Denklem ve Eşitsizlikler Practice Questions — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) — Page 8

İki basamaklı

3x

ve

x2

doğal sayıları için,

(3x) + 10 = (x2) + 11

eşitliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan $x$ rakamı kaçtır?

3

1

0

\frac{1}{3}

\frac{27}{11}

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Denklemi sağlayan x rakamı 3'tür.

Soruda verilen parantez içindeki ifadeler iki basamaklı sayılardır. Bu sayılar basamak değerlerine göre

(3x) = 30 + x

ve

(x2) = 10x + 2

olarak çözümlenir. Denkleme yerleştirildiğinde

30 + x + 10 = 10x + 2 + 11

elde edilir. Buradan benzer terimler birleştirilerek

x + 40 = 10x + 13

ve

9x = 27

bulunarak

x = 3

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen iki basamaklı sayıları basamak değerlerine göre çözümleyerek denklemi yeniden yazın.

(30 + x) + 10 = (10x + 2) + 11

Parantez içindeki ifadeler iki basamaklı doğal sayılar olduğundan basamak çözümlemesi yapılmalıdır.

2

Denklemin her iki tarafındaki sabit sayıları toplayarak benzer terimleri bir araya getirin.

x + 40 = 10x + 13

Denklemdeki işlemlerin basitleştirilmesi ve bilinmeyenlerin yalnız bırakılabilmesi için benzer terimlerin birleştirilmesi gerekir.

3

Bilinmeyenleri bir tarafa, sabit sayıları diğer tarafa toplayarak bilinmeyeni yalnız bırakın.

40 - 13 = 10x - x \implies 27 = 9x \implies x = 3

x değerini bulmak için eşitliğin her iki tarafını x'in katsayısına böleriz. Bulunan 3 değeri bir rakam olup başlangıçtaki iki basamaklı sayı tanımına uygundur.

Key Concept

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Basamak Çözümleme İlişkisi

Estimated Time:1m 30s

Question 142Question →

Bir kargo firmasında taşınacak olan $A$ , $B$ ve $C$ kolilerinin kütleleri kilogram cinsinden sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ birer pozitif tam sayısıdır. Bu kolilerin kütleleri arasında aşağıdaki ilişkiler bulunmaktadır:

* $B$ kolisinin kütlesi; onlar basamağı $a$ , birler basamağı 2 olan iki basamaklı $a2$ sayısına eşittir.
* $C$ kolisinin kütlesi, $B$ kolisinin kütlesinin 2 katından 5 kg eksiktir.

Bu koliler eşit kollu bir terazinin kefelerine yerleştirildiğinde terazi dengede kalmaktadır:

* Terazinin sol kefesinde: 3 adet $A$ kolisi ve 1 adet $C$ kolisi,
* Terazinin sağ kefesinde: 1 adet $B$ kolisi ve kütlesi $k$ kg olan bir demir ağırlık

bulunmaktadır.

$A$ kolisinin kütlesi olan $a$ kg bir asal rakam ve terazideki demir ağırlığın kütlesi olan $k$ kg iki basamaklı bir asal sayı olduğuna göre, $C$ kolisinin kütlesi kaç kg'dır?

31

39

49

59

73

Show answer & explanation

Answer: 39

Answer

C kolisinin kütlesi 39 kg'dır.

Doğru cevap olan 39 kg,

a = 2

asal rakamı için terazinin dengede kalmasını sağlayan

C

kolisinin kütlesidir. Bu durumda

B

'nin kütlesi 22 kg,

C

'nin kütlesi 39 kg ve demir ağırlığın kütlesi

k = 23

kg (iki basamaklı asal sayı) olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Kolilerin kütlelerini

a

cinsinden ifade edin.

b = 10a + 2

ve

c = 2b - 5 = 2(10a + 2) - 5 = 20a - 1

B kolisinin kütlesi iki basamaklı

a2

sayısı olarak verilmiştir ve C kolisinin kütlesi B kolisinin kütlesine bağlı olarak tanımlanmıştır.

2

Terazi dengesi durumunu birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olarak kurun.

3a + c = b + k

denkleminde

b

ve

c

ifadelerini yerine yazarak

3a + (20a - 1) = (10a + 2) + k

elde edilir.

Terazinin sol kefesindeki toplam kütle sağ kefesindeki toplam kütleye eşit olmalıdır.

3

Elde edilen denklemi sadeleştirerek

k

değerini

a

cinsinden bulun.

23a - 1 = 10a + 2 + k \implies 13a - 3 = k

Denklemi tek bilinmeyenli

a

değişkeni ve parametre olan

k

cinsinden çözerek değişkenler arası ilişkiyi sadeleştirmek gerekir.

4

a

asal rakamlarını (

a \in \{2, 3, 5, 7\}

) deneyerek

k

değerinin iki basamaklı bir asal sayı olmasını sağlayan durumu belirleyin.

a = 2 \implies k = 13(2) - 3 = 23

(asal sayıdır). Diğer değerler (

a=3 \implies k=36

,

a=5 \implies k=62

,

a=7 \implies k=88

) asal sayı üretmez.

Sayı kümeleri ve asal sayı tanımlarına göre olası çözümleri sınırlandırmak gerekir.

5

a = 2

değeri için

C

kolisinin kütlesini hesaplayın.

b = 10(2) + 2 = 22 \implies c = 2(22) - 5 = 39

kg.

Soru bizden C kolisinin kütlesini istemektedir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması, çözülmesi ve sayı kümelerinin sınırlandırıcı koşullar altında analiz edilmesi.

Question 143Question →

Bir

x

gerçel sayısı için

-4 < -2x + 6 \leq 12

eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, aşağıda tanımlanan değerleri en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Değerlerin en küçükten en büyüğe doğru sıralanışı: 3x - 1 ifadesinin alabileceği en küçük tam sayı değeri < x sayısının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı < -2x + 4 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri şeklindedir.

Verilen eşitsizlik doğru şekilde çözüldüğünde

x

sayısının aralığı

[-3, 5)

olarak belirlenir. Bu aralığa göre ilk ifadenin değeri

-10

, ikinci ifadenin değeri

10

ve üçüncü ifadenin değeri

4

olmaktadır. Bu değerlerin küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı

-10 < 4 < 10

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizliği çözerek

x

'in değer aralığını bulmak.

-3 \leq x < 5

-4 < -2x + 6 \leq 12

eşitsizliğinde her taraftan

6

çıkarılırsa

-10 < -2x \leq 6

elde edilir. Her taraf

-2

'ye bölündüğünde negatif sayıya bölme kuralı gereği eşitsizlik yön değiştirir ve

5 > x \geq -3

yani

-3 \leq x < 5

aralığı bulunur.

2

3x - 1

ifadesinin en küçük tam sayı değerini belirlemek.

-10

-3 \leq x < 5

eşitsizliği

3

ile çarpılıp

1

çıkarılırsa

-9 \leq 3x < 15

ve buradan

-10 \leq 3x - 1 < 14

elde edilir. Bu aralıktaki en küçük tam sayı

-10

'dur.

3

-2x + 4

ifadesinin en büyük tam sayı değerini belirlemek.

10

-3 \leq x < 5

eşitsizliği

-2

ile çarpılıp

4

eklenirse

6 \geq -2x > -10

ve buradan

10 \geq -2x + 4 > -6

elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı

10

'dur.

4

x

'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak.

4

-3 \leq x < 5

aralığındaki tam sayılar

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

değerleridir. Bu sayıların toplamı

(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 4

olur.

5

Elde edilen sonuçları karşılaştırarak sıralamak.

-10 < 4 < 10

Hesaplanan değerler

-10

,

4

ve

10

olup küçükten büyüğe sıralama

-10 < 4 < 10

şeklindedir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve reel sayı aralıklarında değer hesabı.

Question 144Question →

Bir sayı doğrusu üzerinde yer alan $A$ , $B$ ve $C$ teslimat noktalarının koordinatları sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ gerçek sayılarıdır. Bu noktaların koordinatları arasında $a < b < c$ sıralaması bulunmakta ve $B$ noktası, $A$ ile $C$ noktalarının tam ortasında yer almaktadır.

Bu sayı doğrusu üzerinde konumlandırılacak bir $x$ kontrol noktasının $A$ ve $C$ noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, $B$ noktasına olan uzaklığının $3$ katına eşittir.

Bu koşulu sağlayan yalnızca iki farklı $x$ gerçek sayısı bulunmakta ve bu sayıların toplamı $16$ olmaktadır.

Buna göre, $B$ noktasının koordinatı olan $b$ değeri kaçtır?

4

6

8

12

16

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

B noktasının koordinatı olan b değeri 8'dir.

B noktası, A ve C noktalarının orta noktası olduğundan, A ve C noktalarına olan uzaklıklar toplamı B noktasına göre simetriktir.

u = x - b

dönüşümü yapıldığında elde edilen

|u + d| + |u - d| = 3|u|

denkleminin çözümleri

u = \pm \frac{2d}{3}

olur. Buradan

x

değerleri

b - \frac{2d}{3}

ve

b + \frac{2d}{3}

olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı

2b

olup

2b = 16

eşitliğinden

b = 8

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

B noktasının, A ve C noktalarının tam ortasında olmasını matematiksel olarak ifade etmek.

|b - a| = |c - b| = d > 0

olsun. Buradan

a = b - d

ve

c = b + d

yazılabilir.

Sayı doğrusunda simetriyi kullanarak değişken sayısını azaltmak ve denklemi sadeleştirmek.

2

Soruda verilen uzaklık ilişkisini mutlak değerli denklem olarak yazıp yeni değişkene göre düzenlemek.

|x - a| + |x - c| = 3|x - b|

denkleminde

a = b-d

ve

c = b+d

yazılırsa:

|x - (b - d)| + |x - (b + d)| = 3|x - b|

elde edilir. Burada

u = x - b

değişken değiştirmesi yapılırsa denklem

|u + d| + |u - d| = 3|u|

hâline gelir.

Denklemi b noktasına göre simetrik hâle getirerek çözümü kolaylaştırmak.

3

|u + d| + |u - d| = 3|u|

denkleminin çözüm kümesini u değerleri için bulmak.

Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar

-d

,

0

ve

d

'dir. Kritik noktalara göre aralık incelemesi yapıldığında,

u \ge d

ve

u < -d

için çözüm gelmezken,

0 \le u < d

için

u = \frac{2d}{3}

ve

-d \le u < 0

için

u = -\frac{2d}{3}

çözümleri elde edilir.

Mutlak değerlerin işaret incelemesini yaparak tüm olası kökleri tespit etmek.

4

Bulunan u çözümlerini x değişkenine geri dönüştürerek x değerlerinin toplamını eşitlemek.

x_1 = b + \frac{2d}{3}

ve

x_2 = b - \frac{2d}{3}

olur. Bu iki değerin toplamı

x_1 + x_2 = 2b

olur. Soruda kökler toplamı 16 verildiğinden,

2b = 16 \implies b = 8

olarak bulunur.

Köklerin toplamı bilgisini kullanarak b parametresini hesaplamak.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalarına göre aralık incelemesi yapılarak çözülmesi ve simetrik değişken değiştirme yöntemiyle basitleştirilmesi.

Question 145Question →

Bir kimya laboratuvarında bulunan iki hassas ölçüm cihazından birincisi $A$ sıcaklık aralığında, ikincisi ise $B$ sıcaklık aralığında güvenli bir şekilde çalışabilmektedir.

Bu cihazların güvenli çalışma aralıkları sırasıyla,

A = \{x \in \mathbb{R} : |x - 2| \le 5\}

B = \{x \in \mathbb{R} : -1 < 2x - 3 \le 9\}

kümeleri ile belirlenmiştir.

Bu laboratuvardaki ortam sıcaklığı $[-4, 8]$ aralığında değişmektedir.

Buna göre, ortam sıcaklığının bu aralıkta olduğu ve iki cihazın aynı anda güvenli çalışamadığı sıcaklık değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

[-4, 1) \cup [6, 8]

[-4, 1] \cup (5, 8]

[-4, 1] \cup [6, 8]

[-4, 1] \cup (6, 8]

[-4, 1) \cup (6, 8]

Show answer & explanation

Answer: $[-4, 1] \cup (6, 8]$

Answer

[-4, 1] \cup (6, 8]

aralığıdır.

Doğru cevap olan

[-4, 1] \cup (6, 8]

kümesi, ortam sıcaklığının sınır aralığı olan

[-4, 8]

kümesinden, iki cihazın birlikte çalışabildiği ortak sıcaklık kümesi olan

A \cap B = (1, 6]

aralığının çıkarılmasıyla elde edilir. Bu işlemde

1

sayısı çıkarılan kümede yer almadığından fark kümesine dahildir (kapalı uç),

6

sayısı ise çıkarılan kümede yer aldığından fark kümesine dahil edilmez (açık uç).

Step-by-Step Solution

1

A

kümesini belirten

|x - 2| \le 5

mutlak değerli eşitsizliğini çözeriz.

-5 \le x - 2 \le 5 \implies -3 \le x \le 7

elde edilir. Buradan

A = [-3, 7]

aralığı bulunur.

Mutlak değerli eşitsizliklerin tanımı gereği, eşitsizlik

-5 \le x - 2 \le 5

şeklinde yazılır ve her tarafa 2 eklenir.

2

B

kümesini belirten

-1 < 2x - 3 \le 9

eşitsizliğini ��özeriz.

2 < 2x \le 12 \implies 1 < x \le 6

elde edilir. Buradan

B = (1, 6]

aralığı bulunur.

Eşitsizliğin her tarafına 3 eklenerek

2 < 2x \le 12

elde edilir, ardından her taraf 2'ye bölünür.

3

Her iki cihazın da aynı anda güvenli çalışabildiği sıcaklık kümesini bulmak için

A

ve

B

kümelerinin kesişimini alırız.

A \cap B = [-3, 7] \cap (1, 6] = (1, 6]

aralığı elde edilir.

Her iki kümede de bulunan ortak gerçek sayılar tespit edilir.

4

Ortam sıcaklığı olan

[-4, 8]

aralığından, iki cihazın aynı anda çalıştığı

(1, 6]

aralığını çıkarırız.

[-4, 8] \setminus (1, 6] = [-4, 1] \cup (6, 8]

kümesi elde edilir.

İki cihazın aynı anda çalışamadığı durum, birlikte çalıştıkları aralığın dışındaki sıcaklıklardır. Sınır noktalarından

1

sayısı çıkarılmadığı için kapalı,

6

sayısı ise çıkarıldığı için açık aralık olarak kalır.

Key Concept

Aralık Kavramı, Eşitsizlik Çözümleri ve Sayı Doğrusunda Küme İşlemleri

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde doğrudan A ve B kümeleri çizilerek ortak bölge görselleştirilebilir.

[-4, 8]

aralığı çizildikten sonra, bu aralık üzerinden

(1, 6]

kısmı kesilip atılarak kalan bölgelerin sınır değerleri görsel olarak kontrol edilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 146Question →

Bir havayolu şirketine ait akıllı bagaj tartısı, üzerine konulan valizin kilogram cinsinden ağırlığı olan $x$ değerine göre şu renklerde uyarı vermektedir:

* Yeşil ışık: Ağırlığı $0$ kg'dan büyük ve $12$ kg'a kadar ( $12$ kg dahil) olan valizler için,
* Sarı ışık: Ağırlığı $12$ kg'dan fazla ve $20$ kg'a kadar ( $20$ kg dahil) olan valizler için,
* Kırmızı ışık: Ağırlığı $20$ kg'dan fazla ve $30$ kg'a kadar ( $30$ kg dahil) olan valizler için.

Bu havayolu şirketinde çalışan görevlilerden Hakan, tartıda yeşil veya sarı ışık yanan valizleri doğrudan uçağa kabul etmektedir. Diğer görevli Selin ise ağırlığı sayı doğrusunda $[8, 25)$ aralığında olan valizleri uçağa kabul etmektedir.

Buna göre, hem Hakan hem de Selin tarafından uçağa kabul edilebilecek bir valizin ağırlığının ( $x$ ) alabileceği değerleri gösteren en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

[8, 20)

(8, 20]

(8, 20)

[8, 20]

[12, 20]

Show answer & explanation

Answer: $[8, 20]$

Answer

[8, 20]

aralığı

Hakan'ın uçağa kabul ettiği ağırlıklar yeşil veya sarı ışık yanan

(0, 20]

aralığıdır. Selin ise

[8, 25)

aralığındaki valizleri kabul etmektedir. Her iki koşulu da aynı anda sağlayan ağırlık değerleri bu iki kümenin kesişim kümesi olan

[8, 20]

kapalı aralığıdır. Hem 8 hem de 20 kilogramlık valizler her iki görevlinin kurallarına da dahil olduğu için aralık sınırları kapalı (köşeli parantez) olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Hakan'ın uçağa kabul ettiği valizlerin ağırlık aralığını belirleme

H = (0, 20]

aralığı

Hakan yeşil veya sarı ışık yanan valizleri kabul etmektedir. Yeşil ışık aralığı

(0, 12]

ve sarı ışık aralığı

(12, 20]

olduğuna göre, bu iki aralığın birleşimi

(0, 12] \cup (12, 20] = (0, 20]

olur.

2

Selin'in uçağa kabul ettiği valizlerin ağırlık aralığını yazma

S = [8, 25)

aralığı

Selin'in uçağa kabul ettiği valizlerin ağırlık aralığı soruda

[8, 25)

olarak verilmiştir.

3

Hem Hakan hem de Selin tarafından kabul edilen ortak aralığı (kesişim kümesini) bulma

H \cap S = [8, 20]

aralığı

Her iki görevlinin de ortak kabul ettiği aralığı bulmak için bu iki aralığın kesişim kümesini alırız:

(0, 20] \cap [8, 25)

. Kesişim kümesi oluşturulurken alt sınırların en büyüğü (

8

, dahil) ve üst sınırların en küçüğü (

20

, dahil) seçilir. Böylece en geniş ortak aralık

[8, 20]

olarak bulunur.

Key Concept

İki gerçel sayı aralığının kesişimi bulunurken, alt sınırların en büyüğü ile üst sınırların en küçüğü alınarak yeni bir aralık oluşturulur. Sınır değerlerinin aralıklara dahil olup olmama durumu (açık veya kapalı olması) kesişim kümesinde de korunmalıdır.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde sınır değerlerini belirledikten sonra, her bir sınır değerinin (8 ve 20) her iki koşulu da sağlayıp sağlamadığını tek tek deneyerek de dahil olup olmadıklarına karar verebiliriz. Örneğin x = 8 için, 8 yeşil ışık aralığındadır (Hakan kabul eder) ve [8, 25) aralığındadır (Selin kabul eder), dolayısıyla 8 dahildir. x = 20 için, 20 sarı ışık aralığındadır (Hakan kabul eder) ve [8, 25) aralığındadır (Selin kabul eder), dolayısıyla 20 dahildir. Bu durumda aralık [8, 20] olmalıdır.

Estimated Time:2m 0s

Question 147Question →

Bir su arıtma tesisinde bulunan iki farklı filtreleme sistemi, suyun akış hızına ( $f$ , litre/saniye) bağlı olarak çalışmaktadır.

* A filtre sistemi, suyun akış hızı $f \in [8, 25)$ aralığında olduğunda aktif olmaktadır.
* B filtre sistemi ise suyun akış hızı $f \in (18, 30]$ aralığında olduğunda aktif olmaktadır.

Tesisin verimli çalışabilmesi için bu filtrelerden yalnızca birinin aktif olması gerekmektedir.

Buna göre, tesisin verimli çalıştığı $f$ akış hızının alabileceği tam sayı de��erlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 308

Answer

Tesisin verimli çalıştığı akış hızının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 308'dir.

Yalnızca bir filtrenin aktif olduğu aralıklar

[8, 18] \cup [25, 30]

kümesidir. Bu aralıklardaki tüm tam sayıların toplamı 308 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

A ve B filtrelerinin çalışma aralıklarını sayı doğrusunda analiz etme.

A filtresi

[8, 25)

aralığında (8 dahil, 25 hariç), B filtresi

(18, 30]

aralığığında (18 hariç, 30 dahil) çalışır.

Filtrelerin sınır değerlerinin çözüme dahil olup olmadığını doğru tespit etmek için.

2

Yalnızca bir filtrenin aktif olduğu aralığı belirleme.

İki aralığın kesişimi olan

(18, 25)

bölgesi hariç tutulur. Kalan aralıklar

[8, 18]

ve

[25, 30]

olarak bulunur.

Yalnızca bir filtrenin aktif olması istendiğinden, her iki filtrenin de aktif olduğu kesişim bölgesi çıkarılmalıdır.

3

Belirlenen aralıklardaki tam sayıları bulup toplama.

[8, 18]

aralığındaki tam sayılar için toplam 143,

[25, 30]

aralığındaki tam sayılar için toplam 165'tir. Toplam

143 + 165 = 308

olur.

Soruda istenen toplam değeri elde etmek için.

Key Concept

Aralık kavramı, açık ve kapalı aralıkların sayı doğrusunda gösterimi ve aralık kümelerinde fark işlemi.

Question 148Question →

Şekildeki eşit kollu terazi dengededir. Terazinin sol kefesinde her birinin kütlesi $x$ gram olan 3 adet özdeş mavi küre ile 5 gramlık bir kütle, sağ kefesinde ise aynı mavi kürelerden 1 adet ile 17 gramlık bir kütle bulunmaktadır. Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Mavi kürenin kütlesi 6 gramdır.

Dengede olan bir terazide sol kefe ile sağ kefe birbirine eşit kütleye sahiptir. Sol kefedeki ağırlıklar toplamı

3x + 5

, sağ kefedeki ağırlıklar toplamı

x + 17

olduğundan kurulan denklem

3x + 5 = x + 17

şeklindedir. Eşitliğin sağındaki

x

terimi sola

-x

olarak, solundaki

+5

sayısı ise sağa

-5

olarak geçtiğinde

2x = 12

elde edilir. Her iki tarafı da 2'ye böldüğümüzde aranan

x

değeri 6 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Terazinin sol ve sağ kefelerindeki kütleleri cebirsel olarak ifade edip birbirine eşitleyin.

3x + 5 = x + 17

Eşit kollu terazinin dengede olması, her iki kefedeki ağırlıkların eşit olduğunu gösterir.

2

Bilinmeyen

x

terimini yalnız bırakmak için

x

'i sol tarafa, sayıları sağ tarafa işaretlerini değiştirerek aktarın.

3x - x = 17 - 5

yani

2x = 12

Denklemlerde bilinmeyenleri tek bir tarafta toplamak çözüm sürecini kolaylaştırır.

3

Her iki tarafı bilinmeyenin katsayısı olan 2'ye bölün.

x = 6

Bilinmeyenin katsayısını 1 yapmak ve köke ulaşmak için her iki taraf katsayıya bölünür.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve çözme adımları.

Hints

1

Terazinin dengede olması durumunu matematiksel olarak ifade etmek için sol kefedeki toplam kütleyi sağ kefedeki toplam kütleye eşitlemelisiniz.

2

Elde ettiğiniz

3x + 5 = x + 17

denkleminde

x

'leri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayarak işleminizi sadeleştirin.

Practice More

Denklem kurma mantığını pekiştirmek için terazinin kefelerine farklı adetlerde küreler ve kütleler koyarak yeni denklemler kurup çözebilirsiniz.

Alternative Method

Fiziksel olarak dengeyi bozmadan her iki kefeden de aynı nesneleri çıkarabiliriz. Her iki kefeden de 1 adet mavi küre (

x

gram) çıkarırsak sol kefede 2 adet mavi küre ve 5 gram, sağ kefede ise sadece 17 gram kalır. Buradan

2x + 5 = 17

olur. Her iki taraftan 5 gram çıkarırsak sol kefede 2 adet mavi küre (

2x

), sağ kefede ise 12 gram kalır. Dolayısıyla 2 adet mavi küre 12 gram ise, 1 adet mavi küre 6 gram bulunur.

Estimated Time:1m 0s

Question 149Question →

Bir marangoz, aynı kalınlıkta ve farklı uzunluklardaki iki tahta bloktan birincisini $3$ eş parçaya, ikincisini ise $5$ eş parçaya bölüyor. Birinci bloktan elde edilen bir parçanın uzunluğu, ikinci bloktan elde edilen bir parçanın uzunluğunun $2$ katından $10\text{ cm}$ eksiktir. Eğer marangoz bu iki tahta bloğu uç uca ekleyip elde ettiği yeni bloğu $5$ eş parçaya bölseydi, her bir parçanın uzunluğu $38\text{ cm}$ olacaktı. Buna göre, birinci tahta bloğun başlangıçtaki uzunluğu $90\text{ cm}$ 'dir.

True

False

Show answer & explanation

Answer: True

Answer

Birinci tahta bloğun başlangıçtaki uzunluğu

90\text{ cm}

'dir, bu nedenle ifade doğrudur.

Verilen sözel ifadelerden kurulan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözüldüğünde birinci bloğun başlangıç uzunluğu tam olarak

90\text{ cm}

çıkmaktadır. Bu yüzden ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Blokların toplam uzunluğunu ve ikinci bloğun birinci blok cinsinden değerini belirlemek.

İki bloğun toplam uzunluğu

x + y = 5 \times 38 = 190\text{ cm}

'dir. Buradan

y = 190 - x

elde edilir.

İkinci senaryoda blokların uç uca eklenip 5 eş parçaya bölündüğünde her bir parçanın 38 cm olduğu bilgisi verilmiştir.

2

İlk senaryodaki sözel ifadeyi matematiksel denkleme dönüştürmek.

\frac{x}{3} = 2 \cdot \frac{y}{5} - 10

denklemi kurulur.

y

yerine

190 - x

yazıldığında denklem

\frac{x}{3} = 2\left(\frac{190-x}{5}\right) - 10

halini alır.

Birinci bloktan elde edilen bir parçanın uzunluğu (

\frac{x}{3}

), ikinci bloktan elde edilen bir parçanın uzunluğunun (

\frac{y}{5}

) 2 katından 10 eksiktir.

3

Elde edilen birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözmek.

\frac{x}{3} = \frac{380 - 2x - 50}{5} \implies \frac{x}{3} = \frac{330 - 2x}{5} \implies 5x = 3(330 - 2x) \implies 11x = 990 \implies x = 90\text{ cm}

bulunur.

Paydalar eşitlenip içler dışlar çarpımı yapılarak bilinmeyen yalnız bırakılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem kurma ve rasyonel katsayılı denklemleri çözme.

Question 150Question →

Bir sporcunun sırt numarası, onlar basamağı 5 olan iki basamaklı $5x$ doğal sayısıdır. Bu sporcunun sırt numarasının 2 katının 15 fazlası 129 olduğuna göre, sırt numarasının birler basamağındaki $x$ rakamı kaçtır?

57

7

11.4

22

14

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Sırt numarasının birler basamağındaki rakam 7 olmalıdır.

Doğru yanıt olan 7 değeri,

5x

sayısı

50 + x

şeklinde çözümlenip denklem kurulduğunda (

2(50 + x) + 15 = 129

) tam olarak sağlanmaktadır. Denklemin çözümü

2(50 + x) = 114

ise

50 + x = 57

ve buradan

x = 7

olarak elde edilir ve 7 bir rakamdır.

Step-by-Step Solution

1

İki basamaklı

5x

sayısını basamak değerlerine ayırarak yazmak.

50 + x

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem formuna getirmek için sayı çözümlenir.

2

Soruda verilen sözel ifadeyi denkleme dönüştürmek.

2(50 + x) + 15 = 129

Sırt numarasının 2 katının 15 fazlasının 129 olduğu bilgisi denklemleştirilir.

3

Elde edilen denklemi çözmek.

x = 7

15 sayısı eşitliğin sağ tarafına atılırsa

2(50 + x) = 114

olur. Her iki taraf 2'ye bölünürse

50 + x = 57

ve buradan

x = 7

bulunur.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin kurulması ve çözülmesi, basamak çözümleme kuralları ile sayı kümesi sınırlandırmalarının kontrolü.

Estimated Time:1m 30s

Question 151Question →

Bir gıda deposunda bulunan iki farklı bölmenin ideal depolama sıcaklık değerleri şu şekildedir:
- $A$ bölmesinin ideal sıcaklık aralığı: $[-8, 4)$ santigrat derece
- $B$ bölmesinin ideal sıcaklık aralığı: $(-2, 8]$ santigrat derece

$A$ bölmesinin ideal sıcaklık aralığında olup $B$ bölmesinin ideal sıcaklık aralığında olmayan sıcaklık değerleri kümesi sayı doğrusunda gösterildiğinde elde edilen aralıktaki farklı tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -35

Answer

Doğru cevap -35 değeridir.

Doğru cevap olan -35, A ve B aralıklarının fark kümesi olan

[-8, -2]

kapalı aralığındaki tüm tam sayıların (

-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2

) toplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

A ve B bölmelerine ait sıcaklık aralıklarını küme gösterimiyle ifade etmek

A = [-8, 4)

ve

B = (-2, 8]

Sıcaklık sınırlarının dahil olma (kapalı) veya olmama (aç��k) durumlarını netleştirmek için.

2

A aralığında olup B aralığında olmayan değerleri temsil eden fark kümesini (

A \setminus B

) belirlemek

A \setminus B = [-8, -2]

-8

değeri

A

kümesine dahil olup

B

kümesine dahil olmadığından fark kümesine dahildir.

-2

değeri

B

kümesinde açık sınır olduğundan (yani

B

'ye dahil olmadığından) fark kümesine dahil edilir.

4

değeri ise zaten

A

kümesinde açık sınır olduğundan dahil edilmez.

3

[-8, -2]

kapalı aralığındaki tam sayıları bulup toplamak

-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2

tam sayıları elde edilir ve toplamları

-35

olur.

İstenen tam sayıların toplamını bulmak için.

Key Concept

Aralık kavramı, sayı doğrusunda gösterim ve aralıklar üzerinde küme farkı işlemi.

Question 152Question →

Bir elektrikli otomobil şarj istasyonunda A ve B ünitelerinde gün içinde şarj edilen araç sayıları sırasıyla iki basamaklı $ab$ ve $ba$ doğal sayılarıdır. A ünitesinde şarj edilen araç sayısının 3 katının 12 fazlası, B ünitesinde şarj edilen araç sayısının 2 katına eşittir. Buna göre, bu iki ünitede gün içinde şarj edilen toplam araç sayısı kaçtır?

33

66

99

132

143

Show answer & explanation

Answer: 66

Answer

İki ünitede gün içinde şarj edilen toplam araç sayısı 66'dır.

Verilen sözel ifadeye uygun denklem kurulup basamak çözümlemesi yapıldığında

17b - 28a = 12

eşitliğine ulaşılır. Bu eşitliği sağlayan tek rakam çifti a = 2 ve b = 4'tür. Buradan ünitelerdeki araç sayıları 24 ve 42 bulunup, toplamları 66 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Araç sayılarını temsil eden iki basamaklı sayıları basamak değerlerine göre çözümleyelim.

ab = 10a + b

ve

ba = 10b + a

Sayı basamakları sorularında birinci dereceden denklem kurabilmek için sayıların çözümlenmesi gerekir.

2

Soruda verilen ilişkiye göre denklemi kuralım ve düzenleyelim.

3(10a + b) + 12 = 2(10b + a) \implies 30a + 3b + 12 = 20b + 2a \implies 28a + 12 = 17b

A ünitesindeki araç sayısının 3 katının 12 fazlası, B ünitesindeki araç sayısının 2 katına eşitlenmiştir.

3

Elde edilen

17b - 28a = 12

denklemini sağlayan a ve b rakamlarını bulalım.

a = 2

ve

b = 4

a ve b sıfırdan farklı birer rakam olmak zorundadır. a = 2 için

17b = 68 \implies b = 4

eşitliği sağlanır. Diğer rakam değerleri için b bir rakam olmamaktadır.

4

Bulunan rakam değerlerine göre A ve B ünitelerinde şarj edilen araç sayılarını belirleyip toplayalım.

ab = 24

,

ba = 42

ve toplam araç sayısı

24 + 42 = 66

İki ünitede şarj edilen toplam araç sayısı istenmektedir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler ve basamak çözümleme

Estimated Time:2m 0s

Question 153Question →

Bir kimya laboratuvarındaki deney tüpünün sıcaklığı

x

°C olup bu sıcaklık değeri

5 \le 11 - 2x < 15

eşitsizliğini sağlamaktadır.

Aynı laboratuvarda bulunan $A$ , $B$ ve $C$ maddelerinin sıcaklıkları sırasıyla;
* $a = 11 - 3x$ °C
* $b = 16 - x$ °C
* $c = x + 21$ °C
olarak tanımlanmıştır.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sıcaklık değerlerini en düşükten en yükseğe (küçükten büyüğe) doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

a < b < c (sırasıyla a, b ve c)

Verilen eşitsizlik çözüldüğünde

-2

ile bölme işlemi nedeniyle yön değiştirilir ve

-2 < x \le 3

aralığı elde edilir.

a

,

b

ve

c

değerleri arasındaki farklar incelendiğinde

b - a = 2x + 5

ve

c - b = 2x + 5

bulunur.

x > -2

için

2x + 5 > 0

olduğundan,

b - a > 0

ve

c - b > 0

eşitsizlikleri her zaman sağlanır. Buradan

a < b

ve

b < c

olduğu görülür ve en düşükten en yükseğe doğru sıralama sırasıyla

a

,

b

ve

c

olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitsizlik çözülerek

x

değişkeninin değer aralığı belirlenir.

5 \le 11 - 2x < 15

eşitsizliğinin her tarafından

11

��ıkarılırsa

-6 \le -2x < 4

elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafı

-2

ile bölündüğünde negatif bir sayıya bölündüğü için eşitsizlik yön değiştirir ve

3 \ge x > -2 \implies -2 < x \le 3

aralığı bulunur.

x

gerçel sayısının doğru değer aralığını bulmak,

a

,

b

ve

c

ifadelerini karşılaştırmanın temel adımıdır.

2

a

,

b

ve

c

değerleri arasındaki farklar cebirsel olarak hesaplanır.

b - a = (16 - x) - (11 - 3x) = 2x + 5

c - b = (x + 21) - (16 - x) = 2x + 5

bağıntıları elde edilir.

İki ifadenin büyüklük ilişkisini belirlemek için farklarının işaretini incelemek en güvenilir cebirsel yöntemdir.

3

x

aralığı kullanılarak farkların işareti incelenir ve doğru sıralama oluşturulur.

x > -2

olduğu için,

2x > -4 \implies 2x + 5 > 1 > 0

elde edilir. Buradan hem

b - a > 0

(yani

b > a

) hem de

c - b > 0

(yani

c > b

) olduğu görülür. Dolayısıyla

a < b < c

sıralaması kesinleşir.

Elde edilen farkların pozitif olduğu kanıtlandığında, büyüklük sıralaması kesin olarak kurulmuş olur.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı ve eşitsizlik ifadelerinin karşılaştırılması.

Alternative Method

x

gerçel sayısı için bulunan

-2 < x \le 3

aralığından pratiklik amacıyla kolay bir tam sayı değeri (örneğin

x = 0

veya

x = 2

) seçilerek

a

,

b

ve

c

değerleri hesaplanabilir. Örneğin

x = 0

için

a = 11

,

b = 16

,

c = 21

bulunur ve

11 < 16 < 21

olduğundan

a < b < c

sıralaması pratik yoldan elde edilir.

Estimated Time:2m 0s

Question 154Question →

Bir kimya deneyinde reaksiyon kabının sıcaklığı başlangıçta $14$ °C'dir. Reaktifler eklendikten sonra kabın sıcaklığı her dakikada sabit $0,8$ °C azalmaktadır. Deneyin güvenli bir şekilde tamamlanabilmesi için kabın sıcaklığının $-6$ °C'den yüksek olması gerekmektedir. Buna göre, deneyin güvenli şekilde devam edebileceği sürenin dakika cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Deneyin güvenli şekilde devam edebileceği sürenin dakika cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri 24'tür.

Sıcaklığın -6 °C'den yüksek olması koşulu

14 - 0,8t > -6

eşitsizliğini verir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde negatif sayıya bölme nedeniyle yön değiştirilerek

t < 25

elde edilir. 25'ten küçük en büyük tam sayı 24 olduğu için doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Zamana bağlı sıcaklık ifadesini ve eşitsizliği kurmak.

14 - 0,8t > -6

Başlangıç sıcaklığından geçen süredeki toplam sıcaklık düşüşü çıkarılarak ulaşılan sıcaklık, alt sınır olan -6 °C'den büyük olmalıdır.

2

Eşitsizliği düzenlemek için bilinen terimleri bir tarafa toplamak.

-0,8t > -20

Eşitsizliğin her iki tarafından 14 çıkarılarak bilinmeyenli terim yalnız bırakılmaya çalışılır.

3

Her iki tarafı negatif katsayıya bölerek bilinmeyeni yalnız bırakmak.

t < 25

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya (-0,8) bölündüğünde eşitsizliğin yönü değiştirilir (büyüktür sembolü küçüktür sembolüne dönüşür).

4

Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı değerini tespit etmek.

24

Süre 25 dakikadan kesinlikle küçük olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 24'tür.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yönünün değişmesi kuralı.

Alternative Method

Sıcaklık değişimi dakika bazında doğrudan hesaplanabilir. Başlangıçta 14 °C olan sıcaklık, 25. dakikada tam olarak 14 - 25 * 0,8 = -6 °C değerine ulaşır. Sıcaklığın -6 °C'den yüksek kalması istendiği için geçen sürenin 25 dakikadan az olması gerektiği görülür. 25 dakikadan az olan en büyük tam sayı dakika değeri 24'tür.

Estimated Time:2m 0s

Question 155Question →

Bir teknoloji firmasının ürettiği hassas sıcaklık kontrol cihazında üç farklı güvenlik modülü bulunmaktadır. Bu modüllerin aktif olarak çalışabildiği sıcaklık aralıkları ( $^{\circ}\text{C}$ cinsinden) sayı doğrusu üzerindeki noktalar olarak şu şekilde tanımlanmıştır:

* 1. Modülün çalışma aralığı ( $A$ ): Sayı doğrusunda $3$ noktasına olan uzaklığı en fazla $5$ birim olan gerçel sayıların kümesidir.
* 2. Modülün çalışma aralığı ( $B$ ): Sayı doğrusunda $-1$ noktasına olan uzaklığı en az $2$ birim ve en fazla $7$ birim olan gerçel sayıların kümesidir.
* 3. Modülün çalışma aralığı ( $C$ ): Say�� doğrusunda başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığı $4$ birimden az olan gerçel sayıların kümesidir.

Cihazın güvenli bir şekilde çalışabilmesi için 1. ve 2. modüllerin her ikisinin de aktif olması, ancak 3. modünaktif olmaması gerekmektedir.

Buna göre, cihazın güvenli bir şekilde çalışabildiği sıcaklık değerlerini ifade eden aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 15

Answer

Cihazın güvenli çalışabildiği sıcaklık değerlerini gösteren aralıktaki tam sayıların toplamı 15'tir.

Cihazın güvenli çalışabildiği aralık

[4, 6]

kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayı değerleri 4, 5 ve 6 olduğundan toplamları 15'tir.

Step-by-Step Solution

1

1. Modülün çalışma aralığı olan

A

kümesini bulmak için verilen mutlak değerli eşitsizliği çözmek.

|x - 3| \le 5 \implies -2 \le x \le 8

, yani

A = [-2, 8]

kapalı aralığıdır.

Bir noktaya olan uzakl��ğın en fazla olması durumu kapalı aralık belirtir.

2

2. Modülün çalışma aralığı olan

B

kümesini bulmak için çift yönl�� mutlak değerli eşitsizliği çözmek.

2 \le |x + 1| \le 7 \implies 1 \le x \le 6

veya

-8 \le x \le -3

, yani

B = [-8, -3] \cup [1, 6]

birleşim kümesidir.

Uzaklığın

-1

noktasına göre en az 2 ve en fazla 7 birim olması

|x - (-1)| = |x + 1|

şeklinde ifade edilir.

3

3. Modülün çalışma aralığı olan

C

kümesini bulmak için orijine uzaklık ifadesini açık aralık olarak yazmak.

|x| < 4 \implies C = (-4, 4)

açık aralığıdır.

Orijine olan uzaklığın 4 birimden az olması durumu açık aralık olarak tanımlanır.

4

1. ve 2. modüllerin kesişim kümesini bulmak.

A \cap B = [-2, 8] \cap ([-8, -3] \cup [1, 6]) = [1, 6]

aralığıdır.

Ortak elemanlar sadece pozitif taraftaki

[1, 6]

aralığında yer alır;

[-2, 8]

ile

[-8, -3]

kesişimi boştur.

5

Bulunan kesişim kümesinden 3. modülün aktif olduğu

C

aralığını çıkarmak.

E = (A \cap B) \setminus C = [1, 6] \setminus (-4, 4) = [4, 6]

kapalı aralığıdır.

Güvenli çalışma için 3. modülün aktif olmaması, yani sıcaklığın

C = (-4, 4)

kümesinde yer almaması gerekir.

6

Güvenli aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplamak.

4 + 5 + 6 = 15

elde edilir.

[4, 6]

kapalı aralığındaki tam sayılar

4

,

5

ve

6

olup uç noktalar aralığa dahildir.

Key Concept

Aralık kavramı, sayı doğrusunda gösterim, aralıkların kesişimi ve farkı işlemleri ile mutlak değerli eşitsizliklerin aralık belirtmesi.

Question 156Question →

5 \le 1 - 2x < 11

eşitsizliğini sağlayan

x

gerçel sayısı için tanımlanan

a = -x

,

b = x^2

ve

c = \frac{1}{x}

sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Drag items to arrange them in the correct order

Show answer & explanation

Answer

Sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı c < a < b şeklindedir.

Eşitsizlik çözüldüğünde

x

değerinin

-5 < x \le -2

aralığında olduğu görülür. Bu aralıkta

x

negatif bir sayıdır. Dolayısıyla c = 1/x değeri negatif olur ve en küçük sayıdır. a = -x pozitif olup 2 ile 5 aralığındadır. b = x^2 pozitif olup 4 ile 25 aralığındadır. Bu aralıkta x^2 > -x eşitsizliği her zaman geçerli olduğu için b > a olur. Bu durumda doğru sıralama c < a < b şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen eşitsizlikte

x

değişkenini yalnız bırakmak için her taraftan 1 çıkarılır.

4 \le -2x < 10

x

terimini izole etmek amacıyla sabit terim yok edilir.

2

Eşitsizliğin her tarafı

-2

sayısına bölünür. Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığı için eşitsizliğin yön�� değiştirilir.

-2 \ge x > -5

veya düzenlenmiş haliyle

-5 < x \le -2

x

değişkeninin değer aralığını bulmak için katsayısı olan

-2

'ye böl��nür.

3

Bulunan

x

aralığına göre

a = -x

,

b = x^2

ve

c = \frac{1}{x}

ifadelerinin işaretleri ve değer aralıkları belirlenir.

-5 < x \le -2

olduğundan;

x

negatiftir, dolayısıyla

c = \frac{1}{x}

negatiftir.

a = -x

pozitif olur ve

2 \le a < 5

aralığındadır.

b = x^2

pozitif olur ve

4 \le b < 25

aralığındadır.

Her bir değişkenin büyüklük ilişkisini karşılaştırabilmek için değer aralıkları tespit edilir.

4

Bulunan aralıklar ve işaretler kullanılarak değişkenler sıralanır.

c

negatif olduğundan en küçüktür.

a

ve

b

pozitif olup,

x \le -2

için

x^2 > -x

(

b > a

) sağlandığından doğru sıralama

c < a < b

şeklindedir.

Sayıların büyüklük kıyaslaması tamamlanarak nihai sıralamaya ulaşılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.

Estimated Time:2m 0s

Question 157Question →

8 - 3x \geq 23

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

[-5, \infty)

(-\infty, -5)

(-\infty, -5]

[5, \infty)

(-\infty, 5]

Show answer & explanation

Answer: $(-\infty, -5]$

Answer

Eşitsizliğin çözüm kümesi

(-\infty, -5]

aralığıdır.

Verilen eşitsizlikte her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi gerekir.

8 - 3x \geq 23

eşitsizliğinde

8

karşıya atıldığında

-3x \geq 15

elde edilir. Her iki taraf

-3

'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

x \leq -5

olur. Bu durum kapalı aralık olarak

(-\infty, -5]

şeklinde gösterilir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitsizlikteki bilinen terimi diğer tarafa geçiririz.

-3x \geq 23 - 8

ve buradan

-3x \geq 15

elde edilir.

Değişkeni yalnız bırakmak için sabit sayıyı eşitsizliğin sağ tarafına geçiririz.

2

Eşitsizliğin her iki tarafını

-3

sayısına böleriz.

x \leq -5

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir (büyük veya eşit olan sembol, küçük veya eşit olur).

3

Eşitsizliğin çözüm kümesini aralık olarak ifade ederiz.

(-\infty, -5]

aralığı elde edilir.

x \leq -5

ifadesi,

-5

ve

-5

'ten küçük tüm gerçel sayıları temsil eder. Sınır değeri dahil olduğundan köşeli parantez kullanılır.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi ve aralık gösterimi.

Alternative Method

Eşitsizliği sağ tarafı sıfır yapacak şekilde

8 - 3x - 23 \geq 0 \implies -3x - 15 \geq 0

olarak düzenleyip de çözebiliriz.

Estimated Time:1m 0s

Question 158Question →

Bir su şişesinin boş ağırlığı $x$ gramdır. Bu şişe tamamen su ile doluyken ağırlığı, boş ağırlığının $3$ katından $80$ gram fazladır. Şişenin yarısı su ile doluyken toplam ağırlığı $220$ gram olduğuna göre, boş şişenin ağırlığı kaç gramdır?

70

72

90

120

130

Show answer & explanation

Answer: 90

Answer

Boş şişenin ağırlığı

90

gramdır.

Doğru seçenekte belirtilen değer, boş şişe ağırlığı olan

x

ile suyun yarısının ağırlığının toplamını

220

gram yapan tek değerdir. Kurulan

2x + 40 = 220

denkleminin çözümü

x = 90

sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1

Dolu şişedeki suyun ağırlığını bilinmeyen cinsinden ifade ediniz.

Dolu şişenin toplam ağırlığı

3x + 80

gram, boş şişe ağırlığı

x

gram olduğundan, içindeki suyun ağırlığı

(3x + 80) - x = 2x + 80

gram olur.

Yarım dolu şişedeki su miktarını bulabilmek için önce tam dolu haldeki su ağırlığını belirlememiz gerekir.

2

Yarım dolu şişenin toplam ağırlığını gösteren denklemi kurunuz.

Şişenin yarısı doluyken toplam ağırlık, boş şişe ağırlığı (

x

) ile suyun ağırlığının yarısının (

x + 40

) toplamına eşittir:

x + (x + 40) = 2x + 40

gram.

Soruda verilen yarım dolu ağırlık olan

220

gram bilgisini kullanabilmek için matematiksel modeli kuruyoruz.

3

Kurulan denklemi çözerek boş şişenin ağırlığını bulunuz.

2x + 40 = 220 \implies 2x = 180 \implies x = 90

gram.

Bilinmeyen

x

değerini yani boş şişenin ağırlığını elde etmek için denklemi çözüyoruz.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin modellenmesi ve çözümü.

Alternative Method

Seçeneklerdeki değerler boş şişenin ağırlığı olarak tek tek denenerek de çözüme ulaşılabilir. Boş şişe

90

gram ise, tamamı dolu şişe

3 \times 90 + 80 = 350

gram olur. Bu durumda suyun ağırlığı

350 - 90 = 260

gramdır. Şişenin yarısı doluyken ağırlık ise boş şişe (

90

gram) ile suyun yarısının (

130

gram) toplamı olan

220

gramı verir ve denge sağlanır.

Estimated Time:1m 0s

Question 159Question →

Bir baraj gölündeki su yüksekliği metre ( $m$ ) cinsinden ölçülmektedir. Baraj yönetiminin belirlediği su seviyesi aralıkları şu şekildedir:

* Normal işletim aralığı: $[12, 38)$ metre
* Kritik kuru aralık: $[5, 15]$ metre

Buna göre, su seviyesinin normal işletim aralığında olup kritik kuru aralıkta olmadığı durumları temsil eden aralıktaki tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 583

Answer

İstenen koşulu sağlayan su seviyelerinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 583'tür.

Normal işletim aralığındaki fakat kritik kuru aralıkta olmayan su seviyeleri

[12, 38) \setminus [5, 15]

kümesiyle bulunur.

[12, 15]

aralığı çıkarıldığında geriye kalan kısım

(15, 38)

açık aralığıdır. Bu aralıktaki en küçük tam sayı 16, en büyük tam sayı ise 37'dir. Terim sayısı 22 olan bu ardışık sayı dizisinin toplamı 583 yapar.

Step-by-Step Solution

1

Verilen sözel aralıkları matematiksel küme sembolleriyle ifade etme

Normal işletim aralığı

A = [12, 38)

ve kritik kuru aralık

B = [5, 15]

olarak belirlenir.

Problemdeki aral��k sınırlarının dahil olup olmadığını (açık veya kapalı aralık durumunu) netleştirmek.

2

Koşulu sağlayan fark kümesini aralık cinsinden hesaplama

A \setminus B = [12, 38) \setminus [5, 15] = (15, 38)

aralığı elde edilir.

15

değeri

B

kümesine dahil olduğu için fark işleminde kümeden atılır ve aralığın alt sınırı açık aralık

(15

olur.

38

ise başlangıçta

A

kümesinde açık olduğu için üst sınır

38)

olarak kalır.

3

(15, 38)

açık aralığındaki tam sayıları belirleyip toplama

Aralıktaki tam sayılar

16, 17, \dots, 37

olup, toplamları

\frac{16+37}{2} \times 22 = 583

şeklinde hesaplanır.

Aralık sınırlarının dışındaki ilk tam sayıları doğru belirleyip ardışık sayıların toplamı formülüyle sonuca ulaşmak.

Key Concept

Aralıklarda fark işlemi ve sayı doğrusunda gösterim

Question 160Question →

2x - 5 < 5x + 7

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

gerçel sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

(-4, \infty)

(-\infty, -4)

[-4, \infty)

(-\infty, -4]

(-\infty, 4)

Show answer & explanation

Answer: $(-4, \infty)$

Answer

Doğru cevap

(-4, \infty)

aralığıdır.

Verilen eşitsizlikte bilinmeyenler sol tarafa toplandığında

-3x < 12

elde edilir. Her iki taraf

-3

ile bölündüğünde negatif sayıya bölme kuralı nedeniyle eşitsizlik yön değiştirerek

x > -4

olur. Bu çözüm kümesi gerçel sayılarda

(-4, \infty)

açık aralığına karşılık gelir.

Step-by-Step Solution

1

Benzer terimleri bir araya getirmek için bilinmeyenleri eşitsizliğin bir tarafında, sabit sayıları diğer tarafında toplayın.

2x - 5x < 7 + 5

ve buradan

-3x < 12

elde edilir.

Eşitsizlik çözümlerinde öncelikle değişkenler tek bir terim halinde toplanmalıdır.

2

Eşitsizliğin her iki tarafını

x

'in katsayısı olan

-3

sayısına bölün ve negatif sayıya bölme kuralı gereği eşitsizliğin yönünü değiştirin.

x > -4

elde edilir.

Bir eşitsizlik negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. Bu nedenle küçüktür (<) sembolü büyüktür (>) sembolüne dönüşür.

3

Elde edilen

x > -4

eşitsizliğini aralık gösterimi olarak yazın.

(-4, \infty)

aralığı elde edilir.

-4

'ten büyük gerçel sayılar kümesi açık aralık paranteziyle ifade edilir.

Key Concept

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif katsayıya bölme durumunda yön değiştirme kuralı ve açık/kapalı aralık kavramı.

Denklem ve Eşitsizlikler

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept