Examkin

Denklem ve Eşitsizlikler

376 questions

All types376Multiple choice189True / False46Numeric122Ordering19
Question 361Question →

Bir un fabrikasında dolumu yapılan çuvalların ağırlıkları denetlenmektedir. Teknik bir hata sebebiyle, dolumu yapılan bir çuvalın kilogram cinsinden gerçek ağırlığı olan xx gerçel sayısının, 4646 ve 5454 sayılarına olan uzaklıkları toplamının en fazla 1212 olduğu belirlenmiştir.

Buna göre, bu çuvalın ağırlığının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Eşitsizliği sağlayan 1313 farklı tam sayı değeri vardır.
Sayı doğrusunda bir sayının iki farklı noktaya olan uzaklıkları toplamı mutlak değerler toplamı ile ifade edilir. Kritik noktalar olan 4646 ve 5454 değerlerine göre yapılan üç aşamalı aralık incelemesinde, xx sayısının [44,56][44, 56] kapalı aralığında yer alması gerektiği görülür. Bu aralıktaki tam sayılar terim sayısı formülü (56−44+156 - 44 + 1) ile hesaplandığında 1313 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürmek.
∣x−46∣+∣x−54∣≤12|x - 46| + |x - 54| \le 12 eşitsizliği elde edilir.
Sayı doğrusunda bir xx sayısının aa ve bb sayılarına uzaklıkları toplamı ∣x−a∣+∣x−b∣|x - a| + |x - b| şeklinde gösterilir.
2
Eşitsizliğin kritik noktalarını belirleyip farklı aralıklar için çözüm kümesini bulmak.
x<46x < 46 için x≥44x \ge 44 olur, yani [44,46)[44, 46) aralığı elde edilir. 46≤x≤5446 \le x \le 54 için 8≤128 \le 12 elde edilir ki bu aralıktaki tüm sayılar eşitsizliği sağlar. x>54x > 54 için x≤56x \le 56 elde edilir, yani (54,56](54, 56] aralığı bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretleri kritik noktalara (4646 ve 5454) göre değiştiği için analiz bu aralıklar üzerinden yapılır.
3
Aralıkları birleştirerek çözüm kümesini yazmak ve tam sayı adedini hesaplamak.
Çözüm kümesi [44,56][44, 56] aralığıdır. Bu aralıkta 56−44+1=1356 - 44 + 1 = 13 farklı tam sayı değeri vardır.
Bulunan tüm alt çözüm aralıklarının birleşimi genel çözüm kümesini verir.

Key Concept

İki mutlak değerli ifadenin toplamını içeren eşitsizliklerin kritik noktalara göre aralık analizi yapılarak çözülmesi.
Question 362Question →

Bir havaalanındaki bagaj teslim ünitesinde valizlerin ağırlıkları ölçülmektedir. Bu ünitede ağırlığı xx kg olan bir valizin standart ağırlık olan 2020 kg'dan farkının mutlak değeri, bu valizin ağırlığının 44 kg eksiğinin yarısından küçük veya eşittir.

Bu koşulu sağlayan valizler 'kabul edilebilir ağırlıkta' olarak tanımlandığına göre, kabul edilebilir ağırlıktaki bir valizin ağırlığının (xx) alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36

Answer

443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36 aralığı
Verilen sözel koşullara göre yazılan ∣x−20∣≤x−42|x - 20| \leq \frac{x - 4}{2} eşitsizliğinde, mutlak değer kuralı gereğince iki durum incelenir. Üst sınır için yapılan x−20≤x−42x - 20 \leq \frac{x - 4}{2} çözümünden x≤36x \leq 36 elde edilir. Alt sınır için yapılan −x−42≤x−20-\frac{x - 4}{2} \leq x - 20 çözümünden ise x≥443x \geq \frac{44}{3} bulunur. Soruda küçük veya eşitlik durumu belirtildiği için sınır değerleri çözüme dahildir ve en geniş aralık 443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36 olur.

Step-by-Step Solution

1
Sözel olarak verilen ifadeyi matematiksel bir eşitsizlik formuna dönüştürmek
∣x−20∣≤x−42|x - 20| \leq \frac{x - 4}{2}
Valizin ağırlığının 20 kg'dan farkının mutlak değeri ∣x−20∣|x - 20|, valiz ağırlığının 4 eksiğinin yarısı ise x−42\frac{x - 4}{2} şeklinde ifade edilir. Bu iki ifade 'küçük veya eşit' sembolüyle bağlanır.
2
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak ifadeyi iki yönlü eşitsizlik olarak açmak
−x−42≤x−20≤x−42-\frac{x - 4}{2} \leq x - 20 \leq \frac{x - 4}{2}
∣a∣≤b|a| \leq b biçimindeki eşitsizlikler −b≤a≤b-b \leq a \leq b şeklinde açılır. Bu açılımın tanımlı olabilmesi için x−42≥0⇒x≥4\frac{x-4}{2} \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 olmalıdır.
3
Eşitsizliğin sağ tarafını çözerek üst sınırı belirlemek
x≤36x \leq 36
x−20≤x−42⇒2(x−20)≤x−4⇒2x−40≤x−4⇒x≤36x - 20 \leq \frac{x - 4}{2} \Rightarrow 2(x - 20) \leq x - 4 \Rightarrow 2x - 40 \leq x - 4 \Rightarrow x \leq 36 elde edilir.
4
Eşitsizliğin sol tarafını çözerek alt sınırı belirlemek
x≥443x \geq \frac{44}{3}
−x−42≤x−20⇒−(x−4)≤2(x−20)⇒−x+4≤2x−40⇒44≤3x⇒x≥443-\frac{x - 4}{2} \leq x - 20 \Rightarrow -(x - 4) \leq 2(x - 20) \Rightarrow -x + 4 \leq 2x - 40 \Rightarrow 44 \leq 3x \Rightarrow x \geq \frac{44}{3} elde edilir.
5
Bulunan sınırları birleştirerek çözüm kümesini yazmak
443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36
Bulunan her iki sınır (x≤36x \leq 36 ve x≥443x \geq \frac{44}{3}) birleştirilir. Alt sınır olan 443≈14,67\frac{44}{3} \approx 14,67 değeri x≥4x \geq 4 başlangıç koşulunu sağladığı için en geniş aralık 443≤x≤36\frac{44}{3} \leq x \leq 36 olarak bulunur.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin açılım kuralları ve rasyonel ifadeler içeren eşitsizliklerin çözümü
Question 363Question →

Bir dokuma atölyesinde iki farklı makinede üretilen kumaşların boylar�� sırasıyla xx cm ve yy cm'dir. Bu makinelerin standart üretim boylarından sapma miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Birinci makinenin standart üretim boyu 102102 cm olup, üretilen kumaşların boyunun bu değerden sapma miktarı en fazla 44 cm'dir.
* İkinci makinenin standart üretim boyu 9494 cm olup, üretilen kumaşların boyunun bu değerden sapma miktarı en fazla 66 cm'dir.

Buna göre, her iki makinenin de standartlarına aynı anda uygun olan bir kumaş boyunun alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaç cm'dir?

Show answer & explanation

Answer: 297

Answer

Her iki makinenin de standartlarına aynı anda uygun olan kumaş boyunun alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 297'dir.
Her iki makinenin standartlarını da sağlayan kumaş boyu (LL), 98≤L≤10698 \le L \le 106 ve 88≤L≤10088 \le L \le 100 eşitsizliklerinin her ikisini birden sağlamalıdır. Bu iki aralığın kesişim kümesi 98≤L≤10098 \le L \le 100 olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 297'dir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci makine için sapma miktarı eşitsizli��ini kurup çözmek.
98≤L≤10698 \le L \le 106
Maksimum sapma 44 cm olduğu için kumaş boyu 102±4102 \pm 4 aralığında yer almalıdır.
2
İkinci makine için sapma miktarı eşitsizliğini kurup çözmek.
88≤L≤10088 \le L \le 100
Maksimum sapma 66 cm olduğu için kumaş boyu 94±694 \pm 6 aralığ��nda yer almalıdır.
3
İki makinenin de standartlarına aynı anda uyan ortak aralığı kesişim işlemiyle belirlemek.
98≤L≤10098 \le L \le 100
Ortak kumaş boyu her iki üretim standardını da aynı anda sağlamalıdır.
4
Bu ortak aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.
297
Aralıktaki tam sayılar 9898, 9999 ve 100100 olup bunların toplamı 297'dir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve kesişim kümesi bulma
Question 364Question →

Bir kırtasiyeci, dükkânında satmak üzere A ve B marka kalem kutularından sipariş verecektir. Kırtasiyecinin sipariş planlaması ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sipariş edilecek A marka kutu sayısı xx, B marka kutu sayısı yy olmak üzere, xx ve yy birer pozitif tam sayıdır.
* B marka kutu sayısı, A marka kutu sayısından fazla olacaktır.
* Sipariş edilecek toplam kutu sayısı en az 6 olacaktır.
* Her bir A marka kutu için 10 TL, her bir B marka kutu için 20 TL ödeyecek olan kırtasiyecinin bu sipariş için ayırdığı toplam bütçe en fazla 120 TL'dir.

Buna göre, kırtasiyecinin bu koşullara uygun verebileceği kaç farklı sipariş seçeneği vardır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Kırtasiyecinin bu koşullara uygun verebileceği 4 farklı sipariş seçeneği vardır.
Verilen kısıtlardan elde edilen y>xy > x, x+y≥6x + y \ge 6 ve x+2y≤12x + 2y \le 12 eşitsizlik sistemini sağlayan pozitif tam sayı ikilileri (1,5)(1, 5), (2,4)(2, 4), (2,5)(2, 5) ve (3,4)(3, 4) olmak üzere toplam 4 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Kısıtları belirlemek ve sadeleştirmek
y>xy > x, x+y≥6x + y \ge 6 ve x+2y≤12x + 2y \le 12 eşitsizlikleri elde edilir. Burada xx ve yy pozitif tam sayılardır.
Soruda verilen sözel koşulları matematiksel eşitsizlik sistemine çevirmek için.
2
x=1x = 1 durumunu incelemek
1+y≥6⇒y≥51 + y \ge 6 \Rightarrow y \ge 5 ve 1+2y≤12⇒2y≤11⇒y≤51 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 11 \Rightarrow y \le 5 (çünkü yy tam sayıdır). Bu iki kısıt birleştirildiğinde y=5y = 5 olur. y>x⇒5>1y > x \Rightarrow 5 > 1 şartı sağlandığı için (1,5)(1, 5) geçerli bir ikilidir.
xx değişkenine en küçük pozitif tam sayı değerini vererek çözümleri adım adım bulmak için.
3
x=2x = 2 durumunu incelemek
2+y≥6⇒y≥42 + y \ge 6 \Rightarrow y \ge 4 ve 2+2y≤12⇒2y≤10⇒y≤52 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 10 \Rightarrow y \le 5 elde edilir. Buradan y∈{4,5}y \in \{4, 5\} bulunur. Her iki değer de y>x⇒y>2y > x \Rightarrow y > 2 şartını sağladığı için (2,4)(2, 4) ve (2,5)(2, 5) geçerli ikililerdir.
xx değişkenini bir artırarak diğer olası çözümleri taramak için.
4
x=3x = 3 durumunu incelemek
3+y≥6⇒y≥33 + y \ge 6 \Rightarrow y \ge 3 ve 3+2y≤12⇒2y≤9⇒y≤43 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 9 \Rightarrow y \le 4 elde edilir. Buradan y∈{3,4}y \in \{3, 4\} bulunur. Ancak y>x⇒y>3y > x \Rightarrow y > 3 şartından dolayı y=3y = 3 alınamaz. Sadece (3,4)(3, 4) geçerli bir ikilidir.
xx değişkeninin bir sonraki tam sayı değerini analiz etmek için.
5
x≥4x \ge 4 sınırını analiz etmek
x=4x = 4 için 4+2y≤12⇒2y≤8⇒y≤44 + 2y \le 12 \Rightarrow 2y \le 8 \Rightarrow y \le 4 olur. Ancak y>x⇒y>4y > x \Rightarrow y > 4 koşuluyla bu durum çelişir. x>4x > 4 değerleri için de benzer şekilde çelişki oluşur, dolayısıyla başka çözüm yoktur.
Çözüm kümesinin sınırlandığını ve başka pozitif tam sayı ikilisi olmadığını göstermek için.

Key Concept

Birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin pozitif tam sayı çözüm kümelerinin bulunması

Alternative Method

Eşitsizlik sistemini oluşturan doğruları analitik düzlemde çizerek elde edilen kapalı bölge sınırları ve içerisindeki tam sayı koordinatlı (latis) noktaları grafik üzerinde tek tek sayarak da sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Question 365Question →
Bir xx ger��el sayısı için,
∣2x−6∣≤x−a|2x - 6| \le x - a
eşitsizliğini sağlayan hiçbir xx gerçel sayısı bulunmamaktadır.

Buna göre, aa sayısı için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a>3a > 3

Answer

a>3a > 3 ifadesinin bulunduğu seçenek doğrudur.
Verilen ∣2x−6∣≤x−a|2x - 6| \le x - a eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş küme olması için, eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen alt sınırın üst sınırdan büyük olması gerekir. Yapılan işlemler sonucunda x≥a+63x \ge \frac{a+6}{3} ve x≤6−ax \le 6-a eşitsizliklerinin ortak elemanının bulunmaması koşulu a+63>6−a⇒a>3\frac{a+6}{3} > 6-a \Rightarrow a > 3 olarak bulunur. Sınır değeri olan a=3a=3 için x=3x=3 bir çözüm sağladığından a=3a=3 dahil edilmemeli, dolayısıyla doğru sonuç a>3a > 3 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin çözümünün var olma koşulunu belirleme
x−a≥0⇒x≥ax - a \ge 0 \Rightarrow x \ge a
Mutlak değerli bir ifade negatif bir değerden küçük veya eşit olamayacağı için çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması ancak sağ tarafın sıfırdan büyük veya eşit olmasıyla mümkündür.
2
Eşitsizliği mutlak değer kurallar��na göre açma
−(x−a)≤2x−6≤x−a-(x - a) \le 2x - 6 \le x - a
∣u∣≤v|u| \le v eşitsizliği −v≤u≤v-v \le u \le v şeklinde iki parçalı eşitsizlik olarak çözülür.
3
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözme
x≥a+63x \ge \frac{a+6}{3} ve x≤6−ax \le 6 - a
Birinci parçadan −x+a≤2x−6⇒3x≥a+6⇒x≥a+63-x + a \le 2x - 6 \Rightarrow 3x \ge a+6 \Rightarrow x \ge \frac{a+6}{3} elde edilir. İkinci parçadan 2x−6≤x−a⇒x≤6−a2x - 6 \le x - a \Rightarrow x \le 6-a elde edilir.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması koşulunu inceleme
a+63>6−a⇒a>3\frac{a+6}{3} > 6 - a \Rightarrow a > 3
Eşitsizlik sisteminin ortak bir çözümünün olmaması (boş küme olması) için alt sınırın üst sınırdan kesinlikle büyük olması gerekir.
5
Sınır değerini kontrol etme
a=3a = 3 için çözüm kümesi boş küme değildir.
a=3a = 3 yazıldığında ∣2x−6∣≤x−3|2x - 6| \le x - 3 olur ve x=3x = 3 bu eşitsizliği sağladığı için sınır değeri dahil edilmemelidir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümesinin boş küme olması durumu ve sınır analizi
Estimated Time:2m 0s
Question 366Question →

Sayı doğrusu üzerinde −2-2 noktasına olan uzaklığı en az 44 birim, 33 noktasına olan uzaklığı ise 88 birimden küçük olan tüm xx gerçel sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: [2,11)[2, 11)

Answer

Sayı doğrusundaki koşulları sağlayan gerçel sayıların kümesi [2,11)[2, 11) yarı açık aralığıdır.
Sayı doğrusunda −2-2 noktasına uzaklığı en az 44 birim olan sayılar ∣x+2∣≥4|x + 2| \ge 4 eşitsizliğini, 33 noktasına uzaklığı 88 birimden küçük olan sayılar ise ∣x−3∣<8|x - 3| < 8 eşitsizliğini sağlar. Bu iki eşitsizliğin çözümlerinden elde edilen x≤−6x \le -6 veya x≥2x \ge 2 ile −5<x<11-5 < x < 11 aralıklarının kesişimi [2,11)[2, 11) yarı açık aralığını verir. Dolayısıyla, [2,11)[2, 11) aralığını içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
−2-2 noktasına olan uzaklığı en az 44 birim olan xx gerçel sayılarını mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade edip çözelim.
∣x−(−2)∣≥4⇒∣x+2∣≥4|x - (-2)| \ge 4 \Rightarrow |x + 2| \ge 4 olur. Buradan x+2≥4⇒x≥2x + 2 \ge 4 \Rightarrow x \ge 2 veya x+2≤−4⇒x≤−6x + 2 \le -4 \Rightarrow x \le -6 elde edilir. Bu küme (−∞,−6]∪[2,∞)(-\infty, -6] \cup [2, \infty) aralığıdır.
Bir xx sayısının aa sayısına uzaklığı ∣x−a∣|x - a| ile ifade edilir. 'En az' ifadesi sınır değerinin de dahil olduğunu belirten ≥\ge sembolünü gerektirir.
2
33 noktasına olan uzaklığı 88 birimden küçük olan xx gerçel sayılarını mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade edip çözelim.
∣x−3∣<8|x - 3| < 8 olur. Buradan −8<x−3<8-8 < x - 3 < 8 elde edilir. Eşitsizliğin her tarafına 33 eklersek −5<x<11-5 < x < 11 bulunur. Bu küme (−5,11)(-5, 11) açık aralığıdır.
'Küçük' ifadesi sınır değerinin dahil olmadığını belirten << sembolünü gerektirir.
3
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan xx değerlerini bulmak için iki çözüm kümesinin kesişimini alalım.
((−∞,−6]∪[2,∞))∩(−5,11)((-\infty, -6] \cup [2, \infty)) \cap (-5, 11) işlemini yaptığımızda; negatif tarafta (−∞,−6]∩(−5,11)=∅(-\infty, -6] \cap (-5, 11) = \emptyset olurken, pozitif tarafta [2,∞)∩(−5,11)=[2,11)[2, \infty) \cap (-5, 11) = [2, 11) elde edilir. Böylece çözüm kümesi [2,11)[2, 11) olur.
Soruda verilen iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiğinden elde edilen çözüm kümelerinin kesişim kümesi alınmalıdır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri ve Aralık Kesişimi
Estimated Time:2m 0s
Question 367Question →
1<∣2x−5∣≤91 < |2x - 5| \le 9

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 20'dir.
Çift yönlü mutlak değerli eşitsizlik iki parçaya ayrılarak çözüldüğünde 3<x≤73 < x \le 7 ve −2≤x<2-2 \le x < 2 aralıkları elde edilir. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla {4, 5, 6, 7} ve {-2, -1, 0, 1} olup, toplamları 20 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliği mutlak değer dışına çıkarma kurallarına göre iki ayrı eşitsizlik sistemine dönüştürmek
1<2x−5≤91 < 2x - 5 \le 9 veya −9≤2x−5<−1-9 \le 2x - 5 < -1
a<∣u∣≤ba < |u| \le b ifadesinin, mutlak değerin tanımı gereği pozitif ve negatif olmak üzere iki yönlü çözüm aralığı vardır.
2
Birinci eşitsizliği (1<2x−5≤91 < 2x - 5 \le 9) çözmek ve sağlayan tam sayıları belirlemek
3<x≤73 < x \le 7 aralığından x=4,5,6,7x = 4, 5, 6, 7
Eşitsizliğin her tarafına 5 ekleyip 2'ye bölerek xx'i yalnız bırakırız.
3
İkinci eşitsizliği (−9≤2x−5<−1-9 \le 2x - 5 < -1) çözmek ve sağlayan tam sayıları belirlemek
−2≤x<2-2 \le x < 2 aralığından x=−2,−1,0,1x = -2, -1, 0, 1
Negatif taraftaki eşitsizlik sınırlarını belirleyerek sağlayan değerleri buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerini toplamak
(−2)+(−1)+0+1+4+5+6+7=20(-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 + 5 + 6 + 7 = 20
Soruda istenen toplam değerini bulmak için tüm çözümleri toplarız.

Key Concept

Çift yönlü mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm aralıklarının bulunması ve sınır değerlerinin kontrolü
Question 368Question →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının sıfıra olan uzaklığı, bu sayının 22 katının 66 eksiğinden küçüktür.

Buna göre, xx sayısının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: (6,∞)(6, \infty)

Answer

x sayısının alabileceği en geniş değer aralığı (6, sonsuz) aralığıdır.
Verilen sözel ifade matematiksel olarak ∣x∣<2x−6|x| < 2x - 6 eşitsizliğine karşılık gelir. Mutlak değer negatif olamayacağı için öncelikle 2x−6>0⇒x>32x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3 koşulu aranmalıdır. Ardından eşitsizlik −2x+6<x<2x−6-2x + 6 < x < 2x - 6 biçiminde açılır. Bu sistem çözüldüğünde x>2x > 2 ve x>6x > 6 elde edilir. Tüm koşulların (x>3x > 3, x>2x > 2 ve x>6x > 6) kesişimi alındığında en geniş çözüm aralığı (6,∞)(6, \infty) olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sayı doğrusunda bir xx sayısının sıfıra olan uzaklığı ∣x∣|x| olarak ifade edilir. Soruda verilen durumu matematiksel eşitsizliğe dönüştürelim.
∣x∣<2x−6|x| < 2x - 6 eşitsizliği elde edilir.
Sıfıra olan uzaklık mutlak değer tanımıdır ve bu değer 2x−62x - 6 ifadesinden küçük olarak verilmiştir.
2
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Bu nedenle eşitsizliğin sağ tarafındaki ifadenin pozitif olması koşulunu belirleyelim.
2x−6>0⇒2x>6⇒x>32x - 6 > 0 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3 k��sıtı bulunur.
Mutlak değer negatif bir sayıdan küçük olamayacağı için, sağ tarafın kesinlikle pozitif olması gerekir.
3
∣x∣<a|x| < a formundaki eşitsizliklerin çözüm kuralını (−a<x<a-a < x < a) uygulayarak eşitsizlik sistemini yazalım.
−(2x−6)<x<2x−6-(2x - 6) < x < 2x - 6 yani −2x+6<x-2x + 6 < x ve x<2x−6x < 2x - 6 eşitsizlikleri elde edilir.
Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek için ifadeyi mutlak değer dışına sınır aralıkları kullanarak çıkarırız.
4
Elde edilen iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Birinci eşitsizlik: −2x+6<x⇒6<3x⇒x>2-2x + 6 < x \Rightarrow 6 < 3x \Rightarrow x > 2.
İkinci eşitsizlik: x<2x−6⇒6<x⇒x>6x < 2x - 6 \Rightarrow 6 < x \Rightarrow x > 6.
Her bir eşitsizlik sınırı bize xx için farklı alt limitler sağlayacaktır.
5
Bulunan tüm koşulların (x>3x > 3, x>2x > 2 ve x>6x > 6) kesişimini alarak en geniş çözüm aralığını belirleyelim.
x>6x > 6 yani (6,∞)(6, \infty) aralığı elde edilir.
Bir gerçel sayının her üç koşulu da aynı anda sağlaması için bu koşulların en daraltılmış olan sınırını (x>6x > 6) aşması gerekir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve değişken içeren ifadelerle çözümü
Estimated Time:1m 30s
Question 369Question →
∣x−3∣−2∣x∣−4≤0 \frac{|x - 3| - 2}{|x| - 4} \le 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0

Answer

Eşitsizliği sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 0'dır.
Eşitsizliği sağlayan gerçel sayıların kümesi (−4,1]∪(4,5](-4, 1] \cup (4, 5] olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı 0 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmının köklerini bulmak
x=1x = 1 ve x=5x = 5
Payın sıfır olduğu noktalar eşitsizliğin sınır değerlerini belirler.
2
Payda kısmını sıfır yapan değerleri bulmak
x=−4x = -4 ve x=4x = 4
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığı için çözüm kümesine dahil edilemez.
3
İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin sağlandığı aralıkları belirlemek
x∈(−4,1]∪(4,5]x \in (-4, 1] \cup (4, 5]
Bölümün sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olduğu bölgeleri bulmak gerekir.
4
Aralıklardaki tam sayıları toplayarak sonuca ulaşmak
−3−2−1+0+1+5=0-3 - 2 - 1 + 0 + 1 + 5 = 0
Bizden istenen değer, eşitsizliği sağlayan tüm tam sayıların toplamıdır.

Key Concept

Rasyonel mutlak değerli eşitsizliklerin çözümünde payda köklerinin tanımsızlık yaratması ve işaret tablosu yöntemiyle çözüm kümesi bulma.
Question 370Question →

Bir kargo paketinin ağırlığı iki farklı terazi ile tartılıyor.

* Birinci terazi paket ağırlığını, gerçek ağırlığından en çok 22 kg farklı tartabilmektedir.
* İkinci terazi paket ağırlığını, gerçek ağırlığından en çok 33 kg farklı tartabilmektedir.

Bu paket birinci terazide tartıldığında 1515 kg, ikinci terazide tartıldığında ise 1616 kg gelmektedir.

Buna göre, bu paketin gerçek ağırlığı olan xx gerçel sayısının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı kaç kg'dır?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Paketin gerçek ağırlığının alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamı 30 kg'dır.
Paketin gerçek ağırlığı her iki terazinin ölçüm aralıklarının ortak bölgesinde (kesişiminde) bulunmalıdır. Birinci teraziye göre ağırlık 13 ile 17 kg arasında, ikinci teraziye göre ise 13 ile 19 kg arasında olmalıdır. Her iki aralığı da sağlayan ortak bölge 13 ile 17 kg aralığıdır. Buradan en küçük değer 13 kg, en büyük değer ise 17 kg olur ve toplamları 30 kg'ı verir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci terazinin hata toleransı kullanılarak eşitsizlik kurulur ve çözülür.
13≤x≤1713 \le x \le 17
Terazinin ölçtüğü değer 15 kg olup gerçek ağırlık bu değerden en çok 2 kg eksik veya fazla olabilir.
2
İkinci terazinin hata toleransı kullanılarak eşitsizlik kurulur ve çözülür.
13≤x≤1913 \le x \le 19
Terazinin ölçtüğü değer 16 kg olup gerçek ağırlık bu değerden en çok 3 kg eksik veya fazla olabilir.
3
Elde edilen iki eşitsizlik aralığının kesişim kümesi bulunur.
13≤x≤1713 \le x \le 17
Gerçek ağırlık tek bir sabit değer olduğundan her iki terazinin de sınır şartlarını aynı anda sağlamalıdır.
4
Kesişim aralığındaki en küçük ve en büyük değerler toplanır.
13+17=3013 + 17 = 30
Bizden istenen gerçek ağırlığın alabileceği en küçük ve en büyük değerlerin toplamıdır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözümü ve Aralıkların Kesişimi
Question 371Question →

Bir xx gerçel sayısının 33 sayısına olan uzaklığı, bu sayının −1-1 sayısına olan uzaklığının yarısından küçüktür. Buna göre, xx sayısının alabileceği tüm değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: (53,7)\left( \frac{5}{3}, 7 \right)

Answer

İki sayı arasındaki uzaklık farkını gösteren eşitsizliğin çözüm kümesi açık aralık olarak beş bölü üç ile yedi aralığıdır.
Soruda verilen sözel ifade cebirsel olarak ∣x−3∣<12∣x+1∣|x - 3| < \frac{1}{2}|x + 1| şeklinde modellenir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen 3x2−26x+35<03x^2 - 26x + 35 < 0 ifadesinin kökleri beş bölü üç ve yedi olup, eşitsizliğin sağlandığı negatif bölge bu iki kökün arasındaki açık aralıktır.

Step-by-Step Solution

1
Sözel olarak verilen uzaklık ifadesini mutlak değerli eşitsizliğe dönüştürme.
xx sayısının 33 sayısına uzaklığı ∣x−3∣|x - 3|, −1-1 sayısına uzaklığı ise ∣x−(−1)∣=∣x+1∣|x - (-1)| = |x + 1| olur. Koşula göre eşitsizlik: ∣x−3∣<12∣x+1∣|x - 3| < \frac{1}{2}|x + 1| şeklindedir.
Bir gerçel sayının başka bir sayıya uzaklığı mutlak değer kullanılarak ifade edilir.
2
Eşitsizliği sadeleştirip her iki tarafın karesini alma.
2∣x−3∣<∣x+1∣  ⟹  (2x−6)2<(x+1)2  ⟹  4x2−24x+36<x2+2x+12|x - 3| < |x + 1| \implies (2x - 6)^2 < (x + 1)^2 \implies 4x^2 - 24x + 36 < x^2 + 2x + 1 elde edilir.
Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğundan, karesini almak eşitsizlik yönünü değiştirmeden mutlak değerleri kaldırmamızı sağlar.
3
İkinci dereceden eşitsizlik ifadesini düzenleme ve çarpanlarına ayırma.
3x2−26x+35<0  ⟹  (3x−5)(x−7)<03x^2 - 26x + 35 < 0 \implies (3x - 5)(x - 7) < 0 elde edilir.
Çözüm aralığını belirlemek amacıyla kökleri bulmak için ifadeyi standart ikinci dereceden formata getiririz.
4
İşaret tablosu yardımıyla çözüm kümesini bulma.
Kökler x=53x = \frac{5}{3} ve x=7x = 7 olarak bulunur. 3x23x^2 teriminin katsayısı pozitif olduğundan tablo sağdan ++ ile başlar: + ∣ − ∣ ++ \ | \ - \ | \ +. Eşitsizlik sıfırdan küçük olmalı ve eşitlik içermemelidir. Bu durumda çözüm kümesi (53,7)\left( \frac{5}{3}, 7 \right) olur.
İkinci dereceden bir ifadenin negatif olduğu bölgeyi ve sınır değerlerin dahil olup olmadığını belirlemek için işaret tablosu kullanılır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin uzaklık tanımı üzerinden kurulması ve ikinci dereceden eşitsizlik yöntemleriyle çözülmesi.
Question 372Question →
∣x−3∣⋅∣x+2∣≤−∣x−3∣|x - 3| \cdot |x + 2| \le -|x - 3|

eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: {3}\{3\}

Answer

Sadece 3 elemanından oluşan {3} kümesidir.
Verilen eşitsizlik ∣x−3∣⋅(∣x+2∣+1)≤0|x - 3| \cdot (|x + 2| + 1) \le 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. ∣x+2∣+1|x + 2| + 1 ifadesi daima pozitif olduğundan, eşitsizliğin sağlanması ancak ∣x−3∣=0|x - 3| = 0 durumu ile mümkündür. Buradan x=3x = 3 elde edilir ve çözüm kümesi sadece bu elemanı içerir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin sağ tarafındaki terimi sol tarafa ekleyerek sıfıra göre düzenleyin.
∣x−3∣⋅∣x+2∣+∣x−3∣≤0|x - 3| \cdot |x + 2| + |x - 3| \le 0
Tüm ifadeleri bir tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alma ve işaret analizi yapabilmek için.
2
Sol taraftaki ifadeyi ∣x−3∣|x - 3| ortak parantezine alın.
∣x−3∣⋅(∣x+2∣+1)≤0|x - 3| \cdot (|x + 2| + 1) \le 0
Çarpım durumundaki ifadelerin işaret durumlarını ayrı ayrı değerlendirebilmek için.
3
Çarpanların alabileceği değer aralıklarını ve işaretlerini inceleyin.
Her xx gerçel sayısı için ∣x−3∣≥0|x - 3| \ge 0 ve ∣x+2∣≥0|x + 2| \ge 0 olur. Dolayısıyla, ikinci çarpan olan ∣x+2∣+1|x + 2| + 1 ifadesi her zaman en az 1 değerini alır ve kesinlikle pozitiftir (∣x+2∣+1>0|x + 2| + 1 > 0).
Mutlak değerin negatif olamayacağı özelliğini kullanarak çarpanlardan birinin işaretini kesinleştirmek için.
4
Çarpımın sonucunun sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan koşulu belirleyin.
Pozitif bir sayı ile ∣x−3∣|x - 3| çarpıldığında sonucun sıfırdan küçük veya eşit olması için ∣x−3∣≤0|x - 3| \le 0 olmalıdır. Mutlak değer negatif olamayacağından bu durum sadece ∣x−3∣=0|x - 3| = 0 iken sağlanır ve buradan x=3x = 3 bulunur.
Sıfırdan küçük veya eşit olma durumunu sağlayan tek değişken değerini elde etmek için.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümünde mutlak değerin negatif olamayacağı gerçeğinin kullanılması ve sadeleştirme hatalarından kaçınılması.
Question 373Question →

Bir kimyasal reaksiyonun gerçekleşebilmesi için ortam sıcaklığının santigrat derece cinsinden değeri (xx),

∣2x−7∣<15|2x - 7| < 15

eşitsizliğini sağlamalıdır.

Buna göre, bu reaksiyonun gerçekleşebileceği sıcaklık değerini ifade eden en küçük xx tam sayısı ile en büyük xx tam sayısının toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı ile en büyük tam sayının toplamı 7'dir.
Eşitsizlik açıldığında xx değerinin −4-4 ile 1111 açık aralığında olduğu görülür. Bu aralıktaki en küçük tam sayı −3-3, en büyük tam sayı ise 1010'dur. Toplamları ise 77 olur.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli eşitsizliği çift yönlü eşitsizlik olarak yazmak
−15<2x−7<15-15 < 2x - 7 < 15
∣f(x)∣<a|f(x)| < a biçimindeki eşitsizlikler −a<f(x)<a-a < f(x) < a şeklinde açılır.
2
xx ifadesini yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 7 eklemek
−8<2x<22-8 < 2x < 22
Eşitsizlik özelliklerine göre her tarafa aynı sayı eklendiğinde eşitsizliğin yönü değişmez.
3
Her tarafı 2'ye bölerek xx'in değer aralığını bulmak
−4<x<11-4 < x < 11
Pozitif bir sayıya bölme işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
4
Aralıktaki en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini belirlemek
En küçük tam sayı x=−3x = -3, en büyük tam sayı x=10x = 10
Sınır değerleri olan −4-4 ve 1111 açık aralıkta olduklarından eşitsizliğe dahil edilemezler.
5
Belirlenen tam sayıları toplamak
−3+10=7-3 + 10 = 7
Soruda bu iki değerin toplamı istenmektedir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve çözüm kümesindeki tam sayıların belirlenmesi
Question 374Question →
∣2x−3∣≥x+3|2x - 3| \ge x + 3

eşitsizliğini sağlamayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Eşitsizliğini sağlamayan xx tam sayılarının toplamı 1515'tir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi x≤0x \le 0 veya x≥6x \ge 6 aralıklarının birleşimidir. Bu koşulları sağlamayan gerçel sayılar (0,6)(0, 6) açık aralığında yer alır. Bu aralıktaki tam sayılar 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 olup toplamları 1515'tir. Dolayısıyla doğru yanıt 1515 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümelerini belirlemek için mutlak değerin özelliklerini kullanalım.
∣2x−3∣≥x+3|2x - 3| \ge x + 3 eşitsizliği iki farklı durumda incelenir:
1) 2x−3≥x+3  ⟹  x≥62x - 3 \ge x + 3 \implies x \ge 6
2) 2x−3≤−(x+3)  ⟹  2x−3≤−x−3  ⟹  3x≤0  ⟹  x≤02x - 3 \le -(x + 3) \implies 2x - 3 \le -x - 3 \implies 3x \le 0 \implies x \le 0
Mutlak değerli bir ifadenin bir ifadeden büyük veya eşit olması durumu, ifadenin kendisinin veya negatifinin eşitsizliği sağlamasıyla çözülür.
2
Bulunan iki çözüm kümesini birleştirerek eşitsizliği sağlayan gerçel sayı aralığını yazalım.
Eşitsizliği sağlayan xx değerlerinin kümesi (−∞,0]∪[6,∞)(-\infty, 0] \cup [6, \infty) aralığıdır.
Her iki durumdan elde edilen aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesini oluşturur.
3
Eşitsizliği sağlamayan xx tam sayılarını belirleyelim.
Çözüm kümesinin tümleyeni (yani eşitsizliği sağlamayan değerler) (0,6)(0, 6) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 değerleridir.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar kapalı uçlu (00 ve 66 dahil) olduğu için, sağlamayan aralıkta bu sınır değerleri yer almaz (açık aralık olur).
4
Eşitsizliğini sağlamayan tam sayıların toplamını bulalım.
1+2+3+4+5=151 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 bulunur.
İstenen tam sayıların toplamını hesaplamak için belirlenen değerleri toplarız.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümelerinin bulunması ve aralık kavramı
Question 375Question →
∣x−3∣+∣6−2x∣≤12|x - 3| + |6 - 2x| \le 12

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının adedi kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Eşitsizliği sağlayan 9 farklı x tam sayısı vardır.
Verilen mutlak değerli eşitsizlik öncelikle ∣a−b∣=∣b−a∣|a - b| = |b - a| ve ∣k⋅y∣=∣k∣⋅∣y∣|k \cdot y| = |k| \cdot |y| özellikleri kullanılarak sadeleştirilir. Buradan 3∣x−3∣≤123|x - 3| \le 12 yani ∣x−3∣≤4|x - 3| \le 4 elde edilir. Bu eşitsizlik açıldığında −4≤x−3≤4-4 \le x - 3 \le 4 ve buradan −1≤x≤7-1 \le x \le 7 bulunur. Bu aralıkta bulunan tam sayılar {−1,0,1,2,3,4,5,6,7}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} olmak üzere toplamda 9 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
∣6−2x∣|6 - 2x| ifadesini mutlak değer dışına çarpan parantezine alarak yazın.
∣6−2x∣=2∣3−x∣=2∣x−3∣|6 - 2x| = 2|3 - x| = 2|x - 3| elde edilir.
Mutlak değer içinde ortak çarpan parantezine alma ve ∣a∣=∣−a∣|a| = |-a| özelliğini kullanmak için.
2
Eşitsizlikteki benzer terimleri toplayarak sadeleştirin.
∣x−3∣+2∣x−3∣≤12  ⟹  3∣x−3∣≤12|x - 3| + 2|x - 3| \le 12 \implies 3|x - 3| \le 12 elde edilir.
Eşitsizliği daha basit bir mutlak değerli eşitsizlik formuna getirmek için.
3
Her iki tarafı 3'e bölerek mutlak değerli ifadeyi yalnız bırakın.
∣x−3∣≤4|x - 3| \le 4 elde edilir.
Mutlak değerli eşitsizliği standart çözme yöntemine hazırlamak için.
4
∣x−a∣≤b|x - a| \le b biçimindeki eşitsizliği −b≤x−a≤b-b \le x - a \le b kuralına göre açın.
−4≤x−3≤4  ⟹  −1≤x≤7-4 \le x - 3 \le 4 \implies -1 \le x \le 7 elde edilir.
Mutlak değer eşitsizliğinin çözüm kümesini gerçel sayılarda bulmak için.
5
−1≤x≤7-1 \le x \le 7 aralığındaki tam sayı değerlerini belirleyip sayın.
{−1,0,1,2,3,4,5,6,7}\{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinden 9 tane tam sayı elde edilir.
Soru kökünde istenen tam sayı adedine ulaşmak için.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve çözüm yöntemleri
Question 376Question →

Bir un fabrikasında paketlenen çuvalların her birinin ağırlığı 50 kg50\text{ kg} olarak hedeflenmiştir. Paketleme makinesindeki bir hata nedeniyle çuvalların ağırlığı hedeflenen değerden en fazla 1,5 kg1,5\text{ kg} eksik veya en fazla 2,5 kg2,5\text{ kg} fazla olabilmektedir.

Buna göre, bu fabrikada paketlenen bir çuvalın kilogram cinsinden ağırlığını gösteren xx değerinin alabileceği tüm değerleri ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: ∣2x−101∣≤4|2x - 101| \le 4

Answer

Fabrikada paketlenen bir çuvalın ağırlığını gösteren eşitsizlik ∣2x−101∣≤4|2x - 101| \le 4 şeklindedir.
Ağırlığı gösteren doğru eşitsizlik ∣2x−101∣≤4|2x - 101| \le 4 ifadesidir. Bu eşitsizlik açıldığında −4≤2x−101≤4-4 \le 2x - 101 \le 4 elde edilir. Her tarafa 101101 eklenip 22'ye bölündüğünde 48,5≤x≤52,548,5 \le x \le 52,5 aralığı bulunur. Bu aralık, sorudaki en fazla 1,5 kg1,5\text{ kg} eksik (48,5 kg48,5\text{ kg}) ve en fazla 2,5 kg2,5\text{ kg} fazla (52,5 kg52,5\text{ kg}) olma sınırlarını tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Çuvalın alabileceği minimum ve maksimum ağırlık sınırlarını belirlemek.
50−1,5≤x≤50+2,5  ⟹  48,5≤x≤52,550 - 1,5 \le x \le 50 + 2,5 \implies 48,5 \le x \le 52,5
Soruda çuval ağırlığının en fazla 1,5 kg1,5\text{ kg} eksik veya en fazla 2,5 kg2,5\text{ kg} fazla olabileceği belirtildiği için aralık bu şekilde kurulur.
2
Elde edilen a≤x≤ba \le x \le b aralığını ∣x−m∣≤r|x - m| \le r biçiminde yazmak için orta nokta (mm) ve yarıçap (rr) değerlerini hesaplamak.
m=48,5+52,52=50,5m = \frac{48,5 + 52,5}{2} = 50,5 ve r=52,5−48,52=2r = \frac{52,5 - 48,5}{2} = 2
Mutlak değerli eşitsizliklerin geometrik olarak sayı doğrusundaki bir noktaya olan uzaklığı temsil etmesinden yararlanılır.
3
Bulunan orta nokta ve yarıçap değerlerini mutlak değerli eşitsizlik şablonuna yerleştirerek düzenlemek.
∣x−50,5∣≤2  ⟹  ∣x−1012∣≤2  ⟹  ∣2x−1012∣≤2  ⟹  ∣2x−101∣≤4|x - 50,5| \le 2 \implies |x - \frac{101}{2}| \le 2 \implies |\frac{2x - 101}{2}| \le 2 \implies |2x - 101| \le 4
Eşitsizliği seçeneklerde yer alan tam sayılı katsayı formuna getirmek amacıyla payda eşitlemesi ve genişletme yapılır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler
PreviousPage 19 / 19
Denklem ve Eşitsizlikler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 19 | Examkin