Denklem ve Eşitsizlikler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 4

Bir eşit kollu terazinin kefelerindeki ağırlıklarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* Terazinin sol kefesinde; her birinin ağırlığı bir metal bloğun ağırlığından $5$ kg fazla olan $2$ adet mavi kutu ile $1$ adet metal blok bulunmaktadır.
* Terazinin sağ kefesinde ise $32$ kg'lık bir ağırlık bulunmaktadır.

Bu terazi dengede olduğuna göre, bir metal bloğun ağırlığı olan $x$ kg değeri için;

I. Bir tam sayıdır.
II. Bir rasyonel sayıdır.
III. Bir doğal sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

Yalnız III

I ve II

I, II ve III

Show answer & explanation

Answer: Yalnız II

Answer

Yalnız II

Terazinin dengesinden elde edilen

2(x + 5) + x = 32

denklemi çözüldüğünde bir metal bloğun ağırlığı

x = \frac{22}{3}

kg olarak bulunur. Bu sayı rasyonel sayılar kümesinin bir elemanıdır ancak bir tam sayı veya doğal sayı değildir. Bu nedenle yalnızca ikinci ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Terazinin dengede olma durumunu kullanarak matematiksel denklemi kurma.

2(x + 5) + x = 32

Sol kefedeki ağırlıkların toplamı, sağ kefedeki ağırlığa eşit olmalıdır.

2

Elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözme.

3x + 10 = 32 \Rightarrow 3x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{3}

Parantezi dağıtıp benzer terimleri bir araya getirerek bilinmeyeni yalnız bırakırız.

3

Bulunan

x

değerinin sayı kümelerindeki yerini belirleme.

x = \frac{22}{3}

sayısı rasyonel sayıdır (

\mathbb{Q}

), ancak tam sayı (

\mathbb{Z}

) ve doğal sayı (

\mathbb{N}

) değildir.

22

sayısı

3

'e tam bölünmediği için sonuç bir tam sayı veya doğal sayı belirtmez.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma, çözme ve elde edilen kökün sayı kümeleriyle ilişkisini inceleme.

Question 62Question →

Bir laboratuvardaki hassas bir deney tüpünün sıcaklığı $x$ °C'dir. Bu tüpün sıcaklığının $-2$ katın��n $5$ fazlası $11$ °C'den büyüktür.

Buna göre, tüpün sıcaklığı olan $x$ değerinin alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-3, \infty)

(-\infty, -3]

(-\infty, -3)

[-3, \infty)

(-\infty, 3)

Show answer & explanation

Answer: $(-\infty, -3)$

Answer

(-\infty, -3)

aralığı

Verilen sözel ifade eşitsizliğe dönüştürüldüğünde

-2x + 5 > 11

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde her iki taraftan

5

çıkarılarak

-2x > 6

bulunur. Son olarak, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı olan

-2

ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve

x < -3

elde edilir. Bu durum açık aralık olarak

(-\infty, -3)

şeklinde ifade edilir.

Step-by-Step Solution

1

Sorudaki sözel ifadeyi matematiksel bir eşitsizliğe dönüştürün.

-2x + 5 > 11

eşitsizliği elde edilir.

Tüpün sıcaklığının (

x

)

-2

katının (

-2x

)

5

fazlası (

+ 5

),

11

değerinden büyüktür (

> 11

).

2

Eşitsizliğin her iki tarafından

5

çıkararak bilinmeyenli terimi yalnız bırakmaya başlayın.

-2x > 6

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklemek veya çıkarmak eşitsizliğin yönünü değiştirmez.

3

Eşitsizliğin her iki tarafını

-2

sayısına bölün ve negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik sembolünün yönünü değiştirin.

x < -3

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir (

>

işareti

<

işaretine dönüşür).

4

Eşitlik sembolü içermeyen bu eşitsizliği aralık gösterimiyle yazın.

(-\infty, -3)

aralığı elde edilir.

-3

değerinden küçük tüm gerçel sayılar çözüm kümesidir ve

-3

sınırı açık aralık olmalıdır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

Alternative Method

Eşitsizliği negatif sayıya bölmeden çözmek için bilinmeyeni diğer tarafa atabiliriz:

5 - 11 > 2x \Rightarrow -6 > 2x \Rightarrow -3 > x

yani

x < -3

bulunur. Bu sayede negatif sayıya bölme yaparken yön değiştirme hatası yapma riskinden kaçınılmış olur.

Estimated Time:1m 30s

Question 63Question →

Bir su arıtma cihazında filtre ömrü, kullanılan su miktarına göre kısalmaktadır. Yeni takılan bir filtrenin başlangıçtaki kapasitesi %100'dür. Cihazdan geçen her 120 litre su için filtrenin kapasitesi %8 azalmaktadır.

Filtre kapasitesi %30'un altına düştüğünde arıtma kalitesi yetersiz hale gelmekte ve filtrenin değiştirilmesi gerekmektedir.

Buna göre, filtrenin değiştirilmesine gerek kalmadan bu cihazdan filtrelenebilecek su miktarının (litre cinsinden) alabileceği değerleri ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

[0, 450]

[0, 1050)

[0, 1050]

[1050, \infty)

[0, 1500]

Show answer & explanation

Answer: $[0, 1050]$

Answer

Filtrenin değiştirilmesine gerek kalmadan filtrelenebilecek su miktarının alabileceği değerleri gösteren en geniş aralık [0, 1050] aralığıdır.

Filtrenin değiştirilmemesi koşulu kalan kapasitenin %30 veya daha fazla olmasıdır. Eşitsizlik

100 - \frac{x}{15} \geq 30

olarak kurulup çözüldüğünde

x \leq 1050

elde edilir. Su miktarı negatif olamayacağı için en geniş değer aralığı her iki sınır da dahil olmak üzere [0, 1050] olur.

Step-by-Step Solution

1

Kalan filtre kapasitesini su miktarına bağlı olarak veren matematiksel ifadeyi oluşturmak

Başlangıç kapasitesi %100 olup her 120 litrede %8 azaldığına göre,

x

litre su filtrelendiğinde kalan kapasite yüzdesi

C(x) = 100 - \frac{8}{120}x = 100 - \frac{x}{15}

olarak ifade edilir.

Kapasite kaybının doğrusal olmasından yararlanarak su tüketimine bağlı kalan kapasite modelini kurmak gerekir.

2

Filtrenin değiştirilmesini gerektirmeyen sınır koşulunu belirleyip eşitsizliği kurmak

Kapasite %30'un altına düşmemelidir. Dolayısıyla

C(x) \geq 30

olmalıdır. Buradan

100 - \frac{x}{15} \geq 30

eşitsizliği elde edilir.

Değiştirme kriteri olan %30 sınırının güvenli tarafta kalması için eşitsizlik yönünün büyük veya eşit olması gerekir.

3

Eşitsizliği çözerek maksimum su miktarını bulmak

-\frac{x}{15} \geq -70

eşitsizliğinin her iki tarafı

-15

ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve

x \leq 1050

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında yön değiştireceği kuralını uygulayarak x'in üst sınırını bulmak gerekir.

4

Fiziksel sınırlamaları da ekleyerek en geniş aralığı belirlemek

Su miktarı negatif olamayacağından

x \geq 0

olmalıdır. Bu durumda çözüm kümesi

0 \leq x \leq 1050

yani

[0, 1050]

aralığı olur.

Gerçek hayat problemlerinde miktarların negatif olamayacağı kısıtını ekleyerek matematiksel çözümü gerçek durumla uyumlu hale getirmek gerekir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin kurulması, çözülmesi ve negatif sayıyla çarpma/bölme durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Alternative Method

Filtrenin değiştirilme sınırına gelmesi için kapasitesinin en fazla %70 azalması gerekir. Her 120 litrede %8 azalıyorsa, %70 azalması için gereken su miktarı doğru orantı kurularak bulunabilir: 120 litrede %8 azalıyorsa, x litrede %70 azalır. Buradan 8x = 120 * 70 ve x = 1050 litre bulunur. Kapasite kaybı en fazla %70 olabileceğinden su miktarı 0 ile 1050 litre arasında (sınırlar dahil) olmalıdır.

Estimated Time:1m 30s

Question 64Question →

Bir kırtasiyeci, özdeş defterler ile özdeş kalem kutularını genişliği sabit olan boş bir rafa yan yana dizecektir. Defterlerin her birinin kalınlığı, kalem kutusunun kalınlığından $2\text{ cm}$ daha fazladır.

Kırtasiyeci;
- Bu rafa 8 defter ve 6 kalem kutusunu aralarında boşluk kalmayacak biçimde dizdiğinde rafta $15\text{ cm}$ boş yer kalıyor.
- Aynı rafa 5 defter ve 12 kalem kutusunu aralarında boşluk kalmayacak biçimde dizdiğinde ise rafta $9\text{ cm}$ boş yer kalıyor.

Buna göre, bu rafın genişliği kaç cm'dir?

43

55

87

72

59

Show answer & explanation

Answer: 87

Answer

Rafın genişliği 87 cm'dir.

Doğru yanıt olan 87 cm değerine ulaşmak için öncelikle kalem kutusunun kalınlığı

x

cm, defterin kalınlığı ise

x + 2

cm olarak belirlenir. Rafın genişliği her iki durumda da eşit olduğundan

8(x + 2) + 6x + 15 = 5(x + 2) + 12x + 9

denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde

x = 4

bulunur. Değer yerine yazıldığında raf genişliği

14(4) + 31 = 87

cm olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Kalem kutusunun kalınlığı

x

cm kabul edilerek defterin kalınlığı

x

cinsinden yazılır ve her iki durum için raf genişliğini veren cebirsel ifadeler oluşturulur.

Defter kalınlığı =

x + 2

cm olur. Birinci durumdaki raf genişliği:

8(x + 2) + 6x + 15

cm. İkinci durumdaki raf genişliği:

5(x + 2) + 12x + 9

cm.

Rafın toplam genişliğini veren iki farklı cebirsel ifadeyi birbirine eşitlemek amacıyla değişkenler tanımlanmıştır.

2

Elde edilen iki cebirsel ifade birbirine eşitlenerek birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülür.

8(x + 2) + 6x + 15 = 5(x + 2) + 12x + 9 \Rightarrow 14x + 31 = 17x + 19 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4

cm.

Her iki dizilim de aynı rafı doldurduğu için raf genişlikleri eşittir. Bu eşitlikten kalem kutusunun kalınlığı olan

x

değeri elde edilir.

3

Bulunan

x

değeri, raf genişliğini belirten ifadelerden birinde yerine yazılarak toplam genişlik hesaplanır.

W = 14(4) + 31 = 87

cm.

Soru bizden rafın toplam genişliğini bulmamızı istemektedir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi

Question 65Question →

Bir kafede bulunan özdeş iki soğuk ��ay makinesinin depolarındaki içecek miktarları ve bu içeceklerin doldurulduğu bardaklar ile ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir:

* Birinci makinenin deposunda bulunan soğuk çayın tamamı, her biri $x$ $\text{mL}$ içecek alan özdeş küçük boy bardaklardan $24$ tanesini tamamen doldurmaktadır.
* İkinci makinenin deposunda bulunan soğuk çayın tamamı, her biri küçük boy bardaktan $60$ $\text{mL}$ daha fazla içecek alan özdeş büyük boy bardaklardan $18$ tanesini tamamen doldurmaktadır.

İkinci makinenin deposunda bulunan soğuk çay miktarı, birinci makinedekinden $180$ $\text{mL}$ fazladır.

Buna göre, küçük boy bardaklardan birinin hacmi kaç $\text{mL}$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 150

Answer

Küçük boy bardaklardan birinin hacmi

150

\text{mL}

'dir.

Birinci makinedeki soğuk çay hacmi

24x

iken ikinci makinedeki hacim

18(x + 60) = 18x + 1080

olur. İkinci makinedeki hacim ilkinden

180

\text{mL}

fazla olduğundan

18x + 1080 - 24x = 180

denklemi kurulur. Buradan

6x = 900

ve

x = 150

\text{mL}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Birinci makinenin deposundaki toplam içecek miktarını küçük bardak hacmi olan

x

türünden ifade etme.

24x

\text{mL}

Birinci makine

24

tane küçük bardağı tam doldurmaktadır.

2

Büyük bardağın hacmini belirleme ve ikinci makinenin deposundaki toplam içecek miktarını ifade etme.

18(x + 60) = 18x + 1080

\text{mL}

Büyük bardağın hacmi küçük bardağın hacminden

60

\text{mL}

fazladır ve ikinci makine bu bardaklardan

18

tanesini doldurmaktadır.

3

Makinelerdeki içecek miktarları arasındaki farkı kullanarak denklemi kurma ve çözme.

18x + 1080 = 24x + 180 \Rightarrow 6x = 900 \Rightarrow x = 150

\text{mL}

İkinci makinedeki soğuk çay miktarı birinci makinedekinden

180

\text{mL}

fazladır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla problem çözme ve modelleme.

Estimated Time:2m 0s

Question 66Question →

Bir elektrikli bisikletin bataryası tam dolu iken sabit hızla kullanıldığında bataryanın tüketim hızı ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

- Bisiklet düz yolda sürüld��ğünde batarya dakikada sabit bir miktarda güç tüketmektedir.
- Bisiklet yokuş yukarı sürüldüğünde ise dakikada düz yoldakinin $3$ katından $2$ birim daha fazla güç tüketmektedir.

Bu bisikletle tamamen dolu bir bataryayla yola çıkan bir sürücü, $40$ dakika düz yolda ve ardından $15$ dakika yokuş yukarı sürüş yaptığında bataryanın tamamı tükenmektedir. Eğer sürücü tamamen dolu bataryayla sadece yokuş yukarı sürüş yapsaydı, batarya $25$ dakikada tükenecekti.

Buna göre, yokuş yukarı sürüş yapıldığında bataryanın dakikadaki güç tüketimi kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

Yokuş yukarı sürüş yapıldığında bataryanın dakikadaki güç tüketimi 8 birimdir.

İki farklı sürüş durumundaki toplam batarya tüketimleri birbirine eşitlenerek birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde düz yoldaki dakikalık tüketim

2

birim bulunur. Yokuş yukarı dakikalık tüketim ise

3 \times 2 + 2 = 8

birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Düz yoldaki ve yokuş yukarıdaki dakikalık tüketim miktarlarını değişken cinsinden belirlemek

Düz yoldaki dakikalık tüketim

x

ise yokuş yukarıdaki dakikalık tüketim

3x + 2

olur.

Yokuş yukarı tüketimin düz yoldakinin 3 katından 2 fazla olduğu belirtilmiştir.

2

İki farklı senaryodaki batarya tüketimlerini birbirine eşitleyen denklemi kurmak

40x + 15(3x + 2) = 25(3x + 2)

denklemi elde edilir.

Her iki durumda da tamamen dolu bataryanın tamamı tüketildiği için toplam güç tüketimleri eşittir.

3

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözerek

x

değerini bulmak

40x + 45x + 30 = 75x + 50 \implies 85x + 30 = 75x + 50 \implies 10x = 20 \implies x = 2

bulunur.

Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayarak

x

yalnız bırakılır.

4

Yokuş yukarı tüketim miktarını hesaplamak

3(2) + 2 = 8

birim/dakika

Soru yokuş yukarı tüketimi sormaktadır ve bu miktar

3x + 2

olarak tanımlanmıştır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi

Question 67Question →

17 - 3x > 32

eşitsizliğini sağlayan en büyük

x

tam sayısı aşağıdakilerden hangisidir?

-7

-6

-5

-4

-3

Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

En büyük x tam sayısı -6'dır.

Doğru yanıt olan -6 seçeneği, verilen eşitsizliğin doğru adımlarla çözülmesi sonucu elde edilir. Eşitsizlikte 17 karşıya atıldığında -3x > 15 elde edilir. Her iki taraf -3'e bölündüğünde negatif sayı ile bölme kuralı gereği büyüktür sembolü küçüktür sembolüne dönüşür ve x < -5 bulunur. -5'ten küçük en büyük tam sayı -6'dır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliğin her iki tarafından 17 çıkarılır.

-3x > 15

Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için sabit terim karşı tarafa geçirilir.

2

Eşitsizliğin her iki tarafı -3 ile bölünür ve eşitsizlik yönü tersine çevrilir.

x < -5

Eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde yön değiştirir.

3

x < -5 koşulunu sağlayan en büyük x tam sayısı belirlenir.

x = -6

-5'ten küçük olan en büyük tam sayı -6'dır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

Estimated Time:1m 0s

Question 68Question →

$x$ bir ger��el sayı olmak üzere,

|x - 3| < 2

olduğuna göre, $3x - 1$ ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

11

12

13

14

15

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 13'tür.

Mutlak değerli eşitsizlik açıldığında

1 < x < 5

aralığı elde edilir.

x

gerçel sayı olduğu için doğrudan

3x - 1

ifadesinin aralığı oluşturulur. Bu durumda

2 < 3x - 1 < 14

bulunur ve ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 13 olur.

Step-by-Step Solution

1

Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak ifadeyi mutlak değer dışına çıkaralım.

-2 < x - 3 < 2

|f(x)| < a

eşitsizliği

-a < f(x) < a

şeklinde ��özülür.

2

Eşitsizliğin her tarafına 3 ekleyerek x gerçel sayısının değer aralığını bulalım.

1 < x < 5

x değişkenini yalnız bırakmak için.

3

Bizden istenen

3x - 1

ifadesini elde etmek için eşitsizliğin her tarafını önce 3 ile çarpalım, sonra her taraftan 1 çıkaralım.

3 < 3x < 15

ve ardından

2 < 3x - 1 < 14

x gerçel sayı olduğu için doğrudan

3x - 1

ifadesinin sınırlarını belirlemek gerekir.

4

Elde edilen

3x - 1 < 14

eşitsizliğine göre ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değerini belirleyelim.

13

14'ten küçük olan en büyük tam sayı 13'tür.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve gerçel sayı aralıklarında basit eşitsizlik işlemleri.

Question 69Question →

Dik koordinat düzleminde,

ax + by = 6

bx - ay = 8

doğrularının kesim noktası

P(x_0, y_0)

olarak verilmektedir.

a^2 + b^2 = 4

olduğuna göre,

P

noktasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

10

25

5

5\sqrt{2}

7

Show answer & explanation

Answer: $5$

Answer

P noktasının orijine olan uzaklığı 5 birimdir.

P noktasının orijine olan uzaklığının 5 birim olduğunu gösteren seçenek doğrudur. Verilen denklem sisteminde her iki denklemin karesi alınıp taraf tarafa toplandığında ve

a^2 + b^2 = 4

değeri yerine yazıldığında

x_0^2 + y_0^2 = 25

elde edilir. Bu değerin karekökü alınarak P noktasının orijine olan uzaklığı 5 birim olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Verilen denklem sistemindeki her iki denklemin de karesi alınır.

(ax_0 + by_0)^2 = 6^2 \implies a^2x_0^2 + 2abx_0y_0 + b^2y_0^2 = 36

ve

(bx_0 - ay_0)^2 = 8^2 \implies b^2x_0^2 - 2abx_0y_0 + a^2y_0^2 = 64

elde edilir.

Denklemleri ortak çözebilmek ve

x_0^2 + y_0^2

ifadesine ulaşmak için kare alma işlemi uygulanır.

2

Elde edilen iki yeni denklem taraf tarafa toplanır.

a^2x_0^2 + b^2y_0^2 + b^2x_0^2 + a^2y_0^2 = 100

elde edilir.

Taraf tarafa toplama yapıldığında

+2abx_0y_0

ve

-2abx_0y_0

çarpım terimleri birbirini sadeleştirir.

3

İfade ortak çarpan parantezine alınarak gruplandırılır.

(a^2 + b^2)x_0^2 + (a^2 + b^2)y_0^2 = 100 \implies (a^2 + b^2)(x_0^2 + y_0^2) = 100

elde edilir.

Katsayıları sadeleştirmek amacıyla ortak paranteze alma işlemi uygulanır.

4

a^2 + b^2 = 4

eşitliği denklemde yerine yazılır.

4(x_0^2 + y_0^2) = 100 \implies x_0^2 + y_0^2 = 25

elde edilir.

Sistemin kesim noktası olan P noktasının koordinatlarının kareleri toplamını elde etmek için katsayı bilgisi yerine konulur.

5

Bulunan ifadenin karekökü alınarak P noktasının orijine olan uzaklığı hesaplanır.

\text{Uzaklık} = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} = \sqrt{25} = 5

birim bulunur.

Bir noktanın orijine olan uzaklığı

\sqrt{x^2+y^2}

formülü ile hesaplandığı için karekök alınır.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözümü ve Geometrik Yorumu

Estimated Time:3m 0s

Question 70Question →

-3x + 4 \geq 19

Eşitsizliğini sağlayan

x

gerçel sayılarının en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(-\infty, -5]

[-5, \infty)

(-\infty, -5)

[5, \infty)

(-\infty, 5]

Show answer & explanation

Answer: $(-\infty, -5]$

Answer

Negatif sonsuz ile eksi beş kapalı aralığı

Verilen eşitsizlik çözüldüğünde

-3x \geq 15

elde edilir. Her iki taraf

-3

ile bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

x \leq -5

olur. Bu durum kapalı aralık olarak

(-\infty, -5]

şeklinde gösterilir.

Step-by-Step Solution

1

E��itsizliğin sol tarafındaki sabit terimi (+4) karşı tarafa işaretini değiştirerek (-4) geçirin.

-3x \geq 15

Bilinmeyenli terimi yalnız bırakmak için sabit sayıları bir tarafta toplarız.

2

Eşitsizliğin her iki tarafını bilinmeyenin katsayısı olan -3 sayısına bölün ve negatif bir say�� ile bölme yapıldığı için eşitsizlik yönünü yön değiştirerek küçük veya eşittir (\leq) yapın.

x \leq -5

Eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

3

Elde edilen eşitsizlik sonucunu değer aralığı ve kapalı/açık aralık sembolleri ile ifade edin.

(-\infty, -5]

Sınır değerine eşitlik dahil olduğundan kapalı köşeli parantez kullanılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Question 71Question →

Bir çocuk, elindeki kibrit çöpleriyle belirli bir kurala göre adım adım ilerleyen bir sayı örüntüsü oluşturmaktadır. Bu örüntüyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Örüntünün ardışık her iki adımı arasındaki kibrit çöpü sayısı farkı sabittir ve bu fark $3$ 'tür.
* $x$ bir tam sayı olmak üzere, örüntünün $(x - 2)$ . adımında kullanılan toplam kibrit çöpü sayısı $(3x + 10)$ , $(x + 4)$ . adımında kullanılan toplam kibrit çöpü sayısı ise $(5x + 16)$ 'dır.

Buna göre, bu örüntünün $x$ . adımında kullanılan toplam kibrit çöpü sayısı kaçtır?

28

39

34

46

52

Show answer & explanation

Answer: 34

Answer

Örüntünün 6. adımındaki toplam kibrit çöpü sayısı 34'tür.

Denklem doğru kurulup çözüldüğünde

x = 6

tam sayısı elde edilir. Bu değer kullanılarak örüntünün 6. adımındaki kibrit çöpü sayısı

34

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Örüntünün

(x-2)

. ve

(x+4)

. adımları arasındaki farkı bulmak için adım numaralarının farkını ortak fark olan 3 ile çarparız.

a_{x+4} - a_{x-2} = 3 \times ((x+4) - (x-2)) = 3 \times 6 = 18

olarak bulunur.

Ardışık adımlar arasındaki artış miktarı sabit olduğundan, iki adım arasındaki toplam fark adım farkı ile ortak farkın çarp��mına eşittir.

2

Verilen terimlerin farkını hesaplayarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde ederiz.

(5x + 16) - (3x + 10) = 2x + 6

olur. Buradan

2x + 6 = 18

denklemi elde edilir.

Adımlar arasındaki farkın cebirsel ifadesini, ilk adımda bulduğumuz sayısal değere eşitleyerek bilinmeyen

x

değerini bulmak gerekir.

3

Elde edilen

2x + 6 = 18

denklemini çözeriz.

2x = 12 \implies x = 6

bulunur.

Denklemin kök��nü bularak örüntünün hangi adımında olduğumuzu belirlemek gerekir.

4

Bulunan

x = 6

değerini kullanarak

x

. adımdaki (6. adımdaki) kibrit çöpü sayısını hesaplarız.

4. adımdaki kibrit çöpü sayısı

a_4 = 3(6) + 10 = 28

'dir. 6. adımdaki sayı ise

a_6 = a_4 + 2 \times 3 = 28 + 6 = 34

olarak bulunur.

Soruda bizden istenen hedef değeri elde etmek için adım değerini yerine yazarız.

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kurma ve Çözme

Estimated Time:2m 0s

Question 72Question →

Bir belediye, düz bir cadde boyunca eşit aralıklarla bisiklet park istasyonları yerleştirecektir. Caddenin başlangıç noktasında bir istasyon bulunmakta olup, bu istasyondan sonra her $x$ metrede bir yeni bir istasyon yerleştirilmektedir. Toplam 12 istasyon yerleştirildiğinde, son istasyon ile caddenin bitiş noktası arasında $20$ metre mesafe kalmaktadır. Eğer başlangıç noktasındaki istasyondan sonra her $(x + 15)$ metrede bir istasyon yerleştirilseydi, toplam 8 istasyon yerleştirilebilecek ve son istasyon ile caddenin bitiş noktası arasında $35$ metre mesafe kalacaktı. Buna göre, bu caddenin toplam uzunluğu kaç metredir?

Show answer & explanation

Answer: 350

Answer

Caddenin toplam uzunluğu 350 metredir.

Caddenin toplam uzunluğu, her iki durumdaki yerleşim düzenine bağlı denklemlerin eşitlenmesiyle elde edilen

x = 30

değerinin denklemde yerine konulmasıyla 350 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

İlk durum için cadde uzunluğu denklemini yazma

Birinci Durum Uzunluğu =

11x + 20

12 adet istasyon arasında 11 adet

x

metrelik aralık bulunur ve son istasyondan sonra 20 metre boşluk kalır.

2

İkinci durum için cadde uzunluğu denklemini yazma

İkinci Durum Uzunluğu =

7(x + 15) + 35

8 adet istasyon arasında 7 adet

(x + 15)

metrelik aralık bulunur ve son istasyondan sonra 35 metre boşluk kalır.

3

İki durumu birbirine eşitleyerek bilinmeyen

x

değerini çözme

x = 30

Her iki durum da aynı caddenin uzunluğunu belirttiği için denklemler birbirine eşittir:

11x + 20 = 7x + 105 + 35 \implies 4x = 120 \implies x = 30

bulunur.

4

Bulunan

x

değerini birinci denklemde yerine koyarak toplam uzunluğu bulma

Toplam Uzunluk =

350

11 \times 30 + 20 = 330 + 20 = 350

metre olarak caddenin toplam uzunluğu hesaplanır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler yardımıyla günlük yaşam problemlerini modelleme ve çözme.

Question 73Question →

Bir kargo firması, gönderilen paketler için müşterilerine iki farklı ödeme seçeneği sunmaktadır:

* 1. Seçenek: Aylık $45$ TL sabit ücret ve gönderilen her paket için $12$ TL kargo ücreti.
* 2. Seçenek: Sabit ücret ödemeden gönderilen her paket için $15,6$ TL kargo ücreti.

Bu kargo firmasıyla çalışan bir esnafın bir ayda gönderdiği paket sayısı bir pozitif tam sayıdır.

Buna göre, bu esnafın her iki seçeneği de tercih etmesi durumunda ödeyeceği toplam aylık ücretlerin birbirine eşit olabilmesi için bir ayda göndermesi gereken paket sayısı kaçtır?

12

13

15

25

İki seçeneğin maliyetini eşitleyen bir paket sayısı yoktur.

Show answer & explanation

Answer: İki seçeneğin maliyetini eşitleyen bir paket sayısı yoktur.

Answer

İki seçeneğin maliyetini eşitleyen bir paket sayısı yoktur.

Denklemin çözümü sonucunda ulaşılan 12,5 değeri bir pozitif tam sayı değildir. Paket sayısı ancak bir pozitif tam sayı olabileceğinden, iki seçeneğin maliyetlerini eşitleyen bir paket sayısı bulunmamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Müşterinin bir ayda gönderdiği paket sayısını temsil etmesi için

n

değişkeni tanımlanır (

n \in \mathbb{Z}^+

).

1. seçeneğin aylık maliyet denklemi

45 + 12n

, 2. seçeneğin aylık maliyet denklemi

15,6n

olarak ifade edilir.

Her iki seçeneğin maliyetlerini karşılaştırmak için matematiksel modeller oluşturulmalıdır.

2

Her iki seçeneğin maliyetlerinin eşit olduğu durumu bulmak için iki ifade birbirine eşitlenir.

45 + 12n = 15,6n

denklemi elde edilir.

Maliyetlerin birbirine eşit olması hedeflendiğinden denklemin kurulması gerekir.

3

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülür.

45 = 15,6n - 12n \implies 45 = 3,6n \implies n = 12,5

olarak bulunur.

Denklemin kökünü bulmak için bilinmeyen yalnız bırakılır.

4

Elde edilen kökün sayı kümesi ve problemin tanım kümesi kontrol edilir.

12,5 \notin \mathbb{Z}^+

olduğundan, paket sayısı bir tam sayı olmak zorundadır ve bu denklemi sağlayan bir tam sayı değeri bulunmamaktadır.

Paket sayısı ancak bir tam sayı olabileceğinden, gerçek hayattaki kısıtlamalara göre çözüm kümesinin uygunluğu değerlendirilir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin gerçek hayat problemlerine uygulanması ve çözüm kümesinin tanım kümesine göre kontrol edilmesi.

Question 74Question →

Bir bulut depolama firması, kullanıcılarına A ve B adında iki farklı veri depolama seçeneği sunmaktadır. A seçeneğinde aylık $24$ TL sabit ücret ve depolanan her gigabayt (GB) veri için $0{}4$ TL kullanım ücreti; B seçeneğinde ise aylık $12$ TL sabit ücret ve depolanan her GB veri için $0{}8$ TL kullanım ücreti alınmaktadır. Bu firmadan hizmet alan bir kullanıcının her iki seçenek için de ödeyeceği aylık toplam ücretlerin birbirine eşit olması için aylık depoladığı veri miktarının $30$ GB olması gerekir.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Her iki bulut depolama seçeneğinin aylık toplam maliyetlerini eşitleyen veri miktarı 30 GB olup, sunulan ifade doğrudur.

Denklem kurulup çözüldüğünde elde edilen veri miktarı tam olarak 30 GB çıktığından, her iki seçenekte ödenecek tutarların eşit olduğunu belirten bu ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

A ve B seçeneklerinin aylık toplam ücretlerini depolanan veri miktarı türünden ifade ediniz.

Depolanan veri miktarı

x

GB olsun. A seçeneği için aylık ücret

24 + 0{}4x

TL, B seçeneği için aylık ücret

12 + 0{}8x

TL olarak yazılır.

Toplam ücret, sabit ücret ile değişken kullanım ücretinin toplamına eşittir.

2

Seçeneklerin ücretlerini birbirine eşitleyerek birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi oluşturunuz.

24 + 0{}4x = 12 + 0{}8x

denklemi elde edilir.

Ödenecek toplam ücretlerin birbirine eşit olması istendiği için iki matematiksel model birbirine eşitlenir.

3

Elde edilen denklemi çözerek bilinmeyen

x

değerini hesaplayınız.

24 - 12 = 0{}8x - 0{}4x \Rightarrow 12 = 0{}4x \Rightarrow x = \frac{12}{0{}4} = 30

bulunur.

Denklemdeki benzer terimler bir araya getirilerek bilinmeyen yalnız bırakılır.

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem Kurma ve Çözme

Alternative Method

Denklem kurup çözmek yerine, verilen 30 GB değeri her iki seçeneğin formülünde doğrudan yerine yazılarak sonuçların eşitliği kontrol edilebilir. A seçeneği:

24 + 0{}4 \times 30 = 36

TL, B seçeneği:

12 + 0{}8 \times 30 = 36

TL. Değerler eşit çıktığı için ifade doğrudur.

Estimated Time:1m 30s

Question 75Question →

Bir okuldaki A ve B sınıflarındaki öğrenci sayıları sırasıyla iki basamaklı $ab$ ve $ba$ doğal sayılar��dır. A sınıfındaki öğrenci sayısı, bu sayının rakamları toplamının $6$ katından $2$ fazladır. A sınıfından $9$ öğrenci ayrıldığında kalan öğrenci sayısı, B sınıfının başlangıçtaki öğrenci sayısına eşit olmaktadır. Buna göre, başlangıçta A sınıfındaki öğrenci sayısı kaçtır?

23

45

32

54

76

Show answer & explanation

Answer: 32

Answer

Başlangıçta A sınıfındaki öğrenci sayısı 32'dir.

Doğru cevap olan 32 sayısı için rakamlar toplamı 3 + 2 = 5'tir. Bu toplamın 6 katının 2 fazlası (6 x 5 + 2) 32 sayısını verir. Ayrıca 32'den 9 çıkarıldığında elde edilen 23 sayısı, 32 sayısının rakamlarının yer değiştirmiş halidir. Bu durum sorudaki tüm koşulları sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1

A ve B sınıflarının öğrenci sayılarını basamak çözümlemesiyle ifade etme ve aralarındaki ilişkiyi belirleme.

ab - 9 = ba \Rightarrow 10a + b - 9 = 10b + a \Rightarrow 9(a - b) = 9 \Rightarrow a - b = 1

ve buradan

b = a - 1

bulunur.

A sınıfından 9 öğrenci ayrıldığında kalan öğrenci sayısının B'ye eşit olması bilgisinden yararlanarak basamaklar arasındaki farkı bulmak.

2

A sınıfının öğrenci sayısı ile rakamlar toplamı arasındaki ilişkiyi tek değişkenli denklem olarak kurma.

10a + b = 6(a + b) + 2

denkleminde

b = a - 1

yazılarak

11a - 1 = 6(2a - 1) + 2

denklemi elde edilir.

İki değişkenli ifadeyi,

b = a - 1

eşitliği yardımıyla birinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürmek.

3

Denklemi çözerek onlar basamağındaki rakamı (

a

) ve birler basamağındaki rakamı (

b

) bulma.

11a - 1 = 12a - 4 \Rightarrow a = 3

bulunur. Buradan

b = 3 - 1 = 2

elde edilir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek A sınıfının öğrenci sayısını oluşturan basamak değerlerine ulaşmak.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin günlük yaşam durumlarına ve basamak çözümlemesine uygulanması

Question 76Question →

Her $x$ ve $y$ gerçel sayısı için $|x + y| - |x - y| = 2y$ eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter koşul $x \geq |y|$ olmasıdır.

True

False

Show answer & explanation

Answer: False

Answer

Verilen ifade yanlıştır çünkü

y = 0

ve

x < 0

durumunda eşitlik sağlandığı halde

x \geq |y|

koşulu sağlanmamaktadır.

Verilen ifade yanlıştır çünkü

y = 0

ve

x < 0

durumunda (örneğin

x = -3, y = 0

) eşitlik sağlandığı halde

x \geq |y|

koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla bu koşul gerek koşul değildir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sol tarafını

u = x + y

ve

v = x - y

değişken dönüşümleri ile yeniden yazalım.

u - v = 2y

olduğundan, denklem

|u| - |v| = u - v

haline gelir.

Değişken dönüşümü mutlak değer özelliklerini daha rahat analiz etmemizi sağlar.

2

|u| - u = |v| - v

eşitliğini düzenleyelim ve her iki tarafın alabileceği değerleri inceleyelim.

z

gerçel sayısı için

|z| - z \geq 0

olup, bu ifadenin sıfır olması

z \geq 0

olmasını gerektirir. Eğer iki taraf da sıfıra eşitse,

u \geq 0

ve

v \geq 0

olur.

Mutlak değer tanımına göre

|z| \geq z

eşitsizliği her zaman doğrudur.

3

u \geq 0

ve

v \geq 0

durumunu

x

ve

y

cinsinden yazalım.

x + y \geq 0

ve

x - y \geq 0

sisteminden

x \geq |y|

elde edilir. Bu durum birinci çözüm kümesidir.

İki eşitsizlik birleştirildiğinde

x \geq y

ve

x \geq -y

elde edilir, bu da

x

değerinin

y

'nin mutlak değerinden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

4

|u| - u = |v| - v > 0

olduğu diğer durumu inceleyelim.

Bu durumda

u < 0

ve

v < 0

olmalıdır. Buradan

-u - u = -v - v \implies -2u = -2v \implies u = v

bulunur.

u = v

ise

x + y = x - y \implies y = 0

elde edilir.

u < 0

olduğundan

x + 0 < 0 \implies x < 0

olmalıdır.

Mutlak değerlerin içi negatif olduğunda dışarıya işaret değiştirerek çıkarlar.

5

Bulunan tüm çözüm kümesini birleştirip gerek ve yeter koşulu belirleyelim.

Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter koşul

(x \geq |y|)

veya

(y = 0 \text{ ve } x < 0)

olmasıdır. Sadece

x \geq |y|

koşulu tüm çözümleri kapsamadığından gerek ve yeter koşul değildir.

y = 0

ve

x < 0

durumu

x \geq |y|

kümesine dahil olmamasına rağmen denklemi sağlar.

Key Concept

Mutlak değer tanımı ve mutlak değer dışına çıkarma kuralları

Question 77Question →

Aşağıda $x$ , $y$ ve $z$ tam sayılarının sağladığı eşitsizlikler verilmiştir:

* $x$ , $-2x + 7 > 1$ eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıdır.
* $y$ , $3y - 5 \geq 10$ eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayıdır.
* $z$ , $-4z + 18 \geq 2$ eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayıdır.

Buna göre; $x$ , $y$ ve $z$ sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

x < z < y

şeklindedir.

Verilen eşitsizlikler çözüldüğünde

x < 3

(en büyük tam sayı

x = 2

),

y \geq 5

(en küçük tam sayı

y = 5

) ve

z \leq 4

(en büyük tam sayı

z = 4

) elde edilir. Bu değerlerin sıralaması

2 < 4 < 5

yani

x < z < y

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

x

sayısının değer aralığını ve alabileceği en büyük tam sayı değerini belirlemek.

x < 3

ve en büyük tam sayı değeri

x = 2

bulunur.

-2x + 7 > 1 \implies -2x > -6

olur. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı olan

-2

ye bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve

x < 3

olur.

2

y

sayısının değer aralığını ve alabileceği en küçük tam sayı değerini belirlemek.

y \geq 5

ve en küçük tam sayı değeri

y = 5

bulunur.

3y - 5 \geq 10 \implies 3y \geq 15

olur. Her iki taraf 3'e bölündüğünde

y \geq 5

elde edilir.

3

z

sayısının değer aralığını ve alabileceği en büyük tam sayı değerini belirlemek.

z \leq 4

ve en büyük tam sayı değeri

z = 4

bulunur.

-4z + 18 \geq 2 \implies -4z \geq -16

olur. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı olan

-4

'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir ve

z \leq 4

olur.

4

Bulunan

x = 2

,

y = 5

ve

z = 4

değerlerini küçükten büyüğe sıralamak.

2 < 4 < 5

olduğu için

x < z < y

sıralaması elde edilir.

Tam sayıların sayı doğrusundaki büyüklük ilişkisi doğrudan karşılaştırılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yönünün değişmesi kuralı.

Question 78Question →

Bir su deposunun boş kısmının hacmi, dolu kısmının hacminin 3 katından 10 litre fazladır. Bu depoya 40 litre su ilave edildiğinde depodan su taşmamakta, ancak 65 litre su ilave edildiğinde depodan su taşmaktadır.

Başlangıçta depodaki dolu kısmın hacmi litre cinsinden bir $x$ tam sayısı olduğuna göre, $x$ 'in alabileceği kaç farklı değer vardır?

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Başlangıçtaki dolu kısmın hacmini temsil eden x tam sayısının alabileceği 9 farklı değer vardır.

Boş kısmın hacmi

3x+10

litredir. 40 litre su taşmadığı için boş kısım en az 40 litredir, yani

3x+10 \ge 40

olup buradan

x \ge 10

elde edilir. 65 litre su taştığı için boş kısım 65 litreden azdır, yani

3x+10 < 65

olup buradan

x < 18,33...

elde edilir. Bu iki şartı sağlayan

x

tam sayı değerleri 10 ile 18 (dahil) arasındaki 9 tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

Boş kısmın hacmini veren ifadeyi x cinsinden yazma

Boş kısmın hacmi

3x + 10

litredir.

Deponun bo�� kısmının hacminin, dolu kısmın hacminin 3 katından 10 litre fazla olduğu belirtilmiştir.

2

İlk durum için eşitsizliği kurma ve çözme

x \ge 10

40 litre su ilave edildiğinde depodan su taşmaması, deponun boş kısmının hacminin en az 40 litre olduğunu gösterir (

3x + 10 \ge 40

).

3

İkinci durum için eşitsizliği kurma ve çözme

x < 18,33...

65 litre su ilave edildiğinde depodan su taşması, deponun boş kısmının hacminin 65 litreden az olduğunu gösterir (

3x + 10 < 65

).

4

Eşitsizlikleri birleştirme ve tam sayı çözümlerini bulma

x \in \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}

olmak üzere 9 farklı değer

10 \le x < 18,33...

aralığındaki tam sayı değerlerinin adedi hesaplanır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin kurulması, çözülmesi ve eşitsizlik yönü kurallarının uygulanması.

Estimated Time:2m 0s

Question 79Question →

Bir laboratuvardaki kontrollü soğutma kabininin iç sıcaklığı, çalıştırıldıktan

t

saat sonra santigrat derece (°C) cinsinden

S(t) = 16 - 3t

modeliyle belirlenmektedir.

Kabin içerisindeki hassas kimyasal maddelerin yapısının bozulmaması için sıcaklığın $-8$ °C'den yüksek ve en çok $4$ °C olması gerekmektedir.

Buna göre, kimyasal maddelerin yapısının bozulmadan kalabileceği süreyi (saat cinsinden) ifade eden en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

[4, 8)

(4, 8]

(4, 8)

[4, 8]

(-8, -4]

Show answer & explanation

Answer: $[4, 8)$

Answer

Kimyasal maddelerin yapısının bozulmadan kalabileceği sürenin en geniş aralığı

[4, 8)

aralığıdır.

Sıcaklık ifadesi

-8 < 16 - 3t \leq 4

olarak yazılır. Eşitsizliğin her tarafından

16

çıkarıldığında

-24 < -3t \leq -12

elde edilir. Her taraf

-3

'e bölündüğünde negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirerek

8 > t \geq 4

halini alır. Bu da

4 \leq t < 8

aralığına, yani

[4, 8)

aralığına karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Problemin verilerine uygun eşitsizlik modeli kurulur.

-8 < 16 - 3t \leq 4

Sıcaklığın

-8

°C'den yüksek (açık aralık,

<

) ve en çok

4

°C (kapalı aralık,

\leq

) olması gerektiği belirtilmiştir.

2

Eşitsizliğin her tarafından 16 çıkarılarak

t

terimi yalnız bırakılmaya çalışılır.

-24 < -3t \leq -12

Eşitsizliğin her tarafına aynı sayı eklendiğinde veya çıkarıldığında eşitsizliğin yönü değişmez.

3

Eşitsizlikteki

t

değişkenini yalnız bırakmak için her taraf

-3

sayısına bölünür.

8 > t \geq 4

yani

4 \leq t < 8

Bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

4

Bulunan eşitsizlik aralık gösterimine dönüştürülür.

[4, 8)

4

değeri eşitsizliğe dahil olduğundan kapalı köşeli parantez

[

,

8

değeri dahil olmadığından açık parantez

)

kullanılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümü ve eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Alternative Method

Eşitsizlik iki ayrı parça halinde çözülebilir: Önce

-8 < 16 - 3t

eşitsizliği çözülerek

3t < 24 \Rightarrow t < 8

bulunur. Sonra

16 - 3t \leq 4

eşitsizliği çözülerek

12 \leq 3t \Rightarrow 4 \leq t

bulunur. Bu iki sonuç birleştirildiğinde

4 \leq t < 8

elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 80Question →

Bir yüksek hassasiyetli 3D yazıcının hammadde eritme haznesindeki sıcaklık değeri $T$ (°C) olmak üzere, yazıcının farklı modlardaki çalışma sıcaklık aralıkları aşağıda verilmiştir:

* Ekonomik modda çalışma sıcaklık aralığı $A$ olup $|T - 160| \leq 25$ eşitsizliğini sağlayan $T$ gerçek sayılarıdır.
* Hızlı baskı modunda çalışma sıcaklık aralığı $B$ olup $|T - 195| < 35$ eşitsizliğini sağlayan $T$ gerçek sayılarıdır.
* Aşırı ısınma risk aralığı $C$ olup $[180, 220]$ kapalı aralığıdır.

Bu yazıcının hem ekonomik modda hem de hızlı baskı modunda güvenle çalışabildiği, ancak aşırı ısınma risk aralığında olmayan sıcaklık değerlerinin kümesi sayı doğrusunda gösterilecektir.

Buna göre, bu kümede yer alan kaç farklı $T$ tam sayı değeri vardır?

Show answer & explanation

Answer: 19

Answer

Yazıcının hem ekonomik hem de hızlı baskı modunda çalışabildiği fakat aşırı ısınma riskinde olmadı��ı sıcaklık değerlerinin oluşturduğu küme

(160, 180)

açık aralığıdır. Bu aralıkta 19 farklı tam sayı değeri bulunmaktadır.

Verilen mutlak değerli eşitsizlikler çözüldüğünde ekonomik mod için

A = [135, 185]

kapalı aralığı, hızlı mod için

B = (160, 230)

açık aralığı elde edilir. Her iki modda da çalışılan bölge bu iki kümenin kesişimi olan

(160, 185]

yarı açık aralığıdır. Bu bölgeden aşırı ısınma risk aralığı olan

C = [180, 220]

çıkarıldığında, 180 değeri de dışarıda kalacağı için geriye

(160, 180)

açık aralığı kalır. Bu aralıktaki tam sayılar 161'den 179'a kadar olan 19 adet tam sayıdır.

Step-by-Step Solution

1

A aralığını belirleme

A = [135, 185]

Ekonomik mod eşitsizliği olan

|T - 160| \leq 25

çözülerek çalışma sınırları bulunur.

2

B aralığını belirleme

B = (160, 230)

Hızlı baskı modu eşitsizliği olan

|T - 195| < 35

çözülerek çalışma sınırları bulunur.

3

A ve B aralıklarının kesişimini bulma

A \cap B = (160, 185]

Yazıcının her iki modda da çalışabilmesi için sıcaklığın her iki aralıkta da bulunması gerekir.

4

C aralığını çıkarma ve güvenli bölgeyi belirleme

(A \cap B) \setminus C = (160, 180)

Aşırı ısınma risk bölgesi olan

[180, 220]

aralığındaki değerler güvenli bölgeden çıkarılır. 180 değeri çıkarılan kümeye dahil olduğundan kalan sınır açık aralık olur.

5

Aralıktaki tam sayı adedini hesaplama

19 adet tam sayı

(160, 180)

açık aralığındaki tam sayıların sayısı terim sayısı formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin aralık olarak gösterimi ve aralıklarda küme işlemleri

Denklem ve Eşitsizlikler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes