İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 2

Question 21Question →

\frac{(x^2 - 16)(x - 3)}{(x^2 - 9)(x - 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

-1

0

2

3

5

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 2'dir.

Eşitsizlikteki çarpanlar sadeleştirilip paydanın kökleri (

x \neq -3, 1, 3

) dışarıda bırakıldığında, eşitsizliği sağlayan tam sayılar

-4

,

2

ve

4

olarak bulunur. Bu sayıların toplamı

2

değerini verir.

Step-by-Step Solution

1

İfadeyi çarpanlarına ayırma

Pay kısmında

(x-4)(x+4)(x-3)

ve payda kısmında

(x-3)(x+3)(x-1)

elde edilir.

Kökleri belirlemek ve sadeleştirme yapılabilecek çarpanları görmek için ifade çarpanlarına ayrılır.

2

Tanım kümesini belirleme

Paydayı sıfır yapan

x = -3

,

x = 1

ve

x = 3

değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yapar.

3

Sadeleştirme yapma ve yeni ifadeyi oluşturma

x \neq 3

için ifade

\frac{(x-4)(x+4)}{(x+3)(x-1)} \leq 0

halini alır.

Ortak olan

(x-3)

çarpanı,

x \neq 3

koşulu altında sadeleştirilir.

4

İşaret tablosu oluşturma

Kökler:

-4, -3, 1, 4

. İşaret dağılımı sağdan sola sırasıyla

+

,

-

,

+

,

-

,

+

şeklindedir. Ayrıca

x = 3

noktasında ifadenin tanımsız olduğu unutulmamalıdır.

Eşitsizliğin yönünü belirlemek için köklere göre işaret tablosu oluşturulur.

5

Çözüm kümesini ve tam sayıları belirleme

Çözüm kümesi:

[-4, -3) \cup (1, 3) \cup (3, 4]

. Bu aralıktaki tam sayılar:

-4, 2

ve

4

'tür.

Eşitsizliği sağlayan aralıklar ve bu aralıklardaki tam sayılar tespit edilir.

6

Tam sayıların toplamını bulma

(-4) + 2 + 4 = 2

Soru kökünde istenen tam sayıların toplamı hesaplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Estimated Time:2m 0s

Question 22Question →

\frac{(9 - x^2)(x^2 - 2x - 8)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -1'dir.

Verilen eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında ifadenin kritik noktaları

-3

,

-2

,

3

ve

4

olarak bulunur. Paydadaki

(x-3)^2

teriminin kökü olan

3

değeri, paydaki

(3-x)

çarpanı ile sadeleştiğinde paydada tek katlı kök olarak kalır ve işareti değiştirir. Yapılan işaret tablosuna göre ifadenin sıfıra eşit veya büyük olduğu bölgeler

[-3, -2]

ile

(3, 4]

aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla

-3

,

-2

ve

4

olup toplamları

-1

değerine ulaşır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikte yer alan tüm polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.

Pay:

-(x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 2)

, Payda:

(x - 3)^2

Eşitsizliğin köklerini ve kritik noktalarını belirlemek amacıyla tüm çarpanları görünür hale getiririz.

2

Pay ve paydanın köklerini bularak bunların katlılık durumlarını analiz edin.

Kökler:

x = -3

(tek katlı),

x = -2

(tek katlı),

x = 3

(pay ve paydada ortak, sadeleşme sonrası tek katlı tanımsızlık noktası),

x = 4

(tek katlı).

Sadeleşen çarpanların kök karakterini (tek/çift katlı) değiştirebileceğini dikkate alarak doğru kök analizini gerçekleştirmek gerekir.

3

İşaret tablosu hazırlayarak eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları belirleyin.

Tabloda sağdan sola sırasıyla

(-)

,

(+)

,

(-)

,

(+)

,

(-)

işaretleri yer alır. Çözüm kümesi:

[-3, -2] \cup (3, 4]

İfadenin pozitif veya sıfır olduğu bölgeleri saptamak için işaret incelemesi tablosu kullanılır.

4

Çözüm kümesinde yer alan tam sayıları belirleyip toplayın.

Çözüm kümesindeki tam sayılar:

-3

,

-2

ve

4

. Toplamları:

-3 - 2 + 4 = -1

Soruda bizden istenen, eşitsizliği sa��layan tam sayıların toplam değeridir.

Key Concept

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleşen köklerin katlılık durumunun doğru belirlenmesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi.

Question 23Question →

\frac{x - 2}{12 - 3x} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 5'tir.

Çözüm kümesi

[2, 4)

yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar yalnızca

2

ve

3

değerleridir. Bu sayıların toplamı

2 + 3 = 5

yapar.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki pay ve paydanın köklerini belirleme.

Payın kökü

x = 2

ve paydanın kökü

x = 4

olarak bulunur.

Eşitsizliğin işaret değiştirme noktalarını saptamak için payı ve paydayı sıfır yapan değerler hesaplanır.

2

İşaret tablosunun genel işaretini belirleme ve tabloyu oluşturma.

Sistemin genel işareti negatiftir. İşaret tablosu en sağdan eksi ile başlar ve sola doğru

-

,

+

,

-

şeklinde ilerler.

Payın baş katsayısı

+1

(pozitif) ve paydanın baş katsayısı

-3

(negatif) olduğundan, bölümleri negatif bir işaret üretir.

3

Eşitsizliği sağlayan çözüm aralığını belirleme.

Çözüm kümesi

[2, 4)

yarı açık aralığıdır.

İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması istendiği için pozitif bölge alınır. Paydanın kökü (

x=4

) tanımsızlık yarattığı için açık parantezle dışarıda tutulurken, payın kökü (

x=2

) köşeli parantezle dahil edilir.

4

Aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip toplama.

Aralıktaki tam sayılar

2

ve

3

olup, toplamları

2 + 3 = 5

bulunur.

Soru kökünde eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamı sorulmaktadır.

Key Concept

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde işaret tablosunun kurulması ve paydanın kökünün çözüm kümesine dahil edilmemesi.

Question 24Question →

f(x) = (x^2 - 4x - 12) \cdot (x - 1)^3

olmak üzere,

\frac{f(x-3) \cdot (x^2 - 9)}{f(x+1) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 38

Answer

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 38'dir.

Eşitsizlik tablosu oluşturulurken pay ve payda kökleri doğru bir şekilde tespit edilip, çift katlı köklerde işaretin korunacağı ve payda köklerinin tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesine dahil edilmeyeceği göz önünde bulundurulduğunda, negatif veya sıfır olan bölgelerin

(0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9]

olduğu görülür. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 38'dir.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun çarpanlara ayrılması

f(x) = (x-6)(x+2)(x-1)^3

f(x-3)

ve

f(x+1)

ifadelerinin çarpanlarını doğrudan elde edebilmek için temel fonksiyonu çarpanlarına ayırırız.

2

f(x-3) ve f(x+1) ifadelerinin oluşturulması

f(x-3) = (x-9)(x-1)(x-4)^3

ve

f(x+1) = (x-5)(x+3)x^3

Ana fonksiyondaki

x

değişkeninin yerine sırasıyla

(x-3)

ve

(x+1)

yazarak ötelenmiş fonksiyonları buluruz.

3

Eşitsizlik ifadesinin çarpanlar cinsinden düzenlenmesi

E(x) = \frac{(x-9)(x-1)(x-4)^3 \cdot (x-3)(x+3)}{(x-5)(x+3)x^3 \cdot (x-2)^2} \leq 0

Eşitsizliğin tüm pay ve payda çarpanlarını bir araya getirerek kök analizi yapmaya hazır hale getiririz.

4

Köklerin ve katlarının belirlenmesi

Kökler küçükten büyüğe:

-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 9

. Köklerin katları:

x = -3

(çift katl��, tanımsız),

x = 0

(tek katlı, tanımsız),

x = 1

(tek katlı, tanımlı),

x = 2

(çift katlı, tanımsız),

x = 3

(tek katlı, tanımlı),

x = 4

(tek katlı, tanımlı),

x = 5

(tek katlı, tanımsız),

x = 9

(tek katlı, tanımlı).

Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine alınamaz.

x = -3

hem pay hem paydada yer aldığından sadeleşir fakat paydayı sıfır yaptığı için tanımsızdır.

x = 2

ise çift katlı payda köküdür.

5

İşaret tablosunun oluşturulması ve aralıkların belirlenmesi

İşaret tablosu en sağda

+

ile başlar. İşaretler sırasıyla:

x > 9

için

+

,

(5, 9]

için

-

,

[4, 5)

için

+

,

[3, 4]

için

-

,

(2, 3]

için

+

,

[1, 2)

için

+

,

(0, 1]

için

-

,

(-3, 0)

için

+

,

x < -3

için

+

. Eşitsizliği sağlayan aralıklar:

(0, 1] \cup [3, 4] \cup (5, 9]

olarak bulunur.

En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tabloya

+

ile başlanır. Tek katlı köklerde işaret değiştirilir, çift katlı köklerde (

x = 2

ve sadeleşen

x = -3

) işaret değiştirilmez.

6

Tam sayı çözümlerinin belirlenmesi ve toplamın hesaplanması

x

tam sayıları:

1

(ilk aralıktan);

3, 4

(ikinci aralıktan);

6, 7, 8, 9

(üçüncü aralıktan). Toplam:

1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 = 38

.

Aralıklardaki dahil olan sınır değerleri ve aralarındaki tam sayılar belirlenerek toplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Kök Analizi, Çift Katlı Kökler ve Tanımsızlık Koşulları

Alternative Method

Grafiksel yorumlama yöntemiyle,

f(x)

fonksiyonunun kabataslak grafiği çizilerek veya köklerin

x

eksenini kestiği yerlerdeki işaret durumları kontrol edilerek

f(x-3)

ve

f(x+1)

fonksiyonlarının davranışları doğrudan incelenebilir. Ancak cebirsel olarak çarpanlara ayırma yöntemi hata payını en aza indiren en güvenli yöntemdir.

Estimated Time:3m 0s

Question 25Question →

Aşağıdaki sol sütunda verilen iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini, sağ sütundaki analitik düzlemde belirttikleri boyalı bölgelerin sınırsal ve geometrik özellikleri ile eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

İlk sistem birinci açıklama ile, ikinci sistem ikinci açıklama ile, üçüncü sistem ise üçüncü açıklama ile eşleşmektedir.

Verilen eşitsizlik sistemlerindeki her bir eşitsizliğin sınır eğrisi (parabol veya doğru), dahillik sembolüne (düz veya kesikli çizgi) ve eşitsizlik yönüne (grafiğin üstü veya altı) göre analiz edildiğinde, her bir sistem sağ sütundaki tam tanımlayıcı geometrik ifadelerle birebir eşleşmektedir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliklerdeki eşitlik durumlarını inceleyerek sınır çizgilerinin karakterini belirlemek.

Küçük-eşit (

\le

) veya büyük-eşit (

\ge

) sembolleri içeren sınırlar düz çizgiyle, küçüktür (

<

) veya büyüktür (

>

) sembolleri içeren sınırlar kesikli çizgiyle gösterilir.

Sınır çizgilerinin dahil olup olmadığını ayırt etmek için.

2

Parabollerin kollarının yönünü belirlemek.

y = x^2 - 1

parabolünde

x^2

'li terimin katsayısı pozitif olduğundan kollar yukarı doğrudur.

y = -x^2 + 1

parabolünde ise katsayı negatif olduğundan kollar aşağı doğrudur.

Parabollerin analitik düzlemdeki temel duruşunu anlamak için.

3

Eşitsizliklerin yönlerine göre taralı bölgelerin sınır eğrilerine göre konumunu analiz etmek.

y >

veya

y \ge

durumunda eğrinin veya doğrunun üst bölgesi,

y <

veya

y \le

durumunda ise alt bölgesi taranır. Bu kurallarla ortak kesişim bölgeleri belirlenir ve tanımlarla eşleştirilir.

Çözüm kümesinin geometrik sınırlarını netleştirmek için.

Key Concept

Eşitsizliklerin Analitik Düzlemde Gösterimi

Estimated Time:2m 0s

Question 26Question →

\frac{(|x - 2| - 3)(x^2 - 4x - 5)}{(3 - x)^3(x^2 + x + 1)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

3

6

8

9

11

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 8'dir.

Eşitsizliğin pay kısmındaki çarpanların kökleri

x = -1

ve

x = 5

olup, her iki kök de çift katlı köktür. Paydadaki kök ise

x = 3

(tek katlı) olup ifadeyi tanımsız yapar. Pay kısmı daima negatif olmayan değerler aldığından, ifadenin genel işaretini payda belirler. Dolayısıyla eşitsizlik

x < 3

için sağlanır. Ayrıca payı sıfır yapan

x = -1

ve

x = 5

değerleri de çözüme dahildir. Böylece çözüm kümesi

(-\infty, 3) \cup \{5\}

olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar

1, 2

ve

5

'tir. Bunların toplamı ise 8'dir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki ifadelerin köklerini bulalım.

Pay kısmındaki

|x - 2| - 3 = 0

denkleminin kökleri

x = 5

ve

x = -1

olarak bulunur. Diğer çarpan olan

x^2 - 4x - 5 = 0

denkleminin kökleri de

(x - 5)(x + 1) = 0

bağıntısından

x = 5

ve

x = -1

olur. Paydadaki

(3 - x)^3 = 0

denkleminin kökü

x = 3

(tek katlı kök) olur.

x^2 + x + 1 = 0

denkleminin diskriminantı

\Delta = -3 < 0

olduğundan reel kökü yoktur.

Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için tüm çarpanların reel köklerini tespit etmemiz gerekir.

2

Köklerin katlılık durumunu inceleyelim.

x = 5

ve

x = -1

kökleri hem mutlak değerli ifadeden hem de ikinci dereceden üçterimliden geldiği için ikişer kez bulunurlar. Bu nedenle her iki kök de çift katlı köktür.

x^2 + x + 1

ifadesi ise

\Delta < 0

ve başkatsayısı pozitif olduğundan daima pozitiftir.

Çift katlı köklerde eşitsizlik tablosunda işaret değişimi yapılmayacaktır.

3

Eşitsizlik tablosunu kuralım ve çözüm kümesini yazalım.

Tabloda kökler sırasıyla

-1

(çift katlı),

3

(tek katlı, paydayı tanımsız yapar) ve

5

(çift katlı) olarak yerleştirilir. En sağdan (5'ten büyük değerler için) eksi (

-

) işareti ile başlanır. 5 çift katlı kök olduğundan solunda yine (

-

) olur. 3 tek katlı kök olduğundan solunda artı (

+

) olur.

-1

çift katlı kök olduğundan solunda yine (

+

) olur. Eşitsizliğin

\geq 0

olduğu bölge

x < 3

aralığıdır. Ayrıca payı sıfır yapan

x = 5

ve

x = -1

değerleri de çözüm kümesindedir. Böylece çözüm kümesi

(-\infty, 3) \cup \{5\}

olur.

Eşitsizlik yönüne (

\geq 0

) ve paydanın sıfır olamayacağına dikkat ederek çözüm kümesini belirlemek için işaret incelemesi yapılır.

4

Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleyip toplayalım.

Çözüm kümesi

(-\infty, 3) \cup \{5\}

olduğuna göre, bu kümedeki pozitif tam sayılar

1, 2

ve

5

olur (3 sayısı paydayı sıfır yaptığı için çözüm kümesine dahil edilemez). Bu sayıların toplamı

1 + 2 + 5 = 8

olarak elde edilir.

Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istemektedir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Estimated Time:2m 30s

Question 27Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = (x + 2) \cdot (x - 3)^2 \cdot (x - 5)

fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,

\frac{f(x - 1)}{x^2 - 5x + 6} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

10

15

16

21

7

Show answer & explanation

Answer: 16

Answer

Eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 16'dır.

Eşitsizliği sağlayan aralıklar

[-1, 2)

ve

(3, 6]

olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 4, 5 ve 6 olup, bunların toplamı 16'dır.

Step-by-Step Solution

1

f(x - 1)

ifadesinin köklerini belirlemek için

f(x)

fonksiyonunun köklerini tespit ederiz ve öteleme uygularız.

f(x)

fonksiyonunun kökleri

x = -2

,

x = 3

(çift katlı kök) ve

x = 5

olarak bulunur.

f(x - 1)

fonksiyonu,

f(x)

fonksiyonunun grafiğinin 1 birim sağa ötelenmiş hali olduğundan kökleri de 1 artar. Bu durumda

f(x - 1)

fonksiyonunun kökleri

x = -1

,

x = 4

(çift katlı kök) ve

x = 6

olur.

Eşitsizliğin pay kısmını oluşturan çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını belirlemek için öteleme kuralı uygulanmalıdır.

2

Paydadaki

x^2 - 5x + 6

ifadesinin köklerini buluruz.

x^2 - 5x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler

x = 2

ve

x = 3

olarak elde edilir. Bu kökler paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine dahil edilemez.

Eşitsizliğin payda kısmını sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirlemek ve bunları çözüm kümesinden hariç tutmak gerekir.

3

Elde edilen tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlarız.

Sıralı kökler:

-1

(payın tek katlı kökü),

2

(paydanın tek katlı kökü),

3

(paydanın tek katlı kökü),

4

(payın çift katlı kökü) ve

6

(payın tek katlı kökü).

Eşitsizliğin farklı aralıklardaki işaret değişimlerini sistematik bir şekilde incelemek için tablo oluşturulmalıdır.

4

Eşitsizlik ifadesinin en sağdaki aralıktaki işaretini belirleyip tabloya yerleştiririz.

Hem payın hem de paydanın baş katsayıları pozitif olduğundan, tablonun en sağ bölgesi (

x > 6

aralığı)

+

işaretiyle başlar.

İşaret tablosunun yönünü ve başlangıç işaretini belirlemek için en yüksek dereceli terimlerin katsayıları incelenir.

5

Köklerin katlılık durumuna göre işaretleri sağdan sola doğru yerleştiririz.

İşaretlerin aralıklara göre dağılımı şu şekildedir:
-

x > 6

için

+

-

(4, 6)

için

-

(6 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
-

(3, 4)

için

-

(4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez)
-

(2, 3)

için

+

(3 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
-

(-1, 2)

için

-

(2 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
-

x < -1

için

+

(-1 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)

Çift katlı köklerde işaretin değişmediği, tek katlı köklerde ise işaretin değiştiği kuralını uygulayarak tüm aralıkların işaretlerini belirlemek gerekir.

6

\leq 0

koşulunu sağlayan çözüm kümesini yazarız.

Çözüm kümesi:

S = [-1, 2) \cup (3, 6]

olarak bulunur. Payın kökleri olan

-1, 4, 6

kümeye dahil edilirken, paydanın kökleri olan

2

ve

3

açık sınır olarak bırakılır.

İfadenin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri seçerken, payda köklerinin tanımsızlık yaratması sebebiyle dahil edilmediğinden emin olunmalıdır.

7

Çözüm kümesindeki pozitif tam sayı değerlerini belirler ve toplarız.

[-1, 2)

aralığındaki pozitif tam sayı

1

değeridir.

(3, 6]

aralığındaki pozitif tam sayılar ise

4

,

5

ve

6

değerleridir.
Toplam:

1 + 4 + 5 + 6 = 16

bulunur.

Soru kökünde istenen pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için uygun aralıklardaki tam sayılar toplanır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulmak için fonksiyon ötelemesi, çift katlı kökler ve payda köklerinin tanım kümesi üzerindeki etkileri birlikte analiz edilir.

Question 28Question →

\frac{(x^2 - 5x + 4)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Eşitsizliği sağlayan

x

tam sayılarının toplamı 2'dir.

Eşitsizliğin çözüm kümesi

[-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4]

olarak bulunur. Bu aralıkta yer alan tam sayılar

-2, -1, 0, 1

ve

4

olduğundan, toplamları

2

yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Tanımsızlık oluşturan payda köklerini belirleme

Paydadaki

x - 2 = 0 \implies x = 2

ve

(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3

değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.

Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından hiçbir koşulda çözüm kümesine dahil edilemez.

2

İfadeyi sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma

x \neq 2

ve

x \neq 3

için, eşitsizlik

\frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 \implies \frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)}{(x - 3)^2} \leq 0

şekline dönüşür.

Eşitsizlik tablosunu daha kolay oluşturmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilir.

3

İşaret tablosunu oluşturma

Kökler:

x = -2

(tek katlı),

x = 1

(tek katlı),

x = 2

(tek katlı),

x = 3

(çift katlı, payda kökü),

x = 4

(tek katlı). İşaret dizilimi en sağdan

+

ile başlar:

(4, \infty)

için

+

,

(3, 4)

için

-

,

(2, 3)

için

-

,

(1, 2)

için

+

,

(-2, 1)

için

-

,

(-\infty, -2)

için

+

.

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret tablosu oluşturulurken baş katsayıların çarpımının işaretiyle en sağdan başlanır ve her tek katlı kökte işaret değiştirilir, çift katlı köklerde ise işaret değişmez.

4

Çözüm kümesini yazma ve tam sayıları toplama

Eşitsizliği sağlayan aralıklar

[-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4]

olup bu aralıktaki tam sayılar

-2, -1, 0, 1, 4

değerleridir. Toplamları:

(-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = 2

olur.

Negatif ve sıfıra eşit olan aralıklardan payda kökleri (

2

ve

3

) çıkarılarak sağlayan tam sayılar bulunur ve toplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü

Question 29Question →

\frac{(x - 4)^2 \cdot (x + 1)}{x - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

doğal sayılarının toplamı kaçtır?

1

3

5

7

8

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

Eşitsizliği sağlayan doğal sayıların toplamı 5'tir.

Eşitsizliği sağlayan doğal sayılar 0, 1 ve 4'tür. Bu sayıların toplamı 5'tir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki çarpanların köklerini bulma.

Pay kısmındaki kökler

x = 4

(çift katlı kök) ve

x = -1

(tek katlı kök) olarak bulunur. Payda kısmındaki kök ise

x = 2

(tek katlı kök) olarak elde edilir.

Eşitsizliğin işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlarını belirlemeliyiz.

2

İşaret tablosunu oluşturma ve bölgelerin işaretlerini belirleme.

En sağdaki aralıkta (

x > 4

için) ifadenin işareti pozitif

(+)

ile başlar.

x = 4

çift katlı kök olduğu için işaret değişmez,

(+)

olarak kalır.

x = 2

tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve negatif

(-)

olur.

x = -1

tek katlı kökünden geçerken işaret tekrar değişir ve pozitif

(+)

olur.

Eşitsizlikteki terimlerin en büyük dereceli terimlerinin katsayılarının işaretleri çarpımı pozitif olduğundan tabloya en sağdan

+

ile başlanır ve köklerin tek veya çift katlı olma durumuna göre işaretler belirlenir.

3

Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini yazma.

İfadenin sıfırdan küçük veya eşit

(\leq 0)

olduğu aralık

[-1, 2)

yarı açık aralığıdır. Ayrıca payı sıfır yapan

x = 4

değeri de eşitsizliği sağladığı için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi

[-1, 2) \cup \{4\}

olur. Paydanın kökü olan

x = 2

ise paydayı sıfır yapıp tanımsızlığa yol açtığı için dahil edilmez.

Negatif olan bölgeler ile ifadeyi sıfır yapan ve tanımsız yapmayan kökler birleştirilerek en geniş çözüm kümesi oluşturulur.

4

Çözüm kümesindeki doğal sayıları belirleme ve toplama.

[-1, 2) \cup \{4\}

kümesindeki doğal sayılar

0, 1

ve

4

olarak belirlenir. Bu sayıların toplamı

0 + 1 + 4 = 5

olur.

Sadece doğal sayı (negatif olmayan tam sayı) olan çözümler seçilerek toplanır.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm kümelerinin işaret tablosu yardımıyla bulunması, paydanın köklerinin hariç tutulması ve çift katlı köklerin incelenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 30Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = x^2 - 4x - 12

g(x) = x^2 - 1

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre,

\frac{f(x-2) \cdot (x^2 - 2x - 3)^3}{(x^2 - 4) \cdot g(x+1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

7

33

34

36

26

Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Eşitsizliğini sağlayan pozitif

x

tam sayılarının toplamı

34

'tür.

İfade çarpanlarına ayrıldığında pay ve paydadaki ortak çarpanlar belirlenir.

x = 0

ve

x = -2

değerleri çift katlı kök olup paydada yer aldıklarından çözüm kümesine dahil edilmezler. İşaret tablosu yapılıp

\leq 0

koşulunu sağlayan pozitif tam sayılar

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8

olarak bulunur. Bu sayıların toplamı

34

'tür.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 - 4x - 12

ve

g(x) = x^2 - 1

fonksiyonlarının kökleri çarpanlara ayırma yöntemiyle bulunur.

f(x) = (x-6)(x+2) = 0 \implies x = 6

ve

x = -2

olur.

g(x) = (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1

ve

x = -1

olur.

Ötelenmiş fonksiyonların köklerini bulabilmek için temel fonksiyonların köklerini bilmemiz gerekir.

2

f(x-2)

ve

g(x+1)

fonksiyonlarının kökleri belirlenir.

f(x-2) = 0 \implies x-2 = 6 \implies x = 8

ve

x-2 = -2 \implies x = 0

olur.

g(x+1) = 0 \implies x+1 = 1 \implies x = 0

ve

x+1 = -1 \implies x = -2

olur.

Eşitsizlik tablosunda yer alacak kritik noktaları elde etmek için bu adımı uygulamalıyız.

3

Eşitsizlikteki tüm çarpanların kökleri ve katlılık durumları listelenir.

Paydaki terimlerin kökleri:

f(x-2)

'den

x = 0

ve

x = 8

;

(x^2-2x-3)^3 = (x-3)^3(x+1)^3

'den

x = 3

(üçüncü dereceden tek katlı) ve

x = -1

(üçüncü dereceden tek katlı). Paydadaki terimlerin kökleri:

x^2-4

'ten

x = 2

ve

x = -2

;

g(x+1)

'den

x = 0

ve

x = -2

. Toplamda köklerin katları:

x = -2

(hem paydada 2 adet

\implies

çift katlı),

x = -1

(payda 3 adet

\implies

tek katlı),

x = 0

(payda 1 adet ve paydada 1 adet

\implies

çift katlı),

x = 2

(paydada 1 adet

\implies

tek katlı),

x = 3

(payda 3 adet

\implies

tek katlı),

x = 8

(payda 1 adet

\implies

tek katlı). Denetlenen payda kökleri

x = -2

,

x = 0

ve

x = 2

çözüm kümesine dahil edilemez.

İşaret tablosunda işaretin değişip değişmeyeceğini ve hangi noktaların tanımsızlık nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılacağını belirlemek için katlılık analizi şarttır.

4

Kritik noktalar küçükten büyüğe sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.

Sıralama:

-2, -1, 0, 2, 3, 8

.

x > 8

için ifadenin işareti pozitif olduğundan tablo sağdan

+

ile başlar. Çift katlı köklerde (

x = 0

ve

x = -2

) işaret değişmez, tek katlı köklerde değişir. İşaretler:

x \in (8, \infty) \implies +

,

x \in [3, 8] \implies -

,

x \in (2, 3] \implies +

,

x \in (0, 2) \implies -

,

x \in [-1, 0) \implies -

,

x \in (-2, -1] \implies +

,

x \in (-\infty, -2) \implies +

.

Eşitsizliğin negatif veya sıfır olduğu (

\leq 0

) aralıkları bulmak için işaret incelemesi tamamlanır.

5

İşaret tablosundan

\leq 0

olan aralıklar tespit edilerek bu aralıklardaki pozitif tam sayılar toplanır.

Eşitsizliği sağlayan aralıklar:

[-1, 0) \cup (0, 2) \cup [3, 8]

şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar:

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8

olup toplamları

1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34

olarak hesaplanır.

Soruda istenen pozitif tam sayı çözümlerinin toplamına ulaşmak için son hesaplama gerçekleştirilir.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerin çözümü, çift katlı kök analizi ve payda köklerinin hariç tutulması.

Alternative Method

Alternatif olarak, eşitsizliği sağlayan tam sayıları tek tek değer vererek de test edebiliriz. Ancak bu yöntem zaman alıcı ve hata payı yüksek olduğundan işaret tablosu yöntemi tercih edilmelidir.

Estimated Time:3m 0s

Question 31Question →

\frac{x - 6}{x + 3} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük ve en büyük

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitsizliği sağlayan en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı 4'tür.

Eşitsizliğin çözüm kümesi

(-3, 6]

yarı açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan en küçük tam sayı

-2

, en büyük tam sayı ise

6

olup, bu iki değerin toplamı 4'tür.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadelerin kökleri belirlenir.

Payın kökü

x = 6

, paydanın kökü

x = -3

olarak bulunur.

Kritik noktaları belirleyerek işaret tablosu oluşturmak için kökleri bulmamız gerekir.

2

İşaret tablosu yapılarak eşitsizliğin çözüm kümesi bulunur.

Çözüm kümesi

(-3, 6]

aralığı olarak elde edilir.

Paydayı sıfır yapan

x = -3

değeri tanımsızlık oluşturduğu için açık bırakılır, payı sıfır yapan

x = 6

değeri ise dahil edilir.

3

Ç��züm aralığındaki en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplanır.

En küçük tam sayı

-2

, en büyük tam sayı

6

olup toplamları

-2 + 6 = 4

bulunur.

Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak için.

Key Concept

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökünün hiçbir zaman çözüm kümesine dahil edilmemesi.

Question 32Question →

Dik koordinat düzleminde $y \geq x^2 - 2x - 3$ ve $y < -x + 3$ eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgede yer alan ve koordinatları tam sayı olan tüm $(x, y)$ noktaları için $x + y$ toplamının alabileceği en küçük değer $-3$ 'tür.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

İfade doğrudur. Verilen eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayı koordinatlı noktalar incelendiğinde

x+y

toplamının en küçük değeri

-3

olarak elde edilir.

Belirlenen sınır koşulları altında eşitsizlik sistemini sağlayan tüm tam sayı noktaları arasından seçilen (0, -3) ve (1, -4) noktaları en küçük toplam değerini (-3) vermektedir.

Step-by-Step Solution

1

Sınır eğrilerinin denklemlerini yazıp kesişim noktalarını bulunuz.

x^2 - 2x - 3 = -x + 3 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x = -2

ve

x = 3

kesişim noktalarının apsisleridir.

Bölgenin

x

ekseni üzerindeki sınırlarını belirlemek ve tam sayı apsisleri daraltmak için kesişim noktaları gereklidir.

2

Eşitsizliklerin yönlerine ve sınırların dahil olup olmama durumuna dikkat ederek bölgedeki olası tam sayı apsisleri (

x

) belirleyiniz.

Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm bölgesi için

-2 < x < 3

olmalıdır. Dolayısıyla alabileceğimiz tam sayı apsisler

x \in \{-1, 0, 1, 2\}

değerleridir.

Ortak bölgede yer alan noktaların apsisleri kesişim noktalarının arasında kalmalıdır.

3

Her bir tam sayı apsis için

x^2 - 2x - 3 \leq y < -x + 3

koşulunu sağlayan tam sayı ordinatları (

y

) bulunuz.

x = -1

için

0 \leq y < 4 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\}

x = 0

için

-3 \leq y < 3 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}

x = 1

için

-4 \leq y < 2 \implies y \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\}

x = 2

için

-3 \leq y < 1 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0\}

Bölgedeki tüm tam sayı noktaları tespit etmek için her

x

değerine karşılık gelen

y

sınırları hesaplanır.

4

Elde edilen tüm

(x, y)

ikilileri için

x + y

değerlerini hesaplayıp en küçüğünü bulunuz.

(0, -3)

noktası için

0 + (-3) = -3

ve

(1, -4)

noktası için

1 + (-4) = -3

en küçük toplam değerini verir.

Tüm aday noktalar arasında toplamı minimize eden noktalar belirlenir.

Key Concept

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi ve sınır çizgilerinin dahil olma (düz çizgi) / olmama (kesikli çizgi) durumlarının analizi.

Estimated Time:2m 0s

Question 33Question →

y = x^2 - 4x + 1

y = x - 3

Yukarıda verilen denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x + y$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Denklem sistemini sağlayan

(x, y)

gerçek sayı ikilileri için

x + y

toplamının alabileceği en küçük değer

-1

olur.

Denklem sisteminde y değerleri eşitlendiğinde elde edilen

x^2 - 5x + 4 = 0

denkleminin kökleri

x = 4

ve

x = 1

olarak bulunur. Bu x değerlerine karşılık gelen y değerleri sırasıyla

1

ve

-2

olup, elde edilen

(x,y)

ikililerinin toplamları

4+1 = 5

ve

1+(-2) = -1

şeklindedir. Dolayısıyla en küçük toplam değeri

-1

'dir.

Step-by-Step Solution

1

y ifadelerini eşitleme

x^2 - 5x + 4 = 0

denklemi elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için y değişkenini yok ederek x cinsinden bir denklem elde etmek gerekir.

2

x değerlerini bulma

x = 4

ve

x = 1

bulunur.

x^2 - 5x + 4 = 0

denklemi

(x-4)(x-1) = 0

şeklinde çarpanlarına ayrılır.

3

y değerlerini bulma

(4, 1)

ve

(1, -2)

çözüm ikilileri elde edilir.

Bulunan her bir x değerini

y = x - 3

denkleminde yerine yazarak karşılık gelen y değerleri hesaplanır.

4

Toplamları karşılaştırma

En küçük toplam

-1

olarak belirlenir.

(4, 1)

için toplam

5

,

(1, -2)

için toplam

-1

olup en küçük değer istenir.

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi ve elde edilen çözüm kümelerinin analizi.

Question 34Question →

Aşağıda sol sütunda verilen iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerini, sağ sütunda analitik düzlemde belirttikleri bölgelerin özellikleriyle eşleştiriniz.

Click a left item, then click its matching right item

Show answer & explanation

Answer

Birinci eşitsizlik sistemi birinci bölge tanımıyla, ikinci eşitsizlik sistemi ikinci bölge tanımıyla, üçüncü eşitsizlik sistemi ise üçüncü bölge tanımıyla eşleşir.

Her bir eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgeler, parabol kollarının yönü, sınır çizgisi dahil/hariç durumu (düz veya kesikli çizgi) ve test noktalarının doğruluğu kontrol edilerek karşılık gelen sözel grafik tanımlarıyla eşleştirilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci eşitsizlik sistemindeki sınır eğrilerini ve eşitsizlik yönlerini analiz etme.

y \ge x^2 - 1

ifadesi kolları yukarı doğru olan parabolün üst bölgesini (sınır dahil),

y < x + 1

ifadesi ise doğrunun alt bölgesini (sınır hariç) belirtir.

(0,0)

noktası bu eşitsizlikleri sağladığı için bu sistem birinci tanım ile eşleşir.

Eşitsizliklerin belirttiği bölgeleri tespit edebilmek için sınır eğrilerinin grafikleri ve sınırların dahil olup olmadığı incelenmelidir.

2

İkinci eşitsizlik sistemindeki sınır eğrilerini ve eşitsizlik yönlerini analiz etme.

y < 1 - x^2

ifadesi kolları aşağı doğru olan

y = -x^2 + 1

parabolünün alt bölgesini (sınır hariç),

y \ge x - 1

ifadesi ise

y = x - 1

doğrusunun üst bölgesini (sınır dahil) belirtir.

(0,0)

noktası bu sistemi de sağladığı için bu sistem ikinci tanım ile eşleşir.

Kolları aşağı doğru olan parabolün iç kısmının taranma durumu ve sınır çizgisi doğrulanmalıdır.

3

Üçüncü eşitsizlik sistemindeki sınır eğrilerini ve eşitsizlik yönlerini analiz etme.

y \ge x^2 - 1

ifadesi parabolün üst bölgesini (sınır dahil),

y \ge x + 1

ifadesi ise doğrunun üst bölgesini (sınır dahil) belirtir.

(0,0)

noktası bu sistemi sağlamazken,

(0,2)

noktası sistemi sağlar. Bu nedenle üçüncü tanım ile eşleşir.

Eşitsizlik yönleri ve test noktaları yardımıyla doğru eşleştirme tamamlanır.

Key Concept

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde boyalı bölge olarak gösterimi, sınır çizgilerinin kesikli veya düz çizgi olmasının belirlenmesi ve bölgenin içindeki test noktalarının kullanımı.

Question 35Question →

x^2 - x - 6 \leq 0

\frac{(x-1)^2}{x-2} \geq 0

Yukarıda verilen eşitsizlik sistemini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

1

3

4

5

6

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.

Doğru cevap olan 4 değeri; birinci eşitsizliğin çözüm kümesi olan

[-2, 3]

ile ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi olan

(2, \infty) \cup \{1\}

kümelerinin kesişim kümesindeki

1

ve

3

tam sayılarının toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme.

x^2 - x - 6 \leq 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) \leq 0

ifadesinden kökler

x_1 = -2

ve

x_2 = 3

olarak bulunur. Başkatsayı pozitif olduğundan işaret tablosunda

+ , - , +

sıralamasıyla, çözüm aralığı

[-2, 3]

olarak belirlenir.

Eşitsizlik sistemini oluşturan ilk ifadenin ç��züm kümesini bulmak için.

2

İkinci eşitsizliğin köklerini bulma ve çözüm aralığını belirleme.

\frac{(x-1)^2}{x-2} \geq 0

ifadesinde payın kökü

x = 1

(çift katlı kök), paydanın kökü ise

x = 2

(tek katlı kök) değeridir. Payda sıfır olamayacağından

x \neq 2

olmalıdır.

(x-1)^2 \geq 0

ifadesi her reel sayı için sıfır veya pozitif olduğundan, ifadenin işareti paydanın işaretine bağlıdır. Bu durumda

x > 2

olmalıdır. Ayrıca

x = 1

değeri payı sıfır yaparak eşitsizliği sağladığından çözüm kümesi

(2, \infty) \cup \{1\}

olarak bulunur.

Eşitsizlik sistemini oluşturan ikinci ifadenin çözüm kümesini bulmak için.

3

Eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesini bulma ve tam sayı değerlerini toplama.

İki çözüm kümesinin kesişimi

[-2, 3] \cap ((2, \infty) \cup \{1\}) = (2, 3] \cup \{1\}

olur. Bu aralıktaki tam sayılar

1

ve

3

'tür. Toplamları ise

1 + 3 = 4

bulunur.

Sistemi sağlayan ortak

x

tam sayılar��nı belirleyip toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin işaret tablosu yardımıyla ortak çözüm kümesinin bulunması.

Question 36Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x) = x^2 - x - 6

g(x) = x^2 - 4x + 3

fonksiyonları veriliyor. Buna göre,

\frac{f(x) \cdot g(x - 2)}{g(x) \cdot f(x + 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplam�� 7'dir.

Verilen fonksiyonlar çarpanlarına ayrılıp ötelenmiş halleriyle eşitsizlikte yerlerine konduğunda pay kısmında

(x-3)^2(x+2)(x-5)

, payda kısmında ise

(x-3)(x-1)(x-2)(x+3)

çarpanları elde edilir.

x \neq 3

koşuluyla sadeleştirme yapıldığında eşitsizlik, kökleri

-3

,

-2

,

1

,

2

,

3

,

5

olan tek katlı kök sistemine dönüşür. İşaret tablosu oluşturulduğunda sıfıra eşitlik ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak çözüm kümesi

(-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5]

olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (

-2, 4, 5

) toplamı 7'dir.

Step-by-Step Solution

1

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarını çarpanlarına ayırın.

f(x) = (x - 3)(x + 2)

ve

g(x) = (x - 3)(x - 1)

şeklinde elde edilir.

Eşitsizlik sisteminin köklerini bulabilmek için fonksiyonların çarpan formunu bilmemiz gerekir.

2

Ötelenmiş

f(x + 1)

ve

g(x - 2)

fonksiyonlarını bulun.

f(x + 1) = (x + 1 - 3)(x + 1 + 2) = (x - 2)(x + 3)

ve

g(x - 2) = (x - 2 - 3)(x - 2 - 1) = (x - 5)(x - 3)

olarak hesaplanır.

Eşitsizlikteki diğer çarpanları belirlemek için öteleme dönüşümlerini uygulamalıyız.

3

Eşitsizlikteki tüm fonksiyonları çarpanlarına ayrılmış biçimde yerine yazın.

\frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 5)(x - 3)}{(x - 3)(x - 1) \cdot (x - 2)(x + 3)} \leq 0

ifadesi elde edilir.

Eşitsizlik ifadesini en yalın çarpanlar cinsinden görerek kök analizine hazırlık yapılır.

4

Ortak çarpanları analiz edin ve tanımsızlık koşulunu belirleyin.

x \neq 3

olmak üzere, pay kısmındaki

(x-3)^2

ifadesi ile paydadaki

(x-3)

sadeleşir ve pay kısmında

(x-3)^1

kalır. Eşitsizlik

\frac{(x - 3)(x + 2)(x - 5)}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)} \leq 0 \quad (x \neq 3)

haline gelir. Kökler sırasıyla

-3

,

-2

,

1

,

2

,

3

ve

5

'tir.

Paydadan gelen köklerin tanımsızlık yaratacağını ve sadeleşen kökün katlılık durumunu değiştirdiğini belirlemek kritiktir.

5

İşaret tablosu hazırlayarak sağlayan aralıkları bulun.

x > 5

için ifadenin işareti (+) ile başlar ve her kökten geçildiğinde işaret değişir. İşaret sıralaması sağdan sola sırasıyla +, -, +, -, +, -, + şeklindedir. Negatif ve sıfıra eşit bölgeler taranır:

(-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5]

.

Eşitsizliğin yönüne (küçük veya eşit sıfır) göre hangi aralıkların çözüm kümesine dahil edileceğini belirlemek için işaret tablosu kullanılır.

6

Çözüm aralıklarındaki tam sayıları belirleyin ve toplayın.

(-3, -2]

aralığından

-2

,

(1, 2)

aralığından tam sayı gelmez,

(3, 5]

aralığından ise

4

ve

5

gelir. Toplam:

-2 + 4 + 5 = 7

olur.

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulmak sorunun nihai hedefidir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü, Sadeleştirme Kuralları ve Tanımsızlık Koşulu

Question 37Question →

\frac{(x^2 - 2x - 8) \cdot |x - 3|}{x^2 - 3x} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının çarpımı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların çarpımı 8'dir.

Eşitsizliği sağlayan tam sayılar

-2

,

-1

ve

4

'tür. Paydayı sıfır yapan

0

ve

3

değerleri çözüm kümesinden çıkarılmıştır. Bu tam sayıların çarpımı

(-2) \cdot (-1) \cdot 4 = 8

olur.

Step-by-Step Solution

1

Pay ve paydanın köklerini belirleme

Payın kökleri

x = -2, 3, 4

; paydanın kökleri ise

x = 0, 3

olarak tespit edilir.

Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için ifadedeki tüm kritik noktaların belirlenmesi gerekir.

2

Köklerin katlarını ve dahil edilme koşullarını analiz etme

x = -2

ve

x = 4

çözüme dahil edilirken, payda kökleri olan

x = 0

ve

x = 3

dahil edilmez.

x = 3

noktasında ifadenin işareti yön değiştirir.

Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılar.

x=3

hem pay hem de paydada yer alıp toplamda tek katlı kök etkisi gösterdiğinden bu noktada işaret değişmelidir.

3

İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralıklarını bulma

İşaret analizi sonucunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesi

[-2, 0) \cup (3, 4]

olarak elde edilir.

Kritik noktalara göre oluşturulan işaret tablosunda, en sağdan (+) ile başlayarak her kökte işaret değiştirilir ve (-) olan bölgeler taranır.

4

Sağlayan tam sayıların çarpımını hesaplama

Sağlayan tam sayılar

-2, -1, 4

olup çarpımları

8

bulunur.

Çözüm kümesindeki tam sayıların tespit edilip çarpılması istenmektedir.

Key Concept

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin elenmesi, mutlak değerli terimlerin işarete etkisi ve işaret tablosunun oluşturulması.

Estimated Time:2m 0s

Question 38Question →

x^2 - 5x - 6 < 0

x^2 - 4 > 0

eşitsizlik sisteminin çöz��m kümesi

(a, b)

açık aralığı olduğuna göre,

a + b

toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi

(2, 6)

açık aralığıdır. Buradan

a = 2

ve

b = 6

elde edilir. Bu iki değerin toplamı

2 + 6 = 8

olur.

Eşitsizlik sistemini oluşturan eşitsizliklerin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunup kesiştirildiğinde çözüm kümesinin

(2, 6)

olduğu görülür. Bu aralığın sınırları

a = 2

ve

b = 6

olduğundan toplamları 8'dir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci eşitsizliği sağlayan aralığı bulun.

x^2 - 5x - 6 < 0 \implies (x-6)(x+1) < 0 \implies x \in (-1, 6)

İkinci dereceden ifadenin başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade kökler arasında negatif değerler alır.

2

İkinci eşitsizliği sağlayan aralığı bulun.

x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)

İkinci dereceden ifadenin başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade köklerin dışında pozitif değerler alır.

3

İki aralığın kesişimini alarak ortak çözüm kümesini bulun.

(-1, 6) \cap ((-\infty, -2) \cup (2, \infty)) = (2, 6)

Sistemin çözümü, her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlandığı ortak bölgedir.

4

a

ve

b

değerlerini tespit edip toplayın.

a = 2

,

b = 6

ve buradan

a + b = 8

Çözüm kümesi

(a, b)

şeklinde tanımlandığı için aralığın alt sınırı

a

, üst sınırı ise

b

olur.

Key Concept

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerinin kesişim yöntemiyle bulunması.

Question 39Question →

x^2 - xy = 0

x^2 + y = 12

denklem sisteminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi kaç elemanlıdır?

1

2

3

4

5

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denklem sisteminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

Denklem sisteminin birinci denkleminden

x = 0

veya

x = y

bağıntıları bulunur. Bu bağıntılar ikinci denklemde yerine yazıldığında sırasıyla

(0, 12)

,

(-4, -4)

ve

(3, 3)

olmak üzere 3 farklı gerçek sayı ikilisi elde edilir. Bu nedenle çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.

x(x - y) = 0

elde edilir. Buradan

x = 0

veya

x = y

olmalıdır.

Değişkenler arasındaki ilişkileri belirleyip ikinci denklemde yerine koyabilmek için.

2

x = 0

durumunu ikinci denklemde yerine yazarak y değerini hesaplayın.

0^2 + y = 12 \Rightarrow y = 12

elde edilir. Bu durumdan

(0, 12)

çözüm ikilisi bulunur.

x değişkeninin sıfır olduğu durumu sağlayan çözüm ikilisini bulmak için.

3

x = y

durumunu ikinci denklemde yerine yazarak tek değişkenli bir denklem oluşturun.

x^2 + x = 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0

denklemi elde edilir.

Değişkenlerin birbirine eşit olduğu durumdaki çözümlere ulaşmak için.

4

Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.

(x + 4)(x - 3) = 0

olur. Buradan

x = -4

veya

x = 3

bulunur.

x = y

olduğundan

(-4, -4)

ve

(3, 3)

çözüm ikilileri elde edilir.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için.

5

Bulunan tüm çözüm ikililerini bir araya getirerek çözüm kümesini oluşturun ve eleman sayısını belirleyin.

Çözüm kümesi

\{(0, 12), (-4, -4), (3, 3)\}

olup 3 elemana sahiptir.

Sistemi sağlayan tüm gerçek sayı ikililerinin toplam sayısını belirlemek için.

Key Concept

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülmesi.

Question 40Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

\frac{(2-x) \cdot (x^2 - x - 12)^2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük 4 farklı

x

tam sayısının toplamı kaçtır?

-2

2

4

7

10

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Eşitsizliği sağlayan en büyük 4 farklı tam sayının toplamı 4'tür.

Eşitsizliğin çözüm kümesi analiz edildiğinde, sadeleşen

x = 2

kökü ve paydadaki

x = 3

kökü tanımsızlık nedeniyle kümeden atılmalıdır. Karesel ifadenin kökleri olan

x = -3

ve

x = 4

çift katlı köklerdir. Yapılan işaret tablosuna göre çözüm kümesi

(-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\}

şeklinde belirlenir. Bu aralıktaki en büyük dört farklı tam sayı sırasıyla

4

,

1

,

0

ve

-1

olup toplamları

4

'tür.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleyin.

Paydaki

2-x = 0 \implies x=2

(tek katlı kök);

(x^2-x-12)^2 = 0 \implies x=4

ve

x=-3

(her ikisi de karesi alındığı için çift katlı kök). Paydadaki

x^2-5x+6 = 0 \implies (x-2)(x-3)=0 \implies x=2

ve

x=3

(her ikisi de tek katlı kök) elde edilir.

İşaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaların tespit edilmesi gerekir.

2

Aynı kökten hem pay hem de paydada bulunup bulunmadığını kontrol ederek sadeleştirme veya katlılık durumunu güncelleyin ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.

x = 2

kökü hem pay hem de paydada mevcuttur. Eşitsizlikte paydada olduğu için

x \neq 2

olmalıdır.

x \neq 2

için

\frac{2-x}{x-2} = -1

olup bu ifade işaret değiştirmeyen sabit bir çarpan gibi davranır.

x = 3

paydanın kökü olup

x \neq 3

olmalıdır.

x = 4

ve

x = -3

payın çift katlı kökleridir.

Paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez ve ortak kökler işaret tablosunu doğrudan etkiler.

3

İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları ve noktaları belirleyin.

En sağdaki aralıkta (

x > 4

) ifadenin işareti negatif (

-

) ile başlar. İşaret tablosu sırasıyla:

x > 4 \implies -

;

x = 4

(çift katlı dahil)

\implies 0

;

3 < x < 4 \implies -

;

x = 3

(tek katlı hariç)

\implies

tanımsız;

2 < x < 3 \implies +

;

x = 2

(sadeleşen tanımsız hariç)

\implies

tanımsız;

-3 < x < 2 \implies +

;

x = -3

(çift katlı dahil)

\implies 0

;

x < -3 \implies +

şeklindedir. Buradan çözüm kümesi

S = (-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\}

olarak elde edilir.

Eşitsizliğin sağlandığı aralıkları ve tek tek sağlayan kökleri doğru tespit etmek gerekir.

4

Çözüm kümesinde yer alan en büyük 4 farklı tam sayıyı bulun ve bunları toplayın.

Çözüm kümesindeki en büyük tam sayılar sırasıyla

4

,

1

(çünkü

3

ve

2

tanımsız olduğundan hariçtir),

0

ve

-1

şeklindedir. Bu sayıların toplamı

4 + 1 + 0 + (-1) = 4

olur.

Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için en büyük tam sayıların doğru sıralanıp toplanması gerekir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer