14

gündür.

Projenin kritik yolu, en uzun süreyi veren A-C-E-F güzergahıdır. Bu güzergahtaki sürelerin toplamı (

4+5+4+1

)

14

gün olarak hesaplanır ve projenin tamamlanabileceği en erken zamanı gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Ağ yapısındaki tüm yolların belirlenmesi

Yol 1: A-B-D-F; Yol 2: A-C-D-F; Yol 3: A-C-E-F

Kritik yol, başlangıçtan bitişe kadar olan en uzun süreli yoldur.

2

Belirlenen yolların sürelerinin hesaplanması

Yol 1:

4+3+2+1 = 10

; Yol 2:

4+5+2+1 = 12

; Yol 3:

4+5+4+1 = 14

Her bir güzergah üzerindeki faaliyet süreleri toplanır.

3

En uzun süreli yolun seçilmesi

Maksimum süre =

14

gün

Kritik yol süresi projenin tamamlanma süresini belirler.

Key Concept

Kritik Yol Yöntemi (CPM) ve Proje Süresi Hesaplama

Question 15Question →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen dijital dönüşüm projesine ait faaliyet bilgileri, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri, normal ve hızlandırılmış (çökertme) süreleri ile maliyet bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel	Normal Süre (Hafta)	Çökertme Süresi (Hafta)	Normal Maliyet (TL)	Çökertme Maliyeti (TL)
A	-	$5$	$3$	$5.000$	$7.400$
B	-	$4$	$2$	$3.000$	$4.000$
C	A	$6$	$4$	$6.000$	$8.000$
D	B	$3$	$2$	$2.000$	$3.500$
E	C, D	$2$	$1$	$1.000$	$3.000$

Buna göre, projenin toplam süresini $1$ hafta kısaltabilmek için katlanılması gereken minimum ek maliyet kaç TL'dir?

500

1.000

1.200

1.500

2.000

Show answer & explanation

Answer: $1.000$

Answer

Projenin toplam süresini 1 hafta kısaltmanın minimum ek maliyeti 1.000 TL'dir.

Projenin kritik yolu A-C-E olup süresi 13 haftadır. Bu süreyi 1 hafta kısaltmak için kritik yoldaki faaliyetlerden (A, C veya E) birinin seçilmesi gerekir. Maliyet eğimleri hesaplandığında A için 1.200 TL, C için 1.000 TL ve E için 2.000 TL elde edilir. En düşük maliyetli seçenek 1.000 TL ile C faaliyetidir.

Step-by-Step Solution

1

Ağ yapısındaki yolları ve sürelerini belirle.

Yol 1: A-C-E

\rightarrow 5 + 6 + 2 = 13

hafta; Yol 2: B-D-E

\rightarrow 4 + 3 + 2 = 9

hafta.

Kritik yolu belirlemek için tüm olası yolların süreleri hesaplanmalıdır.

2

Kritik yolu tespit et.

En uzun süreye sahip olan A-C-E yolu (

13

hafta) kritik yoldur.

Projenin toplam süresi kritik yolun uzunluğuna eşittir.

3

Kritik yoldaki faaliyetlerin maliyet eğimlerini (haftalık hızlandırma maliyeti) hesapla.

A için:

\frac{7.400 - 5.000}{5 - 3} = 1.200

TL; C için:

\frac{8.000 - 6.000}{6 - 4} = 1.000

TL; E için:

\frac{3.000 - 1.000}{2 - 1} = 2.000

TL.

Maliyet eğimi formülü:

M = \frac{\text{Çökertme Maliyeti} - \text{Normal Maliyet}}{\text{Normal Süre} - \text{Çökertme Süresi}}

.

4

En düşük maliyetli kritik faaliyeti seç.

Min(

1.200, 1.000, 2.000

)

= 1.000

TL (C faaliyeti).

Minimum ek maliyetle kısaltma yapmak için kritik yoldaki en ucuz faaliyet seçilir.

Key Concept

Proje çökertme işleminde sadece kritik yol üzerindeki faaliyetler hızlandırıldığında proje süresi kısalır ve seçim en düşük maliyet eğimine sahip faaliyetten başlanarak yapılır.

Hints

1

Önce projenin kritik yolunu ve toplam süresini belirleyin.

2

Her faaliyet için bir haftalık hızlandırma maliyetini (maliyet eğimi) hesaplayın.

3

Sadece kritik yol üzerindeki faaliyetlerin kısaltılmasının toplam süreyi etkileyeceğini unutmayın.

Practice More

Projenin 2 hafta kısaltılması durumunda maliyetin nasıl değişeceğini ve yeni kritik yolların oluşup oluşmadığını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question 16Question →

Bir dağıtım şebekesinde 1 numaralı merkezden (arz kaynağı) 4 numaralı merkeze (talep noktası) toplam 10 birimlik ürün sevkiyatı yapılacaktır. Şebekedeki yaylara (yollar) ait birim akış maliyetleri ( $c_{ij}$ ), kapasite kısıtları ( $u_{ij}$ ) ve düğümlerin arz/talep değerleri ( $b_i$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yay $(i, j)$	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
(1, 2)	3	6
(1, 3)	5	8
(2, 3)	1	4
(2, 4)	7	5
(3, 4)	2	10

Düğümlerin arz/talep dengesi $b_1 = 10, b_2 = 0, b_3 = 0, b_4 = -10$ şeklinde olduğuna göre, bu şebeke için toplam minimum akış maliyeti kaç birimdir?

66

68

76

85

60

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

Şebeke üzerindeki kapasite kısıtları dahilinde yapılan en uygun akış dağılımı ile toplam minimum maliyet 66 birimdir.

En düşük birim maliyete sahip rota 1-2-3-4 (maliyet=6) yoludur ve bu yolun kapasitesi 4 birim ile sınırlıdır. Kalan 6 birimlik akış, bir sonraki en ucuz yol olan 1-3-4 (maliyet=7) rotasından gönderildiğinde toplam maliyet

4 \times 6 + 6 \times 7 = 66

olarak bulunur. Bu dağılım tüm kapasite ve arz/talep kısıtlarını sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Olası yolların toplam birim maliyetlerini hesaplayın.

Yol 1: 1-2-3-4 (Maliyet: 3+1+2=6), Yol 2: 1-3-4 (Maliyet: 5+2=7), Yol 3: 1-2-4 (Maliyet: 3+7=10).

En düşük maliyetli rotaları belirlemek için yolların maliyet yapısı analiz edilmelidir.

2

En düşük maliyetli yol olan 1-2-3-4 rotasına kapasite kısıtları dahilinde akış atayın.

Kapasite = min(u12=6, u23=4, u34=10) = 4 birim. Maliyet = 4 * 6 = 24 birim.

Minimum maliyetli akış probleminde maliyeti en az olan rotaya maksimum kapasite kadar akış verilmelidir.

3

Kalan 6 birimlik talep için bir sonraki en düşük maliyetli yolu (1-3-4) kullanın.

Kalan kapasite (3,4) = 10 - 4 = 6 birim. Kapasite = min(u13=8, u34_kalan=6) = 6 birim. Maliyet = 6 * 7 = 42 birim.

Kalan arzın en ekonomik şekilde hedefe ulaştırılması gerekir.

4

Toplam maliyeti hesaplayın.

Toplam Maliyet = 24 + 42 = 66 birim.

Tüm akışların toplam maliyeti nihai sonucu verir.

Key Concept

Minimum Maliyetli Akış Problemi, bir şebekede arz ve talep noktaları arasındaki akışın, yay kapasitelerini aşmadan toplam maliyeti minimize edecek şekilde dağıtılmasıdır.

Practice More

Şebekede bir yayın kapasitesinin değişmesi durumunda toplam maliyetin nasıl etkileneceğini inceleyen duyarlılık analizi soruları çözülebilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 17Question →

Bir kamu kurumunun lojistik şebekesinde 1 numaralı merkezden (kaynak) 4 numaralı merkeze (varış) toplam $10$ birimlik ürün sevkiyatı yapılacaktır. Şebekede yer alan yayların birim taşıma maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur. 1 numaralı düğümün arzı $10$ birim, 4 numaralı düğümün talebi $10$ birim olup diğer düğümler aktarma merkezidir.

Yay $(i, j)$	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
$(1, 2)$	2	8
$(1, 3)$	5	6
$(2, 3)$	1	5
$(2, 4)$	7	6
$(3, 4)$	3	7

Buna göre, bu sevkiyatın en düşük toplam maliyetle gerçekleştirilmesi durumunda oluşacak toplam maliyet kaç birim olur?

60

73

75

78

84

Show answer & explanation

Answer: 73

Answer

Optimal sevkiyat planına göre minimum toplam maliyet 73 birimdir.

Minimum maliyetli akış prensibine göre, 10 birimlik ürünün 5 birimi en ucuz güzergah olan 1-2-3-4 üzerinden (maliyet 30), 2 birimi bir sonraki seçenek 1-3-4 üzerinden (maliyet 16) ve kalan 3 birimi 1-2-4 üzerinden (maliyet 27) gönderildiğinde toplam 73 birimlik en düşük maliyete ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Şebekedeki olası yolların maliyetlerini hesaplayınız.

1-2-3-4 yolu:

2+1+3=6

; 1-3-4 yolu:

5+3=8

; 1-2-4 yolu:

2+7=9

.

En düşük maliyetli akışı sağlamak için en ucuz güzergahlar önceliklendirilmelidir.

2

En ucuz güzergah olan 1-2-3-4 yoluna kapasite kısıtları dahilinde akış atayınız.

Kapasite:

\min(u_{12}=8, u_{23}=5, u_{34}=7) = 5

birim. Akış:

x_{12}=5, x_{23}=5, x_{34}=5

. Maliyet:

5 \times 6 = 30

.

Sistemdeki en ekonomik yolun kapasitesi 5 birimle sınırlıdır.

3

Kalan 5 birimlik akış için bir sonraki en ucuz yol olan 1-3-4 güzergahını değerlendiriniz.

Yay (3, 4) üzerinde kalan kapasite

7 - 5 = 2

birimdir. Akış:

x_{13}=2, x_{34}=2

. Maliyet:

2 \times 8 = 16

.

1-3-4 yolu, 1-2-4 yoluna göre daha ucuzdur ancak (3, 4) yayının kapasitesi dolmak üzeredir.

4

Kalan 3 birimlik akışı son seçenek olan 1-2-4 güzergahına atayınız.

Yay (1, 2) kalan kapasitesi

8 - 5 = 3

; Yay (2, 4) kapasitesi 6. Akış:

x_{12}=3, x_{24}=3

. Maliyet:

3 \times 9 = 27

.

Toplam 10 birimlik arzın tamamı sevkedilmiş olur.

5

Tüm adımlardaki maliyetleri toplayınız.

30 + 16 + 27 = 73

.

Şebeke üzerindeki toplam minimum maliyet bu şekilde hesaplanır.

Key Concept

Minimum maliyetli akış problemlerinde, akışın kapasite kısıtlarını (u_ij) ihlal etmeden en düşük birim maliyetli (c_ij) yaylar üzerinden yönlendirilmesi esastır.

Question 18Question →

Bir kamu dağıtım şebekesinde, 1 numaralı düğümden (kaynak) 5 numaralı düğüme (varış) toplam 15 birimlik ürün sevkiyatı yapılacaktır. Şebekedeki diğer düğümler (2, 3, 4) aktarma merkezleridir. Düğümler arasındaki yayların birim akış maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yay (i, j)	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
(1, 2)	4	10
(1, 3)	6	10
(2, 3)	2	5
(2, 4)	5	8
(3, 5)	3	12
(4, 5)	1	10

Tüm talebin karşılanması ve toplam maliyetin enküçüklenmesi hedeflendiğine göre, bu sevkiyatın minimum maliyeti kaç birimdir?

132

135

138

140

145

Show answer & explanation

Answer: 138

Answer

Toplam sevkiyatın minimum maliyeti 138 birimdir.

Şebekede kaynaktan varışa giden en ucuz güzergahların birim maliyeti 9'dur (1-2-3-5 ve 1-3-5). Ancak her iki güzergah da (3, 5) yayını ortak kullanmaktadır ve bu yayın kapasitesi 12 birimdir. Bu nedenle bu güzergahlardan toplamda en fazla 12 birim sevkiyat yapılabilir. Toplam 15 birimlik talebin kalan 3 birimi, bir sonraki en düşük maliyetli (birim maliyeti 10 olan) 1-2-4-5 güzergahı ile gönderilmelidir. Sonuç olarak toplam maliyet

(12 \times 9) + (3 \times 10) = 138

olur.

Step-by-Step Solution

1

Kaynaktan (1) varışa (5) giden tüm alternatif yolları ve bu yolların birim maliyetlerini hesaplayın.

Yol 1: 1-2-3-5 maliyeti

4+2+3=9

; Yol 2: 1-3-5 maliyeti

6+3=9

; Yol 3: 1-2-4-5 maliyeti

4+5+1=10

.

En düşük maliyetli güzergahları belirlemek için şebeke üzerindeki tüm akış yolları analiz edilmelidir.

2

Yol kapasitelerini ve ortak yay kısıtlarını kontrol edin.

En ucuz iki yol (Yol 1 ve Yol 2) (3, 5) yayını kullanmaktadır. Bu yayın kapasitesi

u_{35} = 12

birim ile sınırlıdır.

Şebeke problemlerinde toplam akış, yayların kapasite kısıtlarını (

x_{ij} \leq u_{ij}

) aşamaz.

3

Birimleri en düşük maliyetli yollardan başlayarak dağıtın.

12 birim maliyeti 9 olan Yol 1 ve Yol 2 üzerinden gönderilir. Kalan 3 birim (

15 - 12 = 3

) maliyeti 10 olan Yol 3 ile gönderilir.

Kapasite dolduğunda kalan talep, maliyeti en düşük olan bir sonraki alternatif güzergaha yönlendirilir.

4

Toplam maliyet fonksiyonunun değerini hesaplayın.

Toplam Maliyet =

(12 \times 9) + (3 \times 10) = 108 + 30 = 138

birim.

Optimal akış miktarları ile ilgili güzergahların birim maliyetlerinin toplamı minimum maliyeti verir.

Key Concept

Minimum maliyetli akış probleminde, kapasite kısıtları bir 'darboğaz' (bottleneck) oluşturduğunda, akışın bir kısmı daha yüksek maliyetli alternatif yollara kaydırılır.

Question 19Question →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen altyapı projesinde yer alan kritik bir faaliyet için uzmanlar tarafından üç farklı zaman tahmini yapılmıştır. Bu faaliyetle ilgili süre tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Zaman Tahmini	Süre (Gün)
İyimser zaman ( $t_o$ )	5
En olası zaman ( $t_m$ )	8
Kötümser zaman ( $t_p$ )	17

Buna göre, PERT yöntemine göre bu faaliyetin beklenen tamamlanma süresi ( $t_e$ ) ve varyansı ( $v$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

9

ve

4

9

ve

2

10

ve

4

10

ve

2

9

ve

12

Show answer & explanation

Answer: $9$ ve $4$

Answer

Beklenen tamamlanma süresi

9

gün ve varyansı

4

gün karedir.

Beklenen süre formülü olan

t_e = \frac{t_o + 4t_m + t_p}{6}

uygulandığında

9

değeri elde edilir. Varyans ise

\sigma^2 = \left(\frac{t_p - t_o}{6}\right)^2

formülünden

2^2 = 4

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Beklenen tamamlanma süresini (

t_e

) hesapla

t_e = \frac{5 + 4(8) + 17}{6} = \frac{54}{6} = 9

gün

PERT yönteminde beklenen süre, iyimser, en olası ve kötümser sürelerin ağırlıklı ortalaması (Beta dağılımı) ile bulunur.

2

Faaliyetin standart sapmasını (

\sigma

) hesapla

\sigma = \frac{17 - 5}{6} = \frac{12}{6} = 2

gün

PERT yönteminde standart sapma, kötümser ve iyimser süreler arasındaki farkın altıya bölünmesiyle tahmin edilir.

3

Faaliyetin varyansını (

v

) hesapla

v = \sigma^2 = 2^2 = 4

Varyans, standart sapmanın karesine eşittir.

Key Concept

PERT (Program Değerlendirme ve Gözden Geçirme Tekniği) Süre ve Varyans Hesaplaması

Hints

1

PERT yönteminde sürenin tek bir değer değil, bir dağılım (Beta dağılımı) olduğu varsayılır.

2

Beklenen süreyi hesaplarken 'en olası zaman' değerinin diğerlerine göre 4 kat daha fazla ağırlığa sahip olduğunu unutmayın.

3

Varyans değerine ulaşmak için önce standart sapmayı (kötümser - iyimser farkının altıda biri) bulup karesini almalısınız.

Practice More

Kritik yoldaki tüm faaliyetlerin varyanslarını toplayarak projenin toplam varyansını ve standart sapmasını hesaplamayı deneyin.

Estimated Time:1m 30s

Question 20Question →

Şebeke modelleriyle temsil edilen sistemlerde düğümler; akışın başladığı, bittiği veya yönlendirildiği noktaları ifade eder. Bir şebekede, kendisine giren toplam akış miktarı ile kendisinden çıkan toplam akış miktarının birbirine tam olarak eşit olduğu ( $Net \ Akış = 0$ ), dolayısıyla üzerinde herhangi bir arz veya talep odağı bulunmayan düğüm türü aşağıdakilerden hangisidir?

Kaynak (Source) düğümü

Hedef (Sink) düğümü

Yapay (Dummy) düğüm

Aktarma (Transit) düğümü

Kritik düğüm

Show answer & explanation

Answer: Aktarma (Transit) düğümü

Answer

Aktarma (Transit) düğümü, bir şebekede giren ve çıkan akışın eşit olduğu ve net akışın sıfır olduğu düğümdür.

Aktarma (Transit) düğümü, şebeke analizinde akışın üzerinden geçtiği ancak üzerinde herhangi bir değişim (artış veya azalış) yaşamadığı noktadır. Bu düğümlerde korunan akış yasası gereği giren miktarın çıkan miktara eşit olması zorunludur (

Net \ Akış = 0

).

Step-by-Step Solution

1

Şebekedeki düğümlerin akış özelliklerini tanımlayın.

Düğümler; kaynak (

çıkış > giriş

), hedef (

giriş > çıkış

) veya aktarma (

giriş = çıkış

) olarak sınıflandırılır.

Düğümün şebeke içindeki fonksiyonunu belirlemek için akış dengesi denklemi kullanılmalıdır.

2

Soru metnindeki şartı (

Net \ Akış = 0

) matematiksel olarak ifade edin.

\sum Akış_{giren} - \sum Akış_{çıkan} = 0

veya

\sum Akış_{giren} = \sum Akış_{çıkan}

Net akışın sıfır olması, düğümde herhangi bir arz birikimi veya talep ihtiyacı olmadığını gösterir.

3

Tanımı uygun terminoloji ile eşleştirin.

Bu özelliklere sahip düğüm 'Aktarma' veya 'Transit' düğümü olarak adlandırılır.

Yöneylem araştırması literatüründe akışın sadece içinden geçtiği noktalar bu şekilde isimlendirilir.

Key Concept

Aktarma Düğümü (Transshipment Node) Tanımı

Hints

1

Düğümün sadece bir geçiş noktası olduğunu düşünün.

2

Bir boru hattındaki ara istasyonu düşünün; istasyona giren su miktarı ile çıkan su miktarı aynıdır.

Practice More

Maksimum akış problemlerinde bu düğümlerin kapasite kısıtlarını nasıl etkilediğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:45s

Şebeke Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes