Examkin

All practice questions

852 questions

All types8,734Multiple choice4,865Multiple select1True / False289Numeric852Matching1,797Ordering842Fill in the blank63Short answer25
Question 421Question →

nn bir doğal sayı olmak üzere,

(nn−2)+(n+1n−1)=36\binom{n}{n-2} + \binom{n+1}{n-1} = 36

eşitliğini sağlayan nn değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Verilen eşitliği sağlayan nn doğal sayısı 6'dır.
Simetri özelliği ile sadeleştirilen kombinasyon ifadeleri açıldığında n2=36n^2 = 36 denklemine ulaşılır. Buradan nn değeri 6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kombinasyonun simetri özelliğini uygulama
(n2)+(n+12)=36\binom{n}{2} + \binom{n+1}{2} = 36 denklemi elde edilir.
(xy)=(xx−y)\binom{x}{y} = \binom{x}{x-y} özelliği kullanılarak (nn−2)=(n2)\binom{n}{n-2} = \binom{n}{2} ve (n+1n−1)=(n+12)\binom{n+1}{n-1} = \binom{n+1}{2} şeklinde sadeleştirme yapılır.
2
Kombinasyon formüllerini yerine yazma
n(n−1)2+(n+1)n2=36\frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2} = 36 ifadesi elde edilir.
(x2)=x(x−1)2\binom{x}{2} = \frac{x(x-1)}{2} açılımı her iki terim için de uygulanır.
3
Cebirsel sadeleştirme yapma ve denklemi çözme
n2=36n^2 = 36 ve buradan n=6n = 6 elde edilir.
Pay kısımları açılıp toplandığında n2−n+n2+n=2n2n^2 - n + n^2 + n = 2n^2 olur. 22 ile sadeleşince n2=36n^2 = 36 kalır. nn doğal sayı olduğundan pozitif kök olan 66 seçilir.

Key Concept

Kombinasyonun özellikleri ve formül uygulamaları
Estimated Time:1m 30s
Question 422Question →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede y=12−x2y = 12 - x^2 parabolü ile koordinat eksenleri arasında kalan bölgede; bir köşesi orijinde, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi bu parabol üzerinde olacak şekilde bir dikdörtgen oluşturuluyor. Bu dikdörtgenin parabol üzerindeki köşesinden parabole çizilen teğet doğrusunun koordinat eksenleriyle birinci bölgede oluşturduğu dik üçgenin alanı en küçük değerini aldığında, bu dikdörtgenin alanı kaç birimkare olur?

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Teğet doğrusunun eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan��nı minimum yapan a=2a = 2 değeri için çizilen dikdörtgenin alanı 16 birimkaredir.
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktalar kullanılarak oluşturulan üçgenin alan fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlendiğinde a=2a=2 değeri elde edilir. Bu değer dikdörtgenin alan formülünde yerine yazıldığında alan 16 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Parabol üzerindeki köşenin koordinatlarını belirleme
Birinci bölgedeki köşe P(a,12−a2)P(a, 12 - a^2) olur (0<a<120 < a < \sqrt{12}).
Dikdörtgenin bir köşesi parabolün üzerindedir ve alanı bu değişken cinsinden ifade edeceğiz.
2
Parabole PP noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulma
Teğet denklemi: y=−2ax+a2+12y = -2ax + a^2 + 12
Türev yardımıyla teğet doğrusunun eğimini (m=−2am = -2a) ve geçtiği noktayı kullanarak denklemi oluştururuz.
3
Teğet doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulma
yy-eksenini kestiği nokta: a2+12a^2 + 12, xx-eksenini kestiği nokta: a2+122a\frac{a^2 + 12}{2a}
Eksenlerle sınırlanan dik üçgenin dik kenar uzunluklarını belirlemek için eksenleri kestiği noktaları bulmalıyız.
4
Dik üçgenin alan fonksiyonunu yazma
A(a)=(a2+12)24aA(a) = \frac{(a^2 + 12)^2}{4a}
Üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
5
Alan fonksiyonunun minimum noktasını bulma
a=2a = 2
Fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyerek yerel minimum noktasını buluruz. Bölümün türevi kuralı uygulandığında A′(a)=(a2+12)(3a2−12)4a2=0  ⟹  a=2A'(a) = \frac{(a^2+12)(3a^2-12)}{4a^2} = 0 \implies a = 2 elde edilir.
6
Dikdörtgenin alanını hesaplama
Alan = 16 birimkare
Bulunan a=2a = 2 değerini dikdörtgenin alan formülünde (a⋅(12−a2)a \cdot (12 - a^2)) yerine yazarız.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu ile maksimum ve minimum problemleri uygulaması
Question 423Question →

Analitik düzlemde, f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonlarının grafikleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

İki eğri arasında kalan sınırlı b��lgenin alanı 9 birimkaredir.
Kesişim sınırları olan x=0x = 0 ve x=3x = 3 noktaları arasında, üstteki f(x)=6x−x2f(x) = 6x - x^2 parabolünden alttaki g(x)=x2g(x) = x^2 parabolünün çıkarılmasıyla oluşturulan belirli integralin hesaplanması sonucu alan 9 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim noktalarını bulma
x=0x = 0 ve x=3x = 3
Sınırları belirlemek için parabollerin kesiştikleri noktaların apsisleri hesaplanır.
2
İntegrali kurma
A=∫03(6x−2x2) dxA = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx
Üstteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak alan integrali kurulur.
3
İntegrali hesaplama
9
Belirli integral sınır değerleri yerine yazılarak alan hesaplanır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral ile hesabı

Alternative Method

İki parabolün sınırladığı bölgenin alanı için S=∣a1−a2∣6(x2−x1)3S = \frac{|a_1 - a_2|}{6} (x_2 - x_1)^3 pratik formülü kullanılabilir. Burada a1=−1a_1 = -1, a2=1a_2 = 1 ve kesişim noktaları x1=0x_1 = 0, x2=3x_2 = 3 olduğundan S=∣−1−1∣6(3−0)3=26⋅27=9S = \frac{|-1 - 1|}{6} (3 - 0)^3 = \frac{2}{6} \cdot 27 = 9 elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 424Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu

f(x)={x2−ax+3x−3,x<3b,x=3c2x+3−3cx2−5x+6,x>3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax + 3}{x - 3}, & x < 3 \\ b, & x = 3 \\ \frac{c\sqrt{2x + 3} - 3c}{x^2 - 5x + 6}, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12
Fonksiyonun tüm gerçek sayılarda sürekli olması, kritik nokta olan x = 3 noktasında da sürekli olmasını gerektirir. Süreklilik tanımına göre soldan limit, sağdan limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri birbirine eşit olmalıdır. Sol limitin varlığından a = 4 ve limit değeri 2 bulunur. Buradan f(3) = b = 2 olur. Sağ limitin hesaplanmasında 0/0 belirsizliği giderilerek limit c/3 bulunur. c/3 = 2 eşitliğinden c = 6 elde edilir. Sonuç olarak a + b + c = 4 + 2 + 6 = 12 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan limitini inceleyerek a parametresini ve limit değerini belirlemek.
a = 4 ve soldan limit değeri 2 olarak bulunur.
Fonksiyonun x = 3 noktasında limitinin olması için sol limitin tanımlı olması gerekir. Payda x = 3 için sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın da sıfır olması gerekir. 3^2 - 3a + 3 = 0 denkleminden a = 4 elde edilir. Bu durumda limit lim_{x -> 3^-} (x^2 - 4x + 3)/(x - 3) = lim_{x -> 3^-} (x - 1) = 2 olur.
2
Bulunan soldan limit değerini f(3) değerine eşitleyerek b parametresini belirlemek.
b = 2 olarak bulunur.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne eşit olması şarttır. Soldan limit değeri 2 olduğundan ve f(3) = b olarak tanımlandığından b = 2 olmalıdır.
3
f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sağdan limitini hesaplayarak c parametresini belirlemek.
c = 6 olarak bulunur.
x -> 3^+ için sağdan limit hesaplandığında 0/0 belirsizliği ortaya çıkar. Belirsizliği gidermek amacıyla pay ve payda (sqrt(2x + 3) + 3) ile çarpılarak sadeleştirme yapılır. limit değeri c/3 olarak elde edilir. Süreklilik şartı gereği sağdan limit de f(3) = 2 değerine eşit olmalıdır. Buradan c/3 = 2 denklemi ile c = 6 bulunur.
4
Elde edilen a, b ve c parametre değerlerinin toplamını hesaplamak.
a + b + c = 12 olarak bulunur.
a = 4, b = 2 ve c = 6 değerlerinin toplamı istenen sonucu verir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit ve bu ortak limit değerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir. Limit hesaplarında karşılaşılan 0/0 belirsizlikleri çarpanlara ayırma ve köklü ifadelerde eşlenik kullanımıyla çözülür.
Question 425Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir hh fonksiyonu için
h(2)=5h(2) = 5
h′(2)=4h'(2) = 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
f(x)=x2⋅h(x)f(x) = x^2 \cdot h(x)
g(x)=f(x)x2+1g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1}

olduğuna göre, g′(2)g'(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen türev değeri 4 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
f(x)=x2⋅h(x)f(x) = x^2 \cdot h(x) fonksiyonunun türevi çarpım kuralı yardımıyla hesaplanır.
f′(x)=2x⋅h(x)+x2⋅h′(x)f'(x) = 2x \cdot h(x) + x^2 \cdot h'(x)
Çarpımın türevi kuralını uygulamak.
2
x=2x = 2 için f(2)f(2) ve f′(2)f'(2) değerleri hesaplanır.
f(2)=20f(2) = 20 ve f′(2)=36f'(2) = 36
Bir sonraki adımda bölüm türevinde kullanılacak olan fonksiyon ve türev değerlerini elde etmek.
3
g(x)=f(x)x2+1g(x) = \frac{f(x)}{x^2+1} fonksiyonunun türevi bölüm kuralı yardımıyla hesaplanır.
g′(x)=f′(x)⋅(x2+1)−f(x)⋅2x(x2+1)2g'(x) = \frac{f'(x) \cdot (x^2+1) - f(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}
Bölümün türevi kuralını uygulamak.
4
g′(x)g'(x) ifadesinde x=2x = 2 yazılır ve elde edilen değerler yerine konur.
g′(2)=36⋅5−20⋅425=4g'(2) = \frac{36 \cdot 5 - 20 \cdot 4}{25} = 4
g′(2)g'(2) değerini hesaplamak.

Key Concept

Temel türev alma kurallarından çarpım ve bölüm kurallarının uygulanması.
Question 426Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x eğrisine x=ax = a ve x=bx = b (a≠ba \neq b) apsisli noktalarından çizilen teğet doğruları birbirine paraleldir. Bu paralel doğrular arasındaki uzaklık 252\sqrt{5} birim olduğuna göre, 4⋅a⋅b4 \cdot a \cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -5

Answer

Doğru cevap -5'tir.
Türev fonksiyonu yardımıyla teğetlerin paralel olma koşulu kullanılarak teğet noktalarının apsisleri arasında b = -a ilişkisi bulunmuştur. Bu noktalar üzerinden çizilen teğet doğrularının genel denklemleri oluşturulmuş ve paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü uygulanarak a^2 = 5/4 değerine ulaşılmıştır. Buradan, a * b = -5/4 ve 4 * a * b = -5 sonucu elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrularının paralel olmasından yararlanarak a ve b arasındaki bağıntıyı bulun.
f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 e��rinin türev fonksiyonudur. x=ax = a ve x=bx = b noktalarındaki teğet doğruları paralel olduğundan eğimleri eşittir: f′(a)=f′(b)⇒3a2−3=3b2−3⇒a2=b2f'(a) = f'(b) \Rightarrow 3a^2 - 3 = 3b^2 - 3 \Rightarrow a^2 = b^2. Soruda a≠ba \neq b verildiği için b=−ab = -a olmalıdır.
Paralel teğet doğrularının eğimleri birbirine eşittir.
2
Teğet doğrularının denklemlerini genel formda yazın.
x=ax = a noktasındaki teğet doğrusunun eğimi m=3a2−3m = 3a^2 - 3 ve geçtiği nokta (a,a3−3a)(a, a^3 - 3a)'dır. Doğru denklemi: y−(a3−3a)=(3a2−3)(x−a)⇒(3a2−3)x−y−2a3=0y - (a^3 - 3a) = (3a^2 - 3)(x - a) \Rightarrow (3a^2 - 3)x - y - 2a^3 = 0 olarak elde edilir. Benzer şekilde, x=−ax = -a noktasındaki teğet doğrusunun denklemi de (3a2−3)x−y+2a3=0(3a^2 - 3)x - y + 2a^3 = 0 olur.
Doğrular arasındaki uzaklık formülünü uygulayabilmek için doğru denklemlerinin genel formda yazılması gerekir.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak a değerini hesaplayın.
İki paralel doğru arasındaki uzaklık d=∣2a3−(−2a3)∣(3a2−3)2+(−1)2=4∣a∣39a4−18a2+10d = \frac{|2a^3 - (-2a^3)|}{\sqrt{(3a^2 - 3)^2 + (-1)^2}} = \frac{4|a|^3}{\sqrt{9a^4 - 18a^2 + 10}} formülü ile bulunur. Bu uzaklık 252\sqrt{5} birim olarak verilmiştir. Her iki tarafın karesi alınarak düzenleme yapıldığında: 16a69a4−18a2+10=20⇒4a6−45a4+90a2−50=0\frac{16a^6}{9a^4 - 18a^2 + 10} = 20 \Rightarrow 4a^6 - 45a^4 + 90a^2 - 50 = 0 denklemi elde edilir. u=a2u = a^2 dönüşümü ile 4u3−45u2+90u−50=04u^3 - 45u^2 + 90u - 50 = 0 kübik denklemi yazılır. Denklemin köklerinden biri u=54u = \frac{5}{4} olarak bulunur.
Teğet noktalarının apsislerinin karesini belirlemek.
4
İstenen 4 * a * b ifadesini hesaplayın.
a2=54a^2 = \frac{5}{4} ve b=−ab = -a olduğundan, a⋅b=−a2=−54a \cdot b = -a^2 = -\frac{5}{4} bulunur. Buradan 4⋅a⋅b=4⋅(−54)=−54 \cdot a \cdot b = 4 \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -5 elde edilir.
Soru kökündeki ifadenin sayısal değerine ulaşmak.

Key Concept

Türevin geometrik yorumunda teğet doğrusunun denkleminin yazılması, paralel teğetlerin eğim eşitliği ve analitik düzlemde paralel doğrular arasındaki uzaklık bağıntısı.
Question 427Question →
Bir ff çift fonksiyonu için
∫−44f(x) dx=16\int_{-4}^{4} f(x) \, dx = 16
olduğuna göre,
∫045f(x) dx\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 40

Answer

40
Verilen ff fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan, [−4,4][-4, 4] aralığındaki integralin değeri [0,4][0, 4] aralığındaki integralin iki katıdır. Buradan [0,4][0, 4] aralığındaki integralin değeri 8 olarak elde edilir. İstenen ifadede katsayı olan 5 integralin dışına çıkarıldığında 5⋅85 \cdot 8 çarpımından doğru cevap 40 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ff fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından kaynaklanan simetri özelliğini kullanmak.
∫04f(x) dx=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8
Çift fonksiyonlar y-eksenine göre simetrik olduğundan, simetrik sın��rlar altındaki integralin değeri pozitif bölgedeki integralin değerinin iki katına eşittir: ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx
2
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫045f(x) dx=5⋅8=40\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx = 5 \cdot 8 = 40
Belirli integralde içerideki sabit sayı integral dışına çarpım olarak alınabilir: ∫abc⋅f(x) dx=c⋅∫abf(x) dx\int_{a}^{b} c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Key Concept

Belirli integralde çift fonksiyon simetrisi ve lineerlik özellikleri
Question 428Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu yardımıyla g(x)=f(x⋅f(x))g(x) = f(x \cdot f(x)) fonksiyonu tanımlanıyor.

f(3)=1f(3) = 1
f′(3)=2f'(3) = 2

olduğuna göre, g′(3)g'(3) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 14

Answer

İstenen g′(3)g'(3) türev değeri 1414 olarak bulunur.
Zincir kuralı ve çarpım kuralı doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında g′(3)=14g'(3) = 14 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
g(x)=f(x⋅f(x))g(x) = f(x \cdot f(x)) fonksiyonunun türevi için zincir kuralını uygulayın.
g′(x)=f′(x⋅f(x))⋅ddx(x⋅f(x))g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot \frac{d}{dx}(x \cdot f(x))
Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi ile içteki fonksiyonun türevi çarpılır.
2
x⋅f(x)x \cdot f(x) ifadesinin türevi için çarpım kuralını uygulayın.
ddx(x⋅f(x))=f(x)+x⋅f′(x)\frac{d}{dx}(x \cdot f(x)) = f(x) + x \cdot f'(x)
Çarpım durumundaki iki ifadenin türevi (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv' kuralına göre hesaplanır.
3
Türev ifadelerini birleştirerek g′(x)g'(x) fonksiyonunu elde edin.
g′(x)=f′(x⋅f(x))⋅(f(x)+x⋅f′(x))g'(x) = f'(x \cdot f(x)) \cdot (f(x) + x \cdot f'(x))
Zincir ve çarpım kurallarından gelen sonuçlar birleştirilerek genel türev kuralı oluşturulur.
4
Elde edilen türev fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak verilen değerleri yerine koyun.
g′(3)=f′(3)⋅(1+3⋅2)=2⋅7=14g'(3) = f'(3) \cdot (1 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot 7 = 14
Türevlenebilir fonksiyonların verilen noktalardaki değerleri yerine yazılarak sayısal sonuca ulaşılır.

Key Concept

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı ve çarpım kuralının birlikte uygulanması
Question 429Question →
f(x)=x3−6x2+9x+2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 fonksiyonunun [0,4][0, 4] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, her birinin uzunluğu 11 birim olan 44 eş alt aralığa bölünüyor.

Buna göre, bu bölüntüye göre hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 12'dir.
Fonksiyonun türevi incelendiğinde [0,1][0, 1] ve [3,4][3, 4] aralıklarında artan, [1,3][1, 3] aralığında ise azalan olduğu görülür. Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerler bulunarak hesaplanan Riemann üst toplamı 22 ve Riemann alt toplamı 10 olur. Bu iki değer arasındaki fark 12'dir.

Step-by-Step Solution

1
Türev analizi ile artan/azalan aralıkları belirleme
f′(x)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3(x-1)(x-3) elde edilir. [0,1][0, 1] aralığında f′>0f' > 0 (artan), [1,3][1, 3] aralığında f′<0f' < 0 (azalan), [3,4][3, 4] aralığında f′>0f' > 0 (artan) olur.
Her bir alt aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerin hangi uç noktalarda gerçekleştiğini doğru tespit etmek.
2
Kritik noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplama
f(0)=2f(0) = 2, f(1)=6f(1) = 6, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=2f(3) = 2, f(4)=6f(4) = 6 olarak bulunur.
Riemann alt ve üst toplamlarında kullanılacak yükseklikleri elde etmek.
3
Riemann alt toplamını hesaplama
L=1⋅[min⁡(f([0,1]))+min⁡(f([1,2]))+min⁡(f([2,3]))+min⁡(f([3,4]))]=1⋅(2+4+2+2)=10L = 1 \cdot [\min(f([0,1])) + \min(f([1,2])) + \min(f([2,3])) + \min(f([3,4]))] = 1 \cdot (2 + 4 + 2 + 2) = 10
Alt toplam�� oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.
4
Riemann üst toplamını hesaplama
U=1⋅[max⁡(f([0,1]))+max⁡(f([1,2]))+max⁡(f([2,3]))+max⁡(f([3,4]))]=1⋅(6+6+4+6)=22U = 1 \cdot [\max(f([0,1])) + \max(f([1,2])) + \max(f([2,3])) + \max(f([3,4]))] = 1 \cdot (6 + 6 + 4 + 6) = 22
Üst toplamı oluşturan dikdörtgenlerin alanları toplamını bulmak.
5
İki toplam arasındaki farkı bulma
U−L=22−10=12U - L = 22 - 10 = 12
Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Key Concept

Monoton olmayan fonksiyonlarda Riemann alt ve üst toplamlarının hesaplanması
Question 430Question →

Her noktada sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için

f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre,

∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğinden ötürü integral [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarına bölünür ve [1,3][1, 3] aralığındaki parça, yapılan değişken değiştirme ile [−1,1][-1, 1] aralığına taşınarak baştaki integral ile özdeş kılınır. Böylece tüm integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ifadesine eşit olur. f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinden yararlanılarak bu integralin değeri kolayca 1212 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğini kullanarak ∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx integralini x=1x=1 noktasından iki parçaya ayıralım.
∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği fonksiyonun grafiğinin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğunu belirtir, bu nedenle integrali bu simetri ekseninde parçalamak işlemleri kolaylaştırır.
2
İkinci integral olan ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesinde u=2−xu = 2-x dönüşümü uygulayalım ve integral sınırlarını güncelleyelim.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=3  ⟹  u=−1x=3 \implies u=-1 olur. Buradan ∫13f(x) dx=∫−11f(2−u) du\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(2-u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarını [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak ve birinci integral ile ilişkilendirmek için değişken değiştirme uygulanır.
3
f(2−u)=f(u)f(2-u) = f(u) eşitliğini kullanarak integral ifadesini sadeleştirelim.
∫13f(x) dx=∫−11f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx olur. Dolayısıyla, aradı��ımız integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx haline gelir.
Simetri özelliği sayesinde iki farklı aralıktaki integrallerin birbirine eşit olduğu gösterilmiş olur.
4
f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinin her iki yanının [−1,1][-1, 1] aralığında integralini alalım.
∫−11f(x) dx+∫−11f(−x) dx=∫−11(6x2+4) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(-x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx
Fonksiyonun tek-çift simetri özelliklerinden faydalanarak doğrudan ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin değerine ulaşmak hedeflenir.
5
∫−11f(−x) dx\int_{-1}^{1} f(-x) \, dx integralinde t=−xt = -x dönüşümü yaparak sadeleştirme sağlayalım.
2∫−11f(x) dx=∫−11(6x2+4) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx eşitliği elde edilir.
−x-x dönüşümü sınırları tersine çevirse de diferansiyeldeki eksi işareti ile sınırlar eski haline döner ve integralin değeri değişmez.
6
Sağ taraftaki belirli integrali hesaplayarak nihai sonucu bulalım.
[2x3+4x]−11=(2+4)−(−2−4)=6−(−6)=12\left[ 2x^3 + 4x \right]_{-1}^{1} = (2 + 4) - (-2 - 4) = 6 - (-6) = 12 bulunur.
Temel analiz teoremi (Newton-Leibniz) kullanılarak polinomun belirli integrali hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde sınır değiştirme, değişken değiştirme ve fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla integral hesabı.
Question 431Question →
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→1x+a−2x2−1=b\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - 2}{x^2 - 1} = b
olduğuna göre, 1b−a\frac{1}{b} - a farkı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İstenen farkın değeri 5'tir.
Limit değerinin bir gerçel sayı olabilmesi için paydanın sıfıra gittiği durumda payın da sıfıra gitmesi gerektiği kuralından aa değeri bulunur. Ardından eşlenik çarpımı yardımıyla 00\frac{0}{0} belirsizliği giderilerek limit değeri olan bb hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Paydanın limitini inceleyip payın limitini sıfıra eşitleyerek aa değerini bulma.
a=3a = 3 olarak bulunur.
x→1x \to 1 için payda sıfıra yaklaştığından, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için pay da sıfıra yaklaşmal��dır. Yani lim⁡x→1(x+a−2)=0  ⟹  1+a−2=0  ⟹  a=3\lim_{x \to 1} (\sqrt{x+a} - 2) = 0 \implies \sqrt{1+a} - 2 = 0 \implies a = 3 olur.
2
Bulunan a=3a = 3 değerini limitte yerine yazıp payı eşleniği ile çarparak belirsizliği giderme.
Limit ifadesi lim⁡x→11(x+1)(x+3+2)\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} şekline sadeleşir.
lim⁡x→1x+3−2x2−1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x^2 - 1} ifadesinde 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır. Payı ve paydayı x+3+2\sqrt{x+3} + 2 ile çarparsak: (x+3−2)(x+3+2)(x2−1)(x+3+2)=x−1(x−1)(x+1)(x+3+2)\frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x^2 - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} elde edilir. x≠1x \neq 1 olduğundan x−1x-1 terimleri sadeleşir.
3
Sadeleşen ifadede x=1x=1 yazarak limit değeri olan bb'yi bulma ve 1b−a\frac{1}{b} - a değerini hesaplama.
b=18b = \frac{1}{8} ve 1b−a=5\frac{1}{b} - a = 5 bulunur.
b=lim⁡x→11(x+1)(x+3+2)=12⋅4=18b = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} olur. Buradan 1b−a=8−3=5\frac{1}{b} - a = 8 - 3 = 5 elde edilir.

Key Concept

Limitlerde 0/0 belirsizliğinin köklü ifadeler içeren rasyonel fonksiyonlarda eşlenik çarpımı ile giderilmesi ve parametre bulma.
Question 432Question →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=7 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 7
olduğuna göre,
∫15(f(x)+k) dx=19 \int_{1}^{5} (f(x) + k) \, dx = 19
eşitliğini sağlayan kk gerçel sayısı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

k sayısı 3'tür.
Verilen belirli integral, integralin lineerlik özelliğinden yararlanılarak iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazılır. Sabit kk fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integrali 4k4k olarak bulunur. Bilinen değer yerine yazılarak 7+4k=197 + 4k = 19 denklemi elde edilir ve buradan k=3k = 3 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İntegrali toplamsal lineerlik özelliğiyle iki ayrı integral olarak yazmak
∫15f(x) dx+∫15k dx=19\int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{1}^{5} k \, dx = 19
Toplama işleminin belirli integral üzerindeki dağılma özelliğini kullanmak
2
Bilinen integral değerini yerine yazmak ve sabit terimin integralini almak
7+4k=197 + 4k = 19
∫abk dx=k(b−a)\int_{a}^{b} k \, dx = k(b-a) kuralını uygulamak ve verilen integral değerini yerine yerleştirmek
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözmek
k=3k = 3
7+4k=197 + 4k = 19 denkleminde bilinmeyeni yalnız bırakarak çözüme ulaşmak

Key Concept

Belirli İntegralin Lineerlik Özelliği ve Sabit Fonksiyon İntegrali
Question 433Question →

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere,

f(x)=x2+ax+bx2−x+1f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - x + 1}

fonksiyonu tanımlanıyor.

f′(0)=3f'(0) = 3
f′(1)=2f'(1) = 2

olduğuna göre, f′(2)f'(2) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

f'(2) değeri -1'dir.
Bölümün türevi kuralı doğru uygulanıp, verilen başlangıç koşullarıyla a ve b katsayıları sırasıyla 4 ve -1 olarak bulunduktan sonra türev fonksiyonunda x = 2 yazıldığında sonuç -1 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Bölümün türev kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulun.
f′(x)=(2x+a)(x2−x+1)−(x2+ax+b)(2x−1)(x2−x+1)2f'(x) = \frac{(2x+a)(x^2-x+1) - (x^2+ax+b)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}
Rasyonel bir fonksiyonun türevini hesaplamak için bölümün türevi kuralı uygulanmalıdır.
2
f'(0) = 3 eşitliğini kullanarak a ve b arasındaki ilk denklemi elde edin.
f'(0) = \frac{a \cdot 1 - b \cdot (-1)}{1} = a + b \implies a + b = 3
Türev fonksiyonunda x = 0 yazılarak verilen değere eşitlenir.
3
f'(1) = 2 eşitliğini kullanarak a ve b değerlerini bulun.
f'(1) = \frac{(2+a)(1) - (1+a+b)(1)}{1^2} = 2 + a - 1 - a - b = 1 - b \implies 1 - b = 2 \implies b = -1$. Buradan a - 1 = 3 \implies a = 4 bulunur.
Türev fonksiyonunda x = 1 yazılarak elde edilen ifade verilen değere eşitlenir ve a ile b bilinmeyenleri çözülür.
4
Bulunan a = 4 ve b = -1 değerlerini türev fonksiyonunda yerine yazarak f'(2) değerini hesaplayın.
f'(2) = \frac{(2(2)+4)(2^2-2+1) - (2^2+4(2)-1)(2(2)-1)}{(2^2-2+1)^2} = \frac{24 - 33}{9} = -1
Elde edilen fonksiyon kuralı kullanılarak x = 2 noktasındaki türev hesaplanır.

Key Concept

Bölümün Türevi ve Bilinmeyen Katsayıların Bulunması
Question 434Question →

Dik koordinat düzleminde, y=x3−3xy = x^3 - 3x eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak belirlendikten sonra, [−2,0][-2, 0] ve [0,2][0, 2] aralıklarındaki alanlar ayrı ayrı integral ile hesaplanır. Fonksiyonların simetrik yapısından dolayı her iki bölgenin alanı da 4 birimkaredir. Dolayısıyla toplam alan 8 birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
x3−3x=x⇒x3−4x=0⇒x(x−2)(x+2)=0x^3 - 3x = x \Rightarrow x^3 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-2)(x+2) = 0 denkleminden kesişim noktaları x=−2x = -2, x=0x = 0 ve x=2x = 2 olarak elde edilir.
İntegral sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesiştiği apsis değerlerinin hesaplanması gerekir.
2
Kesişim noktaları arasındaki aralıklarda hangi eğrinin üstte olduğunu analiz edin.
[−2,0][-2, 0] aralığında x3−3x≥xx^3 - 3x \geq x iken [0,2][0, 2] aralığında x≥x3−3xx \geq x^3 - 3x olur.
İntegral ile alan hesabı yapılırken üst sınırda yer alan fonksiyondan alt sınırda yer alan fonksiyon çıkarılır.
3
Belirlenen aralıklarda integral alarak alanları ayrı ayrı hesaplayın.
[0,2][0, 2] aralığındaki alan ∫02(4x−x3) dx=[2x2−x44]02=4\int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4 birimkare bulunur. Simetriden dolayı [−2,0][-2, 0] aralığındaki alan da 4 birimkaredir.
Her bir sınırlı bölgenin alanı, eğrilerin farkının belirli integrali alınarak bulunur.
4
Elde edilen alan değerlerini toplayarak toplam alanı bulun.
Toplam Alan = 4+4=84 + 4 = 8 birimkaredir.
Eğriler arasında kalan tüm sınırlı bölgelerin toplam alanını bulmak için ayrı ayrı hesaplanan alanlar toplanmalıdır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanı, kesişim noktaları sınır kabul edilerek, üstteki fonksiyon ile alttaki fonksiyonun farkının belirli integrali alınarak hesaplanır.
Question 435Question →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx parabolünün üzerindeki A(1,3)A(1, 3) noktasından çizilen teğet doğrusu xx-eksenini x=−2x = -2 noktasında kesmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -10

Answer

Doğru cevap -10'dur.
Teğet doğrusunun geçtiği bilinen iki nokta olan (1, 3) ve (-2, 0) kullanılarak doğrunun eğimi 1 olarak hesaplanır. Fonksiyonun x = 1 noktasındaki türevi f'(1) = 2a + b bu eğime eşitlenerek 2a + b = 1 denklemi bulunur. Ayrıca A(1, 3) noktası fonksiyonun üzerinde olduğu için a + b = 3 eşitliği sağlanır. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a = -2 ve b = 5 elde edilir, çarpımları ise -10 olur.

Step-by-Step Solution

1
A(1, 3) noktasının parabol üzerinde bulunması bilgisini kullanmak.
f(1)=a(1)2+b(1)=a+b=3f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = 3 denklemi elde edilir.
Bir eğri üzerindeki nokta, o eğrinin denklemini sağlamak zorundadır.
2
Teğet doğrusunun eğimini iki noktası bilinen doğrunun eğim formülüyle hesaplamak.
Teğet doğrusu A(1,3)A(1, 3) ve (−2,0)(-2, 0) noktalarından geçtiği için eğimi m=3−01−(−2)=1m = \frac{3 - 0}{1 - (-2)} = 1 olur.
Eğrinin x=1x = 1 noktasındaki teğetinin e��imini belirlemek için doğrunun geçtiği diğer nokta olan xx-eksenini kestiği nokta kullanılır.
3
Fonksiyonun türevini alıp teğet noktasındaki eğime eşitlemek.
f′(x)=2ax+b⇒f′(1)=2a+b=1f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 1 denklemi elde edilir.
Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğetinin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek ve parametrelerin çarpımını bulmak.
a+b=3a + b = 3 ve 2a+b=12a + b = 1 denklemlerinden a=−2a = -2 ve b=5b = 5 bulunur. Buradan a⋅b=−10a \cdot b = -10 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb değerlerini bulup bizden istenen çarpım değerine ulaşmak.

Key Concept

Bir fonksiyonun üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Question 436Question →
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x3−2x2+3f(x) = x^3 - 2x^2 + 3
eğrisinin A(a,f(a))A(a, f(a)) noktasındaki teğet doğrusu, bu eğriyi başka bir B(b,f(b))B(b, f(b)) noktasında dik kesmektedir.

Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.5

Answer

Teğet doğrusunun eğimi -0.5'tir.
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri kökler toplamı ilişkisinden b=2−2ab = 2-2a olarak bulunur. AA noktasındaki teğet eğimi m=3a2−4am = 3a^2 - 4a iken, BB noktasındaki türev f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m+1) olur. Doğrunun BB noktasında eğriyi dik kesmesi m⋅f′(b)=−1m \cdot f'(b) = -1 şartını gerektirir. Bu denklemin çözümü (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 olup, teğet doğrusunun eğimi -0.5 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Teğet doğrusu ile eğrinin kesim noktalarının apsisleri arasındaki ilişkiyi belirlemek.
b=2−2ab = 2 - 2a
Teğet doğrusunun denklemi ile eğrinin denkleminin ortak çözümünden elde edilen kübik denklemin kökleri aa (çift katlı) ve bb olup, kökler toplamı formülünden 2a+b=22a + b = 2 olur.
2
AA noktasındaki teğet eğimini aa parametresine bağlı olarak yazmak.
m=3a2−4am = 3a^2 - 4a
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
3
BB noktasındaki türev değerini mm cinsinden ifade etmek.
f′(b)=4(m+1)f'(b) = 4(m + 1)
b=2−2ab = 2 - 2a değeri f′(x)=3x2−4xf'(x) = 3x^2 - 4x fonksiyonunda yerine yazılarak sadeleştirme yapılır.
4
Teğet ve normal doğrularının eğimleri çarpımının −1-1 olmasından yararlanarak mm değerini bulmak.
m=−0.5m = -0.5
f′(a)⋅f′(b)=−1⇒m⋅4(m+1)=−1f'(a) \cdot f'(b) = -1 \Rightarrow m \cdot 4(m+1) = -1 denklemi çözüldüğünde elde edilen (2m+1)2=0(2m+1)^2 = 0 tam kare ifadesinden tek bir reel mm değeri elde edilir.

Key Concept

Türevin geometrik yorumu, teğet ve normal doğrularının eğimleri arasındaki ilişki ve eğrilerin kesişim noktalarının analizi.
Estimated Time:2m 30s
Question 437Question →

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan bir ff fonksiyonu,

f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.
∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫14f(x) dx\int_{1}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İntegralin değeri 8 olarak bulunur.
Verilen f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 fonksiyonel eşitliğinin [0,3][0, 3] aralığındaki integrali alındığında, belirli integralin lineerlik ve değişken değiştirme özellikleri kullanılarak ∫03f(x) dx+∫14f(x) dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 eşitliğine ulaşılır. Burada ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değeri yerine yazıldığında, aranan integralin değeri 8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının [0,3][0, 3] aralığında belirli integralini alın.
∫03f(x) dx+∫03f(4−x) dx=∫036 dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{0}^{3} 6 \, dx = 18
Verilen belirli integral sınırları [0,3][0, 3] olduğundan, bu aralıkta entegrasyon yaparak verilen bilgileri kullanmayı hedefleriz.
2
Sol taraftaki ikinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=−dxdu = -dx ve yeni sınırlar: x=0  ⟹  u=4x = 0 \implies u = 4, x=3  ⟹  u=1x = 3 \implies u = 1 olur.
İntegral sınırlarını hedeflediğimiz [1,4][1, 4] aralığıyla ilişkilendirmek ve fonksiyonun içini basitleştirmek.
3
Değişken değiştirmeyi ikinci integrale uygulayarak basitleştirin.
∫03f(4−x) dx=∫41f(u)(−du)=∫14f(u) du=∫14f(x) dx\int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du) = \int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(x) \, dx
Belirli integralin sınır değiştirme özelliği (eksi işaretinin sınırları ters çevirmesi) ve değişken adının integralin değerini etkilememesi.
4
Elde edilen sonuçları ana denklemde yerine yazarak hedef integrali hesaplayın.
10+∫14f(x) dx=18  ⟹  ∫14f(x) dx=810 + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
Verilen ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değerini yerine yazarak bilinmeyen integrali çekmek.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve integral sınırlarının güncellenmesi ile integralin lineerlik özellikleri.
Estimated Time:2m 0s
Question 438Question →
Sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

İntegralin değeri 3'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde belirli integralin sınır değiştirme özelliği kullanıldığında integral değeri değişmez. Taraf tarafa toplama yapılarak tek bir integral altında birleştirilen ifadenin değeri hesaplanır ve ikiye bölünerek aranan değer olan 3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Belirli integral sınırlarını ve değişkeni dönüştürmek.
∫24f(x) dx=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir.
x=6−ux = 6-u değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=2x=2 için u=4u=4 ve x=4x=4 için u=2u=2 olur. Böylece ∫24f(x) dx=∫42f(6−u)(−du)=∫24f(6−u) du=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{4}^{2} f(6-u) (-du) = \int_{2}^{4} f(6-u) \, du = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx bulunur.
2
İki integral ifadesini taraf tarafa toplamak.
2∫24f(x) dx=∫24(f(x)+f(6−x)) dx2 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (f(x) + f(6-x)) \, dx elde edilir.
Soru kökündeki denklemi kullanabilmek amacıyla integralin doğrusal (lineer) özelliğinden faydalanarak iki özdeş integrali toplarız.
3
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29 ifadesini yerine yazarak integral değerini hesaplamak.
2∫24f(x) dx=62 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 ve buradan ∫24f(x) dx=3\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 3 bulunur.
Polinom integral alma kuralı uygulanarak [x3−9x2+29x]24=(64−144+116)−(8−36+58)=36−30=6[x^3 - 9x^2 + 29x]_2^4 = (64 - 144 + 116) - (8 - 36 + 58) = 36 - 30 = 6 hesabı yapılır.

Key Concept

Belirli integralde sınırların yansıması (değişken değiştirme) ve doğrusal toplama özellikleri.
Question 439Question →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫25f(x) dxA = \int_{2}^{5} f(x) \, dx
B=∫58f(x) dxB = \int_{5}^{8} f(x) \, dx
eşitlikleri veriliyor.
∫283f(x) dx=36\int_{2}^{8} 3f(x) \, dx = 36
ve A−B=4A - B = 4 olduğuna göre, AA değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Belirli integralin özelliklerini uygulayarak elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde A değeri 8 olarak bulunur.
Verilen integral ifadesi dışarıdaki sabit çarpan sadeleştirilerek 12 olarak bulunur. Sınır parçalama özelliği ile bu değer A ve B integrallerinin toplamına eşitlenir (A+B=12A + B = 12). Soruda verilen A−B=4A - B = 4 bilgisiyle ortak çözüm yapıldığında A değeri 8 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫28f(x) dx=12\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 12
İntegral içindeki sabit çarpan integralin dışına alınabilir: ∫k⋅f(x) dx=k∫f(x) dx\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx.
2
İntegral sınırlarını parçalayarak A ve B cinsinden bir eşitlik kurmak.
A+B=12A + B = 12
[2,8][2, 8] aralığı 55 noktasından bölünerek ∫28f(x) dx=∫25f(x) dx+∫58f(x) dx\int_{2}^{8} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{8} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir.
3
Elde edilen A+B=12A + B = 12 ve soruda verilen A−B=4A - B = 4 denklemlerini ortak çözmek.
A=8A = 8
İki bilinmeyenli denklem sistemi taraf tarafa toplanarak B değişkeni yok edilir ve A bulunur.

Key Concept

Belirli integralde lineerlik (sabit çarpanı dışarı çıkarma) ve sınırların parçalanması özellikleri.
Question 440Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve kolları sağa doğru açılan P1P_1 parabolü ile tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve kolları sola doğru açılan P2P_2 parabolü verilmiştir. Bu iki parabol, yy-eksenini aynı (0,2)(0, 2) ve (0,−2)(0, -2) noktalarında kesmektedir.

Buna göre, P1P_1 ve P2P_2 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

İki parabol arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 32 birimkaredir.
Parabollerin denklemleri sırasıyla x=y2−4x = y^2 - 4 ve x=−2y2+8x = -2y^2 + 8 olarak bulunur. Kesim noktaları olan y=−2y = -2 ve y=2y = 2 sınırları arasında, sağdaki parabolden soldaki parabol çıkarılarak yy değişkenine göre alınan integral alanı 3232 birimkare olarak verir.

Step-by-Step Solution

1
P1P_1 parabolünün denklemini bulma.
x=y2−4x = y^2 - 4
Tepe noktası T1(−4,0)T_1(-4, 0) olan ve sağa açılan yatay parabol denklemi x=ay2−4x = ay^2 - 4 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4a−4  ⟹  a=10 = 4a - 4 \implies a = 1 olur.
2
P2P_2 parabolünün denklemini bulma.
x=−2y2+8x = -2y^2 + 8
Tepe noktası T2(8,0)T_2(8, 0) olan ve sola açılan yatay parabol denklemi x=by2+8x = by^2 + 8 şeklindedir. (0,2)(0,2) noktasını sağladığından 0=4b+8  ⟹  b=−20 = 4b + 8 \implies b = -2 olur.
3
Kesim noktalarını belirleme.
y=−2y = -2 ve y=2y = 2
İki parabolün kesim noktalarını bulmak için denklemleri ortak çözeriz: y2−4=−2y2+8  ⟹  3y2=12  ⟹  y=±2y^2 - 4 = -2y^2 + 8 \implies 3y^2 = 12 \implies y = \pm 2.
4
Alan integralini kurma ve hesaplama.
32
[−2,2][-2, 2] aralığında sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak yy eksenine göre integral alınır: ∫−22((−2y2+8)−(y2−4)) dy=∫−22(12−3y2) dy=[12y−y3]−22=32\int_{-2}^{2} ((-2y^2 + 8) - (y^2 - 4)) \, dy = \int_{-2}^{2} (12 - 3y^2) \, dy = [12y - y^3]_{-2}^{2} = 32.

Key Concept

İki eğri arasında kalan alanın, y değişkenine göre belirli integral yardımıyla hesaplanması.
PreviousPage 22 / 43Next
All practice questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin