All practice questions

Question 781Question →

I. Dünya Savaşı sırasında açılan Çanakkale Cephesi'nde elde edilen askeri zaferin ardından yaşanan bazı gelişmeler şunlardır:

* Bulgaristan'ın İttifak Devletleri safında savaşa katılması ve böylece Osmanlı Devleti ile müttefikleri arasında doğrudan kara bağlantısının kurulması,
* Çarlık Rusyası'na askeri ve ekonomik yardımın ulaştırılamaması sonucu ülkede ekonomik krizin derinleşmesi ve Bolşevik İhtilali'ne giden sürecin hızlanması,
* İngiltere ve Fransa'nın prestij kaybederek savaşı kısa sürede bitirme planlarının sekteye uğraması.

Bu bilgilere göre, Çanakkale Cephesi ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi yapılamaz?

Osmanlı Devleti'nin, savaşı geniş alanlara yaymak ve kaybettiği toprakları geri almak amacıyla başlattığı taarruz harekâtının zaferle sonuçlandığı

İtilaf Devletleri'nin savaşın süresini kısaltmaya ve müttefikleri Rusya'yı savaşta tutarak iç karışıklıkları önlemeye yönelik planlarının başarısızlığa uğradığı

Elde edilen askeri zaferin, Balkanlar'daki dengeleri etkileyerek Bulgaristan'ın İttifak Devletleri safında savaşa girmesine ortam hazırladığı

Gelibolu'daki direnişin, Çarlık Rusyası'na gerekli lojistik ve askeri desteğin ulaşmasını engelleyerek bu ülkede rejim değişikliğine giden sürece hız kazandırdığı

Kazanılan zaferin, İtilaf Devletleri'nin askeri prestijine darbe vurarak I. Dünya Savaşı'nın süresini uzattığı

Show answer & explanation

Answer: Osmanlı Devleti'nin, savaşı geniş alanlara yaymak ve kaybettiği toprakları geri almak amacıyla başlattığı taarruz harekâtının zaferle sonuçlandığı

Answer

Osmanlı Devleti'nin, savaşı geniş alanlara yaymak ve kaybettiği toprakları geri almak amacıyla başlattığı taarruz harekâtının zaferle sonuçlandığı değerlendirmesi yapılamaz.

Çanakkale Cephesi, Osmanlı Devleti'nin açtığı bir taarruz cephesi değil, İtilaf Devletleri'nin saldırılarına karşı vatan topraklarını korumak amacıyla yürütülen bir savunma cephesidir. Osmanlı Devleti'nin sınırlarını genişletmek veya kaybettiği toprakları geri almak amacıyla kendi açtığı taarruz cepheleri Kafkasya ve Kanal cepheleridir. Bu nedenle Çanakkale Cephesi'nin Osmanlı Devleti tarafından başlatılan bir taarruz harekâtı olduğu yönündeki değerlendirme tarihi gerçeklerle bağdaşmaz.

Step-by-Step Solution

1

Öncüllerde sunulan askeri ve siyasi gelişmeleri analiz etmek.

Bulgaristan'ın savaşa katılması, Rusya'daki ihtilal süreci ve savaşın uzaması gibi küresel sonuçlar tespit edilmiştir.

Çanakkale Cephesi'nin I. Dünya Savaşı'nın genel gidişatına etkilerini belirlemek.

2

Çanakkale Cephesi'nin stratejik karakterini değerlendirmek.

Çanakkale Cephesi'nin, Osmanlı Devleti'nin sınırlarını koruduğu bir savunma cephesi olduğu belirlenmiştir.

Cephenin taarruz mu yoksa savunma mı olduğunu ayırt etmek.

3

Seçenekleri analiz ederek yanlış nitelendirmeyi tespit etmek.

Osmanlı Devleti'nin kaybettiği toprakları almak için başlattığı taarruz cephelerinin Kafkasya ve Kanal cepheleri olduğu, Çanakkale'nin ise bir savunma mücadelesi olduğu ve Osmanlı tarafından açılmadığı belirlenmiştir.

Soruda istenen 'yapılamaz' değerlendirmeyi doğrulamak.

Key Concept

Çanakkale Cephesi'nin savunma karakteri ve siyasi/jeopolitik sonuçları

Question 782Question →

Yarıçapı $9\text{ cm}$ olan bir kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ olur?

144

243

288

324

864

Show answer & explanation

Answer: 288

Answer

En büyük hacim 288*pi cm^3 olarak bulunur.

En büyük hacimli koninin yüksekliği türev yardımıyla 12 cm olarak belirlenir. Bu yükseklik değeri için taban yarıçapının karesi 72 cm^2 olur. Koni hacim formülü uygulandığında en büyük hacim 288*pi cm^3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Kürenin içine yerleştirilen dik koninin boyutları ile küre yarıçapı arasındaki ilişkiyi kurmak için bir geometrik model oluşturulur.

Koninin taban yarıçapı

r

ve yüksekliği

h

olsun. Kürenin merkezi

O

ve yarıçapı

R = 9\text{ cm}

'dir. Koninin taban merkezinin küre merkezine olan uzaklığı

x

ise, yükseklik

h = 9 + x

olur. Küre merkezinden koninin taban çemberine çizilen yarıçap dik üçgen oluşturur:

r^2 + x^2 = 9^2 \Rightarrow r^2 = 81 - x^2

.

Koninin taban yarıçapını yüksekliği cinsinden ifade edebilmek için küre içindeki dik üçgen bağıntısını kullanırız.

2

Koninin hacmini tek bir değişkene (

h

değişkenine) bağlı bir fonksiyon olarak yazmak.

x = h - 9

yazılırsa,

r^2 = 81 - (h - 9)^2 = 18h - h^2

elde edilir. Koninin hacim formülü

V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h

olduğuna göre, hacim fonksiyonu

V(h) = \frac{1}{3}\pi (18h - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (18h^2 - h^3)

olarak bulunur.

Maksimum hacmi bulabilmek amacıyla türevi alınacak tek değişkenli fonksiyonu elde etmek gerekir.

3

Hacim fonksiyonunun maksimum değerini bulmak için

h

değişkenine göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenir.

V'(h) = \frac{1}{3}\pi (36h - 3h^2) = \pi h (12 - h) = 0

denklemi elde edilir. Buradan

h > 0

olması gerektiğinden

h = 12\text{ cm}

bulunur.

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaları türevin sıfır olduğu noktalarda aranır.

4

Bulunan yükseklik değeri için maksimum hacmi hesaplamak.

h = 12\text{ cm}

için koninin hacmi

V(12) = \frac{1}{3}\pi (18 \cdot 12^2 - 12^3) = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot (18 - 12) = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 6 = 288\pi\text{ cm}^3

olarak bulunur.

Hacim fonksiyonunda kritik noktayı yerine yazarak maksimum hacim değerini elde ederiz.

Key Concept

Türev yardımıyla geometrik şekillerin maksimum ve minimum hacim/alan hesaplamalarının yapılması.

Estimated Time:2m 30s

Question 783Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = (x-1)^2 - 4$ parabolü ile koordinat eksenlerinin dördüncü bölgede sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

9

-9

\frac{5}{3}

\frac{11}{3}

3

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

9

Dördüncü bölgede parabol x-ekseninin altında yer aldığından, alan değeri integralin negatif işaretlisine eşittir. Parabolün eksenleri kestiği noktalar

(0, -3)

ve

(3, 0)

olduğundan sınırlar

0

ile

3

arasındadır. İntegral hesaplandığında alan 9 birimkare olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.

y-eksenini kestiği nokta için

x = 0 \implies f(0) = (0-1)^2 - 4 = -3

. x-eksenini kestiği pozitif nokta için

f(x) = 0 \implies (x-1)^2 = 4 \implies x-1 = 2 \implies x = 3

bulunur.

Dördüncü bölgedeki bölgenin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktaları gereklidir.

2

İntegral sınırlarını belirleyerek alan ifadesini yazalım.

Dördüncü bölgede

x

değerleri

0

ile

3

arasındadır ve bu aralıkta parabol grafiği x-ekseninin altındadır (

f(x) \leq 0

). Bu nedenle alan:

A = \int_0^3 -f(x) \, dx = \int_0^3 (4 - (x-1)^2) \, dx

şeklinde ifade edilir.

x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti konulur.

3

İntegral işlemini gerçekleştirelim.

A = \left[ 4x - \frac{(x-1)^3}{3} \right]_0^3

olur. Sınırları yerine yazarsak:

A = \left( 4(3) - \frac{(3-1)^3}{3} \right) - \left( 4(0) - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \left( 12 - \frac{8}{3} \right) - \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = 12 - \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = 12 - 3 = 9

birimkare bulunur.

Belirli integralin hesaplanmasıyla aranan alan değeri elde edilir.

Key Concept

x-ekseninin altında kalan bir eğrinin sınırlandırdığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin negatif işaretlisine eşittir.

Question 784Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) \, dx = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

3

4

8

15

24

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8

Verilen integral ifadesinin içi,

(x^2 \cdot f(x))

ifadesinin türevidir. Bu sebeple integral dışına

x^2 \cdot f(x) + C_1

olarak çıkar. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyle eşleştirildiğinde,

f(x)

fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için sabit terimler farkının sıfır olması gerekir. Buradan

f(x) = x^2 - 2x + 5

fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda değişken yerine 3 yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İntegral içindeki ifadeyi analiz etmek ve çarpım türevi biçiminde yazmak.

2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = (x^2 \cdot f(x))'

eşitliği görülür.

Çarpım türevi kuralına göre, birinci terimin türevi çarpı ikinci artı ikinci terimin türevi çarpı birinci ifadesi

(x^2 \cdot f(x))'

türevine eşittir.

2

Eşitliğin sol tarafındaki belirsiz integrali hesaplamak ve integral sabitlerini düzenlemek.

x^2 \cdot f(x) + C_1 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C \implies x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + K

(burada

K = C - C_1

gerçel sayısıdır) elde edilir.

Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.

3

Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde tanımlı olma koşulunu kullanarak integral sabitini bulmak.

x = 0

için sol taraf sıfır olduğundan sağ tarafın da sıfır olması gerekir. Buradan

K = 0

bulunur. Dolayısıyla

x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2

elde edilir.

f

fonksiyonu gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğundan,

f(x) = x^2 - 2x + 5 + \frac{K}{x^2}

ifadesinde limitin bulunabilmesi için

K = 0

olmalıdır.

4

f(x)

fonksiyonunu yalnız bırakarak

f(3)

değerini hesaplamak.

f(x) = x^2 - 2x + 5

olur. Buradan

f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8

bulunur.

Her iki taraf

x^2

ifadesine bölünerek genel fonksiyon kuralı elde edilir ve istenen değer yerine yazılır.

Key Concept

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpım türevi integrali

Question 785Question →

Sovyet Sosyalist Cumhuriyetler Birliği’nin (SSCB) dağılma sürecinde yaşanan aşağıdaki gelişmeleri kronolojik olarak geçmişten günümüze doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Kronolojik sıralama şu şekildedir: İlk olarak Azerbaycan’da yaşanan Kara Ocak katliamı (1990), ardından SSCB'de Mihail Gorbaçov'a karşı yapılan başarısız darbe girişimi (Ağustos 1991), sonrasında üç kurucu cumhuriyetin imzaladığı Belaveja (Minsk) Anlaşması (8 Aralık 1991) ve son olarak Türk cumhuriyetlerinin de dahil olduğu Alma-Ata Protokolü (21 Aralık 1991).

Verilen gelişmelerin doğru kronolojik sıralaması Kara Ocak Katliamı (20 Ocak 1990) ile başlar, Mihail Gorbaçov'a yönelik yapılan başarısız darbe girişimi (19-21 Ağustos 1991) ile devam eder, ardından SSCB'nin hukuken sonlandırıldığı Belaveja (Minsk) Anlaşması (8 Aralık 1991) gelir ve en son olarak Türk cumhuriyetlerinin de katılımıyla imzalanan Alma-Ata Protokolü (21 Aralık 1991) ile süreç tamamlanır.

Step-by-Step Solution

1

Olayların tarihlerini ve tarihsel arka planlarını belirleme.

Kara Ocak Olayları: 20 Ocak 1990. Ağustos Darbesi: 19-21 Ağustos 1991. Belaveja (Minsk) Anlaşması: 8 Aralık 1991. Alma-Ata Protokolü: 21 Aralık 1991.

Olayların kronolojik sırasını doğru belirleyebilmek için gerçekleştikleri yıl ve ayların netleştirilmesi gerekir.

2

Gelişmeleri geçmi��ten günümüze doğru sıralama.

Sıralama: Kara Ocak (1990) -> Ağustos Darbesi (Ağustos 1991) -> Belaveja Anlaşması (Aralık 1991 başı) -> Alma-Ata Protokolü (Aralık 1991 sonu).

Bu sıralama, SSCB'nin dağılma sürecinin toplumsal çatışmalardan siyasi krize, ardından kurucu cumhuriyetlerin ayrılmasına ve nihayetinde diğer cumhuriyetlerin de yeni sisteme entegre olmasına kadar olan tarihsel akışı yansıtır.

Key Concept

SSCB'nin Dağılma Sürecindeki Siyasi ve Diplomatik Aşamalar

Question 786Question →

Sanayi Devrimi ile birlikte maden havzalarına yakın konumlanarak ağır sanayi merkezi hâline gelen bazı şehirler, günümüzde sanayi faaliyetlerinin yanı sıra teknoloji, hizmet ve finans gibi yeni fonksiyonları da bünyesine katarak gelişimini sürdürmektedir. Diğer taraftan, günümüzde nüfusu yirmi milyona yaklaşan bazı megakentlerin küresel etki alanı, nüfusu iki-üç milyon civarında olan küresel finans ya da idari merkezlerin etki alanından daha dardır.

Bu açıklamalara göre, şehirlerin nüfus özellikleri, fonksiyonları ve etki alanları arasındaki ilişkiyle ilgili aşağıdaki yargılardan hangisine ulaşılabilir?

Nüfus miktarı çok fazla olan megakentlerin tamamı, küresel ticaret ve finans akışlarını yönlendirdikleri için dünya genelinde en geniş etki alanına sahip şehirlerdir.

Bir şehrin küresel ölçekteki etki gücü, yalnızca nüfus miktarına değil; barındırdığı finans, borsa, yönetim ve teknoloji gibi fonksiyonel özelliklerin niteliğine bağlıdır.

Sanayi Devrimi sürecinde gelişen şehirlerin küresel etki alanını günümüzde de koruyabilmesi, yalnızca ilk kuruldukları dönemdeki kömür ve demir üretimi fonksiyonlarını sürdürmelerine bağlıdır.

Nüfusu görece az olan idari ve finans merkezleri, karar alma süreçlerini doğrudan etkileyemedikleri için bölgesel etki alanının dışına çıkamazlar.

Şehirlerin tarihsel süreçte yeni fonksiyonel özellikler kazanması, nüfus artış hızının durmasına ve küresel etki alanının zamanla daralmasına neden olur.

Show answer & explanation

Answer: Bir şehrin küresel ölçekteki etki gücü, yalnızca nüfus miktarına değil; barındırdığı finans, borsa, yönetim ve teknoloji gibi fonksiyonel özelliklerin niteliğine bağlıdır.

Answer

Bir şehrin küresel ölçekteki etki gücü, yalnızca nüfus miktarına değil; barındırdığı finans, borsa, yönetim ve teknoloji gibi fonksiyonel özelliklerin niteliğine bağlıdır.

Doğru seçenek olan yargı, metinde yer alan nüfusu görece az olan finans ve yönetim merkezlerinin etki alanının, çok büyük nüfuslu megakentlerden daha geniş olabilmesi durumuyla doğrudan uyuşmaktadır. Bir şehrin küresel gücünü belirleyen ana etken, nüfusun sayısal büyüklüğü değil, şehrin sunduğu fonksiyonların küresel çaptaki niteliğidir.

Step-by-Step Solution

1

Metinde verilen bilgileri analiz etme.

Sanayi şehirlerinin zamanla yeni fonksiyonlar (teknoloji, finans) kazandığı ve nüfusu çok fazla olan bazı şehirlerin etki alanının, nüfusu az olan bazı finans/idari merkezlerden daha dar olduğu anlaşılmaktadır.

Şehirlerin büyüklüğü ile küresel etki derecelerinin doğrudan orantılı olmadığını belirlemek.

2

Seçenekleri bu doğrultuda değerlendirme.

Nüfus miktarından ziyade şehrin sahip olduğu ekonomik, finansal, idari veya kültürel işlevlerin (fonksiyonların) küresel etki alanını belirlemede daha kritik olduğu sonucuna ulaşılır.

Şehirlerin etki alanı kavramı ile nüfus büyüklüğü arasındaki ilişkiyi doğru yorumlamak.

Key Concept

Şehirlerin fonksiyonel özellikleri ile küresel/bölgesel etki alanları arasındaki ilişki ve bu etki alanlarının nüfus miktarından bağımsız olabilmesi.

Estimated Time:1m 30s

Question 787Question →

Bir ormanda kendi kendine yetişen yabani bir çiçeğin renk uyumu ve simetrisi, onu gören bir insanda hoş bir estetik duygu uyandırabilir. Ancak Hegel'e göre bu çiçeğin güzelliği, bir sanatçının o çiçeği kendi zihinsel süzgecinden geçirerek tuvale aktardığı resmin güzelliğiyle aynı estetik değerde değildir. Çünkü doğadaki güzellik tinin (zihnin) özgür yaratıcılığından yoksundur; oysa sanattaki güzellik, insan zihninin doğaya kendi damgasını vurmasıyla ortaya çıkan tinsel bir tasarımdır.

Buna göre Hegel'in sanat felsefesinden hareketle aşağıdakilerden hangisi doğadaki güzel ile sanattaki güzel arasındaki temel farkı ifade etmektedir?

Doğadaki güzelliğin, insan bilincinden tamamen bağımsız olarak sanat eserinde aynen tekrarlanması gereken yegane ölçüt olması

Sanat güzelliğinin doğadaki nesnelerin birebir ve kusursuz taklidine dayanması, doğadaki güzelliğin ise değişken olması

Sanat güzelliğinin bilinçli ve tinsel bir yaratımın ürünü olması, doğadaki güzelliğin ise zihinsel bir tasarım içermemesi

Her iki güzellik türünün de alımlayıcının öznel algılama biçiminden bağımsız olarak dış dünyada nesnel olarak var olması

Doğadaki güzelliğin kalıcı ve evrensel estetik kurallara dayanması, sanat güzelliğinin ise tamamen kuralsız olması

Show answer & explanation

Answer: Sanat güzelliğinin bilinçli ve tinsel bir yaratımın ürünü olması, doğadaki güzelliğin ise zihinsel bir tasarım içermemesi

Answer

Sanat güzelliğinin bilinçli ve tinsel bir yaratımın ürünü olması, doğadaki güzelliğin ise zihinsel bir tasarım içermemesi

Sanat güzelliğinin bilinçli ve tinsel bir yaratımın ürünü olması, doğadaki güzelliğin ise zihinsel bir tasarım içermemesi yönündeki ifade doğrudur. Hegel'e göre sanattaki güzel, tinin (zihnin) özgür yaratıcı etkinliğinin ürünüdür. Doğadaki güzel ise zihinsel veya tinsel bir tasarımdan yoksundur.

Step-by-Step Solution

1

Paragraftaki temel felsefi argümanı analiz etmek.

Hegel'in doğadaki güzelliği zihinsel/tinsel yaratıcılıktan yoksun bulduğu, sanattaki güzelliği ise insan tininin özgür yaratımı olarak gördüğü tespit edilir.

Doğru seçeneğe ulaşmak için metindeki ana felsefi tezi belirlemek gerekir.

2

Doğa güzelliği ile sanat güzelliği ayrımını netleştirmek.

Sanattaki güzelliğin bilinçli ve zihinsel bir tasarım olduğu, doğadaki güzelliğin ise tinsel bir süreç içermediği belirlenir.

Seçeneklerde felsefi olarak bu ayrımı en iyi ifade eden yargıyı bulmak.

Key Concept

Doğa güzelliği ile sanat güzelliği arasındaki kavramsal fark ve estetik değer ayrımı.

Estimated Time:2m 0s

Question 788Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

g

fonksiyonu için

g(3) = 2

g'(3) = 4

eşitlikleri veriliyor.

f(x) = (x^2 + 1) \cdot g(2x - 1)

olduğuna göre,

f'(2)

değeri kaçtır?

16

28

32

48

-32

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

48 değeri doğrudur.

Çarpımın türevi kuralı

[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

ve zincir kuralı

[g(2x-1)]' = g'(2x-1) \cdot 2

ilkeleri uygulanıp

x=2

yazıldığında

f'(2) = 48

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Çarpımın türevi kuralını ve zincir kuralını uygulayarak f'(x) türev fonksiyonunu bulunuz.

f'(x) = 2x \cdot g(2x-1) + (x^2 + 1) \cdot g'(2x-1) \cdot 2

f(x)

iki fonksiyonun çarpımı biçimindedir ve çarpımın türevi kuralı ile bileşke fonksiyonun türevindeki zincir kuralı uygulanmalıdır.

2

Bulunan türev denkleminde x yerine 2 yazınız.

f'(2) = 2(2) \cdot g(2(2)-1) + (2^2 + 1) \cdot g'(2(2)-1) \cdot 2 = 4 \cdot g(3) + 5 \cdot g'(3) \cdot 2

İstenen

f'(2)

değerini bulmak için tüm değişkenlerin yerine 2 yerleştirilmelidir.

3

Soruda verilen g(3) = 2 ve g'(3) = 4 değerlerini yerlerine yazarak sonucu hesaplayınız.

f'(2) = 4 \cdot 2 + 5 \cdot 4 \cdot 2 = 8 + 40 = 48

Verilen fonksiyonel değerlerin aritmetik işlemleri tamamlanarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Çarpımın türevi kuralı ve zincir kuralı yardımıyla bileşke fonksiyon türevi hesabı.

Question 789Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{x} f(t) \, dt + \int_{1}^{4-x} f(t) \, dt = x^2 - 4x + 10

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

\int_{2}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İstenen integralin değeri 4'tür.

Verilen denklemde sırasıyla

x=3

ve

x=2

değerleri yazılarak

\int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7

ve

\int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3

değerleri elde edilir. Ardından, integralin aralık bölme özelliği olan

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx

eşitliği kullanılarak istenen integralin değeri

7 - 3 = 4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Eşitlikte

x = 3

yazarak

\int_{1}^{3} f(t) \, dt

integralinin değerini elde etmek.

\int_{1}^{3} f(t) \, dt + \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 3^2 - 4(3) + 10 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt + 0 = 7 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7

x = 3

yazıldığında ikinci integralin sınırları 1'den 1'e olacağı için değeri belirli integralin özelliği gereği 0 olur.

2

Eşitlikte

x = 2

yazarak

\int_{1}^{2} f(t) \, dt

integralinin değerini elde etmek.

\int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 2^2 - 4(2) + 10 \implies 2 \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3

x = 2

yazıldığında her iki integral de

\int_{1}^{2} f(t) \, dt

haline gelir.

3

Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak istenen aralıktaki integrali hesaplamak.

\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies 7 = 3 + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4

[1, 3]

aralığındaki belirli integral,

[1, 2]

ve

[2, 3]

aralıklarındaki integrallerin toplamı olarak yazılabilir.

Key Concept

Belirli integralde sınırların parçalanması özelliği ve alt-üst sınırları eşit olan belirli integralin değerinin sıfır olması.

Question 790Question →

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^2 - \frac{4}{x} + a\sqrt{x}

fonksiyonu

x > 0

için tanımlanmıştır.

f'(4) = 9

olduğuna göre,

a

kaçtır?

1

5

3

9

19

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Doğru türev alma kuralları uygulanarak elde edilen 3 değeri

Fonksiyonun türevi alınıp

x = 4

değeri yerine yazıldığında

a

değeri 3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen fonksiyonu türev almaya uygun şekilde üslü ifade biçiminde düzenleyelim.

f(x) = x^2 - 4x^{-1} + a \cdot x^{1/2}

Üs kuralını kolayca uygulayabilmek için rasyonel ve köklü ifadeleri üslü biçime çeviriyoruz.

2

Türev alma kuralını (

[x^n]' = n \cdot x^{n-1}

) her bir terime uygulayarak fonksiyonun türevini alalım.

f'(x) = 2x - 4(-1)x^{-2} + a \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{4}{x^2} + \frac{a}{2\sqrt{x}}

Türev fonksiyonunu elde etmek için.

3

Türev fonksiyonunda

x = 4

yazalım, sonucu 9'a eşitleyip

a

değerini bulalım.

f'(4) = 2(4) + \frac{4}{4^2} + \frac{a}{2\sqrt{4}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{a}{4} = 9 \implies \frac{33+a}{4} = 9 \implies 33 + a = 36 \implies a = 3

Verilen

f'(4) = 9

eşitliğini kullanarak bilinmeyen

a

değerine ulaşmak için.

Key Concept

Temel türev alma kuralları ve üs kuralının uygulanması.

Question 791Question →

Aşağıda dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde tanımlanan bazı sınırlı bölgelerin sözel açıklamaları ile bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Sol sütundaki alan tanımlarını, sağ sütundaki doğru integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Birinci alan tanımı birinci integral gösterimiyle, ikinci alan tanımı ikinci integral gösterimiyle, üçüncü alan tanımı ise üçüncü integral gösterimiyle eşleşir.

Tüm alan tanımları, kesişim noktaları ve sınır koşulları incelenerek doğru belirli integral ifadeleriyle birebir eşleşmektedir. Birinci bölge

x

eksenine göre, ikinci bölge

x

eksenine göre, üçüncü bölge ise

y

eksenine göre entegre edilerek alan ifadeleri elde edilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

y = \sqrt{x}

ve

y = x^3

eğrilerinin kesişim noktalarını bulma.

x = 0

ve

x = 1

sınır değerleri

\sqrt{x} = x^3 \implies x = x^6 \implies x(x^5 - 1) = 0

denkleminden

x = 0

ve

x = 1

bulunur.

2

y = 6 - x^2

parabolü ve

y = x

doğrusunun kesişim noktasını bulma.

x = 2

sınır değeri (birinci bölgede)

6 - x^2 = x \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0

denkleminden birinci bölgedeki kesişim noktası

x = 2

olarak elde edilir.

3

y = x^2

parabolü ile

y = 2 - x

doğrusunun kesişim noktasını ve

y

sınırlarını belirleme.

y = 1

üst sınır değeri

x^2 = 2 - x \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0

denkleminden kesişim noktası

x = 1

ve bu noktadaki

y

değeri

y = 1^2 = 1

olarak bulunur. Eksenlerle sınırlı bölge

y = 0

ile

y = 1

arasındadır.

4

Üçüncü bölgeyi

y

değişkenine göre entegre etmek üzere

x

değişkenini yalnız bırakarak formüle etme.

Alan =

\int_0^1 (2 - y - \sqrt{y}) \, dy

Parabol denklemi

x = \sqrt{y}

ve doğru denklemi

x = 2 - y

şeklindedir. Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak

y

eksenine göre integral alınır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 792Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

ve

g

fonksiyonları için

\begin{aligned} f(3) &= 2 \\ f'(3) &= -1 \\ g(3) &= 6 \\ g'(3) &= 8 \end{aligned}

eqitlikleri sağlanmaktadır.

h(x) = (x^2 - 2x) \cdot f(x) + \frac{g(x)}{x}

biçiminde tanımlanan

h

fonksiyonu için

h'(3)

değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

İşlemler yapıldığında

h'(3)

değeri 7 olarak bulunur.

Çarpım ve bölüm türev kuralları doğru bir şekilde uygulanıp verilen değerler yerine yazıldığında

h'(3) = 7

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Türev kurallarını (çarpım ve bölüm kuralları) belirleme ve türev ifadesini yazma.

h'(x) = (2x - 2) \cdot f(x) + (x^2 - 2x) \cdot f'(x) + \frac{x \cdot g'(x) - g(x)}{x^2}

h(x)

fonksiyonu iki terimden oluşmaktadır: Birinci terim için çarpım kuralı, ikinci terim için bölüm kuralı uygulanmalıdır.

2

Türev fonksiyonunda

x = 3

yazma.

h'(3) = 4 \cdot f(3) + 3 \cdot f'(3) + \frac{3 \cdot g'(3) - g(3)}{9}

Türevin

x = 3

noktasındaki değerini bulmak için fonksiyondaki tüm

x

değişkenleri yerine 3 yazılır.

3

Verilen fonksiyonel değerleri yerine koyarak aritmetik hesaplama yapma.

h'(3) = 7

f(3) = 2

,

f'(3) = -1

,

g(3) = 6

ve

g'(3) = 8

değerleri yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Türev Kuralları

Question 793Question →

a

ve

b

birer gerçel sayı olmak üzere,

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + a} - 3}{x^2 - 4} = b

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $a + \frac{1}{b}$ toplamının değeri kaçtır?

7

8

10

11

14

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

Toplamın değeri 11'dir.

Limitin bir gerçel sayı belirtmesi için payda sıfırken payın da sıfır olması (0/0 belirsizliği) gerekir. Buradan a = 5 bulunur. İfade eşleniği ile çarpılıp sadeleştirildiğinde limit değeri b = 1/6 olarak elde edilir. Dolayısıyla a + 1/b toplamı 11 olur.

Step-by-Step Solution

1

Paydanın sıfıra gitmesi durumunda limitin var olabilmesi için payın da sıfıra gitmesi gerektiğini belirleme.

x = 2 için \lim_{x \to 2} (\sqrt{x^2 + a} - 3) = 0 olmalıdır.

Eğer pay sıfıra gitmeseydi, sayı/0 durumundan limit bir gerçel sayıya eşit olamazdı.

2

a değerini hesaplama.

\sqrt{2^2 + a} - 3 = 0 \implies \sqrt{4 + a} = 3 \implies 4 + a = 9 \implies a = 5

Eşitliğin her iki tarafının karesi alınarak a yalnız bırakılır.

3

a = 5 değerini limit ifadesinde yerine yazıp eşlenik yardımıyla belirsizliği giderme.

\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}{(x^2 - 4)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 4)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}

Payın eşleniği ile hem pay hem payda çarpılarak iki kare farkı özdeşliği uygulanır.

4

Ortak terimleri sadeleştirip limiti hesaplama.

\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} = \frac{1}{\sqrt{4 + 5} + 3} = \frac{1}{6}

x^2 - 4 terimleri sadeleşir ve x yerine 2 yazılır. Bu değer b'ye eşittir (b = 1/6).

5

İstenen a + 1/b toplamını bulma.

a + \frac{1}{b} = 5 + 6 = 11

a = 5 ve b = 1/6 değerleri yerlerine konularak toplama işlemi tamamlanır.

Key Concept

Limit hesaplamada rasyonel ifadelerde 0/0 belirsizliğinin eşlenik yardımıyla giderilmesi.

Question 794Question →

Küresel ve bölgesel örgütlerin etki alanları; kuruluş amaçları, üye ülkelerin coğrafi dağılışı ve sınırları gibi faktörlere göre değişkenlik gösterir. Türkiye, coğrafi konumu ve tarihi bağları doğrultusunda bu örgütlerle farklı düzeylerde ilişkiler geliştirmiştir.

Aşağıdaki tabloda bazı uluslararası örgütlerin ölçeği, ana faaliyet alanı ve Türkiye ile olan ilişkisine dair bilgiler numaralandırılarak boş bırakılmıştır:

Örgüt	Ölçeği	Ana Faaliyet Alanı	Türkiye ile İlişkisi
D-8 (Gelişmekte Olan Sekiz Ülke)	I	Ekonomik	Kurucu Üye
Şanghay İşbirliği Teşkilatı (ŞİÖ)	Bölgesel	II	III
İslam İşbirliği Teşkilatı (İİT)	Küresel	Siyasi	IV

Buna göre, tabloda numaralandırılarak boş bırakılan yerlere sırasıyla aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?

I: Bölgesel; II: Siyasi ve Askerî; III: Sonradan üye; IV: Kurucu üye

I: Küresel; II: Ekonomik; III: Üye değil (Diyalog ortağı); IV: Sonradan üye

I: Küresel; II: Siyasi ve Askerî; III: Üye değil (Diyalog ortağı); IV: Kurucu üye

I: Bölgesel; II: Ekonomik; III: Kurucu üye; IV: Üye değil

I: Küresel; II: Siyasi ve Askerî; III: Sonradan üye; IV: Üye değil

Show answer & explanation

Answer: I: Küresel; II: Siyasi ve Askerî; III: Üye değil (Diyalog ortağı); IV: Kurucu üye

Answer

I numara yerine 'Küresel', II numara yerine 'Siyasi ve Askerî', III numara yerine 'Üye değil (Diyalog ortağı)', IV numara yerine ise 'Kurucu üye' ifadelerinin getirildiği seçenek doğrudur.

Doğru seçenekte belirtildiği üzere, D-8 örgütü üye ülkelerin coğrafi konumları nedeniyle küresel ölçeklidir; Şanghay İşbirliği Teşkilatı siyasi ve askerî iş birliği amacı taşır ve Türkiye bu örgütün üyesi değil, yalnızca diyalog ortağıdır; İslam İşbirliği Teşkilatı ise Türkiye'nin kurucu üye olduğu küresel bir örgüttür.

Step-by-Step Solution

1

D-8 örgütünün ölçeğini belirlemek.

D-8 üyesi ülkeler (Türkiye, İran, Pakistan, Bangladeş, Malezya, Endonezya, Mısır, Nijerya) Asya ve Afrika kıtalarına yayıldığı için örgütün ölçeği 'Küresel'dir.

Örgütün sınırları tek bir coğrafi bölgeyle sınırlı değildir.

2

Şanghay İşbirliği Teşkilatı'nın ana faaliyet alanını belirlemek.

Teşkilat, ilk olarak sınır güvenliği ve askeri iş birliği amacıyla kurulduğundan ana faaliyet alanı 'Siyasi ve Askerî'dir.

Üye ülkeler arasındaki güvenlik ve siyasi iş birliğini temsil eder.

3

Türkiye'nin Şanghay İşbirliği Teşkilatı ile ilişkisini belirlemek.

Türkiye bu teşkilata üye değildir, 2012 yılından itibaren 'Diyalog Ortağı' statüsündedir.

Teşkilatın karar organlarında yer almaz ancak görüşmelere katılır.

4

Türkiye'nin İslam İşbirliği Teşkilatı ile olan ilişkisini belirlemek.

Türkiye, 1969 yılında kurulan bu örgütün kurucu üyeleri arasında yer almaktadır.

Örgütün kuruluş senedine ilk imza atan ülkelerdendir.

Key Concept

Küresel ve bölgesel örgütlerin sınıflandırılması ile Türkiye'nin bu örgütlerdeki üyelik statüsü ve rolleri.

Estimated Time:2m 0s

Question 795Question →

Millî Mücadele Hazırlık Dönemi'nde Temsil Heyeti'nin (Temsil Kurulu) fikir aşamasından hukuki olarak tanınmasına kadar geçen gelişim sürecini göz önüne alarak, aşağ��da verilen tarihi gelişmeleri kronolojik olarak ilkten sona doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Temsil Heyeti'nin gelişim aşamaları kronolojik olarak sırasıyla; heyetin kurulma fikrinin ortaya atılması (Amasya Genelgesi), kurulun bölgesel nitelikte fiilen oluşturulması (Erzurum Kongresi), üye sayısının artırılarak tüm vatanı temsil eder hâle getirilmesi (Sivas Kongresi) ve İstanbul Hükümeti tarafından hukuken tanınması (Amasya Görüşmeleri) şeklindedir.

Temsil Heyeti'nin gelişim seyri incelendiğinde; ilk olarak Amasya Genelgesi ile kurulma fikri doğmuş, Erzurum Kongresi ile bölgesel olarak hayata geçirilmiş, Sivas Kongresi ile ulusal bir yapı kazanmış ve en nihayetinde Amasya Görüşmeleri ile İstanbul Hükümeti karşısında hukuki meşruiyet elde etmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Temsil Heyeti'nin kurulması fikrinin ilk kez nerede geçtiğini tespit etmek

Amasya Genelgesi'nde (Haziran 1919) ilk kez millî bir heyetin varlığından bahsedilmiştir.

Sürecin ilk basamağını belirlemek amacıyla fikir aşamasını saptamak gerekir.

2

Heyetin fiilen kurulduğu ve bölgesel yetkilere sahip olduğu kongreyi bulmak

Erzurum Kongresi'nde (Temmuz-Ağustos 1919) sadece Doğu Anadolu bölgesini temsil edecek şekilde heyet kurulmuştur.

Heyetin bölgesel boyutta kuruluşu, ulusal boyuta geçmeden önceki aşamadır.

3

Heyetin yetkilerinin tüm yurdu kapsayacak şekilde genişletildiği kongreyi bulmak

Sivas Kongresi'nde (Eylül 1919) Temsil Heyeti'nin yetkileri tüm yurdu temsil edecek şekilde ulusallaşmıştır.

Bölgesellikten tam bağımsızlık yolunda ulusallığa geçiş sürecinin kronolojik yerini saptamak.

4

İstanbul Hükümeti'nin Temsil Heyeti'ni resmen ve hukuken tanıdığı olayı belirlemek

Amasya Görüşmeleri (Ekim 1919) ile İstanbul Hükümeti, Temsil Heyeti'ni resmen tanımıştır.

Sürecin son aşaması olan hukuki meşruiyet kazanma aşamasını kronolojinin sonuna yerleştirmek.

Key Concept

Temsil Heyeti'nin Kuruluş ve Gelişim Aşamaları

Estimated Time:2m 0s

Question 796Question →

Alp çayırları ekosistemindeki besin zincirinde ve enerji akışında rol oynayan canlılar ile enerji piramidinin işleyişi hakkında coğrafya dersinde araştırma sunumu yapan bir öğrenci, aşağıdaki ifadeleri kullanmıştır:

I. Güneş'ten gelen enerji, alp çiçekleri tarafından kimyasal enerjiye dönüştürülerek sisteme dahil edilir ve bu enerji akışı üreticilerden tüketicilere doğru tek yönlüdür.
II. Dağ keçilerinden kaya kartallarına doğru gidildikçe, her bir trofik düzeyde aktarılan enerji miktarı artar çünkü üst basamaklardaki canlıların enerji ihtiyacı daha fazladır.
III. Kaya kartallarının dokularındaki biyolojik birikim (zehirli madde miktarı), bu ekosistemdeki üretici konumunda olan yastık otlarına göre daha fazladır.
IV. Ayrıştırıcılar tarafından organik atıkların parçalanmasıyla açığa çıkan enerji, üreticiler tarafından doğrudan soğurularak tekrar besin zincirine geri kazandırılır.

Buna göre, öğrencinin hazırladığı ifadelerden hangileri doğrudur?

I ve II

I ve III

II ve III

II ve IV

III ve IV

Show answer & explanation

Answer: I ve III

Answer

I ve III

I ve III ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Alp çiçekleri gibi üretici bitkiler güneş enerjisini fotosentez ile kimyasal enerjiye dönüştürerek sisteme dahil eder ve enerji akışı tek yönlüdür. Ayrıca, besin zincirinde yukarı doğru çıkıldıkça biyolojik birikim arttığı için kaya kartallarındaki zehirli madde birikimi üretici olan yastık otlarına göre daha fazladır.

Step-by-Step Solution

1

I. ifadenin doğrulu��unu analiz etme

Güneş enerjisi, alp çiçekleri (üreticiler) tarafından fotosentez yoluyla kimyasal enerjiye çevrilir ve besin zincirine katılır. Bu enerji akışı tek yönl��dür; üreticilerden tüketicilere doğru gider ve geri dönmez. Bu nedenle I. ifade doğrudur.

Fotosentez ve enerji akışının tek yönlü olma kuralını test etmek.

2

II. ifadenin doğruluğunu analiz etme

Dağ keçileri (birincil tüketici) ile kaya kartalları (üçüncül tüketici) arasındaki trofik düzeylerde yukarı doğru gidildikçe, enerjinin büyük kısmı (%90) solunum, metabolik faaliyetler ve ısı şeklinde çevreye salınır. Bir üst düzeydeki canlıya sadece %10'u aktarılır. Bu nedenle aktarılan enerji miktarı artmaz, azalır. II. ifade yanlıştır.

Enerji piramidindeki %10 aktarım kuralını uygulamak.

3

III. ifadenin doğruluğunu analiz etme

Biyolojik birikim (zehirli maddeler), canlılar tarafından vücuttan kolay atılamadığı için besin zincirinde yukarı doğru gidildikçe üst basamaklardaki tüketicilerin dokularında daha fazla birikir. Kaya kartalları zincirin üst basamağında, yastık otları ise üretici olarak en alt basamakta yer aldığından kartallardaki birikim daha fazladır. III. ifade doğrudur.

Biyolojik birikim (biyoakümülasyon) yönelimini belirlemek.

4

IV. ifadenin doğruluğunu analiz etme

Ayrıştırıcılar organik maddeleri parçalayarak inorganik elementleri toprağa geri kazandırır (madde döngüsü sağlanır). Ancak bu süreçte açığa çıkan enerji ısıya dönüşerek uzaya yayılır; üreticiler bu enerjiyi tekrar soğurup fotosentezde kullanamaz. Enerji geri kazanılmaz. IV. ifade yanlıştır.

Madde döngüsü ile enerji akışı arasındaki döngüsellik farkını analiz etmek.

Key Concept

Ekosistemlerde tek yönlü enerji akışı, trofik düzeyler arasında enerjinin %10 kuralına göre azalması ve besin zincirinde yukarı çıkıldıkça biyolojik birikimin artması.

Estimated Time:2m 0s

Question 797Question →

$f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyondur.

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 10

olduğuna göre,

\int_{4}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

İntegralin değeri 12'dir.

Verilen ikinci integralde yapılan değişken değiştirme ile elde edilen

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20

değeri, aralık bölme özelliği kullanılarak

[1, 4]

aralığındaki integral değeri olan 8 ile toplanır ve buradan

\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

İkinci integralde değişken değiştirme yapılması

u = x^2

dönüşümü ile

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegral içindeki

x^2

ifadesini tek bir değişkene indirgeyerek bilinen belirli integral özelliklerini uygulayabilmek için.

2

Değişken değiştirmeye göre integral sınırlarının güncellenmesi

Yeni integral sınırları alt sınır için

u = 1

, üst sınır için

u = 9

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, entegrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerektiği için.

3

Elde edilen integralin değerinin hesaplanması

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20

olarak bulunur.

Değişken değiştirme sonucunda elde edilen

\frac{1}{2} \int_{1}^{9} f(u) \, du = 10

eşitliğinden yararlanarak.

4

Aralık bölme özelliği yardımıyla istenen integralin bulunması

\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12

elde edilir.

[1, 9]

aralığındaki integralin

[1, 4]

ve

[4, 9]

aralıklarındaki integrallerin toplamına eşit olması özelliğinden faydalanarak.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri.

Question 798Question →

Dik koordinat düzleminde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanların�� veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki uygun integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Birinci bölge

\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

integrali ile, ikinci bölge

\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx

integrali ile ve üçüncü bölge

\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx

integrali ile eşleşir.

Verilen her bir bölge için kesişim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenmiş, ardından üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Eğrilerin kesişim noktalarını bularak entegrasyon sınırlarını belirleyin.

Birinci bölge için

x^2 = 2x \implies x = 0

ve

x = 2

. İkinci bölge için

x^2 = \sqrt{x} \implies x = 0

ve

x = 1

. Üçüncü bölge için

x^2 = 8 - x^2 \implies x = 2

(

x \ge 0

için) ve sol sınır

y

-ekseni olduğundan

x = 0

.

Belirli integral sınırları, iki eğri arasında kalan alanın sınırlandığı x değerlerini tanımlar.

2

Hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyin.

[0,2]

aralığında

2x \ge x^2

,

[0,1]

aralığında

\sqrt{x} \ge x^2

ve

[0,2]

aralığında

8 - x^2 \ge x^2

olur.

Alan her zaman pozitif olmalıdır, bu yüzden üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılır.

3

Her bölge için alan integralini yazın.

Sırasıyla

\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx

,

\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx

ve

\int_{0}^{2} ((8-x^2)-x^2) \, dx = \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx

.

Alan formülü

\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx

şeklinde uygulanır.

Key Concept

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla ifade etme

Question 799Question →

İlk terimi $5$ ve ortak farkı $3$ olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_n = 258

olduğuna göre, bu dizinin $n$ . terimi ( $a_n$ ) kaçtır?

32

35

38

41

44

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Dizinin n. terimi olan 38'dir.

Verilen toplam ve ilk terim değerleri aritmetik dizinin ilk

n

terim toplam formülünde yerine konulduğunda

3n^2 + 7n - 516 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü

n = 12

olarak bulunur. Dizinin genel terim formülünden

12

. terim hesaplandığında

a_{12} = 5 + 11 \cdot 3 = 38

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Aritmetik dizinin ilk

n

terim toplamı formülü

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]

ifadesinde verilen

S_n = 258

,

a_1 = 5

ve

d = 3

değerlerini yerine yazmak.

258 = \frac{n}{2} [2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3] \Rightarrow 516 = n(3n + 7) \Rightarrow 3n^2 + 7n - 516 = 0

denklemi elde edilir.

Terim sayısını (

n

) bulabilmek için ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturulması gerekir.

2

Elde edilen

3n^2 + 7n - 516 = 0

denklemini çarpanlarına ayırarak çözmek.

(3n + 43)(n - 12) = 0

ifadesinden

n = 12

veya

n = -\frac{43}{3}

bulunur. Terim sayısı pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan

n = 12

olarak alınır.

Dizilerde terim indisi ve terim sayısı daima pozitif tam sayı olmalıdır.

3

Dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 + (n-1)d

ifadesinde

n = 12

yazarak

a_{12}

değerini hesaplamak.

a_{12} = 5 + (12-1) \cdot 3 = 5 + 33 = 38

bulunur.

Bulunan terim sayısı yardımıyla dizinin ilgili terimini elde etmek amaçlanır.

Key Concept

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı

S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

ve genel terim

a_n = a_1 + (n-1)d

formülleriyle hesaplanır.

Question 800Question →

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ birimdir.

Bu üçgenin

a

kenar uzunluğu ile

A

açısı arasında,

2R \cdot \cos(90^\circ + A) + 4a = 30

eşitliği geçerli olduğuna göre,

a

kaç birimdir?

5

6

10

12

15

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Trigonometrik indirgeme kurallarına göre

\cos(90^\circ + A) = -\sin A

olur. Bu ifade denklemde yerine yazıldığında

-2R\sin A + 4a = 30

elde edilir. Sinüs Teoremi gereğince bir üçgende

2R\sin A = a

bağıntısı mevcut olduğundan, denklem

-a + 4a = 30

şeklini alır. Buradan

3a = 30

ve

a = 10

birim olarak bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 10'dur.

Step-by-Step Solution

1

Trigonometrik indirgeme kuralı uygulanır.

\cos(90^\circ + A) = -\sin A

Koordinat sisteminin ikinci bölgesinde kosinüs fonksiyonu negatif değer alır ve

90^\circ

açısı kullanıldığı için fonksiyon isim değiştirerek sinüse dönüşür.

2

Elde edilen ifade verilen denklemde yerine yazılır.

-2R \cdot \sin A + 4a = 30

Denklemi tek değişkenli hale getirmek için indirgenmiş trigonometrik ifade yerine konur.

3

Sinüs Teoremi bağıntısı denklemde yerine yazılır.

-a + 4a = 30

Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende

a = 2R \sin A

eşitliği geçerlidir.

4

Denklem çözülerek kenar uzunluğu bulunur.

3a = 30 \implies a = 10

Benzer terimler toplanarak bilinmeyen kenar uzunluğu yalnız bırakılır.

Key Concept

Sinüs Teoremi ve Trigonometrik İndirgeme

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept