Değişken Değiştirme Yöntemi Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 3

Question 41Question →

\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

\frac{15}{8}

\frac{81}{4}

\frac{81}{8}

\frac{15}{4}

10

Show answer & explanation

Answer: $\frac{81}{8}$

Answer

\frac{81}{8}

Doğru olan

\frac{81}{8}

cevabı,

u = x^2 - 1

değişken değiştirmesi yapılıp diferansiyel

x \, dx = \frac{du}{2}

olarak yazıldıktan sonra sınırlar

0

ve

3

olacak şekilde güncellenerek yapılan integral hesabı ile bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^2 - 1

dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

ifadesi elde edilir.

İntegral içerisindeki karmaşık ifadeyi daha basit bir formda entegre edebilmek için içteki fonksiyona yeni bir değişken atanır.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0

ve üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3

bulunur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak değiştirilmesi gerekir.

3

Elde edilen yeni integral hesaplanır.

\int_{0}^{3} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{8} (3^4 - 0^4) = \frac{81}{8}

olarak hesaplanır.

İlkel fonksiyon bulunarak güncellenmiş sınırlar yerine yazılır ve belirli integralin değeri bulunur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel çarpanlarının doğru hesaplanması.

Question 42Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 28

ve

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

6

12

14

24

28

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

İntegralin değeri 12'dir.

Doğru cevap 12'dir.

u = \sqrt{2x+7}

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}}

olur. İntegralin sınırları güncellendiğinde alt sınır 3, üst sınır 5 olur. Bu durumda integral

\int_{3}^{5} f(u) \, du

haline gelir ve bu değer soruda 12 olarak verilmiştir.

Step-by-Step Solution

1

İntegrali basitleştirmek amacıyla

u = \sqrt{2x+7}

değişken değiştirmesi uygulanır.

Diferansiyel alındığında

du = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot 2 \, dx \implies du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}}

elde edilir.

İntegral içindeki ifadeyi yeni değişken

u

cinsinden ifade edebilmek.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = \sqrt{2(1)+7} = 3

olur. Üst sınır için

x = 9 \implies u = \sqrt{2(9)+7} = 5

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uygun şekilde değiştirilmesi zorunludur.

3

Dönüşüm ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du

elde edilir. Soruda verilen

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitliğinden bu integralin değeri 12 olarak bulunur.

Elde edilen yeni integral ifadesinin değeri, soruda verilen belirli integral bilgisi kullanılarak hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının güncellenmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 43Question →

Türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için $f(1) = 2$ ve $f(5) = 8$ eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,

\int_{1}^{3} f'(2x-1) \cdot [f(2x-1)]^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

168

84

\frac{62}{3}

\frac{26}{3}

\frac{13}{3}

Show answer & explanation

Answer: 84

Answer

84 değeri doğrudur.

Dönüşüm

u = f(2x-1)

olarak seçildiğinde diferansiyel

du = 2f'(2x-1)dx

olur ve integral sınırları

x=1

için

u=2

,

x=3

için

u=8

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{8} u^2 du

haline gelir ve hesaplandığında 84 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel al��nır.

u = f(2x-1)

dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2 \cdot f'(2x-1) \, dx

elde edilir. Buradan

f'(2x-1) \, dx = \frac{du}{2}

bulunur.

Verilen integrali u değişkenine bağlı daha kolay çözülebilir bir biçime dönüştürmek için.

2

Belirli integral sınırları yeni değişken u'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \Rightarrow u = f(2(1)-1) = f(1) = 2

olur. Üst sınır için

x = 3 \Rightarrow u = f(2(3)-1) = f(5) = 8

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.

3

Yeni integral ifadesi oluşturulup hesaplanır.

\int_{2}^{8} u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{8} = \frac{1}{6} (8^3 - 2^3) = \frac{1}{6} (512 - 8) = \frac{504}{6} = 84

elde edilir.

İntegral alma kuralları ve belirli integral hesaplama adımları uygulanarak nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel alırken zincir kuralına (içinin türevine) dikkat edilmesi.

Estimated Time:2m 0s

Question 44Question →

[3, 7]

kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx

belirli integralinde

u = 2x + 1

dönü��ümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\int_{1}^{3} \frac{1}{2} f(u) \, du

\int_{3}^{7} f(u) \, du

\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

\int_{1}^{5} \frac{1}{2} f(u) \, du

\int_{3}^{7} 2 f(u) \, du

Show answer & explanation

Answer: $\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du$

Answer

doğru dönüşüm sonucunda elde edilen \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du ifadesidir.

Belirli integralde

u = 2x + 1

dönüşümü yapıldığında

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du

olur. Sınırlar ise

x=1

için

u=3

ve

x=3

için

u=7

olarak güncellenir. Bu ifadeler yerine yazıldığında doğru dönüşüm ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken tanımlaması ve diferansiyel hesabı yapılır.

u = 2x + 1

dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki ifadeyi tek bir değişken cinsinden yazmak ve diferansiyel bağıntısını kurmak için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene (

u

) göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 2(1) + 1 = 3

ve üst sınır için

x = 3 \implies u = 2(3) + 1 = 7

olarak bulunur.

İntegrasyon değişkeni x'ten u'ya geçtiği için sınır değerlerinin de u değişkenine göre hesaplanması gerekir.

3

Dönüşümler ve yeni sınırlar orijinal integralde yerine yazılarak integral düzenlenir.

\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

elde edilir.

Değişken değiştirme işlemini tamamlayarak integralin eşdeğerini bulmak için.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi

Estimated Time:1m 30s

Question 45Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(0) = 2

f\left(\frac{1}{2}\right) = 8

f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

3

5

6

8

10

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

İntegral

u = \sin(x)

değişken değiştirmesiyle sınırları

[0, 1/2]

olan

\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du

integraline dönüşür. Bu integralin sonucu

f(1/2) - f(0) = 8 - 2 = 6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme yöntemini uygulamak için uygun bir dönüşüm belirlenir.

u = \sin(x)

dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = \cos(x) \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki

\cos(x) \, dx

ifadesini

du

cinsinden yazarak integrali basitleştirmek amacıyla bu dönüşüm gereklidir.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sin(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \pi/6 \implies u = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2}

olur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Yeni sınırlarla integral

u

değişkenine bağlı olarak yazılır ve hesaplanır.

\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1/2} = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)

elde edilir. Değerler yerine yazıldığında:

8 - 2 = 6

bulunur.

Türevi

f'(u)

olan fonksiyon

f(u)

'dur. Belirli integralin temel teoremine göre sınır değerleri fonksiyonda yerine yazılarak farkı alınır.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi

Question 46Question →

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{2}^{3} (2x - 3) \cdot f(x^2 - 3x + 5) \, dx

belirli integralinde

u = x^2 - 3x + 5

değişken değiştirmesi yapılıyor.

Buna göre, elde edilen yeni integral aşağıdakilerden hangisidir?

\int_{2}^{3} f(u) \, du

\int_{3}^{5} (2u - 3) f(u) \, du

\int_{3}^{5} f(u) \, du

\int_{1}^{5} f(u) \, du

\int_{3}^{5} \frac{1}{2} f(u) \, du

Show answer & explanation

Answer: $\int_{3}^{5} f(u) \, du$

Answer

Sınırları 3'ten 5'e olan f(u) du integrali

Verilen integralde

u = x^2 - 3x + 5

dönüşümü yapıldığında her iki tarafın diferansiyeli alınırsa

du = (2x - 3)\,dx

elde edilir. Bu durum integral içindeki

(2x - 3)\,dx

ifadesinin doğrudan

du

ile yer değiştireceğini gösterir. Ardından sınırlar güncellenir: Alt sınır olan

x = 2

değeri dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında

u = 3

, üst sınır olan

x = 3

değeri yazıldığında ise

u = 5

bulunur. Böylece integral sınırları 3'ten 5'e olan

f(u)\,du

integraline dönüşür.

Step-by-Step Solution

1

Diferansiyel ifadesini bulunuz.

u = x^2 - 3x + 5 \Rightarrow du = (2x - 3) \, dx

İntegral içerisindeki

(2x-3)\,dx

ifadesini yeni değişken cinsinden yazmak için diferansiyel hesabı yapılır.

2

Belirli integralin sınırlarını yeni değişkene göre güncelleyiniz.

Alt sınır için

x = 2 \Rightarrow u = 2^2 - 3(2) + 5 = 3

Üst sınır için

x = 3 \Rightarrow u = 3^2 - 3(3) + 5 = 5

Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerin de yeni değişkene göre karşılıklarının hesaplanması gerekir.

3

Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazınız.

\int_{3}^{5} f(u) \, du

Eski değişken

x

cinsinden olan tüm terimler ve sınırlar, yeni değişken

u

cinsinden olan karşılıklarıyla değiştirilerek nihai integral elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel dönüşümünün eksiksiz yapılması.

Estimated Time:2m 0s

Question 47Question →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 4

f(2) = 10

f(4) = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

6

11

12

22

3

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12

Değişken değiştirme yöntemiyle integral

2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du

biçimine dönüşür. Bu integralin değeri

2[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

u = \sqrt{x}

dönüşümü yap��lması ve diferansiyelinin bulunması.

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du

elde edilir.

İntegraldeki değişkenleri

u

cinsinden ifade etmek için.

2

İntegral sınırlarının güncellenmesi.

Alt sınır

x=1

için

u=1

ve üst sınır

x=4

için

u=2

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

3

İntegralin yeni değişkenle hesaplanması ve değerinin bulunması.

\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12

olarak hesaplanır.

İntegral değerini verilen fonksiyon değerleri cinsinden bulmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ile birlikte sınırların da güncellenmesi gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question 48Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 16

\int_{1}^{e} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

4

-8

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İntegralin değeri 8'dir.

İntegralde

u = \ln x + 1

dönüşümü yapıldığında

du = \frac{1}{x} \, dx

olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır

x = 1

için

u = 1

, üst sınır

x = e

için

u = 2

olur. Böylece integral

\int_{1}^{2} f(u) \, du

şekline dönüşür. Verilen

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

eşitliği kullanılarak doğru cevap 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = \ln x + 1

dönüşümü yapılır.

du = \frac{1}{x} \, dx

elde edilir. Bu durumda integraldeki

\frac{1}{x} \, dx

ifadesi

du

olur.

İntegral değişkenini

x

değişkeninden

u

değişkenine dönüştürmek için.

2

İntegralin sınırları yeni değişken

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = \ln 1 + 1 = 1

olur. Üst sınır için

x = e \implies u = \ln e + 1 = 2

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.

3

Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değerler kullanılarak hesaplanır.

Yeni integral

\int_{1}^{2} f(u) \, du

haline gelir. Soruda

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

olarak verildiğinden integralin değeri 8 olarak bulunur.

Dönüşüm tamamlandıktan sonra integralin değerini bulmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternative Method

Alternatif olarak, integral

\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx

ifadesinde

t = \ln x

dönüşümü yapılırsa, integral

\int_{0}^{1} f(t+1) \, dt

olur. Daha sonra

u = t+1

dönüşümü yapılarak yine

\int_{1}^{2} f(u) \, du

integraline ulaşılır ve sonuç 8 olarak bulunur.

Estimated Time:2m 0s

Question 49Question →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(0) = 2

f(1) = 5

f(2) = 11

f(7) = 17

eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,

\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

2

5

6

15

9

Show answer & explanation

Answer: 5

Answer

İntegralin doğru değeri 5'tir.

İntegralde

u = x^3 - 1

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

x^2 \, dx = \frac{du}{3}

olur. Sınırlar

x=1

için

u=0

,

x=2

için

u=7

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f'(u) \, du = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)]

haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında

\frac{1}{3} (17 - 2) = 5

sonucu bulunur. Bu nedenle doğru yanıt 5 değeridir.

Step-by-Step Solution

1

İntegral ifadesinde

u = x^3 - 1

değişken değiştirmesi tanımlanır ve diferansiyeli alınır.

du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3}

elde edilir.

İntegrali yeni değişken

u

cinsinden yazabilmek için diferansiyel ifadesinin dönüştürülmesi gerekir.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0

ve üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7

bulunur.

Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınır değerlerinin de yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılarak integral değeri hesaplanır.

\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f'(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)]

ifadesinden

\frac{1}{3} [17 - 2] = 5

elde edilir.

Temel analiz teoremi kullanılarak türevi verilen fonksiyonun integral değeri hesaplanmıştır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru bir şekilde güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının hesaba katılması.

Alternative Method

İntegral içindeki ifade, bileşke fonksiyonun türev kuralı yardımıyla doğrudan fark edilebilir.

d(f(x^3 - 1)) = 3x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx

olduğundan, integral içerisindeki terim

\frac{1}{3} d(f(x^3 - 1))

şeklinde yazılabilir. Buradan belirli integral doğrudan

\left[ \frac{1}{3} f(x^3 - 1) \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)]

olarak çözülür.

Estimated Time:2m 0s

Question 50Question →

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 3

f(2) = 5

f(4) = 11

f(9) = 7

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

1

2

4

8

16

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İntegralin doğru değeri 4'tür.

Doğru seçenekte,

u = x^2

dönüşümü kurallara uygun olarak yapılmış, sınırlar sırasıyla

1

ve

4

olarak güncellenmiş, diferansiyel katsayısı

\frac{1}{2}

olarak integralin önüne getirilmiş ve verilen değerler kullanılarak integralin değeri

4

olarak doğru bulunmuştur.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.

u = x^2

dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \cdot f'(x^2) \, dx

ifadesini

u

cinsinden yazmak için.

2

Belirli integralin sınırlarını güncelleyelim.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 = 1

olur. Üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 = 4

olur.

Değişken değiştirildikten sonra sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

3

Elde edilen yeni integrali kurup hesaplayalım.

\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f'(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f'(u) \, du

elde edilir. Bu integralin sonucu ise

\frac{1}{2} [f(u)]_{1}^{4} = \frac{1}{2} [f(4) - f(1)]

olur.

f'(u)

fonksiyonunun integrali

f(u)

fonksiyonudur.

4

Verilen fonksiyon değerlerini yerine yazalım.

f(4) = 11

ve

f(1) = 3

değerleri yerine yazıldığında,

\frac{1}{2} [11 - 3] = \frac{8}{2} = 4

bulunur.

İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.

Question 51Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{2} (x - 1) f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

4

8

12

6

24

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

İntegralin doğru değeri 6'dır.

Değişken değiştirme yapılıp sınırlar güncellendiğinde integral

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u-1)f(u) \, du

şekline gelir. Verilen

\int_{1}^{5} (x-1)f(x) \, dx = 12

değeri kullanılarak doğru yanıt 6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İntegralde de��işken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılır.

Diferansiyel alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

ve

x^2 = u - 1

bulunur.

İntegrali

u

değişkenine bağlı olarak ifade etmek için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır

x = 0

için

u = 0^2 + 1 = 1

, üst sınır

x = 2

için

u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da güncellenmesi gerektiği için.

3

Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak ifade düzenlenir.

\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx = \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \, du

elde edilir.

Verilen integral ifadesini bilinen integral biçimine dönüştürmek için.

4

Soruda verilen

\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12

eşitliği kullanılarak integral hesaplanır.

\frac{1}{2} \cdot 12 = 6

bulunur.

Doğru sınırlar altındaki integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel ifadesinin doğru güncellenmesi

Estimated Time:2m 0s

Question 52Question →

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

2

4

6

12

36

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Değeri 4 olan seçenek doğrudur.

Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir.

u = 3x - 1

dönüşümü yapıldığında diferansiyelden gelen

\frac{1}{3}

katsayısı ve sınırların

2

ile

5

olarak güncellenmesiyle integral

\frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du

haline gelir. Bu ifade, verilen ikinci integralin

\frac{1}{3}

katına eşittir ve sonucu 4 yapar.

Step-by-Step Solution

1

İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır:

u = 3x - 1

dönüşümü yapılır.

Bu dönüşümün her iki tarafının diferansiyeli alındığında

du = 3 \, dx

elde edilir. Buradan

dx = \frac{1}{3} \, du

bulunur.

İntegral değişkenini x'ten u'ya çevirmek için diferansiyeller arasındaki ilişki kurulmalıdır.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan u değerlerine göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \Rightarrow u = 3(1) - 1 = 2

olur. Üst sınır için

x = 2 \Rightarrow u = 3(2) - 1 = 5

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değer yerine konularak hesaplama tamamlanır.

\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du

elde edilir. Soruda verilen

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

değeri yerine yazıldığında sonuç

\frac{1}{3} \cdot 12 = 4

olarak bulunur.

Yeni integralin değeri, sınırları güncellenmiş ve diferansiyel katsayısı eklenmiş haliyle hesaplanır.

Key Concept

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi

Estimated Time:1m 30s

Question 53Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \cdot \sec^2(x) \cdot f'(\tan^2(x)) \, dx

integrali veriliyor. Bu integralde

u = \tan^2(x)

değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du

\int_{0}^{1} f'(u) \, du

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(u) \, du

\int_{0}^{1} u \cdot f'(u) \, du

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du$

Answer

Önünde bir bölü iki katsayısı bulunan, sıfırdan bire f türev u du integralidir.

Verilen integralde

u = \tan^2(x)

dönüşümü uygulandığında, diferansiyel

du = 2\tan(x)\sec^2(x)\,dx

olur ve buradan

\tan(x)\sec^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\,du

elde edilir. İntegral sınırları ise

x=0

için

u=0

ve

x=\frac{\pi}{4}

için

u=1

olarak güncellenir. Bu değerler yerlerine yazıldığında integralin eş değeri önünde bir bölü iki katsayısı bulunan sıfırdan bire f türev u du şeklinde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme

u = \tan^2(x)

olarak seçildiğinde diferansiyel alınırsa

du = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx

elde edilir. Buradan

\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \, du

bulunur.

İntegral içindeki ifadenin

u

cinsinden yazılabilmesi için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.

2

Belirli integral sınırlarını güncelleme

Alt sınır için

x = 0

iken

u = \tan^2(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \frac{\pi}{4}

iken

u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.

3

Dönüşümleri integralde yerine yazma

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(\tan^2(x)) \cdot \left(\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx\right) = \int_{0}^{1} f'(u) \cdot \left(\frac{1}{2} \, du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du

elde edilir.

Bulunan diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak

u

cinsinden eş değer integral elde edilir.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Question 54Question →

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx

integrali veriliyor.

Buna göre, bu integral aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(x) \, dx

\int_{0}^{21} f(x) \, dx

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

\frac{1}{2} \int_{8}^{29} f(x) \, dx

\int_{2}^{5} f(x) \, dx

Show answer & explanation

Answer: $\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx$

Answer

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

İntegralde

u = x^2 - 4

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

olur. Sınırlar ise

x=2

için

u=0

ve

x=5

için

u=21

değerlerine güncellenir. Bu ifadeler yerine koyulup düzenlendiğinde, doğru integral ifadesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel hesaplanır.

u = x^2 - 4

dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

ve buradan

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \, dx

ifadesini yeni değişken

u

türünden yazabilmek için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 4 = 0

olur. Üst sınır için

x = 5 \implies u = 5^2 - 4 = 21

olur.

Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.

3

Bulunan ifadeler integralde yerine yazılır.

\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{21} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(u) \, du

elde edilir. Belirli integralde değişkenin ismi sonucu etkilemediği için bu ifade

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

şeklinde yazılabilir.

İntegralin değerini en sade biçimde ifade etmek için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Question 55Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

5

6

10

12

24

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Doğru cevap 10 değeridir.

Verilen integralde

u = \sqrt{x}

dönüşümü yapıldığında diferansiyel ifadesi

\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du

olur. Sınırlar ise

x=1

için

u=1

ve

x=4

için

u=2

olarak güncellenir. Böylece integral

2 \int_{1}^{2} f(u) \, du

şekline gelir. Bu integralin değeri, soruda verilen

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5

değeri yardımıyla

2 \times 5 = 10

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

u = \sqrt{x}

değişken değiştirmesi yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du

elde edilir.

İntegraldeki

\frac{dx}{\sqrt{x}}

ifadesini yeni değişken

u

cinsinden yazmak için.

2

Belirli integralin sınırları

u = \sqrt{x}

dönüşümüne göre güncellenir.

Alt sınır:

x = 1 \implies u = \sqrt{1} = 1

. Üst sınır:

x = 4 \implies u = \sqrt{4} = 2

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre tanımlanması gerektiği için.

3

Yeni sınırları ve diferansiyel ifadesini integralde yerine yazarak sonucu hesaplanır.

\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} 2f(u) \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 2 \times 5 = 10

bulunur.

Verilen

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5

bilgisini kullanarak integralin sayısal değerini bulmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisi.

Alternative Method

Alternatif olarak, integral içerisinde

x = u^2

dönüşümü yapılabilir. Bu durumda

dx = 2u \, du

olur. Sınırlar

x=1 \implies u=1

ve

x=4 \implies u=2

olur. İntegral

\int_{1}^{2} \frac{f(u)}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du

olarak elde edilir ve aynı sonuca ulaşılır.

Estimated Time:1m 30s

Question 56Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12

\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

12

8

4

24

5

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İntegralin doğru değeri 8'dir.

Doğru seçenekte belirtilen değer,

u = x^3 - 1

dönüşümüyle diferansiyelin

x^2 \, dx = \frac{du}{3}

şeklinde yazılması ve sınırların

0

ile

7

olarak güncellenmesiyle elde edilen

\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du = \frac{24}{3} = 8

hesabına dayanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

u = x^3 - 1

dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.

du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3}

elde edilir.

İntegral içindeki

x^2 \, dx

ifadesini yeni değişken

u

cinsinden yazabilmek için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0

ve üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7

bulunur.

İntegrasyon değişkeni değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da bu dönüşüme uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.

3

Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.

\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du

elde edilir. Soruda verilen

\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24

değeri yerine yazıldığında, sonuç

\frac{1}{3} \cdot 24 = 8

olarak bulunur.

Değişken değiştirme işlemi tamamlandıktan sonra verilen integral değerini kullanarak nihai sonucu elde etmek için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrali alınan ifadenin diferansiyeli ile birlikte integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Estimated Time:2m 0s

Question 57Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için
- $f(0) = 2$
- $f(3) = 4$
- $f(4) = 7$
- $f(5) = 10$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

5

14

6

-6

8

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6

Verilen integralde

u = \sqrt{x^2 + 9}

dönüşümü uygulandığında

du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx

elde edilir. İntegral sınırları alt sınır için

3

ve üst sınır için

5

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{3}^{5} f'(u) \, du = f(5) - f(3)

şekline dönüşür. Verilen değerler yerine yazıldığında

10 - 4 = 6

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme için uygun dönüşüm belirlenir ve diferansiyeli alınır.

u = \sqrt{x^2 + 9}

dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki ifadenin türevi ile ilişkisini kurarak integrali daha basit bir forma getirmek amacıyla bu dönüşüm tercih edilir.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sqrt{0^2 + 9} = 3

ve üst sınır için

x = 4 \implies u = \sqrt{4^2 + 9} = 5

olur.

Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

3

Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.

\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx = \int_{3}^{5} f'(u) \, du = [f(u)]_{3}^{5} = f(5) - f(3)

elde edilir.

Değişken değiştirme sonrası elde edilen integral temel integral alma kuralları yardımıyla çözülür.

4

Soruda verilen fonksiyon değerleri yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.

f(5) - f(3) = 10 - 4 = 6

bulunur.

İntegralin sonucunu sayısal bir değere dönüştürmek için verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin temel teoremi yardımıyla hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 58Question →

\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx

belirli integralinde $u = x^2 + 1$ dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du

\int_{1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du

\int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du

\int_{1}^{4} \frac{u+1}{2\sqrt{u}} \, du

\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du

Show answer & explanation

Answer: $\int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du$

Answer

Değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesiyle elde edilen doğru integral ifadesi, sınırları 1'den 4'e kadar olan ve paydasında 2\sqrt{u} bulunan integraldir.

Dönüşüm yapıldığında sınırların güncellenmesiyle alt sınır 1, üst sınır 4 olur. Ayrıca x^3 dx = x^2 * x dx yazılarak x^2 = u - 1 ve x dx = du/2 ifadeleri yerine konduğunda doğru integral elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme

u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

İntegral içindeki

x^3 \, dx

ifadesini

x^2 \cdot (x \, dx)

şeklinde yazarak yeni değişken cinsinden ifade etmek için.

2

Belirli integralin sınırlarını güncelleme

Alt sınır:

x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1

, Üst sınır:

x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 4

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da bu değişime uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.

3

İfadeleri integralde yerine yazarak yeni integrali elde etme

\int_{1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du

Tüm terimleri ve sınırları

u

cinsinden yazıp integral ifadesini tamamlamak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru biçimde yazılması gerekir.

Estimated Time:1m 30s

Question 59Question →

\int_{0}^{2} x(x^2 + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

156

78

10

4

2

Show answer & explanation

Answer: 78

Answer

İntegralin doğru değeri 78'dir.

Değişken değiştirme yöntemiyle

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılıp diferansiyel ve sınırlar doğru şekilde uyarlandığında belirli integralin değeri 78 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir.

u = x^2 + 1

seçilirse her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

olur. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegrali alınacak ifadeyi bilinen temel integral formuna indirgemek için parantez içi

u

değişkenine eşitlenir.

2

Belirli integral sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1

. Üst sınır için:

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerinin de yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerekir.

3

İntegral yeni değişken ve sınırlar cinsinden yazılıp hesaplanır.

\int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{625 - 1}{8} = 78

Kuvvet kuralı kullanılarak integral alınır ve üst ile alt sınır değerleri yerine koyularak farkı hesaplanır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Question 60Question →

\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

5

\sqrt{3}

1

2

2\sqrt{3}

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İntegralin doğru değeri 1'dir.

Doğru değer 1'dir.

x^2 + 16 = u

dönüşümü ile

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir. Sınırlar

x = 0

için

u = 16

ve

x = 3

için

u = 25

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{16}^{25} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = 5 - 4 = 1

olur.

Step-by-Step Solution

1

x^2 + 16 = u

dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.

2x \, dx = du \implies x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \, dx

ifadesini

u

cinsinden yazmak için.

2

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 16 = 16

. Üst sınır için:

x = 3 \implies u = 3^2 + 16 = 25

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.

3

Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.

\int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{16}^{25} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1

bulunur.

İntegrali

u

cinsinden çözüp belirli integralin değerini bulmak için.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi

Estimated Time:2m 0s

Değişken Değiştirme Yöntemi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes